ESTADISTICA una cie ciencia Definición: Es un
que nos prop propor orci cion onaa un conj conjun unto to de métod métodos os y procedimientos para la recolección, clas clasif ific icac ació ión, n, orga organi nizac zació ión, n, pres present entac ació ión, n, anlisis e interpretación de datos en forma adecuada adecuada con el fin de realizar realizar una teor!a de decisiones ms efecti"a#
Clases de Estadística
.# Variable cuantitativa.cuantitativa.- Cuando esta asociada a una caracter!stica cuantitati"a, es decir cuando se puede esta$lecer cunto o en que cantidad se posee una determinada caracter!stica# /or ejemplo, son "aria$les cuantitati"as' Ingreso por familia, numero de accidentes de transito, longitud, tiempo, etc#
parte de la la Estadística Descriptiva: Es la parte
(na "aria$le cuantitati"a puede ser' 0 Discreta ' Son aquellas que surgen por el procedimiento de conteo, es decir, pueden tomar algunos "alores partee de la la Estadística Inferencial: Es la part del inter"alo considerado esta estad! d!st stic icaa cuyo cuyo o$jeti o$jeti"o "o es in"e in"est stig igar ar 1generalmente n2meros enteros como como de$en de$en ser ser util utiliza izados dos los los dato datoss para para positi"os3# reducir resultados ó pro$ar alguna %ipótesis# una fam familia ilia puede uede Por Por eje ejepl plo: o: una tener' 45 .5 *5 +5 6 5 .4 %ijos, pero no Observación: "alores intermedios &a diferencia entre la estad!stica 0 Continua' Son aquellas que pueden desc de scri ript pti" i"aa y la infe infere renc ncia iall es que la tomar cualquier "alor del inter"alo segunda usa usa el clculo de la pro$a$ilidad# considerado# Por ejeplo ' El peso, la estatura, la Población: Es un conjunto de datos presión arterial, la superficie, etc# referentes referentes a determinadas determinadas caracter!stic caracter!sticas as *# Variable cualitativa.- Cuando esta asociada de un grupo de indi"iduos o elementos# a una caracter!stica cualitati"a, es decir, Ejemplo' cuando sus "alores son cualidades, propiedades &as edades de los alumnos de la ()I o atri$utos que presenta la po$lación#
estad!stica que trata de recopilar, clasificar, presentar y descri$ir datos estad!sticos#
Muestra: Es un su$conjunto tomado al azar
de los eleme lement ntoos de una dete determ rmiinada ada po$lación# Ejemplo' &as edades de los alumnos de la facultad de mecnica# *#+# Variable.- Es una caracter!stica que puede tomar "arios "alores# Es un Datoque sufre "ariación dentro de una escala recorrido o inter"alo# (na "aria$le puede ser'
Por ejeplo ' &a "aria$le profesión puede adoptar las modalidades' ingeniero, medico, $iólogo, $iólogo, economista, economista, 6 etc#
Distribución de !recuencias Consiste en distri$uir los datos de la muestra en clases ó categor!as e ir colocando el n2mero de datos datos que caen en cada inter"alo#
Definiciones Previas
"lcance o #ecorrido $"%
67
57
59
57
77
69
76
52
69
72
76
77
94
77
93
#an&o $#%
73
70
68
72
63
En la longitud de alcance que que resulta por la diferencia del mayor y menor "alor#
47
82
70
67
80
70
85
70
73
58
58
67
68
66
86
79
88
67
54
56
64
46
63
84
74
Es el inter"alo definido por los datos e7tremos1mayo y menor "alor3
Intervalo de Clase$I i % Son grupos que resultan de particionar el alcance ó recorrido5 el n2mero de grupos 183 se determina por la regla propuesta por Sturges# K = 1 + 3,32 Log n
19edondeando el entero superior e inferior seg2n con"enga3 Donde' n' )2mero total de datos disponi$les#
"nc'o de Clase $(% Es la diferencia que %ay entre los e7tremos de cada inter"alo de clase# Ejemplo' Sea el inter"alo : & i ) * 0 &i; W = Li+1 − Li Tam$ién'
Calculando el "lcance: Dato mayor' >? Dato menor' ?@ A : ?@ 0 >?B
Calculando el #an&o: 9 >? ?@ ? ?
Calculando el ero de Intervalos: Si' n <45 1n )2mero de datos3 8 . +,+* &og 1<43 @,@. ≅ F
R W = K
Calculando el "nc'o de Clase: W
=
K
Marcas de Clase $+ i% Son los puntos medios de los inter"alos de clase# Ejemplo' Sea el inter"alo :& i 0 &i)* , x
=
L i
+
L i +1
2
Problea "plicativo: Se tiene los pesos de <4 estudiantes de la ()I con una apro7imación de =g#
R
=
48
=
6,86
≅
7
7
Con los siguientes datos encontrados %aremos una distri$ución de frecuencias# :&i 0&i)*
,
Ta$ulació n
: ?@ <+; : <+ @4; : @4 @F;
fi
Gi
+
+
F
.4
@
.@
%i
Hi
3
3
50
50
7
10
50
50
6
16
50
50
7i
?>,< <@,< @+,<
: @F F?; : F? .; : . ; : ><;
.>
+<
?+
?
.F
+
<4
19
35
50
50
8
43
50
50
4
47
50
50
3
50
50
50
F4#< FF,< ?,<
!recuencia #elativa "cuulada $/% Es aquella que resulta de sumar sumar sucesi"amente las frecuencias relati"as# H. %. H* %. %* %+
>.,<
H1=3 %. %* %+ ### %= n i
H i = ∑ h j
!recuencia "bsoluta$f i%:Es el n2mero de
datos que caen dentro de cada inter"alo de clase#
!recuencia #elativa$' i%: iene a ser el
cociente entre la frecuencia a$soluta y el n2mero de datos f hi i n !recuencia "bsoluta "cuulada $! i%:Es aquella que resulta resulta de sumar sucesi"amente las frecuencias a$solutas#
Ejemplo' Suponiendo =- inter"alos' G. f. G* f. f* f+ G1=3 f. f* f+ ### f= n Donde' n' )2mero de inter"alos i
Fi =
∑ f j j=1
Donde' i ' . , *, +, ########, =
j=1
Donde' i ' . , *, +, ########, =
J Calculando las !recuencias "bsolutas Del conjunto conjunto de datos datos se puede puede o$ser" o$ser"ar ar cuantos de estos caen en cada inter"alo de la distri$ución de frecuencias, este n2mero de datos se ira colocando en sus respecti"os respecti"os casilleros %asta llenar toda la columna# J Calculando las !recuencias "bsolutas
"cuuladas: G. G* G+ G? G< G@ GF
+ +F +F@ + F @ .> + F @ .> + F @ .> ? + F @ .> ? +
0 Calculando las !recuencias #elativas h1
=
h2
=
h3
=
3 50 7 50
6 50
h4
=
h5
=
h6
=
h7
=
19 50
8 50 4 50 3 50
0Calculando las !recuencias #elativas "cuuladas
Ejemplo' Se supo el coeficiente de inteligencia de < alumnos de la ()I los cuales estn ordenados de mayor a menor#
3 H
1
=
50
H2
=
H3
=
H
H
4
5
H 6 H 7
3
+
50
=
3
+
50
50
3
7
+
50
= = =
7 50 7
3
+
50 7
50
50
3
7
+
50
50
3
7
+
50
50
+ + + + +
6 50 6
+
50 6 50 6 50 6 50
+ + +
19
.*4
..4 ..4 .44 J /or lo tanto la inteligencia mediana de los alumnos ser ..4#
50 19 50 19 50 19 50
+ + +
8 50 8 50 8 50
+ +
4 50 4 50
+
3
=
x3
=
x5
=
x7
=
46
+
53
=
49,5
2 60
+
67
=
63,5
2 74
+
81
=
77, 5
2 88
+
95
=
x2
=
x4
=
x6
=
53
+
60
=
56,5
+
74
=
70 ,5
=
84,5
2
81
+
88
Ejemplo' /ara dictar dictar la clase clase de Aritmétic Aritméticaa poseo poseo @ tizas tizas de difere diferente ntess colore coloress cuyos cuyos pesos pesos ordenados de menor menor a mayor son' .4 .4 .? *F +4 +* J J /or lo tanto la mediana ser'
2 67
..
50
0Calculando las Marcas de Clase x1
elem elemen ento toss en el centr centroo y como como media mediana na tomamos el promedio de am$os#
2
91,5
2
Valores Centrales
14
+
27 =
20 , 5
2
Moda Moda $Mo%: $Mo%: Es el "alor que se presenta con
Media $Ma% &lamado tam$ién /romedio Aritmético- o Kedia AritméticaEjemplo' &as notas del jo"en Ar!tmio en su primer ciclo en la ()I en Katemticas I, fueron' , .*, .4, .. Lue se %an repetido' * . * + Su nota media o promedio ser' 8(2) + 12(1) + 10(2) + 11(3) 8
= 10,125
Ar!tmio apro$ó el curso#
Mediana $Me%
El "alor "alor mediano mediano o median medianaa de un conjunto conjunto de "alores "alores es aquel que tiene la propiedad propiedad de di di"idir al co conjunto en * partes igualmente numerosas# Si el n2mero de elementos fuese impar impar se tomar como mediana mediana el "alor central, pero si el n2mero de elementos elementos fuese par %ay *
mayor frecuencia en un grupo de datos# A una distri$ución distri$ución que tiene una sola moda se le denomina unimodal# Si %u$iese ms de dos "alores no adya adyace cent ntes es con con fre frecu cuen enci cias as m7i m7ima mass simi simila lare res5 s5 la dist distri ri$uc $ución ión es multi multimod modal5 al5 $imodal5 trimodal5 etc# En el caso que ning2n "alor se repita se dice que no e7iste moda5 el sistema ser ser amodal# Ejemplo' &as edades de los alumnos ingresantes a la facultad de Ingenier!a Kecnica fueron' fueron' de de .@ aMos *< alumnos de de .F aMos +* alumnos de de . aMos ?@ alumnos de de .> aMos *+ alumnos de de *4 aMos ?4 alumnos de de *. aMos *F alumnos de de ** aMos .* alumnos /or lo tanto la moda de edades ser .#
MEDI"1 MEDI"" 2 MOD" P"#" D"3O4 C5"4I!IC"DO4 C5"4I!IC"DO4 Media "rit6tica: $Ma%
:<*440
.4
@44
3otal
@44
k n !
= ∑x h = i i i =1
∑ x f i i i =1
clase mediana' : ??44 0 ?@44; 1Inter"alo que que contiene a la mediana3
n
Ejeplo:
Ma
Ke ??44 *44
: &i &i.; :< 0 F; :F >; : > 0 .. ; :.. .+; :.+ .<; :.< 0 .F; Total 218
=
20
7i @ .4 .* .? .@
fi . < ? @ * * *4
7ifi @ ?4 ?4 F* * +* *.
= 10,9
Mediana $Me%
#
=
L"
n − F "−1 + W" 2 f "
Donde' &m' &!mite inferior de la clase mediana# Nm' Anc%o de clase de la clase mediana# n ' )2mero total de datos# Gm0.' Grecuencia a$soluta acumulada de la clase que que precede a clase mediana# fm' Grecuencia a$soluta de la clase mediana# Ejemplo' :&i&i.; :?4440?*44; :?*440??44;
fi 4
Gi 4
.*4
*44
:??440?@44;
.*<
+*<
:?@440?44;
>>
?*?
:?440<444;
<.*
:<4440<*44;
F
<>4
600
−
200
2 125
=
4560
Moda $Mo% o
=
L%
+
W%
$
$1 1
+ $2
Donde' &o ' &!mite interior de la clase modal# No' Anc%o de la clase modal# d. ' Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia frecuencia de la clase anterior a ella# d*' Diferencia Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia de la la clase siguiente' Ejemplo' :&i&i.; fi : *4 0+4; * : +4 0?4; .4 : ?4 0<<; : << 0@<; @ : @< 0<; * Total Clase modal' : +4 0 ?4; f i * d.' .4 d*' .4 0* 19 Ko +4 .4
*
'o()gono $# F*##ni!-
+ 8 + 2 2
DI"7#"M"4 O 7#8!IC"4 /isto&raas 8
Son Son 7diagra diagrama mass de $arra $arrass o rectn rectngu gulo loss cuyas6 $ases representan representan los los inter" inter"alos alos de clase4s y las alturas, las frecuencias a$solutas ó relati"as# 3 46 53
67
&i
88
74
60
81
95
+@4POOOOOO .44 Q .??POOOOOO y
13,3/
144
72
20,6/
P#O5EM"4 .# Ar!tmio %ace una distri$ución de frecuencias en $ase a los pesos de sus amigas, y o$tu"o la siguiente información'
DI"7#"M" DI"7#"M" E4C"5O"DO4
: &i &s; :?4 <4; :<4<<; :<<@4 ; :@4@<; Total
Son diagramas similares al %istograma con la diferen diferencia cia que las altura alturass son frecuen frecuencia ciass a$solutas o relati"as acumuladas#
fi * .4 @ m
Gi * R *4 y n
50 47 43 35 16
%ji.!
Se le pide calcular 7 y m a3 ?* $3 <* c3 @* d3 F* e3 F@
10
*# En la la sigu siguie iente nte dis distr tri$u i$ució ciónn de anc% anc%oo de clase constante'
3
46
53
60
67
74
81
95
88
7r9ficos de 4ectores /referencia /or Aritmética Alge$ra eometr!a Trigonometr!a Total
)2mero de personas @4 *4 +4 ?4 .<4
E7pres ados en rados .?? ? F* >@
E7presados en /orcentaje ?4 .+,+ *4 *@,@
Analizando al curso de Aritmética' ∴ .<4 OOOOOO +@4P @4 OOOOOO 7 60 ∗ 360
x =
=
144°
150
E7presamos los grados en porcentaje' ∗ = ∴ = 144
100
x
40/
360
: &i &s; fi 7i : a, $ ; <4 :c,d; *4 F4 : 4, .44 ; z : .44, f ; .. 4 :f,g; .+4 total @4 se pide determinar h 2 + g − f a3
59
3 63
3
$3
60 3
c3
61 3
d3
62 3
e3
+# Se %ace %ace un un estu estudio dio a <4 tra$ tra$aj ajad adore oress de una cierta f$rica y se o$tu"o el siguiente cuadrado estad!stico'
Edad de los fi Ri tra$ajadores *4 *? m a *? * n $ * +* p c +* +@ q d Se pide calcular' calcular' ma n $ p c q da3 <* $3 <* c3 @* d3 @* e3 ?* ?# Dada Dada la la sig sigui uient entee dist distri$ ri$uci ución ón de de frecuencias' 7i : &i & s; %i Hi <4 :?4 @4; 4,4F< p :@44;
m
4,.<
q
:4.44;
>4
4,*<
r
:.44.*4;
n
4,*<
S
:.*4.?4;
.+4
4,*F<
t
" Total z Se pide calcular m n r sa3 .4 $3 .4,. c3 ..,* d3 .*,+ e3 .? <# Se %izo %izo una una encue encuest staa so$re so$re el n2me n2mero ro de de personas aficionadas a las matemticas y se las clasifica por edades# luego se %izo el siguiente %istograma# f i 35 30 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70
$!$
Determinar el tamaMo de la muestra# a3 +< $3 @4 c3 F4 d3 .+4 e3 .+< @# Se dis distr tri$ i$uy uyee un n2m n2mero ero de empr empres esas as seg2n sus in"ersiones en millones de soles# : &i &s ; fi > .@ . .4*+ + .@** @ *** .* *+? .. +??4 < ?4?@ * UCuntas empresas inter"ienen en menos de *< millones de solesV a3 .* $3 .? c3 .@ d3 . e3 ** F# Se tien tienee las temp temper erat atur uras as o$s o$ser" er"ad adas as en el %emisferio norte durante *? d!as# P cent!grados fi %i : .> .F ; : .F.< ; * : .< .+; :.+..; 4,.*< : .. > ; ? :>F; 4,*4 3 UDurante cuntos d!as se o$tu"o una temperatura de .@ a .4V a3 .4 $3 .. c3 .* d3 .+ e3 .? # Dada Dada la la sig sigui uient entee dist distri ri$u $ució ciónn de frecuencias' /untaje fi : .4 *4; : *4 ?4; :?4 <4 ; <4 :<4 F4; :F4 4; Total .44 Se sa$e adems que' %. %< 5 %* %? determinar la suma % < %* a3
1 2
$3
1 3
c3
1 4
1
d3
e3
5
3 4
># Dado Dado el sigu siguie iente nte cuadr cuadroo estad estad!s !sti tico co con anc%o de clase constante igual a *4# :&i &s;
7i
fi
Gi
+<
7ifi 4 .><4 .44
.+
a3 .4Q d3 *+Q
*44; ?
F4
Determine la media de los datos# a3 . d3 .@4 e3 .@*,<
$3 *.Q e3 .?Q
c3 .Q
.*# Se muestra muestra la frecue frecuencia ncia de la cantida cantidad d de $olas metidas en * %oras por Eduardo y sus amigos# : &i &s ;
fi
.4 *4
*
*40+4
+
("no-
+40?4
<
14
?40<4
12 10 8 6 4
<40@4
.*
.4# En el curso curso de matemt matemticas icas I5 I5 se tiene tiene las notas de los alumnos distri$uidas seg2n el siguiente %istograma de frecuencias'
2 4
6
8
10
12 14
o!-
Entonces la nota promedio del curso es' a3 , 3 Q $3 ,@Q c3 , ?@Q d3 >, >, *Q *Q e3 >, >, .* 6 Q /
..#100 El sigu siguient ientee cuadro cuadro muestra muestra la la oji"a oji"a de de la frecu frecuenc encia ia relat relati" i"aa acumu acumulad ladaa de las las edades edades de ciert ciertoo n2me n2mero ro de alum alumnos nos## ULué porce orcent ntaj ajee de alum alumno noss tien tienee 55ULué edades es comp compre rend ndid idas as entr entree .4 y .< 45edad 25aMosV 10 7
12 17 22
no!
Se pide calcular la mediana# a3 ?+ $3 ?@ c3 ?@, *< d3 ?F e3 ?F, *< .+# Se muestra muestra las las frecuencias frecuencias a$solutas a$solutas de de los sueldos anuales en miles de soles de un grupo de tra$ajadores# : &i &s ;
fi
?4 0 <4
*
<40@4
@40F4
?
F404
.4
40>4
@
Se pide calcular la moda a3 F* $3 F+ d3 F< e3 F@
4
c3 F?
Adems'
∑
xi f i
i =1
n
f 2
= 54
f 3
=
1 5
Calcular el n2mero de familias con ingresos no menos de <4 mil soles# a3 <4 $3 @4 c3 F4 d3 4 e3 <
.?# .?# Se tie tiene ne que que'' A' *,+,+,<,F,@,F,<,, ? W' @,F,<,*,>,., F,@,?,* C' +,?,F,@,,>,F,@,+,* Se pide determinar en que orden se encuentran las medianas# a3 Ke W ; Ke A; Ke C $3 KeW ; Ke C ; Ke A c3 Ke A ; Ke W ; Ke C d3 Ke A ; Ke C ; Ke W e3 Ke C ; Ke W ; Ke A .<# Dada las edades de *4 seMoritas seMoritas del ciclo anual# .< .F .> *4 . .
.>
.F
.@
.F
*4
.<
*4
.
.<
.<
.@
.F
.<
.F
Se puede decir entonces que el sistema es' a3 (nimodal $3 Wimodal c3 Trimodal d3 Amodal e3 Kultimodal .@# .@# En una encues cuesta ta so$re los ingresos anuales en miles de soles de un grupo de familias se o$tu"o la siguiente información# 7i : &i &s ; fi : .4 +4 ; *4 : +4 <4 ; : <4 F4 ; : F4 >4 *4 ;
.F# Dada Dada la siguie siguiente nte distri$ distri$ució uciónn de frecuencia en $ase a las edades de *44 personas# : &i &s ;
fi
: .4 *4 ;
<4
: *4 +4 ;
.*
: +4 ?4 ;
?<
: ?4 <4 ;
*
: <4 @4 ;
+4
: @4 F4 ;
+<
UCuntas personas tienen edades comprendidas entre +@ y
$3 @< e3 F4
c3 @F
.# Dada Dada la siguie siguiente nte distri$ distri$ució uciónn de frecuencias# : &i &s ; fi .@0+*
@
+*0?
n
?0@?
@?04
+n
40>@
+
Se pide calcular el "alor de n- sa$iendo que la moda es @4 y pertenece al tercer inter"alo# a3 . d3 ?
$3 * e3 <
c3 +
.># Dada Dada la siguie siguiente nte distri$ distri$ución ución de frecuencias' : &i & s ;
fi
*4 0+4
+
+40?4
.
?40<4
*
<40@4
@
@40F4
n
a3 .F d3 **
$3 . e3 *?
c3 *4
*4# Dado el siguient siguientee %istograma' %istograma'
!ni$!$ $# !j!-
60 45 30 n 15 10 20 30 40 50 60 70
$3 .> e3 *<
c3 *4
Cusco1 *;<**<;=
Calcular el "alor de n- sa$iendo que la mediana "ale 61,6 y que pertenece pertene ce al
Halla el "alor de n- sa$iendo que la º media "ale 49,84 #
'#-o-
