TRABAJO FINAL I.
PORTADA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial
Título: Carrera: Área Académica: Académica: Línea de Investigación: Investigación: Ciclo Académico y Paralelo: Alumno participante: participante: Módulo Docente:
Fuerza cortante y momento flexionante en vigas. Ing. Industrial en procesos de automatización. Mecánica. Mecánica. Abril 2016 - Septiembre 2016, Quinto “A”
María de los Ángeles Ángeles Maldonado Beltrán. Resistencia de Materiales. Ing. Fernando Urrutia.
II. INFORME DEL PROYECTO 1. PPYY 1.1 Título Fuerza cortante y momento flexionante en vigas.
1.2 Objetivos Objetivo General
Buscar contenidos contenidos relevantes y realizar ejercicios, sobre sobre fuerza cortante y momento flexionante en vigas.
Objetivos Específicos
Describir conceptos claros sobre el tema. tema.
Hallar la fuerza cortante y momento flexionante flexionante en vigas de los ejercicios tomados del libro de Singer.
Representar los diagramas de fuerza cortante y momento
flexionante de cada uno de los ejercicios.
1.3 Resumen El presente trabajo detalla de manera clara conceptos sobre fuerzas cortantes como flexionantes, definición de viga, tipos de apoyos, como las diversas fuerzas aplicadas a una viga llegan a producir una fuerza cortante y momento flexionante, además de presentar la resolución de ejercicios tomados del libro de Singer.
1.4 Palabras Palabras clave:
Fuerza cortante Fuerza flexionante Viga Apoyos Soportes Flexión Concavidad Convexidad Eje
1.5 Introducción Los miembros esbeltos y que soportan cargas aplicadas perpendicularmente perpendicularmente a sus ejes longitudinales se denominan vigas, en si las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes, estas se clasifican según el modo en que están soportadas, ejemplo:
Fig. 1 clasificación de vigas según el s oporte.
Las vigas se pueden considerar entre los elementos estructurales más importantes ya que estos se suelen usar para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano, una grúa o incluso los huesos del ser humano actúan como vigas. Debido a las cargas aplicadas las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante que en general varían de punto a punto a lo largo de la viga, para el correcto diseño de una viga es necesario determinar la fuerza máxima cortante y momento flexionante, una manera de hacerlo es mediante la representación de diagramas de cortante y momento que vienen dado por funciones de variación de la posición x a lo largo del eje de la viga, esta variación depende del comportamiento de las fuerzas que actúan sobre la viga [1]. En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión pura y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que generan en
1.4 Palabras Palabras clave:
Fuerza cortante Fuerza flexionante Viga Apoyos Soportes Flexión Concavidad Convexidad Eje
1.5 Introducción Los miembros esbeltos y que soportan cargas aplicadas perpendicularmente perpendicularmente a sus ejes longitudinales se denominan vigas, en si las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes, estas se clasifican según el modo en que están soportadas, ejemplo:
Fig. 1 clasificación de vigas según el s oporte.
Las vigas se pueden considerar entre los elementos estructurales más importantes ya que estos se suelen usar para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano, una grúa o incluso los huesos del ser humano actúan como vigas. Debido a las cargas aplicadas las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante que en general varían de punto a punto a lo largo de la viga, para el correcto diseño de una viga es necesario determinar la fuerza máxima cortante y momento flexionante, una manera de hacerlo es mediante la representación de diagramas de cortante y momento que vienen dado por funciones de variación de la posición x a lo largo del eje de la viga, esta variación depende del comportamiento de las fuerzas que actúan sobre la viga [1]. En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión pura y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que generan en
su interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia también por varios métodos, métodos, lo relacionado a las las deformaciones deformaciones producidas por por el efecto de las fuerzas externas. Finalmente se aborda el tema de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las reacciones externas, utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las deformaciones.
1.6 Marco Teórico VIGA: Es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicadas en la dirección de su eje. Clasificación de las Vigas: Por su forma
De alma Llena
Por Sus características Estáticas:
Isostáticas: Se pueden resolver usando las ecuaciones de equilibrio. El Nº de incógnitas es igual al Nº de ecuaciones
Fig. 2 vigas isostáticas.
Hiperestáticas: Para resolver se requiere otras condiciones adicionales , además de las ecuaciones de equilibrio El Nº de incógnitas es mayor que el Nº de ecuaciones
Fig. 3 vigas Hiperestáticas. Hiperestáticas.
Tipos de cargas: Concentradas o carga puntual.- es la que actúa sobre una superficie tan pequeña, es decir una área tan pequeña de la viga que se aproxima a un punto [2]. Las fuerzas concentradas se miden en Néwtones según el SI [ 3].
Distribuidas.- es la que actúa sobre un área o sección finita de la viga, puede ser uniformemente distribuida sobre su área o sección. Las cargas distribuidas también pueden ser variables o uniformes [2]. Las cargas distribuidas pueden ser sobre una superficie, como la presión del viento o del agua sobre una pared, o el volumen que es el propio peso de un cuerpo. Las cargas distribuidas se miden en unidades de fuerza referidas a la unidad de longitud, de área o volumen [3].
CUADRO DE CLASIFICAC CL ASIFICACIÓN IÓN [2]:
PUNTUALES O CONCENTRADAS
(fuerza, reaccionantes)
LINEAL
TIPOS DE CARGAS
UNIFORME
UNIFORME
VARIABLE
NO UNIFORME
DISTRIBUIDAS ROTACIONALES
(momentos, par de fuerzas)
MIXTA
Tanto las cargas concentradas o distribuidas pueden ser:
Estáticas.- cuando las cargas cuya magnitud o punto de aplicación (o dirección) varia lentamente. Dinámicas.- son las cargas que varían en el tiempo a una velocidad considerable [3].
TIPOS DE APOYOS FIJO (estable, sujeto, inmóvil, firme, asentado, seguro, invariable).- el cual genera dos reacciones, una perpendicular a la zona en contacto, evitando que el cuerpo se mueva en esa dirección perpendicular y otra paralela a la superficie evitando que deslice [2].
Fig. 4 apoyo fijo.
en orificios ajustados, ajustados, articulaciones o bisagras y Ejemplos: pernos sin fricción en superficies rugosas.
MÓVIL (no fijo, variable, inestable, corredizo, suelto, deslizante).- el cual genera una sola reacción, la cual es perpendicular a la zona en contacto evitando que el cuerpo se mueva en esa dirección perpendicular a la superficie en contacto [3].
Fig. 5 apoyo móvil.
Ejemplos: rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. EMPOTRAMIENTO (incrustado, clavado, embutido, introducido, encajado, atrapado, insertado, penetrado, engarzado).- el cual genera una fuerza sobre el cuerpo y un momento, como no se conoce la dirección de la fuerza se representa en sus coordenadas [2].
Fig. 6 empotramientos.
Ejemplos: viga incrustada en una pared. Tabla de puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional [4]. Apoyo o conexión
Reacción
Número de incógnitas
1 Rodillos o patines Superficie
Balancín Fuerza con línea sin fricción de acción conocida
1
Cable corto corto
Eslabón
Fuerza con línea de acción conocida
1 Collarin sobre una friccion barra sin friccion una ranura lisa
perno sin en
Fuerza con linea de acción conocida
2 Perno sin fricción rugosa articulación o bisagra
superfiecie
Fuerza de dirección desconocida
3
Empotramiento
Fuerza y par
Fig. 7 tabla de puntos de apoyo bidimensional.
Análisis de vigas Generalmente comprenden los siguientes pasos:
Determinación de las reacciones en los apoyos Determinación del diagrama de fuerza cortante Determinación del diagrama de momento flexionante Determinación de las deformaciones (giros, deflexiones)
Determinación de las reacciones en los apoyos.- se las determina planteando ecuaciones de equilibrio, y en su caso ecuaciones de condición, si la viga es isostática el número de ecuaciones será igual a número de reacciones. Determinación del diagrama de fuerza cortante.- para realizarlo se determina el valor de la fuerza cortante en distintas secciones de la viga, estos valores se trazan como ordenadas sobre lo largo del eje de la viga el cual representa las abscisas, se debe recordar que la fuerza cortante es igual a la sumatoria de todas las fuerzas actuactes a la izquierda de dicha seccion
o bien a la suma de todas las fuerzas actuactes desde la derecha de la seccion con signo cambiado.
= ∑ = ∑ Una manera de calcular la fuerza cortante es a traves de la relación matemática entre la carga W y fuerza cortante V que se demuestra:
Por integracion del valor de la fuerza será:
Donde C es una constante de integración que se determina a partir de condiciones de frontera.
Convección de signos La convención de signos usada es tal que si la suma de fuerzas a la izquierda de una sección tiene sentido hacia arriba es positiva, caso contrario se considera negativa, esta convección es congruente debido a que una fuerza cortante positiva produce también una acción interna positiva.
Fig. 8 Convención de signos de fuerza cortante.
Determinación del diagrama de momento flexionante.- Se calcula el momento fexionante en forma discreta o continua, se trazan las ordenadas en distintas secciones y se obtiene el diagrama correspondiente, se debe tener en cuenta que el momento flexionante en una sección es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas desde a izquierda de esa sección respecto del eje centroidal de la sección, o a su vez a la suma de todas las fuerzas que actúan a la derecha de la sección con signo cambiado.
= ∑ = ∑
Una manera de calcular los momentos flexionantes es mediante la relación matemática que existe entre la fuerza cortante y el momento flexionante, donde la fuerza cortante es la derivada del momento flexionante. De aquí se deduce que el momento flexionante se puede obtener integrando la fuerza cortante [5].
Signo de momento flexionante El momento flexionante es positivo si la flexión que produce en la viga presenta la concavidad hacia arriba, o si existen fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección de la viga. El momento flexionante es negativo si la flexión que producen en la viga presenta convexidad hacia abajo o si existen fuerzas que actúan hacia abajo arriba respecto de cualquier sección de la viga.
Fig. 9 Convención de signos de momento flexionante.
Determinación de las deformaciones (giros, deflexiones).- se realiza un diagrama de elasticidad el cual muestra un gráfico aproximado del comportamiento de la viga. Representación del diagrama de fuerza cortante y momento flexionante Estos permiten la representación gráfica de los valores de “V” y “M” a lo largo
de los ejes de los elementos estructurales. Se construyen dibujando una línea
de base que corresponde en longitud al eje de la viga (El emento Estructural,) y cuyas ordenadas i ndicaran el valor de “V” y “M” en los puntos de esa viga Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga la curva de la fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural. Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida uniformemente, la línea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al eje del elemento.
Ejemplo.- viga apoyada en sus extremos sometida a una carga puntual y una distribuida parcial .
Fig. 10 Viga sometida a cargas
Determinación de las reacciones transformando los apoyos en flechas indicando el sentido de la reacción y ejecución del primer corte:
Fig. 11 Representación de reacciones y primer corte a una distancia x desde la izquierda
Se realiza un diagrama de cuerpo libre para analizar las fuerzas que por equilibrio se obtendrá las ecuaciones para fuerza cortante y momento flexionante
Fig. 11 Ecuaciones para
V
y M para el primer corte desde la izquierda
Diagrama y análisis de las ecuaciones de V y M para el segundo corte:
Fig. 12 Ecuaciones para
V
y M para el segundo corte desde la izquierda
Diagrama y análisis de las ecuaciones de V y M para el tercer corte:
Fig. 13 Ecuaciones para
V
y M para el tercer corte desde la izquierda
Se analiza el último corte desde la derecha para demostrar que de este modo también suele hacerse, por general es a conveniencia y dependiendo de las fuerzas que intervienen en el sistema:
Fig. 14 Ecuaciones para
V
y M para el primer corte desde la derecha
Para graficar el primer diagrama de fuerza cortante es necesario ubicar un eje de referencia bajo el diagrama de cuerpo libre de la viga, con x como abscisas y V en kN como ordenadas, se realiza lo mismo para momento flexionante pero variando M en kN.m:
Fig. 15 Eje de coordenadas para el diagrama de fuerza cortante
Se procede a realizar el diagrama:
Fig. 16 Diagrama de cortantes
Se procede a realizar el diagrama de momento flexionante de la viga además de una representación de deflexión de la viga:
Fig. 17 Diagrama de momento y deflexión de la viga [6]
Relación entre carga y fuerza cortante El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera de una viga o elemento estructural (situada a una distancia, x, y o d, de su extremo izquierdo) es igual al valor del área de la carga de dicha sección
1.7 Conclusiones
Al estar sobre una viga actuando distintas cargas notamos que los esfuerzos se comportan de forma variada en cada sección, es así que esto depende de las fuerzas externas que atacan a la viga, tanto cargas y apoyos.
Se debe tomar en cuenta los cortes necesarios para analizar adecuadamente la viga una forma de hacerlo es contar el número de cargas que intervienen y a este valor restarle uno.
Los diagramas de V y M se construyen dibujando una línea de base que corresponde al eje de longitud de la viga y cuyas ordenadas indicaran el valor de V y M en los puntos de esa viga
El incremento del momento flector con respecto a la distancia en una sección cualquiera de la viga desde su extremo izquierdo es igual al valor del área del diagrama de fuerza cortante en la correspondiente sección.
1.8 Referencias bibliográficas [1] R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales, México: Pearson Educación, 2006. [2] F. Urrutia, Resistencia de Materiales, Ambato. [3] P. A. Stiopin, RESISTENCIA DE MATERIALES, Moscu: MIR , 1968. [4] F. Urrutia, Estática, Ambato. [5] O. M. González, Análisis estructural, México: Limusa, 2003. [6] «catarina.udlap.mx,» 4 Diciembre 2004. [En línea]. Available: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf. [Último acceso: 19 Agosto 2016].
2.10. Ejercicios
