“ ” Añ od el ac on s o l i d a c i ó nd e l Ma rd eGr a u
Facultad acultad:: ING. CIVIL
Docente: Daniel Albert Díaz Beteta Alumno: MACEDO LEVA ALF!EDO
A"i#natura: !E$I$%ENCIA DE MA%E!IALE$ %ema % ema:E$F&E!$'O EN VIGA$( FLE)ION $IM*LE Ciclo: III
%urno: MA+ANA
,&A!A'-/01
ESFUERZO EN VIGAS Introducción Anteriormente se han estudiado los efectos que tiene sobre una i!a las car!as e"ternas# es decir# !enerar efectos internos dia!ramados en forma de fuer fuer$as $as corta cortant ntes es % mome moment ntos os fle" fle"io iona nant ntes es&& En el 'rese 'resent ntee ca'( ca'(tu tulo lo## se estudiar)n los esfuer$os % deformaciones que son creados a 'artir de estos elementos# que son 'arte fundamental 'ara el dise*o de i!as# 'ues tanto el conce'to de esfuer$o como el de deformación est)n (ntimamente li!ados con la !eometr(a % material de cualquier estructura&
El conce'to de deformación de una i!a est) li!ado a la cura el)stica que se e"'licó en el ca'(tulo anterior# en donde la distancia que e"iste entre la i!a % dicha cura el)stica# llamada flecha# re'resenta la deformación que +sta sufre 'ara determinada condición de car!a& Este conce'to no se desarrolla en su totalidad# 'ues es en cursos 'osteriores en donde se hace el estudio de estas deformaciones % de la forma de calcularlas& Se estudia 'rimero el conce'to de los esfuer$os, en dónde la fuer$a cortante da ori!en a esfuer$os de corte# que %a se han estudiado anteriormente# % el momento fle"ionante !enera esfuer$os 'or fle"ión# un conce'to mu% im'ortante en el estudio de Resistencia de -ateriales# al cual se le da es'ecial atención 'or ser un conce'to nueo % de !ran im'ortancia en el estudio# es'ecialmente de i!as# 'ues +stas traba.an % su dise*o se ri!e 'rinci'almente 'or este ti'o de esfuer$os
ESFUERZO EN VIGAS Introducción Anteriormente se han estudiado los efectos que tiene sobre una i!a las car!as e"ternas# es decir# !enerar efectos internos dia!ramados en forma de fuer fuer$as $as corta cortant ntes es % mome moment ntos os fle" fle"io iona nant ntes es&& En el 'rese 'resent ntee ca'( ca'(tu tulo lo## se estudiar)n los esfuer$os % deformaciones que son creados a 'artir de estos elementos# que son 'arte fundamental 'ara el dise*o de i!as# 'ues tanto el conce'to de esfuer$o como el de deformación est)n (ntimamente li!ados con la !eometr(a % material de cualquier estructura&
El conce'to de deformación de una i!a est) li!ado a la cura el)stica que se e"'licó en el ca'(tulo anterior# en donde la distancia que e"iste entre la i!a % dicha cura el)stica# llamada flecha# re'resenta la deformación que +sta sufre 'ara determinada condición de car!a& Este conce'to no se desarrolla en su totalidad# 'ues es en cursos 'osteriores en donde se hace el estudio de estas deformaciones % de la forma de calcularlas& Se estudia 'rimero el conce'to de los esfuer$os, en dónde la fuer$a cortante da ori!en a esfuer$os de corte# que %a se han estudiado anteriormente# % el momento fle"ionante !enera esfuer$os 'or fle"ión# un conce'to mu% im'ortante en el estudio de Resistencia de -ateriales# al cual se le da es'ecial atención 'or ser un conce'to nueo % de !ran im'ortancia en el estudio# es'ecialmente de i!as# 'ues +stas traba.an % su dise*o se ri!e 'rinci'almente 'or este ti'o de esfuer$os
/educción de la fórmula de la fle"ión 0os esfu 0os esfuer er$o $oss 'rod 'roduc ucid idos os 'o 'orr el mome moment ntoo fle" fle"io ionan nante te son son llam llamad ados os esfuer$os de fle"ión# % +stos se 'ueden calcular a tra+s de la fórmula de la fle"ión# la cual dar) la relación entre dichos alores % la !eometr(a de la sección transersal de la i!a& 1a% 1a% qu quee de dest stac acar ar las las do doss clas clases es de esfu esfuer er$o $oss 'o 'orr fle" fle"ió iónn qu quee se 'resentan# relacionados 'rinci'almente 'or el ti'o de momento fle"ionante que les les da ori!en ori!en&& Esta Estass son son fle"i fle"ión ón 'ura# 'ura# que es la fle"i fle"ión ón causad causadaa 'or un momento fle"ionante constante# es decir# sin cambios en toda la lon!itud de la i!a, % fle"ión no uniforme# la cual se 'resenta cuando e"iste un cambio o es ariable el dia!rama de momento fle"ionante, esto ocurre cuando se tiene la 'resencia de fuer$as cortantes que tambi+n act2an sobre la i!a& 3ara deducir la fórmula de la fle"ión# se hacen las si!uientes hi'ótesis % consideraciones4 •
0as secciones 'lanas de la i!a# inicialmente 'lanas# 'ermanecen 'lanas&
•
•
El material del que est) hecho la i!a es de naturale$a homo!+nea % obedece a la le% de 1oo5e& El módulo el)stico es i!ual a tensión que a com'resión&
•
0a i!a es inicialmente recta % de sección constante&
•
El 'lano en el que act2an las fuer$as contiene a uno de los e.es 'ri 'rinc nci' i'al ales es de la se secc cció iónn rect rectaa de la i!a i!a## % las ca carr!a !ass ac act2 t2an an 'er'endicularmente al e.e lon!itudinal de aquella& 6789::;
3ara deducir +sta fórmula# se debe considerar la si!uiente fi!ura# la cual serir) 'ara se!uir el mismo 'rocedimiento que se utili$ó al deducir la fórmula de torsió torsión# n# es dec decirir## relacio relacionar nar median mediante te las con condic dicion iones es de equ equili ilibri brioo las deformaciones el)sticas .unto con la le% de 1oo5e& Esta relación determina la forma de la distribución de esfuer$os# que es lo que interesa& Fi!ura <=& Deducción de la fórmula de la flexión (deformaciones) O d>
d3
a
M
e
c
2
Su'erficie Neutra
a
c
c# 6E&N&;
?
M
e
% b
d
f
!
h 5
b
d# d
d>
R9 R:
Ada'tado de 3%tel % Sin!er& Sin!er& Resistencia de materiales& materiales& 3)!& 9:@ 0a fi!ura muestra dos secciones ad%acentes ab % cd# de lon!itud 'aralela# se'aradas una distancia d"& Al a'licarle los momentos res'ectios# las fibras !iran un )n!ulo d>, la fibra su'erior ac se acorta una distancia c8c ## % de acuerdo con esto# la fibra est) sometida a esfuer$os de com'resión que ori!inan su acortamiento& 0a fibra inferior bd se alar!a una distancia d8d ## 'or lo que la misma est) sometida a tensión& abe destacar la concaidad 'ositia de la i!a# se!2n lo e"'licado en la inter'retación de la cura el)stica# la 'arte su'erior de su sección transersal est) a com'resión % la inferior a tensión&
0a fibra ef# ubicada en el e.e neutro# contenida 'or un 'lano llamado su'erficie neutra 'ermanece con la misma lon!itud# % cualquier fibra ubicada dentro de +sta su'erficie no ar(a# 'or lo tanto# no est)n su.etas a nin!2n esfuer$o& /e acuerdo con lo anterior# las fibras ubicadas# %a sea en la 'arte su'erior o inferior de la su'erficie neutra# 'resentan diferentes com'ortamientos& Se anali$a una fibra cualquiera !h# con la misma lon!itud que la fibra ef# como se e en la fi!ura# % que se encuentra a una distancia B%C de la su'erficie neutra& Esta fibra est) sometida a tensión % tiene un alar!amiento h5& /icha deformación# que es una lon!itud de un arco de radio B%C % subtendido 'or un )n!ulo d># se 'uede determinar a tra+s de la fórmula de lon!itud de arco 6SD r>;# as(4 D r > δ D hk D y 6d >; S
3ara encontrar la deformación unitaria de la fibra que se est) anali$ando# se a'lica la fórmula D δ0# siendo 0 la lon!itud inicial !h de la fibra# 'ero 'ara el an)lisis % se!2n los datos del dibu.o# se utili$ar) la lon!itud ef# que es de la misma ma!nitud % que se 'uede e"'resar como la lon!itud de arco de radio ρ subtendida tambi+n 'or el )n!ulo d># entonces4 L D gh
D ef D ρ6d >;
Dδ L D hk ef D y 6d >;ρ6d >; D y ρ
Se debe recordar que el material obedece a la le% de 1oo5e# es decir# el esfuer$o que se 'resenta es 'ro'orcional a la fuer$a# as(4
D E D E 6y ρ; Esta 2ltima e"'resión se 'odr(a escribir tambi+n de la manera si!uiente4
D 6E ρ; y En donde tanto el módulo de elasticidad E como el radio de curatura de la su'erficie neutra ? son constantes# 'or lo que 'uede concluirse que el esfuer$o# en este caso esfuer$o fle"ionante# es directamente 'ro'orcional a la distancia B%C medida desde la su'erficie neutra# hasta la fibra que se este anali$ando# %a sea que +sta fibra est+ a tensión o a com'resión# 'ues tambi+n se tomó en cuenta la hi'ótesis de la i!ualdad del módulo el)stico 'ara cualquiera de estas condiciones de esfuer$o& abe destacar tambi+n que los esfuer$os 'or fle"ión que se 'resenten no deben de 'asar el alor del l(mite de 'ro'orcionalidad# 'ues de.ar(a de cum'lirse la le% de 1oo5e que ha sido fundamental 'ara la deducción de la fórmula hasta el momento& 3ara usos 'osteriores# la anterior e"'resión tambi+n se 'odr(a escribir de la forma si!uiente4 E ρ D y
3ara com'letar la deducción# se deben a'licar las condiciones de equilibrio % tomar en cuenta la 'ro'orcionalidad entre la distancia B%C % el esfuer$o fle"ionante# tal como se muestra en un elemento diferencial cualquiera de la sección que se ha estado estudiando 6fi!ura <9;# en donde la intersección de esta sección con la su'erficie neutra recibe el nombre de e.e neutro 6E&N&;# % en la cual se 'uede hacer una sumatoria de momentos# res'ecto a un 'unto ubicado en este e.e 6'unto O;# el cual no 'resenta nin!una reacción a las fuer$as e"ternas a'licadas& Fi!ura <9& Deducción de la fórmula de flexión (equilibrio) m)" -
45 5
O
E&N&
Recordar que la relación entre el esfuer$o % la fuer$a que lo 'roduce es 'or la fórmula 3 D A# 'ero como el an)lisis se reali$a 'ara un elemento diferencial# en realidad la fuer$a a'licada a una distancia B%H desde el e.e neutro queda definida como % dA&
M O D =
M 8 6 % ; 6dA; y D = M
D
J % y dA
Anteriormente se encontró la e"'resión que relaciona el esfuer$o con el radio de curatura# la cual es D % 6Eρ;# la que se a'lica a la fórmula anterior# considerando que el t+rmino Eρ es constante# as(4 M
J
D 6E ρ; 6y ; 6y ; dA : M D 6E ρ; y dA
J
J
en donde la e"'resión %: dA re'resenta el 'rimer momento de inercia I del )rea# res'ecto al e.e de referencia# que en este caso es el e.e neutro 6E&N&;# 'or lo que la ecuación queda de la manera si!uiente4 M
D E Iρ
Se des'e.a E? de la anterior e"'resión# 'ara que quede la relación si!uiente4 M I D E ρ Ksta tambi+n se relaciona con la forma de la ecuación en la 'rimera 'arte de la deducción 'ara la fórmula de la fle"ión# es decir4 M I D E ρ
D y
En donde el t+rmino E? est) com'uesto 'or constantes# 'or lo que se deben relacionar las ariables que se tienen en la i!ualdad# % queda la fórmula de la fle"ión as(4 σ = My /I
Ksta 'ro'orciona el alor de esfuer$o fle"ionante causado 'or un momento fle"ionante 'ara una fibra ubicada a una distancia B%C del e.e neutro&
Re!ularmente en el dise*o de una i!a interesan 'rinci'almente los esfuer$os m)"imos que se 'roducen dentro de +sta# 'or lo que dicha distancia B%C# 'ara la cual se 'resenta el esfuer$o m)"imo# se 'uede sustituir 'or # que es .ustamente la ubicación del elemento m)s ale.ado del e.e neutro# as(4
σmáx = MC /I El cociente I es llamado módulo de resistencia de la sección# al cual se 'uede desi!nar sim'lemente como S# 'or lo que la fórmula de la fle"ión adquiere la forma si!uiente4 σmáx = MC /I = M /S 0a utilidad del módulo de resistencia S radica en su em'leo 'ara i!as de sección constante# 'ues +ste est) %a definido 'ara el ti'o de sección que se 'resente# tal como lo obsera en la tabla si!uiente4 Labla VII& Cálculo del módulo de resistencia S de algunas secciones Tabla de ara el cálculo del módulo de resistencia S! seg"n la #ectangular
Circular llena
E&N&
h E&N& d
b
S = ' d /
S= Circular Tubular
E&N&
Triangular
r
h
R
c D :h@
E&N& b
S = ('/#) ( # * r )
S=
Ada'tado de 3%tel % Sin!er& Resistencia de -ateriales& 3)!& 9:<
Al anali$ar las distintas formas que se 'resentan 'ara la sección trasersal de una i!a, es im'ortante considerar que 'ara una sección trasersal rectan!ular o circular# los esfuer$os 'or fle"ión que se 'resentan son mucho ma%ores en los e"tremos que 'ara la 'arte media de la sección, esto crea una sensación de que la cantidad de material con que est) hecha la i!a no est) siendo a'roechada en su totalidad# 'ues se tiene una !ran )rea de material que no est) sometida a nin!2n esfuer$o& /ebido a esto % a la im'ortancia que .ue!a el momento de inercia con res'ecto a los esfuer$os 'or fle"ión que se 'roducen# se han creado 'erfiles comerciales 'ara i!as# como los que se describen en la fi!ura si!uiente4 Fi!ura <:& +erfiles comerciales en ,igas 'at(n alma
-iga erfil . (ala anc$a)
-iga erfil I
-iga erfil
-iga erfil C
Estos 'erfiles comerciales tienen la función de a'roechar de una me.or manera el material# as( como de aumentar el momento de inercia de la sección res'ecto del e.e neutro# %a que el alor de dicho momento es 'ro'orcionado 'or el teorema de e.es 'aralelos 6I D I o M Ad:;# que aumenta la inercia en función del )rea % del cuadrado de la distancia que se tiene res'ecto al e.e neutro# en este caso# del )rea de los 'atines en cada una de las secciones& 0a im'ortancia de aumentar el momento de inercia radica en la relación directa que e"iste en la fórmula de esfuer$o fle"ionante de esta ariable res'ecto al momento que 'uede so'ortar dicha i!a 6-D Ic;# en donde al aumentar el momento de inercia# hace que el alor del momento fle"ionante que so'orta la i!a# sea
ma%or&
0sfuer1o cortante en ,igas
Anteriormente se ha anali$ado el efecto que tienen las car!as transersales en una i!a# las cuales !eneran tanto momentos fle"ionantes# que son la causa de esfuer$os normales 'or fle"ión 6 D-cI;# como las fuer$as cortantes 'er'endiculares al e.e lon!itudinal de la sección& Estas fuer$as cortantes son la causa de los esfuer$os cortantes en i!as# los cuales son !enerados# tanto transersal como lon!itudinalmente& Esto se debe a que un esfuer$o cortante que act2a sobre al!2n lado de un elemento a siem're acom'a*ado 'or un esfuer$o cortante de i!ual ma!nitud que act2a sobre una cara 'er'endicular& Una forma m)s 'r)ctica 'ara demostrar la e"istencia de esfuer$os cortantes hori$ontales en una i!a se llea a cabo 'or medio de un sencillo e"'erimento# el cual consiste en ima!inar una i!a com'uesta 'or tablones# en donde la su'erficie su'erior e inferior de cada uno de los tablones es considerada lisa % que no est)n unidas entre s(# 'or lo que al a'licar una car!a trasersal har) que se deslicen uno res'ecto a otro& 3or otro lado# se 'odr(a considerar que las tablas s( se unen# entonces al a'licar la car!a trasersal se !eneran los esfuer$os lon!itudinales entre cada una de las tablas# que eitar)n el desli$amiento relatio# 'or lo que actuar)n en unidad# como re!ularmente se 'resenta en una i!a& El 'rocedimiento que se si!ue 'ara encontrar la fórmula de esfuer$os cortantes en una i!a no se describe en la 'resente tesis, sin embar!o se 'uede mencionar que este 'roceso es lleado a cabo considerando# tanto los esfuer$os cortantes hori$ontales# que son de i!ual ma!nitud que los erticales# los esfuer$os 'or fle"ión que son causado en una i!a sometida a fle"ión no uniforme# % la relación de 'rimera deriada entre la fuer$a cortante % el momento fle"ionante 6V D d-d";
/icho 'rocedimiento finalmente termina en la fórmula de esfuer$o cortante en i!as# que queda de la manera si!uiente4
= VQ /Ib
En donde la notación 'ara las distintas letras que se 'resentan es la si!uiente4
•
τ D esfuer$o de corte en el miembro que se est) anali$ando# ubicado a una distancia B%#C del e.e neutro&
•
D momento est)tico con res'ecto al e.e neutro del )rea trasersal 'arcial A## cu%o centroide est) ubicado a una distancia %# del e.e neutro&
•
V D fuer$a cortante interna resultante# obtenida del dia!rama de fuer$a cortante 'ara la ubicación del elemento que se est) anali$ando&
•
I D momento de inercia de la sección trasersal de la i!a res'ecto al e.e neutro&
•
b D ancho de la sección trasersal de la i!a&
3ara la fórmula anterior# es necesario que el material del que est) hecha la i!a sea de naturale$a homo!+nea % que se com'orte de una manera el)stico8 lineal# es decir# que los esfuer$os !enerados no sobre'asen el l(mite de 'ro'orcionalidad, adem)s# se asume que el módulo el)stico E es i!ual 'ara esfuer$os de tensión como 'ara esfuer$os de com'resión, adem)s +sta fórmula no es a'licada cuando se tienen i!as de sección semicircular o trian!ular&
abe destacar que la distribución de esfuer$os cortantes 'ara una i!a rectan!ular tiene forma 'arabólica# la cual ar(a desde cero en la 'arte e"trema su'erior e inferior de la sección trasersal % es m)"imo en su alor 'ara una fibra ubicada en el e.e neutro de dicha sección& Esto se 'uede com'robar al obserar que en la fórmula de esfuer$o cortante 6τ D VIb; la 2nica ariable de la que de'ende dicho esfuer$o es del momento est)tico del elemento que se est) anali$ando# el cual es m)"imo 'ara el niel del e.e neutro 6E&N&; % adem)s es nulo en los e"tremos# 'or lo que se 'uede determinar que el esfuer$o cortante m)"imo queda as(4 máx =
VQ 0232 /Ib
En el caso de 'resentarse una sección trasersal de diferente forma# como es el caso de las i!as I 6i!as de 'at(n ancho; % las i!as # en donde la sección trasersal tiene la forma de estas letras# el ancho b que se utili$a al a'licar la fórmula de esfuer$o cortante es el ancho del alma de la i!a, 'ues en com'aración# es en el alma donde se 'resenta una cantidad si!nificatiamente ma%or de esfuer$o cortante que la so'ortada en los 'atines& Cálculo de la inercia total de sección de una ,iga
omo se estudió anteriormente# uno de los elementos fundamentales en el estudio de los esfuer$os# tanto normales como tan!enciales que se 'roducen en una i!a# es el c)lculo correcto del momento de inercia de su sección res'ecto al e.e neutro# 'ues est) 'resente en cada una de estas fórmulas& /icho momento de inercia# tambi+n llamado inercia de rotación# es una 'ro'iedad que de'ende de la ubicación del e.e# alrededor del cual ten!a que rotar determinada masa& Se 'uede mencionar que es mucho m)s f)cil hacer rotar alrededor de un e.e una masa que se encuentra cerca de +ste que una ale.ada al mismo&
En el caso del c)lculo de inercia total de la sección trasersal de una i!a# cabe destacar la im'ortancia de la ubicación del e.e neutro, a continuación# se em'ie$a 'or e"'licar el c)lculo de dicha ubicación& 3ara el caso de secciones trasersales cuadradas# rectan!ulares o circulares# el c)lculo del e.e neutro es bastante sencillo# 'ues este se ubica e"actamente a la mitad de su altura, sin embar!o# en los 'erfiles comerciales de i!as ti'o I# L# o 0# es im'ortante conocer una forma 'ara encontrar la ubicación del e.e& Esta forma se 'uede definir de la manera si!uiente4 0232 = 4 Aŷ /4 A
El t+rmino del denominador re'resenta la sumatoria de las )reas A# que sur!en a 'artir de diidir la sección# de una forma arbitraria# en fi!uras conocidas 6re!ularmente rect)n!ulos; % el t+rmino del numerador re'resenta las sumatoria del 'roducto de cada una de +stas )reas 'or la ubicación de su centroide 6; medido desde un e.e de referencia 6datum;# que frecuentemente es la 'arte inferior de la sección& 0ue!o de calcular la ubicación de este e.e# en unidades lineales % medido a 'artir del e.e de referencia establecido# se 'rocede a buscar la inercia total de la sección con res'ecto al e.e neutro& 3ara el efecto# se debe utili$ar el teorema de e.es 'aralelos % la fórmula de inercia# la cual re!ularmente es la del rect)n!ulo# 'ues +sta es la fi!ura m)s com2n en la que se 'uede diidir una sección trasersal de cualquier i!a&
El c)lculo de la inercia total ser) la sumatoria de la inercia 'ara cada una de las )reas en las que se diide la sección trasersal# as(4 ILotal D 6Io M Ad :; Io D 6bh@;9: M 6bh; d : En donde las letras b % h re'resentan la base % la altura# res'ectiamente# de cada una de las )reas de forma rectan!ular en la que se diide la i!a# % d es la distancia desde el e.e neutro# %a calculado# hasta el centroide de cada una de dichas )reas& 3ara entender de una me.or manera el c)lculo del e.e neutro# as( como del momento de inercia# se 'ro'one el si!uiente e.em'lo# 'ara la i!a con sección trasersal con dimensiones que se muestran en la fi!ura si!uiente4 Fi!ura <@& Calculo de e5e neutro (0232) e inercia (I) de ,iga erfil I
0/ cm" cm"
3
2
0 cm
06 cm"
1
Datum
cm"
/ cm"
0a forma de sim'lificar el 'rocedimiento 'ara encontrar tanto el e.e neutro como la inercia de rotación de la sección trasersal de la i!a es a tra+s de la tabla que se muestra a continuación# en donde las fi!uras 9# : % @ son los rect)n!ulos re'resentados % numerados# en la que se 'uede diidir f)cilmente la fi!ura anterior 6fi!ura <@;# % el centroide 6; de cada una de ellas est) medido a 'artir del e.e de referencia llamado datum& Labla VIII& Cálculo de e5e neutro e inercia de rotación Tabla ara el cálculo de e5e neutro e inercia de rotación Io 9 7d
9@&@@@
&@<
9@7:&
9@<7&9
9
::&7<
:&97@
7&=
:TQ&9<
@
7&7<
9=&97@
:=7&<
:=<:&Q=
$
7
8
7
Io
9
:
:
Q=
9
Q
:
9
9
9Q
T
@
9
:
:=
9
D =7
&2< cms
%
7d
b
4
%
d 6P8
6ig
=
@
:omento de inercia total
I total (m )= 2<% 0>?
<%2%
abe destacar que todas las dimensionales de la tabla anterior est)n en cent(metros 6cms; 'ara la lon!itud# cent(metros cuadrados 6cm:; 'ara el )rea % cent(metros a la cuarta 6cmQ; 'ara el momento de inercia I, esto es de mucha im'ortancia# %a que re!ularmente se debe trasladar todo al sistema internacional# es decir# a metros& 0a 'ro'iedad m)s im'ortante en +ste an)lisis es la inercia de rotación# entonces sim'lemente se diide este alor# dado en cent(metros a la cuarta# dentro de cien millones 69== E7; 'ara obtener las dimensionales correctas# que son metros a la cuarta 6mQ;&
Cálculo del rimer momento del área @AB
El 'rimer momento del )rea# tambi+n llamado momento est)tico# es de im'ortancia 'ara 'oder calcular el esfuer$o de corte de cualquier elemento o fibra de la sección trasersal de una i!a& Se calcula 'or nieles# % cada niel corres'onde a la ubicación de dicha fibra&
J
Esta ariable est) definida 'or la inte!ral % dA# % se debe hacer res'ecto a un e.e de rotación# que en este curso es siem're el e.e neutro& En dicha inte!ral# la ariable B%C re'resenta la distancia del centroide del elemento diferencial de )rea dA res'ecto al e.e de rotación& 3ara sim'lificar el c)lculo del 'rimer momento de )rea# se cuenta tambi+n con el equialente de la definición anterior# el cual es4 ,
Q = A ŷ
En donde re'resenta el momento est)tico# res'ecto al e.e neutro de un )rea 'arcial 6A#;# situada entre la 'aralela al E&N& ubicada a la altura del niel# donde se desea encontrar el momento est)tico % el borde su'erior de la sección de la i!a % el t+rmino # es la distancia desde el centroide del )rea A # hasta el e.e neutro& El momento est)tico est) dado 'ues en unidades lineales de e"'onente tres 6m@# cm@# in@# etc&; % su alor m)"imo est) ubicado en el niel que coincide con el e.e neutro& /icho alor m)"imo es im'ortante# 'ues es el que sire 'ara encontrar el esfuer$o cortante m)"imo# entonces4 Qm)" D QE&N&
Frecuentemente se 'resenta un 'oco de confusión en el c)lculo del momento de inercia# 'ero +ste se sim'lifica# se!2n las recomendaciones si!uientes4 •
Ubicar adecuadamente el e.e neutro# 'ues es res'ecto a +l que se encontrar) el 'rimer momento del )rea en cualquier sección&
•
/efinir el niel o ubicación de la fibra# 'ara la cual se desea calcular el momento de inercia# as( como la distancia que e"isten entre +sta fibra# el e.e neutro % los e"tremos su'erior e inferior de la sección trasersal&
•
a definido el niel dibu.ar la sección trasersal de forma 'arcial# a 'artir del e.e neutro hacia cualquiera de los e"tremos# se!2n la ma%or coneniencia, re!ularmente se dibu.a hacia el e"tremo donde se encuentra ubicada el niel al cual se calcular) el momento de inercia&
•
/efinir adecuadamente el alor# las dimensiones % distancias entre los centroides % el e.e neutro de las )reas# que se forman al dibu.ar 'arcialmente la sección&
•
A'licar la definición del 'rimer momento del )rea 6 D A; % ealuar las dimensionales con las que se est) traba.ando&
Re!ularmente la dimensional que se utili$a es cent(metros 6cm;# % en este caso 'ara el momento de inercia# cent(metros con e"'onente de tercer !rado 6cm@;# 'or lo que 'ara hacer la conersión al sistema internacional % traba.ar con metros c2bicos 6m @;# se debe diidir la ma!nitud en cent(metros dentro de un millón 69 E7;&
3ara entender de una me.or manera lo anterior % a'licar las recomendaciones dadas# se 'ro'one la si!uiente fi!ura# en la que se calcula de diferentes formas el 'rimer momento de )rea 'ara los nieles que se muestran, as( se com'rueban las distintas formas en las que se 'uede traba.ar 'ara el c)lculo de este elemento& Fi!ura <& Cálculo del rimer momento del área a distintos ni,eles
:
niel 9
E&N&
:
niel :
9 9
niel @
9= cms
:
niel Q
: cms
3ara calcular el momento de inercia a cualquier niel# 'rimero se debe establecer la ubicación del e.e neutro, en este caso se hace de una forma mu% sencilla# 'ues 'or ser una sección rectan!ular# el e.e neutro queda e"actamente a la mitad de la altura de dicho rect)n!ulo 6 cms;& Ahora se 'rocede a calcular BC 'ara el niel 9# dibu.ando el )rea que corres'onde desde ese niel hasta cualquiera de los e"tremos# aunque es mucho m)s f)cil calcular el con el )rea 'arcial# que resulta de relacionar el niel con el e"tremo m)s cercano# en este caso# con el e"tremo su'erior
3ara inter'retar de me.or manera el c)lculo de al niel 9# se 'ro'one la fi!ura 77# la cual muestra el )rea 'arcial que debe de dibu.arse al relacionar el niel con los e"tremos# %a sea su'erior o inferior# se!2n sea el caso& abe destacar que si en dicha relación el e.e neutro queda dentro del )rea 'arcial# se debe introducir una conención de si!nos 'ara el )rea antes 6su'erior; % des'u+s 6inferior; del e.e neutro, es 'ositia el )rea 'arcial de ma%ores dimensiones# o se 'odr(a sim'lificar al a'licar el alor absoluto en el resultado& Fi!ura 77& Cálculo de A al ni,el A1
6
E&N&
0.7
A2 (-)
.7
A3 (+)
8
7
Se debe recordar entonces la definición del 'rimer momento del )rea# el cual establece que es el 'roducto del )rea 'arcial 'or la distancia del centroide de dicha )rea hacia el e.e neutro 6 D A;# % queda as(4 Q9 6extremo superior ; D A9 ŷ 9 Q9 D 6;6:;6Q; Q9 D Q= cms
@
Q9 6extremo inferior ; D A@ ŷ @ A: ŷ : Q9 D 6;6;6:&; 6@;6;69&; Q9 D 7:& ::& Q9 D Q= cms
@
As( 'ues# se 'ueden obserar las distintas o'ciones que se tiene 'ara calcular el momento est)tico 'ara cualquier niel& Se 'rocede entonces a calcular el 'ara los dem)s nieles# tomando la relación entre el niel al que se a a calcular % el e"tremo m)s cercano& Es de es'ecial im'ortancia destacar el c)lculo del 'rimer momento del )rea en el niel que coincide con el e.e neutro# 'ues es aqu( donde 'resenta su ma%or alor& A continuación# se calcula el 'rimer momento 'ara los dem)s nieles4 Q: D 6Q;6;6@; D 7= cms
@
QE&N& D 6;6;66:&; D 7:& cms Q@ D 6Q;6;6@; D 7= cms
@
QQ D 6:;6;6Q; D Q= cms
@
@
Es de mucha im'ortancia destacar que el )rea que se utili$a es la que tiene 'or l(mites# 'or un lado# el niel al que deseo calcular el momento est)tico# % 'or otro lado# cualquiera de los e"tremos de la sección# aunque el c)lculo resulta m)s f)cil al relacionar el niel con el e"tremo m)s cercano& 0a dificultad que sur!e al calcular el 'rimer momento de )rea 'ara una sección o 'erfil comercial se sim'lifica# al establecer claramente las dimensiones entre el e.e neutro % las )reas en las que se 'uede diidir las secciones 'arciales a 'artir de este e.e& 3ara com'robar lo anterior# se su!iere consultar el 'roblema resuelto del dise*o de i!a al final del 'resente ca'(tulo&
6lu5o de corte
El flu.o de corte# tambi+n llamado flu.o cortante# es el alor de la fuer$a cortante resistida 'or la i!a a lo lar!o de su lon!itud, es'ecialmente se utili$a este conce'to 'ara i!as con miembros com'uestos# en donde los 'erfiles se BarmanC con distintos elementos % donde se requiere de su.etadores# claos# 'ernos# soldadura o 'e!amento# a fin de eitar que las 'artes com'onentes se deslicen una res'ecto de la otra& El flu.o cortante estar) re'resentado 'or la letra BqC min2scula % se 'uede definir como la fuer$a cortante hori$ontal 'or unidad de distancia# a lo lar!o del e.e lon!itudinal de la i!a# es decir4 q D dF dx
3or lo que se tienen dimensionales de fuer$a 'or unidad de lon!itud 6Nm# lb'ie# W!cm# etc&;& Una forma m)s sim'lificada de encontrar el flu.o de corte es multi'licar el esfuer$o cortante tan!encial a la sección de la i!a 6 τ DVIb; 'or el ancho de la misma# 'or lo que queda de la manera si!uiente4 q D τb
q = VQ /I
Siendo q el flu.o de corte# V la fuer$a cortante m)"ima# 'ara un alor m)"imo de flu.o de corte, I el momento de inercia % el 'rimer momento del )rea al niel del elemento 'ara el que se quiere encontrar el flu.o de corte& omo 'uede obserar en la fórmula# e"iste cierta relación entre los esfuer$os cortantes# tanto ertical como hori$ontal, esto se debe a que en la a'arición de cualquier esfuer$o# +ste siem're iene acom'a*ado de otro esfuer$o en un sentido 'er'endicular al 'rimero&
0saciamiento de remac$es! tornillos u otro medio de unión
0as i!as de 'erfil comercial o i!as com'uestas se fabrican con dos o m)s 'ie$as de material unidas entre s( 'ara formar una sola i!a& Lales i!as se constru%en en una !ran ariedad de formas# con tal de satisfacer requisitos tanto estructurales como arquitectónicos& 3ara unir cada una de estas 'ie$as se utili$an claos# remaches# tornillos# 'ernos# soldadura# o 'e!amento& ada uno de los elementos con los que se arma la i!a so'ortan esfuer$os de corte en toda su lon!itud# 'ues se recuerda que +stos tienden a desli$arse entre ellos, adem)s destaca tambi+n la relación que esto tiene con el conce'to de flu.o de corte que se estableció anteriormente# la cual 'ro'orciona la ma!nitud de las fuer$a cortante en relación con la distancia hori$ontal& A continuación# se 'resentan al!unos 'erfiles de i!as com'uestas 'or arios elementos % la forma de unión entre ellos4 Fi!ura <7& +erfiles de ,igas comuestas
-iga I de madera
-iga I
unida con cla,os
unida con
-iga Ca5ón unida con
El 'rinci'al ob.etio al hacer i!as con distintos elementos es que +sta se com'orte como una i!a de un solo miembro# sin embar!o# un !ran obst)culo 'ara cum'lir esto es que los esfuer$os hori$ontales afectan 'rinci'almente las uniones entre cada uno de los elementos& Al dise*ar una i!a# se debe establecer el ti'o de unión que se em'lea# se!2n sea el material % los distintos requerimientos# 'or e.em'lo# en una i!a de madera re!ularmente se utili$an claos 'ara las uniones % se debe conocer la resistencia que tienen estos claos en relación con la fuer$a cortante lon!itudinal# que le afectar) al momento de traba.ar en la unión de una i!a# es decir# la fuer$a de corte del clao# en este caso& As( 'ues# el es'aciamiento queda definido de la forma si!uiente4
e = F - /q
Es BeC el es'aciamiento en unidades de lon!itud# FV la fuer$a de corte que so'orta el elemento que sire como unión % q el flu.o de corte en el niel de unión&
Diseo de ,iga or flexión E or cortante
0as i!as son elementos estructurales dise*ados 'rinci'almente 'ara so'ortar car!as 'er'endiculares a sus e.es lon!itudinales& 1asta el momento# se ha considerado 'roblemas de an)lisis donde se dieron las dimensiones % forma de la i!a % se calcularon los esfuer$os& 0os 'roblemas de dise*o utili$an los mismos conce'tos estudiados hasta el momento# siem're % cuando que la i!a 'or dise*ar sea de un material homo!+neo % con com'ortamiento el)stico8 lineal# 'or lo que las i!as de concreto armado quedan fuera de este ran!o&
El 2nico conce'to ane"o al dise*o de i!as de este ti'o es el c)lculo de sus defle"iones o flechas# lo cual no son otra cosa que la deformación que 'ueda tener una i!a con ciertas limitaciones# como 'or e.em'lo# cuando so'ortan cielos rasos hechos de materiales fr)!iles como el %eso& El dise*o de i!as consiste 'rinci'almente en encontrar una forma % tama*o en la i!a# en donde los esfuer$os de +sta no sobre'asen los esfuer$os 'ermisibles del material& El dise*ar una i!a corres'onde# 'ues# a encontrar la ca'acidad de car!a % el tama*o de la sección de una i!a# es decir# sus dimensiones# a 'artir de ciertas limitaciones como el alor de los esfuer$os 'or fle"ión % de los esfuer$os de corte, es decir# que se conoce la lu$ de la i!a % a tra+s de la inte!ración de car!as, tambi+n se conoce la forma % ma!nitud de la car!a % se requiere encontrar las dimensiones de su sección a 'artir de dos criterios4 el esfuer$o normal o 'or fle"ión % el esfuer$o de corte& Sin embar!o# se 'odr(a aclarar# que en i!as cu%a lu$ es corta % est)n fuertemente car!adas# las dimensiones se re!ir)n 'rinci'almente 'or el esfuer$o de corte# el cual ar(a con la fuer$a cortante& 3or otro lado# aquellas i!as que son lar!as suele ser casi siem're el esfuer$o 'or fle"ión el que limita la car!a o determina las dimensiones de la sección# %a que el momento fle"ionante aumenta con la lon!itud& Al dise*ar una i!a 'ara resistir esfuer$os de fle"ión# 'or lo re!ular comien$a calculando el módulo de resistencia a 'artir de la relación D -S# en donde se conoce el esfuer$o 'ermisible 6'erm;# el cual se basa en las 'ro'iedades del material# del cual se quiere construir la i!a# as( como del factor de se!uridad# % adem)s el momento m)"imo 6-m)"; se conoce se!2n la inte!ración de car!as# 'or lo que se 'arte de la fórmula si!uiente4 S = M máx / σerm2
3ara !aranti$ar que no se rebase el esfuer$o 'ermisible# se debe esco!er una i!a que 'ro'orcione un módulo de resistencia# 'or lo menos tan !rande que el obtenido en la ecuación anterior& 0as i!as se constru%en de una !ran ariedad de tama*os 'ara cum'lir diferentes 'ro'ósitos# % re!ularmente se esco!e la i!a que ten!a menor )rea trasersal % menor 'eso# es decir# la i!a m)s li!era que 'ro'orcione el módulo de resistencia requerido# as( como que cum'la cualquier otro requisito de dise*o im'uesto& 3ara facilitar el dise*o de i!as# se encuentran las dimensiones % 'ro'iedades de muchos ti'os de +stas en manuales de in!enier(a& 0as 'ro'iedades que 'ro'orcionan son# 'or e.em'lo# el 'eso 'or unidad de lon!itud# el )rea trasersal# el momento de inercia % el módulo de resistencia& 0os 'erfiles de acero estructural# que est)n estandari$ados 'or el American Institute of Stee !onstruction 6AIS;# que es el instituto americano que ri!e la construcción en acero 'ublica un manual que da las 'ro'iedades distintas secciones fabricadas en este material& 0os 'erfiles de acero estructural reciben una nomenclatura como X @= " :99# que si!nifica el 'erfil X# llamado tambi+n 'erfil de 'at(n ancho con una altura nominal de @= 'ul!adas % un 'eso de :99 libras 'or unidad de lon!itud& Se utili$an desi!naciones an)lo!as 'ara los 'erfiles S 6o i!as I; % los 'erfiles & 0as secciones de 'erfil 0 se desi!nan 'or las lon!itudes de los dos lados % el es'esor, 'or e.em'lo 0 " 7 " 9 denota una i!a con lados desi!uales que miden % 7 'ul!adas# adem)s de contar con un es'esor de una 'ul!ada& 0a ma%or(a de i!as de madera tienen dimensiones rectan!ulares que se desi!nan con dimensiones en 'ul!adas# como 'or e.em'lo Q " % re'resentan el tama*o sin ce'illar de la i!a& Sin embar!o# en el dise*o estructural se deben utili$ar las dimensiones reales de la i!a# que 'ara el e.em'lo anterior es de @& " <&: 'ul!adas des'u+s de ce'illarla&
As( 'ues# se 'odr(a resumir el dise*o de i!as 'or fle"ión % cortante al se!uir los 'asos si!uientes4
•
• •
•
•
Se calcula el módulo de resistencia 6S; requerido con base en el material % a la car!a uniforme dada 6S D -m)"'erm;& Se esco!e un tama*o de 'rueba 'ara la i!a Se a*ade el 'eso de la i!a a la car!a uniforme % se calcula un nueo módulo de resistencia Se com'rueba que la i!a ele!ida sea satisfactoria# es decir# que los esfuer$os 'or fle"ión % corte no sobre'asen los esfuer$os 'ermisibles del material& Si la i!a no satisface este criterio# se selecciona una i!a de ma%ores dimensiones % se re'ite el 'roceso&
En el dise*o de i!as# se deben considerar al!unas cuestiones 'r)cticas que se 'uedan 'resentar# 'or e.em'lo# en el dise*o de i!as de madera el contenido de humedad de la misma .ue!a un 'a'el mu% im'ortante en la ariación de su resistencia# as( como el estado f(sico de la madera# es decir# im'erfecciones# como nudos# hendiduras# !rietas# etc+tera& Un e.em'lo claro de esto es que los nudos tienen menor resistencia a la tensión# 'or lo que si se necesita dise*ar una i!a de sección sim+trica es me.or que la madera se coloque de una forma en el que el nudo traba.e a com'resión# se!2n la condición de car!a % a'o%os& Esto se 'uede saber a tra+s del esquema de la cura el)stica de la i!a&
+roblema resuelto
0a i!a de sección I# con las dimensiones que se muestra# se une en la 'arte su'erior 'or medio de claos que resisten una fuer$a m)"ima de corte de 9== WN# % en la 'arte inferior mediante 'e!amento& Si la i!a 'resenta la condición de car!a que se muestra# se deben reali$ar los si!uientes incisos4 a; Lra$ar los dia!ramas cortante % de momento# adem)s de la cura el)stica& b; /etermine los esfuer$os m)"imos a tensión % com'resión& c; /etermine el esfuer$o m)"imo de corte al que se somete la i!a& d; alcule el flu.o de corte que so'orta el 'e!amento& e; alcule el es'aciamiento de los claos& Fi!ura <<& +roblema resuelto n"mero trece 79Nm
9N
0/ cm" cm"
0 cm m
0m
0m
06 cm"
*e#amento cm" / cm"
a; 0os dia!ramas de cortante % momento fueron tra$ados % e"'licados en el 'roblema resuelto n2mero die$# % quedaron de la forma si!uiente4 Fi!ura 7T& DiagramasF roblema resuelto n"mero trece X 3
A
&E& :m
Y
/
9m
9m
M9=
V 6WN;
=
=
8:
" D 9&7 M 7& 6-m)"; M7
- 6WN8m; =
= 8Q
MQ =
b; 3ara determinar los esfuer$os m)"imos# tanto de tensión como de com'resión# se debe estudiar la concaidad de la cura el)stica, esto es 'ara encontrar el ti'o de esfuer$o que so'orta la sección trasersal de la i!a& omo se 'uede obserar# en la cura el)stica del 'resente e.em'lo# se muestra una concaidad totalmente 'ositia, 'or lo que se 'uede establecer que a 'artir del e.e neutro de la sección trasersal hacia la 'arte su'erior de la misma# act2an esfuer$os de com'resión# % en la 'arte inferior act2an esfuer$os de tensión& 3ara calcular la ma!nitud de dichos esfuer$os# se 'uede utili$ar la fórmula m)" D -I# en donde - re'resenta el momento m)"imo del dia!rama# 'ara este caso# 7& WN8m& es la distancia desde el e.e neutro de la sección trasersal hacia sus
e"tremos % la ariable I re'resenta el momento de inercia&
0as 'ro'iedades de la sección trasersal con las dimensiones que se muestra %a fueron calculadas en el ca'(tulo que le corres'onde 6er ')!& 9QT;, la inercia de la sección % la ubicación del e.e neutro es entonces4
E.N 2 D &2< cms = G2G&< m
I total (m )= 2<% 0>?
Se!2n la ubicación del e.e neutro# se 'odr(an mostrar en la si!uiente fi!ura las dimensiones de la sección de la i!a que interesan 'ara encontrar la distancia 'ara a'licarla en la fórmula de la sección4
Fi!ura
00.018 cm" E.N. Datum
Datum
1.=8> cm"
Com;re"i
onsiderando la distancia # corres'ondiente 'ara encontrar los esfuer$os m)"imos# se a'lica la fórmula de la fle"ión4
D M! I m)" 6!ompresi"n; D 67& E@;6=&9997@; 6@&
c; 3ara encontrar el esfuer$o m)"imo de corte# se!2n la fórmula τm)" D VE&N& Ib# se 'rocede a encontrar el 'rimer momento de )rea 'ara el niel ubicado en el e.e neutro de la sección& 3ara esto# coniene reisar el 'rocedimiento descrito a 'artir de la ')!ina 9= de la 'resente tesis& Se 'rocede entonces a dibu.ar la sección de inter+s con sus dimensiones# % a calcular el a niel del e.e neutro# as(4 Fi!ura =& Cálculo de A 0232F roblema resuelto n"mero trece 0/ cm" A1
cm"
00.018 cms ?.018 cm" E.N.
0 cm
A2
@ @0
QE&N& D Aŷ D A9ŷ 9 M A:ŷ : QE&N& D 69=;6:; 6T&97@ M 9; M 69;6T&97@; 6T&97@:; @
Q 0232 D :Q&:Q cm
D %2?% 0> m
ahora se a'lica la definición de la fórmula 'ara esfuer$o cortante m)"imo 6τm)"DVE&N&Ib;, donde V es el ma%or alor del dia!rama de fuer$a cortante 69= WN;# % la ariable b es la menor dimensión de la sección trasersal 69 cm;# 'or lo que se 'rocede4 τm)" D $QE&N& Ib
τm)" D 69= E@; 6:&Q:Q E8Q; 6@&
= &2?? :+a
d; 3ara calcular el flu.o de corte del 'e!amento# ubicado en la unión inferior de la i!a# se a'lica la fórmula q D VI, re'resenta en esta ecuación el 'rimer momento de )rea al niel que interesa# en este caso# a niel del 'e!amento& Entonces se 'rocede con la fórmula del 'rimer momento de )rea# calculado 'ara el niel del 'e!amento 6 DA;, A es el )rea sombreada# desde el niel del 'e!amento hasta el e"tremo inferior de la sección# % la ariable la distancia desde el e.e neutro hasta el centroide de dicha )rea& Fi!ura 9& A a ni,el del egamentoF roblema resuelto n"mero trece
Q&@< cms : cms
6.837 cms
A
:= cms Q D Aŷ
Q D 6:=;6:; 6Q&@< M 9; @ Q'e!amento D :@@&Q cm Q egamento = %2 0 > m
3or lo que el flu.o de corte del 'e!amento ser)4 q D $Q'e!amentoI q D 69= E@;6:&@@Q E8Q; 6@&
q egamento = &%2H 3/m
e; 3ara encontrar el es'aciamiento de los claos# que est)n en la unión su'erior de la sección trasersal# se a'lica la fórmula e D F V q, FV es la fuer$a cortante que resisten los claos# en este caso :== WN % q es el flu.o de corte a ese niel# 'or lo que se 'rocede# au"ili)ndose de la si!uiente fi!ura 'ara calcular el 'rimer momento del )rea4 Fi!ura :& A a ni,el de los cla,osF roblema resuelto n"mero trece 9= cms Niel de los claos : cms
99&97@ cms
Q D Aŷ Q D 6:;69=; 699&97@ 8 9; @
Q D :=@&:7 cms
@
Q D :&=@:7 E8Q m
3or lo que el flu.o de corte ser)4 q D $QI qclaos D 69= E@;6:&=@:7 E8Q; 6@&
q cla,os = ?2 3/m
'ara encontrar el es'aciamiento de los claos# se a'lica la definición4 e D F V qclaos
e D 69== E@; 6Q&@9Q E@;
e (espaciamiento de claos ) = 2 metros
