Esfuerzo por torsión en barras de sección circular.
El par par de tors torsió ión n es un mome moment nto o que que tien tiende de a torc torcer er un elem elemen ento to sobr sobre e su eje eje long longit itud udin inal al.. Se pued puede e ilus ilustr trar ar físicamente lo que ocurre cuando un par de torsión se aplica sobre un eje circular considerando que el eje está fabricado de a) un materi material al altame altamente nte elástic elástico, o, como como el hule, hule, figura figura 1-1a. 1-1a. T’ Cuando se aplica el par de torsión, los círculos las líneas long longit itud udin inal ales es en form forma a de cuad cuadrí rícu cula la marc marcad ados os en un principio en el eje, tienden a distorsionarse para formar el patr patrón ón most mostra rad do en la figu figura ra 1-1 1-1b, se obse obser! r!a a que que el torcim torcimien iento to ocasion ocasiona a que los círculo círculos s se conser!e conser!en n como como b T círcul círculos, os, que cada línea línea longit longitudi udinal nal de la cuadrí cuadrícul cula a se Figura 1-1 deforme en una cur!a que interseca los distintos círculos con el mismo ángulo.
"ara determinar la distribución de las deformaciones a en un eje circular de longitud L radio c que ha sido girado en un ángu ángulo lo
∅
#figura 1-$a% se e&trae una poción cilíndrica de
radio ρ se considera un peque'o elemento cuadrado que se encuentra en la superficie de dicha porción #figura 1-$b%. (uego al aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado se con!ierte un rombo #figur #figura a 1-$c%. 1-$c%. (a deform deformaci ación ón unitar unitaria ia cortant cortante e
γ en un
ele element mento o dado ado se mide mide por el camb cambio io en los ángu ángulo los s formados por los lados del elemento.
En la figu figura ra 1-$c 1-$c se pued puede e obs obser! er!ar que que para para !alo !alore res s peque'o peque'os s de γ , puede e&presarse la longitud de arco AA’ como AA’ ) L γ . *ambi+n se tiene que AA’ =
ρ ∅ , por lo
tanto se deduce que L γ = ρ ∅ . espejando
γ
γ =
Figura 1-2
ρ ∅ L
Se deduce de esta ecuación que la deformación a cortante es má&ima en la superficie del eje, donde
ρ
=
c .
γ máx =¿
∅
Eliminando
c∅ L
de las ecuaciones, puede e&presarse la deformación a cortante
γ a una distancia ρ del eje del cilindro como γ
ρ γ L máx
=
plicando la le de /oo0e para el esfuero la deformación a cortante donde
=
G es el módulo de rigide o módulo de corte del material. 2ultiplicando
ambos miembros de la ecuación por
G , nos queda
Gγ =
onde
τ Gγ
ρ Gγ máx L
Gγ = τ por tanto nos queda ρ τ = τ máx L
(a suma de los momentos de las fueras elementales ejercidas sobre cualquier sección trans!ersal del eje debe ser igual a la magnitud sobre el eje
∫ ρ ( τdA )=T Sustituendo
τ
∫ ρ
(
)
ρ τ dA =T L máx
Sacando de la integral t+rminos constantes, nos queda T =
τ máx L
∫ ρ dA 2
T
del par ejercido
onde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento τ máx τ J polar de inercia siendo ) ρ "odemos rescribir entonces la L e&presión de la forma τ T = J ρ
3inalmente, se obtiene lo siguiente τ
=
Tρ J
Dirección y variación del esfuerzo cortante. El esfuero cortante dado por la ecuación
τ =
Tρ J ha sido considerado actuando
en el plano de un corte perpendicular al eje. El esfuero cortante act4a ahí formando un par torsión resistente a los pares aplicados e&ternamente. (a Tρ τ = dirección de los esfueros cortante J coinciden con la dirección del par de torsión interno. Sobre planos paralelos adacentes de un elemento en forma de disco, esos esfueros act4an en direcciones opuestas. Sin embargo, esos esfueros cortantes que act4an en el plano de los cortes tomados normalmente al eje de una barra no pueden e&istir solos. 5um+ricamente, esfueros cortantes iguales deben actuar sobre los planos a&iales para satisfacer los requisitos de equilibrio estático de un elemento. (os esfueros cortantes que act4an en los planos a&iales siguen la misma !ariación de intensidad que los esfueros cortantes en los planos perpendiculares al eje de la barra. *ales esfueros cortantes pueden transformarse en un sistema equi!alente de esfueros normales actuando a 67 ° con los esfueros cortantes.
Deformación angular por torsión en barras de sección circular En ocasiones, el dise'o de un eje depende de la restricción de la cantidad de rotación o giro que puede ocurrir cuando el eje se somete a un par de torsión. demás, cuando se analian las reacciones de los estáticamente indeterminados, es importante poder calcular el ángulo de torsión del eje.
Si sustituimos las e&presiones resultantes del despeje de
γ
τ en la le de
/oo0e, obtenemos Tρ J
G
=
ρ∅ L
3inalmente, para barras de sección circular, el ángulo de giro es =
∅
TL JG
onde
∅
se e&presa en radianes. (a relación obtenida muestra que, dentro del
rango elástico, el ángulo de giro
∅
T
es proporcional al par de torsión
aplicado al eje.
Fórmulas para el cálculo del esfuerzo cortante y la deformación angular en barras de sección no circular. En algunas estructuras, podemos encontrarnos que e&iste un par de torsor aplicado sobre una !iga de sección trans!ersal no circular. (a deducción de las ecuaciones que describen la distribución de esfueros cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. 5uestro inter+s radica principalmente en conocer e&presiones que permitan relacionar las características geom+tricas de la barra el torque ejercido sobre ella, con el esfuero má&imo que se produce su respecti!a deformación. Estas
podemos hallarlas algunos ejemplos
e&presiones
tabuladas,
estos
son
