ESFUERZO DE TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES Consideremos un eje circular unido a un soporte fijo en el extremo como se muestra en la figura. Si se aplica un torque T en el otro extremo, el eje quedas sometido a torsión y su extremo libre rota un ángulo ϕ llamado ángulo de torsión. Dentro de los ciertos límites en ángulo es proporcional a T al igual que a la longitud L del eje. El ángulo detorsión para un eje del mismo material y la misma sección, pero de longitud doble, se duplicara bajo el mismo torque T.Cuando se somete a torsión un eje circular, toda sección transversal permanece plana es decir mientras las diferentes secciones transversales a lo largo del eje rotan diferentes cantidades, toda sección lo hace como una losa rígida. El hecho de que las secciones de un eje circular permanezcan planas se debe a su simetría axial. Considérese los puntos c y d situados en la circunferencia de la sección transversal del eje y sean c`y d` sus posiciones después que el eje ha sido sometido a torsión. La simetría axial del eje y de la carga requieren que la rotación que hubiera llevado la debe ahora llevar d`a c`. Así c`y d`deben estar en una circunferencia y el arco c`, d`debe ser igual a cd . Todas las secciones están sometidas a al mismo torque T y un observador que mire el eje desde A concluida la carga hace que cualquier circulo dibujado en el eje se aleje de el. Se pondrá un observador en B para quien las cargas dadas parecen lo mismo (uno en dirección de las manecillas del reloj en la parte delantera y otro en dirección contraria a las agujas en la parte posterior, llegara a la conclusión opuesta es decir que el circulo se mueva hacia el. Ahora se determina la distribución de deformaciones cortantes en el eje circular de longitud L y radio c que se ha sometido a torsión en un ángulo ϕ. Extrayendo del eje un cilindro de radio r considérese el pequeño elemento cuadrado formado por 2 círculos adyacentes y 2 rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro después de aplicar cualquier carga. Como se somete el eje a un torque el elemento se transforma en un rombo. Como los círculos que definen 2 de los lados del elemento considerado aquí permanecen constantes la deformación adyacente ϓ debe ser igual al angulo entre las líneas AB y A`B. Para valores pequeños de ϓ debe expresarse la longitud de arco AA`como AA`= Lϓ. Pero por parte AA`=ƥ*ϕ o ϓ= ƥϕ/L Donde ϓ y ϕ están expresados en radianes. La ecuación obtenida muestra que, como pudo haberse anticipado, la deformación constante ϓ en un punto dado de un eje sometido a torsión es proporcional al ángulo de torsión ϕ. También muestra que ϓ es proporcional a la distancia ƥ de el eje hasta el punto considerado. Así la la deformación constante en el eje circular varia linealmente con la distancia al centro del eje.Se sigue que la deformación cortante es en la superficie del eje, donde ƥ=ϲ. Se tiene: ϓmax= cϕ/L eliminando ϕ de las ecuaciones puede expresarse la deformación cortante ϓ a una distancia ƥ del eje como: ϓ= ƥ/c(ϓmax)
ANGULO DE TORSION Consideremos el caso de un eje de longitud L y de sección transversal uniforme de radio c sometido a un torque T en su extremo libre recuérdese que el angulo de torsión ϕ y la máxima deformación cortante ϓmax se relacionan por: ϓmax=cϕ/L Pero en el rango elástico el esfuerzo cortante de fluencia no es excedido en ninguna parte del eje, la ley de hooke es válida y se tiene que ϓmax=Ʈmax/G o: ϓmax=ƮmaxG= Tc/jG Igualando los segundos miembros de las ecuaciones y despejando ϕ se escribe Φ=TL/JG Donde ϕ está en radianes. Se obtiene que el angulo de torsión es proporcional al torque T aplicado al eje. En el caso del eje AB de la figura deben considerarse 4 partes diferentes AC, CD, DE y E. el angulo total de torsión es decir el angulo que rota al extremo A con respecto al extremo B se obtiene añadiendo algebraicamente los ángulos de torsión de cada parte componente. Llamando Ti, Li,Ji y Gi el torque interno, longitud, momento polar de inercia de la sección y modulo de rigidez correspondientes a la parte i, el angulo de torsión total del eje se expresa como: ϕ=∑i(Ti*Li/Ji*Gi) El torque interno Ti en cada parte del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa parte y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción del eje localizada a un lado de la sección. El el caso del eje con sección circular variable la ecuación puede aplicarse a un disco de espesor dx. Entonces se dice que :dϕ=T/JG dx donde J es una función de x que debe determinarse. Integrando 0 a L se obtiene el angulo total de torsión del eje: ϕ=∫ Considérese el ensamblaje de la 3.25ª consta de 2 ejes elásticos AD y BE, cada uno de longitud L radio módulo de rigidez G, los cuales están unidos a ruedas dentadas conectadas en C. si el torque T se aplica en E ambos quedaran sometidos a torsión. Como el extremo D del eje AD. Como ambos extremos del eje rotan el angulo de torsión de BE es igual a la diferencia entre los ángulos de rotación ϕB y ϕE, es decir, el angulo de torsión es igual al angulo que el extremo E rota con respecto al extremo B. llamando este angulo de rotación ϕ se tiene:
SISTEMAS HIPERESTATICOS Para determinar los esfuerzos de un eje es necesario calcular primero los torques internos en las diferentes partes del eje. Los torques se obtienen d e la estatica dibujando los diagramas de cuerpo libre de la porción del eje a un lado de la sección y escribiendo que la suma de los torques en esa porción es cero. Hay situaciones en que los torques internos no pueden determinarse por medio de la estatica solamente. En efecto en tales casos los torques externos mismos es decir los torques ejercidos sobre el ejepor los soportes y conexiones no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre de todo el eje. Las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas por relaciones que incluyan las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la geometría del problema. Puesto que la estatica no es suficiente para determinar los torques internos y externos se dice que tales ejes son estáticamente indeterminados.
TRANSMISIÓN DE POTENCIA Las principales especificaciones que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que se va transmitir y la velocidad de rotación del eje. Para determinar el torque en el eje recuérdese que en dinámica elemental la potencia P asociada con la rotación de un cuerpo rigido sometido a un torque T es: donde ω es la velocidad angular en radianes por segundo. Pero ω=rf donde f es la frecuencia de la rotación es decir el numero de revoluciones por segundo. La unidad de frecuencia es y se lee en hertz (Hz).sustituyendo a ω en la siguiente ecuación se obtiene :
Si se usan unidades SI verifíquese que con f en Hz y T en N*m la potencia queda en N*m/s es decir en vatios (W). resolviendo la ecuación para T se obtiene el torque ejercido sobre el eje que transmite una potencia P a una frecuencia de rotación f.
Donde P, f y T están expresadas en las unidades indicadas anteriormente. Después de haber determinado el torque T que se aplicara al eje habiendo elegido el material por utilizar el diseñador llevara los torques de T y del máximo esfuerzo admisible a la ecuación elástica .despejando a J/c
Y se obtiene asi el mismo valor admisible para el parámetro J/c verifíquese que si se usan unidades SI, Testara en N*m, Ʈmax en pa( N/M) y J/c estará en . Cuando se usan unidades americanas la frecuencia esta dada en rpm y la potencia en caballos (hp). Es entonces necesario expresar la frecuencia en revoluciones por segundo8hertz) y la potencia en pies*lb/s o pulg*lb/s mediante el uso de las relaciones siguientes :
1 hp=550lb*pies/s=6600lb*pulg/s Si expresamos la potencia en pulg*lb/s la ecuación dará el valor del torque T en lb*pulg. Llevando este valor de T a la ecuación expresando Ʈmax en psi, se obtiene el valor del parámetro J/c en .
TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES Una barra cuadrada retiene la misma apariencia solo si se rota 90º o 180º. Siguiendo una línea de razonamiento similar a las usadas en la sección 3.3 se podría demostrar que las diagonales de la sección cuadrada de la barra y las líneas que unen los puntos medios de los lados de esa sección permanecen rectos. Considérese un pequeño elemento cubico en la esquina de una sección transversal de una barra cuadrada sometida a torsión y elíjanse los ejes coordenados paralelos a los ejes del elemento. Como la cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la superficie de la barra todos los esfuerzos en esa cara deben ser 0 refiriéndose a la figura 3.45 se escribe: Ʈyx=0 y Ʈyz= 0 Por la misma razón todos los esfuerzos en la cara del elemento perpendicular al eje z deben ser 0 y se tiene:Ʈzx=0 y Ʈzy=0 De la primera ecuación se desprende que: Ʈxy=0
y
Ʈxz=0
De modo que ambas componentes del esfuerzo cortante en la cara del elemento perpendicular al eje de la barra son nulas. Si se somete a torsión un modelo de caucho de barra cuadrada se verifica fácilmente que a lo largo de los filos de la barra no ocurren deformaciones y por tanto tampoco esfuerzos , mientras que las deformaciones y esfuerzos máximos ocurren a lo largo de la línea central de cada cara de la barra. Llamando L la longitud de la barra a y b el lado mas ancho y el mas angosto, respectivamente , de la sección transversal, T la magnitud de los torques aplicados a la barra , se tiene que el esfuerzo cortante máximo ocurre a lo largo de la línea central de la cra mas ancha de la barra y es igual a:
de otro lado el angulo de torsión puede expresarse como:
Los coeficientes dependen solo de la relación a/by se presenta en la tabla 3.1 para valores de dicha relación. Note que la ecuaciones son validas solo dentro del rango elástico. Tala 3.1 coeficientes para barras rectangulares sometidas a torsión
Nótese en la tabla 3.1 que para a/b los coeficientes c1 y c2son iguales . puede demostrarse que para tales valores de a/b se tiene C1=c2=1/3(1-0.630b/a (para a/b≥5 solamente) La distribución de esfuerzos cortantes en un elemento no circular puede visualizarse más fácilmente mediante la analogía de la membrana. Una membrana homogénea y elástica unida a un marco fijo sometida a presión uniforme en uno de sus lados constituye un caso análogo de la barra de torsión es decir la determinación de la deformación de la membrana depende de la solución de la misma ecuación diferencial parcial como la determinación de los esfuerzos cortantes en la barra más específicamente si Q es un punto de la sección transversal de la barra y Q`el punto correspondiente de la membrana El esfuerzo cortante Ʈ en Q tendrá la misma dirección que la tangente horizontal a la membrana en Q` y su magnitud será proporcional a la máxima pendiente de la membrana en Q`.
