Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua Recinto Universitario “Rubén Darío”
Facultad de Ciencias e Ingenierías Departamento de Física APUNTES PARA LAS ASIGNATURAS FISICA GENERAL I E INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA UNIDAD I MEDICIONES Y VECTORES Cifras Significativas, Redondeo y Potencia de base 10 NÚMEROS EXACTOS Y NÚMEROS APROXIMADOS Todos los números que utilizamos en física podemos clasificarlos en números exactos y números aproximados. Los números que resultan del conteo de los elementos de los conjuntos finitos, son números exactos. Por ejemplo, el número de gotas de agua contados para un experimento, el número de oscilaciones de un péndulo, son números exactos. Exactos son son también los números que expresan resultados de suma, multiplicación, división, potenciación o radicación de números exactos o aquellos que podamos determinar con la exactitud que queramos, como por ejemplo, el número П. En física tenemos gran cantidad de números que expresan los resultados resultados de diferentes diferentes mediciones. Es claro, que los resultados en una medición están expresados por números aproximados. aproximados . Por ejemplo, el peso de un cuerpo, la duración de un intervalo de tiempo, la temperatura de un recinto se expresan mediante números aproximados.
OPERACIONES CON NÚMEROS APROXIMADOS Es obvio que en operaciones con números aproximados se obtengan también números aproximados. Para realizar operaciones con números aproximados debemos debemos de considerar algunas reglas. En estas reglas se utilizan los conceptos de cifras significativas y cifras decimales. decimales. Se denominan cifras significativas significativas de un número todas aquellas excepto los ceros situados a la izquierda de la primera cifra diferente de cero y los ceros situados a la derecha, al final del numero, si es que estas no son el resultado de una medición exacta, sino que han sido situados en lugar de cifras desconocidas o despreciadas. Por ejemplo, el número 1,234 tiene cuatro cifras significativas, el número 0,023 tiene dos cifras significativas, el número 32500 Si no se conocen exactamente las decenas ni las unidades, tiene tres cifras significativas, el número 0,0100 tiene también tres cifras significativas. Cifras decimales de decimales de un número son aquellos situadas a la derecha del punto decimal, incluyendo todos los ceros que son resultado de una medición exacta. Por ejemplo: el número 1,234 y el número 0,023 tienen tres cifras decimales, el número 0,1100 tiene cuatro cifras decimales. Los ceros a la izquierda no corresponden a cifras significativas, en tanto que los que están a la derecha pueden tenerlo. Ejemplo: desde el punto de vista experimental las cantidades 5m, 5,0m y 5,00m son diferentes; mientras la primera tiene una cifra significativa, la segunda tiene dos y la tercera tres. Las mismas cantidades escritas en kilómetros serán 0,005km, 0,0050km y 0,00500km. Supongamos que queremos expresar la última cantidad en milímetros, si decimos que es equivalente a 5000mm le estaríamos aumentando una cifra significativa, por tanto para evitar confusiones es conveniente la notación científica, así escribiremos 5.00 x 10 3mm ó equivalentemente 5.00 x 103km. Las constantes teóricas que aparecen en las formulas físicas o geométricas poseen un número infinito de cifras significativas, p.ej. en la expresión de la energía cinética se tiene un factor de un medio que multiplica a la masa por la velocidad al cuadrado, este factor de un medio no es 0.5 sino
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0.500000000000000000000000000000000... etc. (aunque no lo escribiremos así). Esto debe ser tenido en cuenta para el buen manejo de las cifras significativas. Ejemplo: supongamos que se quiere estimar el área de una placa rectangular que mide (51.3±0.1)cm de ancho y (0.7± 0.1)cm de largo, no es correcto entonces expresar el área como (35.91±5.13)cm2 ni como (35.9±5.1)cm2 sino que lo correcto es (36±5)cm 2. Fíjese que en este ejemplo se rompió la regla de las cifras significativas para el producto de los valores medios, sin embargo no se la violó para las incertidumbres. De ahora en adelante el criterio para el número de cifras significativas de los valores medios es que estos tengan el mismo número de decimales significativos que las incertidumbres, donde éstas solo tendrán una cifra significativa y satisfacen las reglas arriba enunciadas. Las dos principales reglas para el uso adecuado de cifras significativas son las siguientes:
Cuando se multiplican ó dividen varias cantidades, el número de cifras significativas en el resultado es igual al número de cifras significativas del número de menos cifras significativas que participa en la operación.
Ejemplos: 1. 43,215 x 3,12 = 135 2. 52,1 x 0,10 = 5,2 3. 44,25 / 33,5 = 1,32
Cuando se suman ó restan números, el número de decimales significativos del resultado debe ser igual al número de decimales significativos del sumando que tiene menos decimales.
Ejemplos: 1. 43,321 + 3,12 = 46,44 2. 4,637 - 0,52 = 4,12 3. 3,5 + 0,012 = 3,5
En el resultado de una potenciación o de una radicación se deben conservar tantas cifras significativas como tenga la base o el subradical.
Ejemplos: 1. ( 2,75)2 2. (10,0)2 3.
3
43,8
= 7,56 = 100
3,53
En la aplicación de estas reglas es necesario observar las normas sobre aproximación de los números hasta un determinado número de cifras significativas o un determinado orden decimal. Esto es la reducción de cifras tomando en cuenta las propiedades del redondeo.
Redondeo de números Por tanto, cuando tenemos cifras no significativas hay que eliminarlas, pero no simplemente borrándolas, sino redondeando. Es obvio que si tenemos que redondear 3,294438 a la primera cifra decimal es mucho más correcto escribir 3,3 que 3,2. Generalmente se dan las siguientes reglas de redondeo:
Si el valor absoluto de la cifra que se desea eliminar es menor que 5, entonces la cifra que ocupa el orden decimal anterior se deja tal y como esta, pero si la cifra que se desea eliminar es mayor que 5, la última cifra que debe conservarse, en esta caso, se aumenta en una unidad. Cuando es igual a 5, se le suma 1 al último dígito retenido si ese dígito es non y se elimina si es par. Para utilizar esta regla es necesario durante los cálculos intermedios conservar una cifra de reserva, o una cifra más, y aproximar solo al finalizar el cálculo.
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POTENCIAS DE 10: ¿Por que empleamos las potencias de 10?. Si nos dijeran que el radio de un átomo de hidrogeno es igual a 0,000 000 005 cm, o que una célula tiene cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, difícilmente seriamos capaces de asimilar estas ideas. Esto sucede porque tales números distan mucho de los valores que nuestros sentidos están acostumbrados a percibir, y se encuentran fuera de nuestro cuadro de referencias. En el estudio de la física encontraremos, a menudo, magnitudes como estas, las cuales están expresadas por números muy grandes o muy pequeños. El enunciado escrito u oral de tales números, por lo común es bastante incomodo y difícil. Para facilitar el problema, lo usual es presentar estos números empleando potencias de 10, como veremos en seguida. Este nuevo tipo de notación, además de ser más compacto, permite una comparación rápida de tales números y facilita la realización de las operaciones matemáticas. Como escribir los números con la notación de potencias de 10. Consideremos un número cualquiera. Por ejemplo, el numero 842. Nuestros conocimientos de álgebra elemental nos permitirán comprender que este número se puede expresar de la siguiente manera: 842 = 8,42 x 100 = 8,42 x 102 Observemos que el numero 842 se expresó como el producto de 8.42 por una potencia de 10 (en este caso, 102). Tomemos otro número; por ejemplo, 0,0037 Podemos escribir: 0,0073 =
3,7
3,7
=
1000
10
3
=
3,7 x 10-3
Una vez más, tenemos el número expresado por el producto de un número comprendido entre 1 y 10 (en este caso, 3,7) por una potencia de 10 (en este caso, 10 -3 ). Si nos basamos en estos ejemplos, llegamos a la conclusión siguiente: Cualquier número siempre puede expresarse como el producto de un numero comprendido entre 1 y 10, y una adecuada potencia de 10. Trate de ejercitarse en el empleo de esta regla analizando los dos ejemplos que siguen: a) 62300 = 6,23 x 10 000 = 6,23 x 104 b) 0,00002 =
2 100000
=
2 10
5
= 2 x 10-5
Observación. Una regla practica para obtener la potencia de 10 adecuada en la siguiente: a) Se cuenta el número de lugares que debe recorrerse el punto decimal para colocarlo a la izquierda; este número nos proporciona el exponente positivo de 10. b) Se cuenta el número de lugares que debe recorrerse el punto decimal hacia la derecha; este número nos proporciona el exponente negativo de 10.
Operaciones con potencia de 10. Ud. puede darse cuenta fácilmente de que sería complicado y trabajoso efectuar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. Cuando estos números se escriben con la notación de potencias de 10, las operaciones se vuelven mucho más simples, siguiendo las leyes establecidas por el álgebra para las operaciones con potencias. Los
ejemplos siguientes lo ayudaran a recordar dichas leyes: Página 3
a) 0,0021 x 30 000 000 = (2,1 x 10-3)x(3 x 107) = (2,1 x 3)x(10-3x107) = 6,3 x 10 4 b)
7,28 x10 4 x10
c) d)
7,28
10
5
10
8
x
8
5 x10
2,5 x10
5
4 3 3
5
5
3
x
10
25 x10
3 3
4
3
1,82 x10
125 x10
25 x 10
4
9
1,25 x10
5x10
7
2
Observe como se procede en la adición .
En los ejemplos presentados únicamente aparecen las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Cuando tratemos de la adición o la sustracción se debe tener cuidado de que, antes de efectuar la operación del caso considerado, expresemos en la misma potencia de 10 los números con los cuales se trabajará. Consideremos los ejemplos siguientes: a) 6,5 x 103 - 3,2 x 103 En este caso, como los números ya están expresados en la misma potencia de 10, podremos efectuar directamente la operación, como sigue: (6,5 x 103 - 3,2 x 103) = (6,5 – 3,2)x 103 = 3,3 x 103 b) 4,23 x 107 + 1,3 x 106 Inicialmente debemos expresar las cantidades en una misma potencia de 10, lo cual se puede hacer escribiendo la primera en función de, 10 6 . de la siguiente manera: 4,23 x10
7
1,3 x10
6
42,3 x10
6
1,3 x10
6
42,3 1,3 x10
6
43,6 x10
6
4,4 x10
7
El cálculo se puede realizar de otro modo, expresando la segunda cantidad en función de 10 7. tendremos: 4,23 x10
7
1,3 x10
6
4,23 x10
7
0,13 x10
7
4,23 0,13 x10
7
4,36 x10
7
4,4 x10
Así
7
Obviamente, procediendo de una manera o de otra se obtiene el mismo resultado.
EJERCICIOS. 1.- Sume las siguientes cantidades medidas y redondee. a). 13,875 4,6 57,82 + 0,0322
b).
10,80 1,375 +63,0004
c). 4,455 587450,11786 0,00032 + 1,1789
2.-Reste y redondee las cantidades medidas que a ontinuación se dan. a) 495.37 - 13.228
b) -12.3
57
c) - 14.5
668.8977
3.- Multiplique las siguientes mediciones y redondee. a) 455 x 1,75= b) 0,033 x 13,85 = c) 6758,3 x 1,22 =
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4.- Divida y redondee las siguientes cantidades medidas. a)
0,9874 1,2
=
b)
5877458 ,37 0,375
=
c)
575,725 8
=
5.- Efectúe las operaciones que se indican a) 21 200 x 0,042 + 7,5 x 10-5 x 4,0 x102 = b)
c)
0,000016
1440000
10
x
0,0144
5
3,7 x10
8
Resolver: 1) El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo, sobre tierra seca, es de unos 12.000.000.000.000.000 segundos. Expresar este tiempo como potencia de diez con una sola cifra,¿cuál es el orden de magnitud?
2) La velocidad de propagación de la luz en el vacío es igual para todos los cuerpos y colores: c = (2,99774 ± 0,00011).105 km/s. ¿cuál es el orden de magnitud?
3) Un rayo de luz tarda en atravesar una ventana, aproximadamente 1/100.000.000.000 segundos. ¿Qué tiempo tarda en atravesar un vidrio del doble que el anterior?, comparar los ordenes de magnitud de ambos tiempos, ¿cuántos vidrios como el primero, deberá atravesar, para que el orden de magnitud cambie?
4) Efectúe las siguientes conversiones: a - 24 mg kg b - 8,6 cg g c - 2.600 dm ³ l d - 92 cm ³ m³ e - 3 kg g
f - 3 kg g g - 9 cm m h-5h s i - 0,05 km cm j - 135 s h
5) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades? a-9 b - 90 c - 9000,0 d - 0,009 e - 0,090
f - 909 g - 0,00881 h - 0,04900 i - 0,0224 j - 74,24
6) Exprese en un sólo número: a - 3,59x10 ² b - 4,32x10-³ c - 3,05x10-5 d - 5,29x105 e - 6,94x10¹
f - 0,05x10 ² g - 1x108 h - 3,2x10-³ i - 7,56x104 j - 0,00011x105
7) Efectúe las siguientes operaciones: a - 1,29x105 + 7,56x104 b - 4,59x10-5 - 6,02x10-6 c - 5,4x10 ²x3,2x10-³
8) Exprese en notación científica: Página 5
a - 45,9 b - 0,0359 c - 45.967.800
d - 0,0005976 e - 345.690.000.000 f - 0,00011x105
9) ¿Cuántas cifras significativas deben aparecer en los resultados de las siguientes cuentas?: a - 5x0,00559 b - 0,7x9,48x10¹ c - 875x67
d - 0,3/0,0586 e - 0,658/9,59x10¹
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EJERCICIOS ADICIONALES (MISCELANEOS) I. Efectúe las siguientes operaciones y exprese el resultado utilizando las cifras significativas correspondientes. a) 756 + 37,2 + 0,83 + 2,5 = b) 3,2 * 3,563 = c) 5,6 * = 2.
Resuelva utilizando notación científica 7,28 x10
1.
4 x10
II.
5
8
0,0021 300000000
Efectué las operaciones correspondientes y responda en potencias de diez o viceversa.
(a) 56 321 000 = 56,321 x ___________________ (b) 43,7 x 105 = ___________________ x10° (c) 0,000365 = ________________
3-. Las siguientes cantidades están dadas en metros, súmelas y exprese las correctamente considerando las cifras significativas en las cantidades involucradas. (a) 25,340 + 5,465 + 0,322 = _________________ (b) 58,0 + 0,0038 + 0,00001= _________________
4-. Empleando la notación científica, escriba cada una de las siguientes longitudes en metros con un dígito a la derecha del punto decimal. (a) 0,163 mm= _______________________ (b) 47 nanómetros = ___________________
5.a) b) c) d) e)
6.a) b) c) d) e)
Efectúe los siguientes cálculos {(0,453924)(1,057618)(1,2 x 103)}/{(1,05 x 102)(2,54)(1,00081)} {(8,06 x 104)3(10,072 x 102)4(0,002549)}/{(16,272)(93.000,0)} {(0,254 x 10-4)3(0,015 x 10-6)(1,1 x 1021)}/{(6,0 x 1021)(1,35)} {(1,245)(0.760)(3,00 x 108)(0,002)}/{(5280)(0,355)(750)} {(2,30 x 104)3(2,42 x 10-2)3(13,6 x 104)/{(0,005)(0,355)(25101)6} Diga cuáles son los prefijos de las siguientes cantidades 6,10 x 10-2 m 35,3 x 10-3 l 9,29 x 10-6 N 1,66 x 10-27 g 931,5 x 106 V
Referencias Halliday-Resnick-Krane. (19 ). FISICA, TOMO 1. Editorial CECSA. Jaramillo Arango, Daniel (2004) GUIA DE LABORATORIO FISICA I . y Naturales, Instituto de Física. Universidad de Antioquia.
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MOSQUERA, CARLOS (2005) . MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Monsalve, Miguel. Notas de estudio. MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDADES Y DIMENSIONES. Tijerino, A. (1999). Apuntes CIFRAS SIGNIFICATIVAS, REDONDEO Y POTENCIAS DE 10. UNANManagua.
Apuntes para la Asignatura Física General I. Cifras Signaificativas, Redondeo y Potencias de 10. Escuela de Física, UNAN- Managua. Ubieta, Karla (2009).
UNIVERSIDAD DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE FISICA (2005). GUIA PARTE TEORICA Y METODOLOGICA, LABORATORIO DE FISICA I.
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