Capítulo 4 Pregunta 2 El departamento de estadística de la Western State University ofrece ocho cursos de estadística básica. Las siguientes son las cantidades de estudiantes inscritos en tales cursos: 34, 46, 52, 29, 41, 38, 36 y 28 Solución:
Amplitud de variación: 52-28=24
La media
Desviación media: 6.25
X´ =38
Encontramos que la desviación con respecto a la media es 6.25 y la amplitud de variación con respecto a la media es 24. Pregunta 4 Se examinó una muestra de ocho compañías en la industria aeroespacial con relación a sus rendimientos sobre la inversión el año pasado. Los resultados son (en porcentajes): 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12.0, 14.8,12.2, 15.6 Solución:
Amplitud de variación: 18.2-10.6=7.6
La media
Desviación media: 12.93
X´ =13.85
Encontramos que la desviación con respecto a la media es 12.93 y la amplitud de variación con respecto a la media es 7.6 Pregunta 6 Una muestra de los archivos personales de ocho empleados varones de la empresa Acme Carpet indico que, durante un periodo de seis meses, no asistieron al trabajo por enfermedad los siguientes números de días: 2,0,6,3,10,4,1y2 Solución:
Amplitud de variación: 10-0=10
La media
Desviación media: 3.4375
X´ =3.5
Encontramos que la desviación con respecto a la media es 3.4375y la amplitud de variación con respecto a la media es 3.5
Pregunta 8 Considere los seis valores siguientes como una población: 13, 3, 8, 10, 8 y 6 A) Calcula la media de la población B) Calcule la varianza Solución: Media Poblacional
μ=8 Varianza Poblacional
σ 2=
58 =7 . 25 8
Pregunta 10 Con relación al ejercicio 9, el reporte anual de la empresa Dennis Industries también dio los siguientes rendimientos del capital para los accionistas, en el mismo periodo de cinco años (en porcentaje):13.2; 5.0; 10.2; 17.5; y 12.9 a) ¿Cuál es la media aritmética de estos valores? b) ¿Cuál es la varianza? Solución: Media Poblacional
μ=11 . 76 Varianza Poblacional
σ 2=16 .8904 Pregunta 12
Los ingresos anuales de los cinco vicepresidentes de TWV Industries son en dólares: $75 000; $78 000; $72 000; $83 000 y $90 000.Considere como una población. a) b) c) d)
¿Cuál es la amplitud de variación? ¿Qué valor tiene la media aritmética de los ingresos? ¿Cuál es la varianza poblacional? ¿Y la desviación estándar? Los ingresos anuales (en dólares) de funcionarios de una empresa semejante también estudiaron. La media que $79 000,y la deviación estantadar,$8 612.Compare las medias y las dispersiones de las dos empresas.
Solución: a)
Amplitud de variaci ó n=$ 18 000
b)
Media=$ 79 600 2
c) La varianza poblacional: s =40.24 La desviación estándar:
s=6.3435
d) La primera empresa tiene, en promedio, un ingreso mayor que la segunda empresa además sus valores son mas uniformes (cercanos a la media) a comparación de la segunda. Pregunta 14 Los cinco valores siguientes son una muestra: 11, 6, 10,6 y 7. a) Calcule la varianza usando la formula de desviación. b) Calcule la varianza usando la formula directa. c) Determine la desviación estándar muestral. Solución: a)
´ 2 (11−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(6−8)2+(8−7)2 ( X− X) ∑ s= = =5. 5 2
n−1
x
∑¿
b)
c)
¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ x 2−¿ ∑¿ s 2=¿ s=2 . 345
4
Pregunta 16 La muestra de ocho compañías en la industria aeroespacial, que se consideró en el ejercicio 4, se examinó respecto al rendimiento sobre inversión el año pasado. Los resultados son: 10.6; 12.6; 14.8; 18.2; 12.0; 14.8; 12.2 y 15.6. Solución: a) 2 ( X − X´ ) ∑ s= 2
n−1
¿
(10 .6−13 . 85)2+(12. 6−13 . 85)2 +(14 . 8−13 . 85)2+(18 .2−13 .85)2 +(1 2−13 . 85)2 +(14 . 8−13 .85)2 +(12 7 x
∑¿
b)
c)
¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ 2 x −¿ ∑¿ s 2=¿ s=2 . 4512387
Pregunta 18 Consulte el ejercicio 17. Se utilizó otra mezcla especial, AB-4, en otro estanque. La media de una muestra determinada resultó ser 126.9 (gramos), y la desviación estándar, 1.2. ¿Qué alimento produce un peso más uniforme? Pregunta17: La empresa Trout, Inc., cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peso. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT-10. Al final del periodo experimental los pesos de las truchas fueron (en gramos): 124, 125, 125, 123, 120, 124, 127, 125, 126 y 121 Media:
∑ X´ = n
X
La fórmula de varianza muestral por desviación:
´ 2 ( X− X) ∑ s= 2
n−1
La fórmula de varianza muestral (directa):
X
∑¿
¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ 2 X −¿ ∑¿ s 2=¿ Tomando los datos de la pregunta 17:
X´ =124
s 2=4.6667 Ahora para los datos de la pregunta 18:
X´ =126.9 s 2=1.44 Al comparar notamos, que el alimento AB-4 produce un peso mayor: 126.9 gramos incluso más uniforme que la muestra sacada del alimento RT-10: 124 gramos.
En los ejercicios del 19 al 22 calcule la amplitud de variación, la desviación estándar y la varianza. Pregunta 20 Considere la siguiente distribución de frecuencias. Clase 20 hasta 30 30 hasta 40 40 hasta 50 50 hasta 60 60 hasta 70
Frecuenci a 7 12 21 18 12
Solución: Clase 20 hasta 30 30 hasta 40 40 hasta 50 50 hasta 60 60 hasta 70
Frecuenci a 7 12 21 18 12 70
X
fX
fX2
25 35 45 55 65
175 420 945 990 780 3310
4375 14700 42525 54450 50700 166750
70−20=50
Amplitud de variación:
La fórmula de la desviación estándar para datos agrupados:
√
2
( fX ) ∑ f X − ∑n s= n−1 2
Donde: S X f n
es la desviación estándar muestral es el punto medio de una clase es la frecuencia de clase es el número total de observaciones de la muestra
Entonces:
s=
√
(3310)2 70 =12.178792 69
166750−
La varianza: 2
s =148.322981
Pregunta 22 Una muestra de las cantidades pagadas (en dólares) por ingresar el auto a un estacionamiento público el día sábado en Downtown Parking Garage, en Toronto, se presenta en la siguiente distribución de frecuencias. Cantidad Pagada $ 0.50 hasta $ 0.75 0.75 hasta 1.00 1.00 hasta 1.25 1.25 hasta 1.50 1.50 hasta 1.75 1.75 hasta 2.00 2.00 hasta 2.25 2.25 hasta 2.50
Frecuencia 2 7 15 28 14 9 3 2
Solución: Cantidad Pagada $ 0.50 hasta $ 0.75 0.75 hasta 1.00 1.00 hasta 1.25 1.25 hasta 1.50 1.50 hasta 1.75 1.75 hasta 2.00 2.00 hasta 2.25 2.25 hasta 2.50
Frecuencia 2 7 15 28 14 9 3 2 80
a) Amplitud de variación: 2.50-0.50=2.0 b) Desviación estándar:
√
(113.5)2 171.5− 80 s= =0.364 79 c) Varianza
s 2=0.13255538
Pregunta 24
X 0.625 0.875 1.125 1.375 1.625 1.875 2.125 2.375
fX 1.25 6.125 16.875 38.5 22.75 16.875 6.375 4.75 113.5
fX2 0.78125 5.359375 18.984375 52.9375 36.96875 31.640625 13.546875 11.28125 171.5
El ingreso medio de un grupo de observaciones muestrales es de $ 500 (dólares); la desviación estándar es $40. De acuerdo con el teorema de Chebysheb, ¿Al menos qué porcentaje de los ingresos se encontrará entre $400 y $600
Solución Sabemos que la variación entre un límite a la media equivale a $100 = 2.5s (dev.estándar) Entonces por la fórmula:
=1−
1 k2
=1−
1 2 (2.5)
%=0.84. Significa que el porcentaje sería de un 84% de datos estaría dentro de $400 y $600. Pregunta 26 La siguiente gráfica muestra la apariencia simétrica de una distribución muestral de calificaciones de eficiencia.
a)
Estime media
la de las calificaciones de eficiencia. b) Calcule la desviación estándar redondeando al más cercano. c) Aproximadamente, ¿entre qué par de valores queda 68% de las calificaciones? d) Aproximadamente, ¿entre qué par de valores queda 95% de las calificaciones de eficiencia? Solución: a) Como está entre 80 y 90, entonces la media está en 85 b) Como la amplitud de variación es de 6s(99.7%) entonces:
s=18.3333
140−30=6 s
c) Por regla empírica: 68%equivale a una variación de ±1s Los valores serían: 67 hasta 103 d) Por regla empírica: 95%equivale a una variación de ±2s Los valores serían: 48 hasta 122
Pregunta 28 La empresa United Airlines estudia el peso de equipaje de cada pasajero. En un grupo grande de viajeros en vuelos nacionales, la media es 47 lb (libras), con una desviación estándar de 10 lb. En un grupo grande de pasajeros de vuelos internacionales, la media es 78 lb y la desviación estándar, 15 lb. Calcule la dispersión relativa de cada grupo. Comente acerca de la diferencia en dicha dispersión relativa Solución: Al tener medias distintas, usaremos es coeficiente de variación:
Coef de variaci ó n=
Para el primer grupo:
CV =
10 (100 ) 47
CV=21.27659%
s 100 X´ Para el segundo grupo:
CV =
15 ( 100 ) 78
CV=19.23%
Por lo tanto notamos que el segundo grupo a comparación del primero tiene una menor dispersión relativa. Esto quiere decir que los datos están más cercanos a la media en este grupo (21.27659%>19.23%) Pregunta 30 Se va a comparar la dispersión en los precios anuales de las acciones que se venden a menos de $10 (dólares) y la dispersión en los precios de aquellas que se venden por arriba de $60. El precio medio de las acciones que se venden a menos de $10, es $5.25, y la desviación estándar es $1.52. El precio medio de las acciones que se negocian a más de $60, es $92.50, y su desviación estándar es $5.28 a) ¿Por qué debe utilizarse el coeficiente de variación para comparar la dispersión de los precios? b) Calcule los coeficientes de variación. ¿Cuál es su conclusión? Solución:
a) Porque la media de cada caso son valores distintos. b) Para las acciones con precio menor a $10
CV =
1.52 ( 100 ) CV=28.952% 5.25
Para las acciones con precio mayor a $60
CV =
5.28 ( 100 ) 92.5
CV=5.708%
Notamos que los precios de las acciones que son mayores a $60 tienen una dispersión relativa menor comparada a las acciones con precio menores a $10. En los ejercicios 31 a 34 haga lo siguiente: a) Determine los valores de la media , mediana y desviación estándar b) Determine es coeficiente de asimetría usando el método de Pearson c) Determine el coeficiente de asimetría usando el método de software Pregunta 32 A continuación se dan los salarios, en miles de dólares, para una muestra de 15 ejecutivos de la industria electrónica $516.0 $586.0 546.0 551.0
$548.0 $566.0 $534.0 $529.0 523.0 538.0 523.0 552.0
Solución: Ordenando: 486.0 538.0 548.0
516.0 523.0 523.0 529.0 534.0 546.0 551.0 552.0 558.0 566.0 574.0
a)
´ Hallando la media: X =542 El salario medio es de $542 millones de dólares Mediana=$546 (millones de dólares) Desviación estándar: s=24.23221 b) Asimetría de Pearson
CA=
3( Media−Mediana) s
CA=
3(542−546) =−0.49520865 24.23221
c) Coeficiente de Asimetría con Software
[
3 X − X´ ) s
]
CA=
n ( n−1)(n−2)
CA=
15 (−5.046118803 )=−0.415888912 14∗13
∑(
Pregunta 34 A continuación se dan los salarios de los jugadores del equipo de béisbol Yankees, de Nueva York, en el año 2000. Los valores están en millones de dólares. $9.86 $9.50 $8.25 $6.00 $5.95 5.25 5.00 4.33 4.25 3.40 3.13 2.02 2.00 1.85 1.82
Solución:
$6.25 4.30 1.90
Ordenando:
0.20 0.20 0.35 2.00 3.13 a)
0.20 0.35 0.38 2.02 3.40
0.20
0.20
0.20
0.20
0.80
1.82
1.85
1.90
4.25
4.30
4.33
5.00
´ Hallando la media: X =3.0462069 El salario medio es de $3.0462069 millones de dólares Mediana=$2.00 (millones de dólares) Desviación estándar: s=2.91163352
b) Asimetría de Pearson
CA=
3( Media−Mediana) s
CA=
3(3.0462069−2.00) =1.0779587 2.91163352
a) Coeficiente de Asimetría con Software
[
´
3
∑ ( X −s X )
]
CA=
n ( n−1)(n−2)
CA=
29 ( 24.10831081 )=0.9247897 28∗27
Pregunta 36 Determine la mediana y los valores correspondientes al primer y al tercer cuartil de los datos siguientes: 5.24 6.02 6.67 7.30 7.59 7.99 8.03 8.35 8.81 9.45 9.61 10.37 10.39 11.86 12.22 12.71 13.07 13.59 13.89 15.42 Solución:
La media se encuentra en: L50.
L50=21
50 ( 100 )=10.5
Como los datos están ordenados ubicamos el termino 10 y aumentamos (0.5)(T11-T10).
Me=9.45+ ( 0.5 )( 9.6−9.45 )=9.53
La ubicación del Q1 está en L25.
L25=21
25 ( 100 )=5.25
El cuartil 1 es la suma del termino 5 y (0.25)(T6-T5).
Q1=7.59+ ( 0.25 ) ( 7.99−7.59 ) =7.69
El Q3 se encuentra en L75.
L75=21
75 ( 100 )=15.75
El cuartil 3 es la suma del termino 15 y (0.75)(T16-T15).
Q3=12.22+ ( 0.75 ) ( 12.71−12.22 )=12.5875
Pregunta 38 Wendy Hagel es la gerente nacional de ventas para la empresa National Textbooks, Inc. Tiene un equipo de ventas formado por las 40 personas que visitan a profesores de las universidades en Estados Unidos. Cada sábado por la mañana ella necesita que su equipo de ventas le presente un informe. El reporte incluye, entre otras cosas, el número de profesores visitados durante la semana anterior. Abajo se presenta la cantidad de visitas de la semana pasada, ordenadas de menor a mayor. 3 8 5 9
4 0 5 9
4 1 5 9 a b c d
4 5 6 2
4 8 6 2
4 8 6 2
5 0 6 3
5 0 6 4
5 1 6 5
5 1 6 6
5 2 6 6
5 2 6 7
5 3 6 7
5 4 6 9
Determine la mediana del número de llamadas. Determine el 1er cuartil y el 3er cuartil. Determine el 1er decil y el 9no decil. Determine el centil 33.
Solución: El total de datos es 40(número par). a
La mediana se encuentra entre el T20 y T21.
Me= b
57+59 =58 2
El primer cuartil esta :
L25=41
25 ( 100 )=10.25
El cuartil 1 es la suma del termino 10 y (0.25)(T11-T10).
Q1=51+ ( 0.25 ) ( 52−51 )=51.25 El tercer cuartil esta:
L75=41
75 ( 100 )=30.75
El cuartil 3 es la suma del termino 30 y (0.75)(T31-T30).
Q3=66+ ( 0.75 )( 66−66 )=66
c
El decil 1 está ubicado en :
5 5 6 9
5 5 7 1
5 5 7 7
5 6 7 8
5 6 7 9
5 7 7 9
L10=41
10 ( 100 )=4.1
D1=45+ ( 0.1 )( 48−45 )=45.03 El decil 9 se encuentra en:
L90=41
90 ( 100 )=36.9
El decil 9 es la suma del termino 36 y 0.9(T37-T36).
D9=71+ ( 0.9 )( 77−71 )=76.4
d
El centil 33 se ubica en:
L33=41
33 ( 100 )=13.53
El centil 33 es la suma del termino 13 y 0.53(T14-T13).
D9=53+ ( 0..53 ) (54−53)=53.53
Pregunta 40 Considere el siguiente diagrama de caja:
a b c
Determine la mediana. Obtenga el primer cuartil y el tercero. Determine la amplitud intercuartilica.
d e f
¿Más allá de qué punto se considera un valor como dato extremo? Identifique los datos extremos y calcule su valor. ¿La distribución es simétrica, o bien asimétrica con sesgo positivo o negativo?
Solución: a b c d e f
La mediana es 450. El Q1=300 y Q3=675. La amplitud intercuartílica es 675-300=375. Menor que 0 y mayor que 1275. No hay datos aislados. Tiene sesgo positivo
Pregunta 42 Una muestra de 28 hospitales en florida reveló los siguientes cargos diarios (en dólares) para un alojamiento semiprivado. Por conveniencia, se ordenaron los datos desde el menor hasta el mayor. Realice un diagrama de caja para representar los datos. Comente la forma de distribución. Asegúrese de identificar el primer y el tercer cuartil y la mediana. $116 $229 $260 $307
$121 $232 $264 $309
$157 $236 $276 $312
$192 $236 $281 $317
$207 $239 $283 $324
$209 $243 $289 $341
$209 $246 $296 $353
Solución:
Valor inicial=116
El cuartil 1 está en
L25=29
90 ( 100 )=36.9
Q1=209+0.25(229-209)=214.
La medina está en
L50=29
50 ( 100 )=14.5
Como los datos están ordenados ubicamos el termino 14 y aumentamos (0.5)(T15-T14).
Me=246+ ( 0.5 )( 260−246 )=253
El tercer cuartil está en
L75=29
75 ( 100 )=21.75
El cuartil 3 es la suma del termino 30 y (0.75)(T22-T21).
Q3=206+ ( 0.75 )( 307−206 ) =304.25
El valor final =353.
Los ejercicios 43 a 51se buscan en el siguiente problema. El departamento de control de calidad en la empresa Ciegg Industrias, vigila constantemente tres líneas de ensamblen que producen hornos para uso doméstico. Cada horno está diseñado para precalentar hasta una temperatura de 240°F durante cuatro minutos, y después apagarse. Sin embargo, puede suceder que el horno no alcance los 240 grados en el tiempo asignado, debido a su instalación inadecuada y por otras razones. De manera semejante, la temperatura podría sobrepasar los 240 grados durante el ciclo de precalentamiento de cuatro minutos. Una muestra grande de cada una de las tres líneas de producción indico la siguiente información.
Media estadística Media aritmética Mediana Moda Desviación estándar Desviación media Intervalo intercuartil
Línea 1 238.1 240.0 241.5 3.0 1.9 2.0
Temperatura en °F Línea 2 Línea 3 240.0 242.9 240.0 240.0 240.0 239.1 0.4 3.9 0.2 2.2 0.2 3.4
Pregunta 44 ¿Qué línea presenta mayor variación en la temperatura?¿Cómo se sabe esto? Solución: La línea 3, porque tiene la mayor variación con respecto a la línea 2 y 1 en las medidas de dispersión (desviación media y estándar). Pregunta 46 ¿Qué líneas tienen sesgo positivo en la distribución de las temperaturas delos hornos? Solución: Es sesgo positivo porque en la línea 3 la media es mayor que la mediana. Pregunta 48 Para la línea 3, desacuerdo con el teorema de Chebyshew, ¿entre cuál par de valores se encuentran aproximadamente 89% de las temperaturas? Solución:
1−
1 =89 k2
1 =1−0.89 2 k 1 =0.11 2 k k =3.015 Los valores se encuentra entre los
±3 s (desviación estándar) respecto a su media.
Pregunta 50 Obtenga la dirección de la asimetría para la línea 3. Solución: Como en la línea 3 la media es mayor que la mediana entonces tiene una asimetría a la derecha. Pregunta 52 En un estudio de datos de los archivos personales de los empleados de una compañía grande, el coeficiente de variación (CV) del número de años laborados con la compañía es 20%, y el coeficiente de variación de las cantidades obtenidas por comisión el año pasado en 30%. Comente acerca de la dispersión relativa de las dos variables. Solución: La dispersión relativa es mayor en las cantidades obtenidas por comisión el año pasado que del número de años laborados con la compañía (30%>20%) Pregunta 54 De la producción por hora de un grupo de empleados que ensamblan unidades modulares en la empresa Zenith se seleccionaron valores al azar. Las salidas de la muestra fueron: 8, 9, 8, 10, 9, 10, 12 y 10. a Calcule la amplitud de la variación. b Determine la desviación media. c Evalué la desviación estándar. Solución: Ordenamos de mayor a menor: 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10 y 12 a La amplitud de variaciones= mayor dato –menor dato. Amplitud de variación = 12 – 8 = 4. b
La media =
DM=
8+8+9+ 9+10+10+10+12 8
=9.5
|8−9.5|+|8−9.5|+|9−9.5|+|9−9.5|+|10−9.5|+|10−9.5|+|10−9.5|+|12−9.5| 8
DM=1
∑X
c
¿ ¿ ¿2 ¿ = ¿ 2 X −¿ ∑¿ DE=s=¿
∑ X 2− 7
5776 8
=
734−722 7
= 1.7
Pregunta 56 Los pesos (en libras) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es: 12, 6, 7,3 y 10. a) Obtenga la amplitud de variación. b) Calcule la desviación media. c) Determine la desviación estándar. Solución: a)
Amplitud de Variaci ó n=12−3=9
b)
12+6+7 +3+10 X´ = =7 . 6 5
DM=
c)
|12−7 .6|+|6−7 . 6|+|7−7 . 6|+|3−7 . 6|+|10−7 . 6|
=2. 72
5
√
(12−7 .6)2 +(6−7 . 6)2 +(7−7 . 6)2+(3−7 .6)2 +(10−7 . 6)2 s= =3 . 5071 5
Pregunta 58 Un reporte reciente en la revista Woman`s World indica que la familia típica de cuatro personas con un presupuesto intermedio, gasta aproximadamente $96 dólares a la semana en alimentos. La siguiente distribución de frecuencias estaba incluida en el reporte. Calcule (a) la amplitud de variación y (b) la desviación estándar. Cantidad gastada $ 80 hasta $ 85 85 hasta 90 90 hasta 95
Frecuenci a 6 12 23
X 82.5 87.5 92.5
95 hasta 100 100 hasta 105 105 hasta 110
35 24 10
97.5 102.5 107.5
Solución: a)
Amplitud de Variaci ó n=110−80=30 fx
∑¿
b)
¿ 2 ¿ ¿ ¿n ¿ ¿ f x 2−¿ ∑¿ ¿ s= √¿
Pregunta 60 Las cuestiones de salud son de interés para directores o gerentes de empresa, en especial porque evalúan el costo del seguro médico. En un estudio reciente con 150 ejecutivos de la empresa Elvers Industries, una gran organización aseguradora y financiera localizada en el sudoeste de EUA, aparecieron las cifras de sobrepeso en libras de los ejecutivos. Calcule la amplitud de variación y la desviación estándar para esos datos. Sobrepeso (en libras)
Frecuencia X
0 hasta 6
14
3
6 hasta 12
42
9
12 hasta 18
58
15
18 hasta 24
28
21
24 hasta 30
8
27
Solución: a)
Amplitud de Variaci ó n=30−0=30
fx
∑¿
b)
¿ ¿2 ¿ ¿n ¿ ¿ f x 2−¿ ∑¿ ¿ s= √¿
Pregunta 62 La empresa National Muffler Company asegura que pueden cambiar un silenciador de auto en menos de 30minutos .Un usuario “clandestino”(reportero del Canal 11 de EUA) observó 30 cambios consecutivos de silenciadores en el taller que se localiza en la Calle Liberty.A continuación se presenta el número de minutos necesarios para realizar tal cambio. 44 40 16
12 17 33
22 13 24
31 14 20
26 17 29
22 25 34
30 29 23
26 15 13
18 30
28 10
12 28
a) Elabore un diagrama de caja para el tiempo que tardan en cambiar un silenciador. b) ¿Muestra la distribución algunos datos extremos? c) Resuma sus hallazgos en un informe breve. Solución: a) Ordenamos los datos de menor a mayor 10 20 29
12 22 30
22 22 30
13 23 31
13 24 33
14 25 34
15 26 40
Para el diagrama de caja necesitamos hallar:
Valor mínimo : 10
16 26 44
17 28
17 28
18 29
Primer cuartil : 23.25 Mediana :29.5 Tercer cuartil : 29.75 Valor máximo : 44
b) El valor dato extremo es mayor que 39.5(29.75+1.5*6.5) y menor que 13.5(23.251.5*6.5).Entonces los valores extremos son 10,12,13,13,40 y 44 c) El valor más pequeño es 10 y, el más grande 44; el primer cuartil es 23.25, el tercer cuartil 29.75.Aproximadamente 50% de los valores se encuentran entre 23.25 y 29.75.El valor de la mediana es 29.5.La distribución es asimétrica con sesgo negativo. Existen 6 datos aislados.
Pregunta 64 El siguiente diagrama de caja muestra el numero de periódicos publicados diariamente en cada estado federal y en el Distrito de Columbia (en EUA).Escriba un informe breve que resuma el numero de publicaciones. Asegúrese de incluir la información de los valores del primer y el tercer cuartil, la mediana, 7y si existe o no asimetría. Si se presentan datos extremos calcule su valor.
Solución: El valor más pequeño es 0 y, el mas grande 75; el primer cuartil es 10, el tercer cuartil 40.Aproximadamente 50% de los valores se encuentran entre 10 y 40.El valor de la mediana es 10.La distribución es asimétrica con sesgo positivo. Existen 4 datos aislados que son mayores que 45.
Pregunta 66 La empresa Danfoss Electronis, Inc. tiene 150 proveedores en todo Estados Unidos y Canadá .A continuación se presenta un resumen de los valores estadísticos de resumen en MINITAB acerca del volumen de ventas para sus proveedores. a) b) c) d) e)
¿Cuál es la amplitud de variación? Determine la amplitud intercuartílica. Obtenga el coeficiente de variación. Determine la dirección de la asimetría. Elabore un diagrama de caja.
Variable
N
Mean
Median
Tr Mean
St Dev
SE Mean
Sales
150
128.1
81.0
Variable Sales
Min 2.0
Max 1019.0
38.71
Q
102.2
162.7
13.3
138.2
Solución: a)
Ampl itud de variaci ó n=1019 .0−2 .0=1017 . 0
b)
Amplitud intercuart í lica=138 .2−38 .7=99 . 5
c) d)
CV =
162 . 7 100=127 128. 1
CA=
3(128 . 1−81 . 0) =0 .8685 162 .7
.Sesgo positivo.
e)
Pregunta 68 A continuación se da una lista de los 20 fondos mutualistas más importantes en EUA, al 21 de noviembre de 2000.Se indican sus activos en millones de dólares, su tasa de interés a 5 años y su tasa de interés a un año. Suponga que los datos son una muestra.
Fondo
Activos ($mi)
Interés a 5 años
Interés a 1 año
Vanguard Index Fds:500 Fidelity Invest: Magellan American Funds A:ICAA American Funds A:WshA Janus: Fund Fidelity Invest: Contra Fidelity Invest: Grolnc American Funds: Growth A American Century: Ultra Janus:WorldWide Fidelity Invest: GroCo American Funds A: EupacA American Funds A: PerA Janus: Twen Fidelity Invest : Blue Chip Vanguard Instl Fds: Instidx PIMCO Fundas Instl: TotRt Putman Funds A: VoyA Vanguard Funds: Wndsll Vanguard Funds: Prmcp
104 357 101 625 56 614 46 780 46 499 42 437 42 059 39 400 38 559 37 780 34 255 32 826 32 308 31 023 29 708 28 893 28 201 24 262 24 069 22 742
143,5 118,8 129,8 108,1 177,5 133,4 127,7 202,8 128,2 187,3 201,1 98 122,8 264,3 132 145 41,4 144,7 105,7 203
-4,4 -3,9 3,1 -2,4 -2,2 1,6 0,1 -6,4 -5,8 2,2 13,2 -2,8 -2 -12,9 -1,2 -4,3 7,7 -0,5 4,6 10,9
a) Calcule la media, la mediana y la desviación estándar para cada una de las variables. Compare las desviaciones estándar de las tasas de interés a un año y a cinco años. Haga un comentario acerca de sus resultados. b) Calcule el coeficiente de variación para cada una de las variables anteriores. Exprese un comentario acerca de la variación relativa de las tres variables. c) Calcule el coeficiente de asimetría para cada una de las variables. Haga algún comentario acerca de la asimetría en estas tres variables. d) Calcule el primer y tercer cuartil de las tasas de interés a un año y a cinco años. e) Dibuje diagramas de caja para las tasa de interés a un año y a cinco años. Comente sus resultados. ¿Existe algún dato extremo?
Solución: a) Para el interés a 5 años:
Media=145.755
Mediana=132.7 s=48.7012858 Para el interés a 1 año:
Media=−0.27
Mediana=−1.6 s=6.10117331 Para los activos:
Media=42219.85
Mediana=36017.5 s=22495.3035 La desviación estándar del interés a 5 años es mayor que la desviación estándar del interés a 1 año, respecto a la media de cada uno. b) Para el interés a 5 años:
CV =
48.7012858 ∗100=33.4 145.755
Para el interés a 1 año:
CV =
6.10117331 ∗100=−2259.69382 −0.27
Para los activos:
CV =
22495.3035 =53.28 42219.85
La desviación relativa con respecto a la media es menor para el interés a 1 año. c) Para el interés a 5 años:
CA=
3(145.755−132.7) =0 . 8 48.7012858
Para el interés a 1 año:
CA=
3(−0.27+ 1.6) =0. 65 6.10117331
Para los activos:
CA=
3( 42219.85−36017.5) =0 . 83 22495.3035
Los sesgos para las tres variables son positivos. d) Para el interés a 5 años:
L25=( 20+1 )∗0. 25=5 .2 5 .Entonces el valor de Q1 es 119.8 L75=( 20+1 )∗0. 75=15. 75 .Entonces el valor de Q3 es 184.85 Para el interés a 1 año:
L25=( 20+1 )∗0. 25=5 .25
.Entonces el valor de
Q1 es -4.3
L75=( 20+1 )∗0. 75=15. 75 .Entonces el valor de Q3 es 2.875
e)
Pregunta 70 A continuación se indica la circulación diaria promedio de los 50 periódicos de mayor circulación en Estados Unidos. Periódico Wall Street Journal (Nueva York, N.Y.) USA Today (Arlington. Va.) Times (Los Angeles) Times (Nueva York, N.Y.) Post (Washington, D.C.)
Circulación
Periódico
Circulació n
1 740 450
Star Tribune (Minneapolis)
334 751
1 653 428 1 067 540 1 066 658 759 122
Rocky Mountain News (Denver) Post-Dispatch (St.Louis) Sun (Baltimore) Constitution (Atlanta) Mercury News (San Jose, Calif.) Journal Sentinel (Milwaukee) Bee (Sacramento, Calif.) Star (Kansas City, Mo.) Herald (Boston) Times-Picayune (Nueva Orleáns Sun-Sentinel (For Lauderdale, Fla.) Sentinel (Orlando, Fla.) Investor`s Business Daily (Los Angeles) Dispatch (Columbus, Ohio) News (Detroit) Observer (Charlotte, N.C) Post-Gazette (Pittsburgh, Pa.) News (Buffalo, N.Y.) Tribune (Tampa, Fla.) Star-Telegram (Fort Worth, Tex.) Star (Indianapolis) Courier-Journal (Louisville Ky) Times (Seattle World-Herald (Omaha, Neb.)
331 978 329 582 314 033 303 698
Daily News (Nueva York, N.Y.)
723 143
Tribune (Chicago) Newsday (Long Island, N.Y.) Chronicle (Houston) Sun-Times (Chicago)
673 508 572 444 550 763 485 666
Morning News (Dallas)
479 863
Chronicle (San Francisco)
475 324
Globe (Boston)
470 825
Post (Nueva York, N.Y.)
437 467
Arizona Republic (Phoenix) Inquirer (Philadelphia) Star-Ledger (Newark, N.J) Plain Dealer (Cleveland) Free Press (Detroit) Union-Tribune (San Diego) Register (Orange County, Calif.) Herald (Miami) Oregonian (Portland) Times (St.Petersburg,Fla.) Post (Denver)
435 330 428 895 407 026 382 933 378 256 378 112 356 953 349 114 346 593 344 784 341 554
a) Calcule la media, la mediana,
Q1 y Q3
b) Encuentre los centiles 15 y 90. c) Calcule el coeficiente de asimetría e interprete el resultado. d) Elabore un diagrama de caja e interprete el resultado.
290 885 285 776 283 589 281 596 271 425 259 317 258 726 258 726 251 172 246 528 245 351 243 818 243 453 237 229 235 786 232 112 230 223 228 144 227 715 219 891
Solución: a)
Media=
21951255 =439025 . 1 50
Mediana=338152 .5
L25=( 50+1 )∗0. 25=12. 75 .Entonces el valor de Q1 es 253060.5 L75=( 50+1 )∗0 . 75=38. 25 .Entonces el valor de Q3 es 474199.25 b)
L15=( 50+1 )∗0 . 15=7 .65 .Entonces el valor del decimoquinto centil es 238162.6
c)
L90=( 50+1 )∗0 .90=45 . 9 .Entonces el valor del decimoquinto centil es 755524.1
d)
s=321517.7493
CA=
3( Media−Mediana) 3(439025.1−338152.5) = =0.9412 s 321517.7493
El sesgo es positivo. e) El valor más pequeño es 219 891 y, el más grande 1 740 450; el primer cuartil es 253060.5, el tercer cuartil 474199.25.Aproximadamente 50% de los valores se encuentran entre 253060.5 y 474199.25.El valor de la mediana es 253060.5.La distribución es asimétrica con sesgo positivo.
