ESTADISTICA.1

ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS

UNPRG

PÁGINA 33 – EJERCICIO 13

Las notas de un examen parcias de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencias: a) Completar la distribución. b) Graficar la ojiva de porcentajes. c) Que porcentajes de las notas se encuentran aproximadamente en el intervalo [8,14]. Intervalo [

Marca de clase

Frecuencia Relativa

Frec. Relativa Acumulada

,

[

0.15

[6 ,

[

0.45

[

,

[

0.70

[

,

[

[

,

[

13.5 0.10

Solución: a)

ING. CIVIL

6 + 2A + 6 + 3A = 27 A=3

Intervalo

Marca de clase

Frecuencia Relativa

Frec. Relativa Acumulada

[3 , 6 [

4.5

0.15

0.15

[ 6-A , 6 ]

[6 , 9 [

7.5

0.30

0.45

[ 6 , 6+A[

[ 9 , 12 [

10.5

0.25

0.70

[6+A , 6+2A[

[ 12 , 15 [

13.5

0.20

0.90

[6+2A , 6+3A[

[ 15 , 18 [

16.5

0.10

1

1


UNPRG

b)

c)

% =   0.25   1 42 %=  9 8 0. 3 0  0. 2 5 3 % = 0.483 3 0.20 ING. CIVIL

2


UNPRG

EJERCICIO: 18 Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud resultando: Ingreso mínimo $ 125, marca de clase del cuarto intervalo m4 = $ 300. Si el 8% de los ingresos son menores que $ 165 y el 7 0% de los ingresos son menores a $275. ¿Qué porcentajes de ingresos son superiores a $285? Solución: INTERVALOS

xi

300

hi

Hi

h1 h2

h1 h1 + h2

[125 125+A[ [125+A 125+2A[

h3 h2

h1 + h2 + h3

[125+2A 125+3A[ [125+3A 125+4A]

h1

 <1650.08   =275  =165=125(   −− )  =275=225(0.7ℎℎ ℎ) 40=(0.ℎ08)50 50=(0.6ℎℎ )50 ℎ =0.10 ℎ ℎ =0.60 2ℎ 2ℎ ℎ =1 2ℎ ℎ =0.8 ℎ ℎ =0.6 ℎ =0.40 ℎ =0.20

ING. CIVIL

3


UNPRG

INTERVALOS

xi

hi

Hi

[125 175[

150

0.10

0.10

[175 225[

200

0.20

0.30

[225 275[

250

0.40

0.70

[275 325[

300

0.20

0.90

[325 375]

350

0.10

1

%> =   0.10 %> =0.10  325285 50 0.20 %> = 0.26

Rpta.

ING. CIVIL

4


UNPRG

EJERCICIO: 22 El tiempo (en horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4, siendo el tiempo mínimo de uso 2 horas, la primera y segunda frecuencias son iguales al 10% y 15% del total de casas respectivamente. Si el 73.75% de las fam ilias lo usaron menos de 17 horas, y el 85% menos de 19 horas, determinar las frecuencias. Solución: INTERVALO

Xi

f i

hi

Hi

[2

6[

4

12

0.10

0.10

[6

10[

8

18

0.15

0.25

[10 14[

12

[14 18[

16

[18 22[

20 120

ℎℎ ℎ

ℎℎ  ℎ

0.25 + 0.25 +

+

1

1

A=4

 <19 850.2 5ℎ 25ℎ ℎℎ )4  =19=18(0.10. 0.25=(0.0.765ℎℎℎℎ)50 ℎ ℎ =0.55 ℎ =0.30 INTERVALO

Xi

f i

hi

Hi

[2

6[

4

12

0.10

0.10

[6

10[

8

18

0.15

0.25

[10 14[

12

36

[14 18[

16

30

[18 22[

20

24 120

ING. CIVIL

. <17 . =17=14(0.73750.ℎ 25ℎ)4 ℎ 0.75ℎ =0.4875 ℎ =0.25 0.30 0.20

0.25

0.55 0.80 1

1

5


UNPRG

PÁGINA 56 – EJERCICIO: 10 En tres grupos distintos de 100 000; 90 000 y 20 000 personas, el porcentaje de personas con educación superior es 21%, 42% y 40% respectivamente. Calcular el porcentaje promedio de personas con educación superior. Solución: Grupo de Personas

100 000

90 000

20 000

Porcentaje con educación superior

0.21

0.42

0.40

Total de personas = 210 000

 = 100 0000.21902100000.0004220 0000.40 =0.318

Respuesta: El porcentaje promedio de personas con educación superior es de 31.8%

EJERCICIO: 11 En un informe (que se supone es correcto) sobre sueldos en todo el país, una empresa de estudios de mercado publica la siguiente tabla:

CLASE A

CLASE B

CLASE C

CLASE E

10%

25%

35%

30%

$ 2500

$ 1500

$500

$200

“

% de Población Sueldos

”

“

”

“

”

“

”

Y concluye diciendo que “La media de los sueldos en todo el país es de $ 1175”

a) ¿Qué comentario le merece el informe? Si no está de acuerdo, ¿Cuál sería la corrección? b) ¿es la media en este caso el promedio representativo? Si no está de acuerdo ¿Cuánto es el promedio adecuado? Solución: a)

= (0.1)2500+(0.25)1500+(0.35)500+(0.30)200 = 860 La media de los sueldos es $ 860 y no $ 1175.

ING. CIVIL

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UNPRG

b)

Clase

A

B

C

E

hi

0.10

0.25

0.35

0.30

Sueldos

2500

1500

500

200

= $ 500

EJERCICIO: 12 De una central telefónica salieron 70 llamadas de menos de 3 minutos promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos, promediando 6.4minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos promediando 15 minutos. Calcule la dirección promedio de todas las llamadas.

INTERVALOS

xi

f i

[1.6 3[ [3 9.8[ [10 20[

2.3 6.4 15

70 40 10 120

=

= .+.+ = 4.725

ING. CIVIL

7


UNPRG

EJERCICIO: 13 Cuatro fábricas A, B, C y D, producen un mismo objeto. La fábrica B produce el doble de C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos que la B. Los costos de producción (en dólares) por unidad de estas fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5. Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el 20% por unidad. PRODUCTO

COSTOS

A

0.8C

0.20

B

2C

0.30

C

C

0.20

D

0.9C

0.50

= [. . + . ..+ . + . .] = . =0.3 =

Costo el 20% de la ganancia:

1.2 (0.3) = 0.36

Rpta.

EJERCICIO: 15 En una empresa donde el sueldo medio es de $ 400 se incrementa un personal igual al 25% del ya existente con un sueldo medio anual al 60% de los antiguos. Si 3 meses más tarde se incrementan cada sueldo en 20%, más $30. ¿Cuánto es el nuevo salario medio? Solución: 1

=400

=240  =1.2030 ^  =1.2030 Personal: 125M

2

1 =

1.2 1 + 30

^

2 =

1.2 2 + 30

= [1.2 (400)+ 30] +0.25 [1.2 (240)+30] = 471.6

ING. CIVIL

Rpta.

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UNPRG

EJERCICIO: 18 Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. a) Calcule los diferentes indicadores de tendencia central. b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto? Solución: INTERVALOS [300 [400 [500 [600 [700

400[ 500[ 600[ 700[ 800]

xi

hi

Hi

3.5 4.5 5.5 6.5 7.5

0.15 0.20 0.30 0.20 0.15

0.15 0.35 0.65 0.85 1

 = 800300 5 =100 a)

=

=

= 500

entonces si es simétrica.

b)

  =4−− 6 5  =600(0.0.7850. 50.65)100  =650 ING. CIVIL

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UNPRG

EJERCICIO: 20 En un estudio comparativo del porcentaje de rendimiento de ciertos bonos se elaboró una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales, siendo las marcas de clase primera y quinta 15 y 55 respectivamente. Si el 65% de los bonos rinden menos del 40%, el 25%menos del 30%, el 90% menos del 50% y el 95%al menos 20%. a) Calcule los promedios de rendimiento. b) Si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto, ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto? c) ¿Es la mediana, el punto medio entre los cuartiles 1 y 3? Solución: INTERVALO [10 [20 [30 [40 [50

20[ 30[ 40[ 50[ 60]

Xi

hi

15 25 35 45 55

h1 H2 H3 H4 H5 1

X2A2 =15 2=30……

[x [X+A [X+2A [X+3A [X+4A

x+A[ X+2A[ X+3A[ X+4A[ X+5A[

X4AX5A =55 2 29=110……

308=110  =10  ≤0.. 645ℎ0 −ℎ  ≤0..59000.65  =0.40=0.30( ℎ )0.10  =0.50=0.40( )0. 1 0 ℎ  ℎ ℎ ℎ =0.65 ℎ =0.25  ≤0.3.02 5ℎ  =0.30=0.20( ℎ )0.10 ℎ ℎ =0.40 ℎ =0.40 I EN II

X= 10

ING. CIVIL

10


a)

UNPRG

 ≤0.20 . 0 50  =0.20=0.10( ℎ 0 )0.10 ℎ =0.05 ℎ =0.20 ℎ =0.10 =150.05250.20350. 4 0450. 2 5550. 5 0 =36.5% ∆ −  =(.5 0 )  =(  ∆ − +∆) 00.2255)0.10 0.20 15)0.10 =0. 3 0(.0.6550.  =0.30(0.200. =36.25%  =35.71%

b) Por lo tanto a partir de 36.25%

c)

 =0.30  =0.44  = 0.300.2 44 =0.37 

Por lo tanto no es

ING. CIVIL

en punto medio.

11


UNPRG

PAGINA 82- EJERCICIO: 23 En una empresa donde trabajan hombres y mujeres la media general de los sueldos es $250. Si la media y la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es $270 y $15 y el grupo de mujeres es $220 y $10. a) Calcule el porcentaje de hombres y mujeres. b) Calcule la desviación estándar de los sueldos de todos los trabajadores de la empresa. Solución: n: hombres

m: mujeres

  . .       … =250

a)

 = ∑∑ =270  =  =220 ∑ =270 ∑=220

  ∑   ̂=    =15 ̂= ∑   =10

∑∑=250 270220=250250 20=30 nm = 32 = 6040 =60% =40% .

 ∑   ∑  ( )   15 =    0. 1000. ∑ =220 4 4     15 0.6 =∑  270 0.6 ∑ =19 400 ∑ =43 875  = ∑ ∑ 250  =27.83882181 . ING. CIVIL

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UNPRG

EJERCICIO: 26 Los precios de un producto en las 50 tiendas del centro de una ciudad A varían entre 8 y 18 soles. Estos precios se han organizado en una distribución de frecuencias con 5 intervalos de amplitud iguales, resultando que en el 16, 56, 76 y 90 por ciento de estas tiendas los precios fueron inferiores a 10, 12, 14 y 16 soles, respectivamente. Un estudio similar mostro que en las tiendas del centro de otra cuidad B, la media de los precios del mismo producto resulto ser 13.5 soles con una desviación estándar con una desviación estándar de 3 soles. Una tienda, que tiene sucursales en los centros de las ciudades A y B, vende un producto en la cuidad B a 12 soles. Si esta tienda, tiende a fijar los precios de acuerdo al medio, estime el precio al que se vende este producto en la cuidad A. Solución: Tienda A Intervalo

Xi

hi

HI

f i

[8

9

0.16

0.16

8

10[

[10

12[

11

0.40

0.56

20

[12

14[

13

0.20

0.76

10

[14

16[

15

0.14

0.90

7

[16

18[

17

0.10

1

5

1

60

 = 1885 =2  =13.5   =3  =90.16 110.40 130.20 150.14 170.10  =12.24    ∑      777850 12. 2 4    =  = 50 =5.7424

 =√ 5.7424=2.39633 ING. CIVIL

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UNPRG

Valores estandarizados:

      1213. 5    =   =  = 3 =0.5  =0.5  12. 2 4 2.42 =0.5  =11.03 EJERCICIO: 32 La tabla que se presenta a continuación corresponde a un número de personas que se encontró en una muestra tomada en 4 distritos y que son consumidores de un producto. La tabla muestra la clasificación por distrito, edad y sexo.

Distrito

a) b) c) d)

Edad Hombres 20 - 30 30 - 40 40 - 50

Edad Mujeres 20 – 30 30 - 40 40 - 50

Lince

15

45

32

22

18

60

Lima

50

32

28

35

44

22

Pueblo Libre Surco

15

36

45

32

60

18

40

24

14

46

45

24

Compare la variabilidad de las edades de los hombres y mujeres de Lince. Compare la variabilidad de las edades en Lince y Pueblo Libre. Compare la variabilidad de las edades de hombres y mujeres de la muestra. Halle la varianza de las edades de toda la muestra.

ING. CIVIL

14


UNPRG

Solución: a)

Intervalo

Xi

f h

f M

[20 30[

25

15

22

[30

40[

35

45

18

[40

50]

45

32

60

92

100

 = 251535454532 92  =6.=36.94236 8478609  =0.188

 =8.=38.2608973 8  =0.2129

b)

Intervalo

Xi

FLince

FP.Libre

[20 30[

25

37

47

[30

40[

35

63

96

[40

50]

45

92

63

192

206

 =6.=37.94236 47395833  =0.20358 ING. CIVIL

.. =7.=35.2837776699 . =0.20358 15


UNPRG

c)

Intervalo

Xi

f h

f M

[20 30[

25

120

135

[30

40[

35

137

167

[40

50[

45

119

124

376

426

 =7.=34.98329 9734  =8.22826

 =7.=34.878224178404  =8.2215768

d) Varianza de todas las muestras:

Intervalo

Xi

f M

[20 30[

25

255

[30

40[

35

304

[40

50[

45

243 802

 = . 

 = 25225 35802304 45243  =34.850374062 =1214.548572 =34.85037406 . 2 = 22525 30480235 24345  =62.072376 =7.878602414 . 2 =1276.620648 ING. CIVIL

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ESTADISTICA.1

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