3. Análisis de error y estabilidad - Diagramas de Bode

Universidad SimóEn Boí var var Departamento Procesos y Sistemas

1 / Análisis de error y estabilidad Diagramas

Prof. Elimer Mata

ó n Diagramas de Bode Resumen: Identificaci ó 1. Definiciones planteadas: • Valor Pico de Resonancia (Mr): valor pico de la Magnitud de una función cuadrática en una frecuencia ωr .este valor se obtiene cuando la función del denominador alcance un mí nimo. nimo. El valor del Pico de resonancia se calcula:

Mr =∣G  jω ∣max = Mr =1 para ξ ≥0, 707 707 Mr =∞ =∞ para ξ  0 donde ωr se denomina Frecuencia de Resonancia, el cual es solo real para ξ < 0,707 Frecuencia de Resonancia ( r ): es la frecuencia donde ocurre el máximo valor de la magnitud. Este • valor de frecuencia se obtiene:

para 0 ξ  0,707 como ω r = ω n

 1− 2ξ

2

2. Utilizando los bosquejos de los diagramas de Bode de los diferentes factores de manera individual, debemos ser capaces de : •Dada una Función de transferencia, obtener el Diagrama de Bode de una función compuesta por los factores ya estudiados. •Dado un Diagrama de Bode, identificar la función de transferencia que originó tal respuesta frecuencial.

2ξ

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II.3. Análisis de error a partir de la respuesta Temporal Recordemos que: • Un cambio en el valor de la referencia provoca inevitablemente errores en la respuesta transitoria, pero también producen errores en la respuesta permanente. Este

último

es

producto de la incapacidad del sistema de seguir los cambios de determinados tipos de entrada. •La ganancia de una FT con realimentación unitaria, escrita en forma canónica, está directamente relacionada con el error en estado permanente y se obtiene:

s R s para H  s =1 1  GH  s  s 0

e ss = lim

•En cuanto a Precisión y Estabilidad: • Para un sistema: mayor tipo ⇒ mayor precisión • Para un sistema: mayor tipo ⇒ menor estabilidad De allí que el diseño sea un compromisos entre la precisión necesaria en el estado permanente y la estabilidad relativa del sistema



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El error en estado estacionario depende de la entrada y del tipo de sistema: nt rada ⇒ s cal ó n Sistema Ti p o0 1/(1+K) Ti po 1 0 Ti po

2

0

Rampa 1

Par á bola

∞ /K 0

∞ ∞ 1

/

K

Donde K es la ganancia del sistema a Lazo Abierto. Escalón: Tipo 0 ⇒ error finito Tipo 1 y 2 ⇒ error nulo • Rampa:

Tipo 0 ⇒ no sigue la entrada Tipo 1 ⇒ error finito Tipo 2 ⇒ error nulo

• Parábola:

Tipo 0 y 1 ⇒ no sigue la entrada Tipo 2 ⇒ error finito.



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Entonces existen diferentes constantes de error est ático: •Kp Error de posición estático:

K p = lim GH  s = GH  0  e ss =

•Kv Error de velocidad estático

K v = lim s GH  s =

•Ka Error de aceleración estático

K a = lim s GH  s =

s 0

s 0

2

s0

ess =

1 1 K p

1 K v

e ss =

1 K a

Estas constantes describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria H(s) de reducir o eliminar el e ss. En gral. con la finalidad de disminuir el e ss se puede: • Se aumenta el valor de la constante (ganancia a lazo abierto), mientras la respuesta transitoria sea aceptable, o • Se aumenta el orden de la FT. ⇒ lo que implica perder estabilidad.



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II.4. Análisis de error a partir del Diagrama de Bode de GH(s) Para identificar el tipo del sistema a partir de la Respuesta Frecuencial, basta con verificar la pendiente del diagrama logar í tmico de magnitud bajas frecuencias:

⇒ el sistema es tipo 0 •Si la pendiente es 20dB/dec ⇒ el sistema es tipo 1 •Si la pendiente es 40dB/dec ⇒ el sistema es tipo 2 •Si la pendiente es 0dB/dec

Luego, para determinar los errores est áticos, será necesario determinar la ganancia del sistema a lazo abierto (como ya se discuti ó anteriormente). Para ello utilizando el DBode de lazo abierto, realizaremos el análisis del error.



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1.

Determinación de las Constantes de error estático de posición Kp:

K p =∣GH  jω ∣ω  0



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1.

Determinación de las Constantes de error estático de velocidad Kv:

A bajas frecuencias el t érmino que tiene efecto es el polo en el origen. • M é todo 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyecci ón con la frecuencia ω = 1. • M é todo 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyecci ón con la la magnitud 0 dB.

20 log∣K v / jω1∣= 0 dB

⇒∣K v / jω1∣=1 ⇒ K v = ω 1



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1.

Determinación de las Constantes de error estático de aceleración Ka:

A bajas frecuencias el doble polo en el origen es el que tiene efecto. • M é todo 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyecci ón con la frecuencia ω = 1. • M é todo 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyecci ón con la la magnitud 0 dB. 20 log∣

K a

⇒ K a =ω

K a

 jωa  a

2

⇒

∣=0 dB ⇒ ∣ 2

 K =ω a

a

 jωa 

∣=1

2



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Utilizando los DBode podemos: • Trazar el Dbode de una FT dada. • Identificar a partir de una RF dada (Dbode ) una FT que origin ó dicho diagrama. • Identificar el tipo del sistema: seg ún la pendiente de la curva de magnitud a bajas frecuencias. • Calcular el valor de la constante de error correspondiente: K p, Kv y Ka. • Calcular el error en estado permanente del sistema ante una entrada dada.



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II.5. Ancho de Banda (BW) y Frecuencia de Corte ( ωb ) En el dominio de Frecuencia es común utilizar otras especificaciones de desempeño : 1. ANCHO DE BANDA (BW): Es el rango de frecuencias (desde ω → 0 hasta ω = ωb para el cual la Magnitud [dB] de la respuesta frecuencia de

Bode Diagram 40 20 ) B d ( e d u t i n g a M

FTLC no desciende de 3dB.

[dB] de la respuesta frecuencia de FTLC está 3 dB debajo del valor en la

← 3dB

20

BW

40 60 0

2. FRECUENCIA DE CORTE ( ωb ): Es la frecuencia en la cual la Magnitud

0

) g e d ( e s a h P

45 90

135

frecuencia ω = 0 180 1 10

← ωb 10

0

10

1

10

2

10

3



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El Ancho de banda (BW): indica la frecuencia a la cual la ganancia empieza a rebasar su valor de frecuenca baja (3dB). Por lo tanto es un valor que indica que tan bien o mal registrar á el sistema a una entrada sinosoidal. Además el Ancho de banda (BW) ese un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo, ya que este relaciona la respuesta frecuencial con la respuesta transitoria. ⇒ ⇒ á ⇒ e s n m t s a b s e m a e r s p u d e a s ta e v te a m n t e m n o a m p r o e d n e t o

⇒ e s m n e t s s b n o s e m a ⇒ e s e p u n te s t a ⇒ e v a n tte a m e n m tp o m d e a y o r

De allí que BW es un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo



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Considerando que BW relaciona la RF con la velocidad de respuesta transitoria, ser í a deseable tener sistemas con BW alto. Pero considerando : • A altas frecuencias la respuesta se verí a afectada por los ruidos, ya que la sensibilidad a los mismos es mayor a altas frec. • Existe una relación entre el tiempo de levantamiento y el valor de ξ. Recordemos que la Resp. Transitoria tiene un comportamiento oscilatorio mayor para valores de ξ muy bajos. Se concluye que BW no debe ser muy grande. ¿Para que sirve la definición de Ancho de banda (BW) ?

Esta definición permite comparar respuestas frecuencial de sistemas diferentes. Es un término comparativo



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En la industria es posible que se desee cambiar instrumentaci ón del Proceso. Para escoger el instrumento (siendo importante la velocidad de respuesta) es necesario comparar la RF del sistema con uno o mas instrumentos incorporados. Considerando que la definici ón del Ancho de Banda se ha establecido para FTLC, ¿Como podemos aplicar esta definici ón a la RF de FTLA?

El diagrama de magnitud de FTLC, siempre ser á tipo 0, ya que la funci ón será:

1 FTLC = 1  GH  s  Pero la FTLC tendrá la misma RF a altas frecuencias de la FTLA ( a pesar de no tener el mismo comportamiento a bajas frecuencias). Entonces ser á suficiente determinar BW en los D Bode de la FTLA, para concluir de manera comparativa respecto a otro sistema.



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II.6. Sistemas de Fase Mí nima y No Mí nima • Sistemas de Fase M í nima : Este tipo de sistemas tienen todos los polos y ceros de parte real negativa, es decir que todos se encuentran en el semiplano izquierdo.

•Sistemas de Fase No M í nima:

En este caso existen factores con parte real

positiva, es decir que se encuentren en el semiplano derecho. Estos factores modifican el comportamiento del diagrama de ángulo de fase de la RF del sistema, sin modificar el diagrama de magnitud del mismo. De allí que por simple inspecci ón del diagrama de fase se puede concluir sobre la existencia o no de factores de fase NO M í nima. El factor de retardo se considera un factor de fase no m í nima.



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II.7. Análisis de la Estabilidad Relativa basados en Resp. Frecuencial • Margen de Fase : Es la cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de cruce que se requiere para llevar el sistema de fase mí nima a la frontera de la inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la magnitud de la FTLA es 0 dB.

• Margen de Ganancia: Es el recí proco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la fase . Esta frecuencia es donde el ángulo de fase φ = 180 °, entonces:

1 K g = ∣G  jω1 ∣ K g [ dB ] = 20log K g =− 20log ∣G  jω1 ∣ K g [ dB ]  0 ⇒ Sistema estable ⇔ K g  1



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Margen de fase y Margen de Ganancia Bode Diagram Sistema Estable

50

Bode Diagram Sistema Inestable

100 80

) B d ( e d u t i n g a M

0

MG + 50

) B d ( e d u t i n g a M

60 40 20

MG

0 20

100 90

40 90

) 135 g e d ( e s a h P 180

) g e d ( e s a h P



MF +

225 10

135

180

MF

225 2

10

1

10

0

Frequency (rad/sec)

10

1

10

2

10

1

10

0

10

Frequency (rad/sec)

1

10

2

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