ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS Y EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA Una carga transversal en la viga produce esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes en la sección transversal de la misma si tenemos:
Distribución de estos esfuerzos debe satisfacer las siguientes ecuaciones de equilibrio:
F x x dA 0
M x y xz z xy dA 0
F y xy dA V M y z x dA 0 F z xz dA 0
M z y x 0
Esfuerzo cortante en la superficie vertical de un elemento debe estar acompañado por el igual esfuerzo cortante en la superficie horizontal. Esto significa que así como tenemos esfuerzo cortante en una sección transversal, tendremos esfuerzo cortante en una sección longitudinal.
Esto se puede comprobar con un simple experimento. Si se tiene una viga en voladizo constituida por varias partes longitudinales sin unión entre las partes longitudinales (figura a)
Si esta viga así compuesta se carga ahora con una carga en su extremo libre (figura b), se deformará según muestra la figura. Nótese que las diferentes partes longitudinales se deslizan uno respecto al otro. Esto significa que si las vigas hubieran sido pegadas, en la junta se presentaría esfuerzo cortante longitudinal por la restricción a deslizamiento.
También nótese si a la viga se somete a un momento en el extremo (tendrá flexión pura), no habrá deslizamientos entre las partes longitudinales, o sea no habrá esfuerzos cortantes longitudinales. Tampoco habrá esfuerzos cortantes transversales debido a que la fuerza cortante no existe.
Aunque este deslizamiento no se produce realmente cuando se aplica una fuerza transversal P a una viga hecha de un material homogéneo y cohesivo como el acero, la tendencia al deslizamiento existe, lo cual muestra que los esfuerzos se presentan tanto en los planos longitudinales y verticales. En el caso de las vigas de madera, cuya resistencia al corte es más débil entre las fibras, la falla debida al corte ocurrirá a lo largo de un plano longitudinal en el lugar de un plano transversal. También nótese si a la viga se somete a un momento en el extremo (tendrá flexión pura), no habrá deslizamientos entre las partes longitudinales, o sea no habrá esfuerzos cortantes longitudinales. Tampoco habrá esfuerzos cortantes transversales debido a que la fuerza cortante no existe.
Se supone una viga prismática en voladizo sometida a carga transversal P.
Se saca un segmento ACA’C’ y se hace DCL de este segmento.
P’ y V’ son porciones de la carga y fuerza cortante respectivamente correspondientes al segmento.
El segmento debe estar en el equilibrio: considerando momentos respecto al eje neutro:
M Px
ydA
x
Donde
x
c
My I z
Px
Pxy I z
c
Pxy ydA dy F x 0 H x dA I z y I z A ' y
1
1
c
ydA Donde el integral es el momento de primer orden de parte del área de la sección con respecto yal eje neutro. Se le designa con “Q” y se calcula 1
c
Q ydA A' y y1
Donde A’ es la porción del área mientras eje neutro.
es la distancia del centroide de A’ hasta el
Resumiendo fuerza cortante longitudinal, H, será:
H
PQ x I z
Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada bien por encima o por debajo del punto en que q se calcula, y que I es el momento centroidal de inercia de todo el área de la sección transversal. Se nota que esta fuerza es proporcional a la longitud de la porción de la viga
x.
Fuerza cortante longitudinal por unidad de longitud será: H/x y se llama flujo a corte y se designa con “q”. Es la fuerza que deberían transmitir los conectores entre diferentes partes longitudinales de una viga. En el caso general, P es la fuerza cortante en la viga y flujo a corte se calcula:
q
VQ I
Ejemplo de aplicación Tres tablones de madera de sección 3x10 cm se unen por medio de clavos para formar una viga en voladizo que tendrá que soportar una carga de 200 kgf. Si cada clavo resiste una fuerza cortante de 40 kgf ¿a qué distancia “s” hay que colocarlos si se colocan de a dos?
DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN LA VIGA
Si se desprende de la viga un elemento de ancho Δx y con un corte horizontal, en este corte horizontal del área Δ A= Δxt actuará una fuerza cortante ΔH. El esfuerzo cortante promedio será:
prom
H q x VQ A t x It
Estos son los esfuerzos cortantes en un plano longitudinal, pero como los mismos esfuerzos cortantes se presentan en los planos perpendiculares, estos serán también los esfuerzos cortantes en una sección transversal.
Los esfuerzos cortantes varían a lo ancho de la sección: serán mayores cerca del borde lateral de la sección. Esta variación depende de la r elación alto/ancho (h/b) de la sección. Para una sección rectangular con b≤h/4, el esf uerzo cortante máximo no superará 0.8% al valor promedio calculado a lo largo del eje neutro.
En las superficies superior e inferior de la viga no habrá esfuerzos cortantes puesto que son superficies libres.
VQ It
Debido a que los esfuerzos cortantes son linealmente proporcionales al primer momento del área “Q” y este es máximo con respecto al eje neutro , se podría decir que el esfuerzo máximo se dará en el eje neutro de la sección, pero también es inversamente proporcional al ancho “t”, entonces esta conclusión es válida solamente en algunos casos como secciones rectangulares.
ESFUERZOS CORTANTES EN TIPOS COMUNES DE LAS VIGAS
En una sección rectangular, la distribución de los esfuerzos cortantes s lo alto de la sección será una función parabólica.
xy
max
VQ Ib
y 2 1 2 2 A c
3 V 2 A
3 V
En las secciones laminadas en acero tipo I o H (de patín ancho), designadas según normas AISC como W, S o M.
ave
max
ESFUERZOS CORTANTES EN LOS ELEMENTOS DE PARED DELGADA
Son secciones tipo I, H, C, tubos rectangulares o circulares La misma fórmula para calcular los esfuerzos cortantes se puede usar en estos casos también.
VQ It
Pero una sección longitudinal a lo largo del patín será una sección vertical y la fuerza horizontal en esta sección, ΔH, producirá esfuerzo cortante a lo largo del patín, τxz.
VQ
It V Aweb
En las secciones de pared delgada, los esfuerzos cortantes están dirigidos a lo largo de la pared (τxz), aunque puede haber también esfuerzos cortantes perpendiculares a la pared (τxy) pero los valores de estos serán muy pequeños (debido a que el espesor de la pared es mucho menor que su ancho) tanto que se acostumbra despreciarlos. Variación de flujo a corte, “q”, y de esfuerzos cortantes en diferentes secciones Secciones de patín ancho
El flujo y también los esfuerzos cortantes empiezan desde 0 en los puntos A y A’, crecen hasta alcanzar los máximos en el punto C y disminuyen hasta 0 en los puntos E y E’ Continuación en “q” y la fusión cuando pasa de las alas (patines) al alma sugiere analogía con fluidos
Sección tipo cajón
Si el espesor de la pared es constante entonces la variación del flujo a cortante a través de la sección depende solamente del primer momento del área. El flujo empieza con 0 en el punto A, se incrementa hasta alcanzar el máximo en los puntos C y C’ y después disminuye hasta 0 en el punto E.
Ejemplo: Sabiendo que el cortante vertical es 50 kips en una seccion laminada de acero w10x68, determine el esfuerzo cortante horizontal en la aleta superior en un punto a localizadoa 4.31 in. Del borde de la viga.
SOLUCION Se ha aislado la parte sombreada de la aleta cortado por la línea punteada que se pasa por el punto a. Q = (4.31 in. ) (0.770 in.) (4.815 in.) =15.98
CARGA ASIMETRICA EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA Cuando hay un plano vertical de simetría y la carga está en este plano, el elemento se deforma por flexión.
My x I
VQ ave It
Si no hay plano vertical de simetría y aunque la carga está en el centroide de la sección, el elemento se torcerá.
x
My
I
ave
VQ It
