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eines 52

Teoría de estabilidad y control

Isaac A. García

Seminari de Sistemes Dinàmics Departament de Matemàtica Universitat de Lleida

































ISBN: 978-84-8409-422-7

© Edicions de la Universitat de Lleida, 2005 © El autor

Maquetación: Servei de Publicacions (UdL) Diseño cubierta: cat & cas Impresión:

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La reproducción total o parcial de esta obra por cualquier procedimiento, incluidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares mediante alquiler o préstamo público, queda rigurosamente prohibida sin la autorización de los titulares del copyright , y

































A mi mujer Susanna y a mi hija Nadia



































































´ Indice general Pr´ ologo ologo 1. Introducc Introducci´ i´ on y Ejemplos 1.1. Breve Breve historia historia de contr control ol autom´ automático . . . . . . 1.2. Algunos ejemplos f´ısicos . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2.1. 1. Part art´ıcul ıculaa en mo movi vimi mien ento to unid unidim imen ensi sion onal al 1.2.2 .2.2.. Termo rmostat statoo y tran transsfere ferenc nciia de calo alor . . .

IX

. . . .

1 1 3 3 3

2. Control Cl´ asico y Transformada de Laplace 2.1.. El prob 2.1 problem lema a cl´ clásico de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Transforma ransformada da de Laplace Laplace y funci´ función de transferencia . . . . . . .

5 5 5

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3. Soluci Soluci´ ´ on de Sistemas Lineales 3.1.. Soluci 3.1 Soluci´ón espec pectral de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. La matriz exp onencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. 3.1 .2. El teorem teoremaa de Cayle Cayley-H y-Hami amilto lton n y la matriz matriz exponen exponencia ciall 3.2.. Soluci 3.2 Soluci´ón de sistemas controlados . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. 3.2 .1. Existe Existenci ncia a y unicid unicidad ad de la soluci´ soluci´ on . . . . . . . . . . . 3.3.. Relaci 3.3 Relaci´ón on entre espacio de estados y el control clásico . . . . . . 3.4. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sistemas de Control Lineal

7 . 7 . 8 . 11 . 12 . 13 . 13 . 16 23

































´ INDICE GENERAL

VIII

6.2 6.2.2. .2. Sens ensibil ibilid idad ad a pert pertur urb baci acione ones exte exterrnas nas . . . . . . . . . . . 6.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Estabilidad 7.1.. Introd 7.1 Introducc ucci´ i´ on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Estabilidad en sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . 7.3. 7.3. Teor´ or´ıa de Lia Liapuno punov v de la esta estabi bili lida dad d . . . . . . . . . . 7.3.1. 7.3 .1. Aplica Aplicaci´ ci´ on a sistemas lineales . . . . . . . . . . 7.3.2. 7.3.2. Estabilidad Estabilidad mediante mediante linearizac linearizaci´ ión . . . . . . . 7.4. Estabilidad y control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Estabilidad entrada–salida . . . . . . . . . . . . 7.4.2. 7.4 .2. Estabi Estabiliz lizaci aci´ón on por realimentación lineal . . . . 7.4.3. 7.4 .3. Lineal Linealiza izaci´ ci´ on o n de sist sistem emas as de con control trol no line lineal ales es 7.5. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. C´ alculo de Variaciones 8.1. Un ejemplo: braquistocrona . . . . . . . . . . . . . . 8.2.. Introd 8.2 Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Ecuaciones de Euler–Lagrange . . . . . . . . . . . . 8.3.1. 8.3 .1. Lem Lema a fundam fundamen ental tal del del cálculo de variaciones 8.3.2. Ecuaciones de Euler–Lagrange . . . . . . . . 8.3 8.3.3. .3. Inte Integr gral alees prim primer eras as en caso casoss sim impl plees . . . . . 8.4. Extremos con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. 8.5. Ap´ Apéndi e ndice ce:: Mult Multip ipli lica cado dore ress de La Lagr gran ange ge . . . . . . . . 8.5.1. Problemas isoper perimétricos . . . . . . . . . . . 8.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ptimo 9. Contro Controll O 9.1.. Introd 9.1 Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.. Contro 9.2 Controll ópti ptimo mo:: método todo ham hamilto iltoni niaano 9.3. El regulador lineal . . . . . . . . . . . 9.4. Teor´ıa de Pontryagin . . . . . . . . . . 9 5 P bl s s lt s

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 49

. . . . . . . . . .

53 53 54 56 58 59 61 61 63 63 64

. . . . . . . . . .

75 75 77 77 77 78 80 81 82 82 85

. . . .

95 95 97 99 101 103

































IX

Pr´ ologo ologo El presente p resente libro de teor´ teor´ıa y problemas corresponde corresp onde a los lo s temas t emas básicos asicos de un un primer curso de introducción on al la teor te or´´ıa de control y estabilidad estabil idad en variables de estado. estado. El autor imparte imparte dicha asignatura asignatura en la titulaci´ titulaci´ on on de Ingen In genie ierr´ıa Técniecn ica Industrial aunque el libro es igualmente recomendable para estudiantes de otras otr as titul ti tulacio aciones nes técnicas. ecni cas. El objetivo principal es que el alumno disponga de un material preliminar para el curso, con los resultados principales y algunas demostraciones de estos. Adem´ as es interesante que el alumno pueda seguir paso a paso la resolución as on de numerosos problemas de los temas mencionados como ejemplificación de los conceptos y resultados teóricos, oricos, complementando complementando as´ as´ı los realizados en clase. Se ha procurado presentar las soluciones en la forma más as práctica actica y directa. Me gustar´ıa ıa que este est e libro facilitase fac ilitase el aprendiza aprendi zaje je de la asignatura asi gnatura y, agradecer´ cer´ıa cualquier sugerencia o comentario que pueda mejorarlo dirigi´ endose endose a la siguiente dirección on electrónica: onica: [email protected].

Dr. Isaac A. Garc´ Garc´ıa, Septiembre de 2004

































































Cap´ıtulo 1

Introducci´ on on y Ejemplos 1.1. 1.1.

Brev Breve e histo histori ria a de con control trol aut autom om´ ´ atico atico

En este cap´ cap´ıtulo introductorio revisaremos, en primer lugar, una breve introducción on histórica orica de la teor´ teor´ıa del control autom´ aut om´ atico. El llamado control por retroalimentaci´ es un mecanismo básico asi co a trav´ tr avés es on es del cual sistemas de naturaleza muy diferente (mecánicos, anicos, eléctricos, ectricos , biológiogicos, etc...) mantienen su equilibrio. Por ejemplo, un cambio en la temperatura corporal de 1 grado es, en general, una se¯nal n al de alg´ un un tipo de enfermedad. De hecho, de la teor´ teor´ıa de la evolución on de las especies de Darwin se desprende que la retroalimentación on sobre largos periodos temporales es responsable de tal evolución. on. Se puede definir el control por retroalimentación on como el uso de diferentes se¯ nales, determinadas a partir de la comparación nales, on del estado actual del sistema y del estado deseado, para controlar el sistema. Un ejemplo cotidiano de sistema controlado por retroalimentación on es el control de la velocidad de un coche mediante el uso de la diferencia entre la velocidad actual y la deseada para variar el



































2

Introducci´ on on y Ejemplos

La Revolución on Industrial en Europa introdujo nuevas máquinas aquinas que no se pod´ıan ıan regular con la mano. De este modo se iniciaron los primeros dispositivos de control automático. atico. Algunos de ellos son los reguladores de temperatura, de presi´ on, on, de velocidad, etc...

En 1840, el astrónomo onomo G.B. Airy desarrolló un sistema de retroalimentación on para colocar su telescopio mediante un control de la velocidad con el fin de compensar comp ensar la rotaci´ r otación on terrestre. t errestre. Airy descubrió que un dise¯ no no poco adecuado del sistema de lazo cerrado de retroalimentaci´ retroalimentación on produc produ c´ıa oscilaciones oscilacio nes indeseables indeseab les en el sistema. De este modo introdujo el concepto de inestabilidad y y la herramienta de las la s ecuaciones ecua ciones diferenciales diferenci ales en su análisis. alisis. J.C. Maxwell (1868) fue el primero en linearizar las ecuaciones diferenciales del movimiento para hallar la ecuación on caracter´ caracter´ıstica del sistema y analizar los efectos de los parámetros ametros del sistema en su estabilidad. En 1877, E.J. Routh muestra una técnica ecnica num´ erica erica para determinar determi nar cuando una ecuación on carac c aracter´ ter´ıstica ıst ica tiene tien e ra´ıces ıces estable est ables. s. Ese E se mismo m ismo a¯no, no, I.I. Vishnegradsky analizó la estabilidad de los reguladores usando ecuaciones diferenciales. En 1892, A.M. Liapunov introdujo un trabajo básico asico en teor´ teor´ıa de control, estudiando la estabilidad de sistemas no lineales usando una generalización del

































1.2 Algunos ejemplos f´ısicos

1.2.

3

Algunos Algunos ejemplos ejemplos f´ f´ısicos

1.2.1.

Part´ Part´ıcula en movimiento movimiento unidimensional

Consideremos Considere mos una un a part´ıcula ıcula que se s e mueve en una recta r ecta y sea s sea s((t) su distancia al origen en función on del tiempo. Supongamos que sobre la part´ part´ıcula act´ act ua u ´ a una fuerza por unidad de masa u1 (t) que le produce una aceleración on p ero tambi´ ta mbién en act´ ua una fuerza de rozamiento u2 (t) por unidad de masa. Si las únicas ua unicas cantidades cinemáticas aticas de inter´ interés es son la posición on de la part´ part´ıcula x1 (t) = s(t) y su velocidad x2 (t) = s˙ (t), aplicando las leyes de la mecánica anica clásica, asica, el estado de la part par t´ıcula ıcu la (x1 (t), x2 (t)) verifica el sistema de ecuaciaciones diferenciales x˙ 1 = x 2 , x˙ 2 = u1 (t)

− u2(t) .

Por supuesto, este sistema se puede escribir en notación matricial de la forma x˙ = Ax = Ax + Bu ,

(1.1)

siendo x =

  x1 x2

, u =

  u1 u2

, A =

  0 1 0 0

, B=



0 1

0 1

−



.

Se puede preguntar cómo omo puede llegar la part´ part´ıcula a un cierto punto fijo en el menor tiempo posible o bien con un consumo m´ m´ınimo de una cierta variable. variable. Matem´ aticamente se trata de determinar las variables de control u1 (t) y u2 (t) aticamente

































4

Introducci´ on on y Ejemplos

Esta Estass ecua ecuaci cion ones es se pued pueden en escr escrib ibir ir de la form formaa x˙ = Ax Ax + + bu, bu, siendo x = T (x1 , x2 ) , A =

−

(Ae Re + Ai Ri )/c p (Ai Ri )/ci

(Ai Ri )/c p (Ai Ri )/ci

−



, b =

  1/c p 0

.

El objetivo puede ser analizar un controlador que regule, mediante una válvula por ejemplo, la cantidad de calor u(t) que se debe suministrar dependiendo de la temperatura que marquen los termómetros. ometros.

































Cap´ıtulo 2

Contr ntrol Cl´ asico y Transformada de Laplace 2.1.

El problema problema cl´ asico asico de control control

La teor´ıa ıa de control contr ol clásica asica estudia sistemas con una entrada escalar u escalar u((t) R y una salida escalar z (t) R. Si se requiere que z (t) est´ est é lo más as cerca posible (en un cierto sentido) de una cierta se¯nal nal de referencia r referencia r((t), el sistema de control se llama servomecanismo. Un caso particular es cuando es constante, entonces

∈

∈

































6

Control Cl´ asico y Transformada de Laplace

Derivaci´ on:

L{z(j)(t)} = sj z¯ − sj−1z(0) − sj−2z(1)(0) − · · · − sz(j−2)(0) − z(j−1)(0) . (0) .

(2.3)

Tomando transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación (2.1) y teniendo en cuenta la propiedad (2.3) se tiene k( k (s)z¯(s) = β (s)u ¯(s), siendo los polinomios k (s) = sn + k1 sn−1 + + kn−1 s + kn , + β m−1 s + β m . β (s) = β 0 sm + β 1 sm−1 +

···

···

(2.4) (2.5)

Es habitual presentarlo de la forma z¯(s) = g( g (s)u ¯(s) , siendo g (s) =

β (s) , k(s)

(2.6)

(2.7)

on de transferencia . una función on racional conocida como funci´ Es preciso preciso resaltar resaltar que este m´ etodo etodo sólo olo es aplica aplicable ble a sistem sistemas as lineal lineales es con coeficient coeficientes es constante constantes. s. Nosotros Nosotros seguiremo seguiremoss ideas diferentes diferentes para atacar atacar los problemas básicos asicos del control.



































Cap´ıtulo 3

Soluci´ on on de Sistemas Lineales

































8

Soluci´ on de Sistemas Lineales on

Puesto que el conjunto de vectores propios w1 , . . . , wn son linealmente independientes, se obtiene = λ i ci , i = 1, . . . , n , c˙i = λ

{

}

cuya solución on es ci (t) = exp(λ exp(λi t) ci (0) , i = 1, . . . , n . Se tiene, en definitiva, que n

x(t) =



(0) exp( exp(λ ci (0) λi t)wi .

(3.2)

i=1

Sin embargo, interesa dar la solución on x(t) en función o n de x(0). Para ello, definamos la matriz W = [w1 , . . . , wn ] n (R)

∈M

col

los

. Sea W

1

la matriz inversa de W

































3.1 Soluci´ on espectral de sistemas lineales

9

Esta serie infinita de matrices es convergente 2 para cualquier A n (R) y para todo t R debido al hecho de que exp(zt exp( zt)) converje para cualquier pareja de escalares finitos z y t. Es claro que, a partir de su definición on (3.5), se tiene exp(O exp(O) = I n siendo O la matriz nula de orden n. n . Además, as, derivando deri vando término ermi no a término ermino (3.5) respecto resp ecto de t se verifica

∈ M

∈

d 1 exp(At exp(At)) = A + tA2 + t2 A3 + dt 2! = A exp(At exp(At)) , con lo cual

···



1 = A I n + tA + t2 A2 + 2!

 ···

d exp(At exp(At)) = A exp(At exp(At)) , dt de modo que podemos concluir que (3.4) representa la solución de (3.1).

































10

Soluci´ on de Sistemas Lineales on exp(O exp(On ) = I n , siendo On e I n las matrices nulas e identidad de orden n. n . Si A y B conmutan, es decir, AB = BA exp(AB)) = exp(A exp(A)exp(B )exp(B ). B A entonces exp(AB (exp(A (exp(A))−1 = exp( A).

−

(exp(A (exp(A))T = exp(A exp(AT ). d exp(tA exp(tA))/dt = /dt = A A exp(tA exp(tA). ). Sea P una P una matriz no singular tal que B = P −1 AP . AP . Entonces exp(B exp(B ) = − 1 P exp(A exp(A)P . P . Si D = diag λ1 , . . . , λn es una matriz diagonal con elementos λi en la diagonal principal, entonces exp(D exp( D) = diag exp(λ exp(λ1 ), . . . , exp(λ exp(λn ) es una matriz diagonal con elementos exp(λ exp( λi ) en la diagonal principal.

{

}

{

}

Las dos ultimas u ´ ltimas propiedades permiten calcular de forma eficaz la exponencial

































3.1 Soluci´ on espectral de sistemas lineales

11

(iii) El (iii) El cálculo alculo de la matriz exponencial es tedioso en muchas ocasiones, de modo que los manipuladores algebraicos son de gran ayuda en dicho cálculo. Por ejemplo, con el programa Mathematica, el comando MatrixExp[A] calcula la matriz exponencial de la matriz A. A .

3.1. 3.1.2. 2.

El teore teorema ma de Cayle Cayleyy-Ha Hami milt lton on y la matri matriz z expoexponencial

Sea A etodo etodo no es necesario suponer ni que los valores n (R). En este m´ propios de A son distintos ni que A que A diagonaliza. En primer lugar, denotamos por k por k((λ) el poli p olinomi nomio o caracte car acterr´ıstico ıst ico de d e A, A, y sean λi los valores propios de A con multiplicidad algebraica mi para i = 1, . . . , k, k, siendo k n. Por el Teorema de Cayley-Hamilton se sabe que k(A) = 0. Se efect´ ua ua la descomposición on en fracciones simples

∈M

≤



































12


ecuaci´ on (3.18) por la izquierda por pi (A), sumando para todo i desde 1 hason ta k y teniendo en cuenta (3.17) se obtiene la siguiente expresión de la matriz exponencial

 

mi 1 j

k

exp(At exp(At)) =

exp(λ exp(λi t) pi (A)q i (A)

− t (A − λ I )j i n



j! j !

 

.

(3.19)



































3.3 Relaci´ on o n entr entre e espa espaci cio o de esta estad dos y el con control trol cl´ cl´ asic a sico o

3.2. 3.2.1. 1.

13

Exis Existe tenc ncia ia y unic unicid idad ad de la la soluc soluci´ i´ on on

Presentamos a continuación on un resultado sobre la existencia y unicidad del problema de Cauchy asociado a una sistema lineal controlado por un control continuo continuo a trozos de gran utilidad en aplicaciones a la ingenier´ ingenier´ıa. Definici´ on on 3. El control u( u (t) : [t0 , t1 ]

→ Rm es continuo continuo a trozos en el intervalo



































14


es la llamada ll amada matriz ma triz “companion”. “com panion”. Observar que el polinomio poli nomio caracter car acter´´ıstico k( k (λ) de C es k (λ) = det(λI det(λI n C ) = λ n + k1 λn−1 + + kn .

−

···

Notar que q ue este polinomio caracter´ caracter´ıstico es justo el denominador de la función de transferencia que se obtiene si se aplican transformadas de Laplace a la ecuación (3.23).



































3.3 Relaci´ on o n entr entre e espa espaci cio o de esta estad dos y el con control trol cl´ cl´ asic a sico o

15

Comparando los coeficientes de esta matriz con los coeficientes que se obtienen de la identidad T T −1 = I n , es decir,

  

ξs 1 ξAs 1 .. .

ξs 2 ξAs 2 .. .

· ··· · · ··· · · ··· · · ··· · .. .

.. .

ξs n ξAs n .. .

  

= I n ,



































16


on del Teorema 6 es constructiva en el Nota 7. Observar que la demostraci´ sentido de que T se puede construir mediante (3.29) donde ξ es la soluci´ on de (3.31).

3.4. 3.4.

Prob Proble lema mass resu resuel elto toss





































34P

bl

lt

17





































18

S l

i´ on de Sistemas Lineales on





































34P

bl

lt

19





































20

S l

i´ on de Sistemas Lineales on





































34P

bl

lt

21



















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































52

Realimentaci´ on on Lineal Para comprobar que todo es correcto se puede ver que los valores propios de la matriz 10 6 A + bK = 35 19



− −

asociada al sistema en lazo cerrado son ρ1 =



−4 y ρ2 = −5.

































Cap´ıtulo 7

Estabilidad 7.1 7.1.

Int Introdu roducc cci´ i´ on on y definiciones

A diferencia d iferencia de los cap´ cap´ıtulos anteriores, los conceptos concepto s de d e este es te cap´ cap´ıtulo pueden ser aplicados a sistemas más as generales que los sistemas lineales. Consideraremos pues un sistema (en general no lineal) de ecuaciones diferenciales de primer orden x˙ = f = f ((x, t) , (7.1)

∈ Rn el vector de estados y f (x, t) = (f 1 (x, t), . . . , fn (x, t)) ∈ Rn

siendo x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))

satisfaciendo las condiciones del teorema de existencia y unicidad del problema de Cauchy asociado para una condición on inicial x(t0 ) = x 0 dada. En particular, si f si f i y ∂f ∂ f i /∂x j son funciones continuas en un entorno del punto ( t0 , x0 ) Rn+1 onomo si f no se verifi verifican can dichas dichas condic condicion iones. es. El sistem sistemaa (7.1) (7.1) se llama llama aut´ depende expl´ expl´ıcitamente del tiempo, es decir, son sistemas del tipo x˙ = f = f ((x). En caso contrario se llaman no aut´ on f f es lineal y autónoma, onoma, onomos . Si la función entonce entoncess se recuperan recuperan los sistemas sistemas lineales lineales x˙ = Ax = Ax estudiados estudiados anteriormente.

∈

Definici´ on o n 44. El estado x∗ Rn se llama punt p untoo cr´ıtic ıt icoo o punto singular o ∗ estado estacionario del sistema (7.1) si verifica f ( f (x , t) 0 para todo t.

∈

≡

Siempre supondremos que los puntos cr´ cr´ıticos son aislados , lo que significa que no hay otros puntos cr´ cr´ıticos de (7.1) en un entorno de x∗ .

cr´ıtico ıtico del sistema (7.1). Entonces, Entonces, Nota 45. Supongamos que x∗ es un punto cr´ si x(t0 ) = x∗ , utilizando la ecuaci´ on (7.1) se deduce que x(t) = x∗ para todo t t0 . El hecho de que las soluciones de (7.1) que comiencen en x ∗ permanezcan

≥

































54

Estabilidad

Intuitivamente, Intuitivamente, la estabilidad de un punto cr´ cr´ıtico x∗ de (7.1) medirá si las soluciones x(t) de (7.1) que comiencen “cerca”de x∗ permanecerán a n o no “cerca”para t ca”para t > t0 . No existe una unica u ´ nica definición on de estabilidad. Nosotros utilizaremos la siguiente definición on dada por Liapunov.

∈ Rn punto cr´ cr´ıtico ıtico del sistema sistem a (7.1). Entonces: (i) 0 es estable estable si para todo  > 0 existe un δ > 0 tal que  x(t0) < δ implica x(t) <  para todo t ≥ t0. Defin De finic ici´ i´ on on 47. 47 . Sea x∗ = 0

(ii) 0 es asint´ asint´ oticamente oticamente estable si es estable y adem´ l´ımt→∞ x(t) = 0. as l´ (i) 0 es inestable si no es estable, es decir, existe un  > 0 tal que para todo δ > 0 existe un x(t0 ) verificando x(t0 ) < δ y x(t1 )  para alg´ un t1 > t0 . Si adem´ as esto sucede para todo x(t0 ) con x(t0 ) < δ entonces entonces 0 completamente inestable. se llama completamente





   

≥ 

Si se conoce la expresión on expl´ expl´ıcita de la soluci´ on on general x(t) del sistema (7.1) para cualquier condición on inicial x(t0 ) = x 0 entonces entonce s también en se conoce la estabilidad de sus puntos cr´ cr´ıticos. Por ejemplo, el sistema lineal x˙ = Ax = Ax,, siendo A =



2 2

−3 −1



,

con la condición on inicial x(0) = (x (x1 (0), (0), x2 (0)) tiene por solución on general (utilizando los métodos etod os anteriormente estudiados) estudia dos) x1 (t) = x1 (0) (0) exp exp

    √  √  √  −    √  t 2

√ 615 x2(0)exp

15 t 2

cos

t 2

sin

+

15 t 2

3 sin 15

15 t 2

,

con una expresión on similar para x2 (t). Obviamente, debido al término ermino exponenexpo nencial ci al,, l´ım t→∞ x1 (t) = para cualquier valor inicial x(0) de modo que el origen del sistema lineal es inestable.

∞

Sin embargo, excepto para sistemas lineales y algún un otro tipo simple, no se conocerá a priori la solución on general x general x((t) del sistema de modo que este m´ etodo etodo no es de gran aplicación. on.

































7.2 Estabilidad en sistemas lineales

55

Rn y A con x n (R). Suponiendo que A sea no singular, es claro que el unico u ´ nico punto cr´ cr´ıtico del sistema sistema (7.2) es el origen, origen, de modo que tiene sentido hablar de la estabilidad del sistema lineal (7.2) aunque nos refiramos a la estabilidad del origen de (7.2).

∈

∈ M

Definici´ on on 48. Sean λk C, con k = 1, . . . , n, los valores propios de la matriz A n (R). Denotemos por (λk ) a la parte real de λk . Entonces A se llama matriz matriz de estabilidad estabilidad o bien de Hurwitz Hurwitz si (λk ) < 0 < 0 para todo k = 1, . . . , n.

∈

∈ M

 

 

Teorema 49. Sean λk , con k k = 1, . . . , n, los valores propios de la matriz A. El sistema (7.2) es: (i) asint´ oticamente estable si y s´ olo si A es una matriz de estabilidad. (ii) inestable si existe alg´ un k tal que (λk ) > 0 > 0 .

 

(iii) completamente inestable si (λk ) > 0 > 0 para todo k = 1, . . . , n.

 

Demostraci´ on de (i). Sólo olo probaremos la condición on suficiente de (i) en el caso de que todos los valores propios de A sean diferentes. La solución on del sistema (7.2) con la condición on inicial x(0) = x = x0 viene dada por x(t) = exp(At exp(At))x0 . Utilizando las propiedades de las normas matriciales se tiene exp(At)) x0  . x(t) ≤  exp(At

(7.3)

Realizaremos la demostraci´ on on sólo o lo para el caso en que todos los valores propios λ propios λ k de A de A son son distintos. Entonces se puede aplicar la fórmula de Sylvester (3.14), es decir, n

exp(At exp(At)) =



Z k exp(λ exp(λk t) ,

k=1

siendo Z siendo Z k matrices constantes que sólo olo dependen de A de A y y de sus valores propios. Tomando normas se tiene n

 ≤ 

 exp(At exp(At))

k=1

Z k

 | exp(λ exp(λk t)| .

√ −1, se tiene que exp(λ exp(λk t) = exp((λk )t) exp(i exp(i(λk )t) , de modo que el módulo odulo | exp(λ exp(λk t)| = exp((λk )t). Se tiene pues que Como λk = (λk ) + i (λk ), siendo i =





n

 ≤ 

 exp(At exp(At))

Z k exp( (λk )t)





(7.4)

































56

Estabilidad

eorema 49, los casos dif´ dif´ıciles ıciles en el estudio de Nota 50. Observar que tras el Teorema la estabilidad del sistema (7.2) son aquellos en los que alg´ un valor propio λj de A sea o bien nulo o bien imaginario puro, es decir, (λj ) = 0.



Es fácil acil demostrar el siguiente resultado de gran utilidad en aplicaciones. Proposici´ on o n 51. Sea el polinomio k(λ) = λ3 + aλ2 + bλ + bλ + c c R3 [λ]. Todas las la s ra´ ra´ıces ıces de k (λ) tienen parte real negativa si y s´ olo si a > 0, b > 0, c > 0 y ab > c.

∈

7.3.

Teor´ eor´ıa de Liapunov Liapunov de la estabilidad estabilidad

En esta sección on estudiare estudiaremos mos la estabilida estabilidad d de los puntos puntos cr´ cr´ıticos de un sistema (7.1) no necesariamente lineal pero si autónomo. Sin pérdida erdida de generalidad se estudiará en muchas ocasiones la estabilidad del origen, ver la Nota 46. Por lo tanto, el ojetivo es estudiar la estabilidad del punto cr´ cr´ıtico x∗ en el sistema x˙ = f = f ((x) , f ( f (x∗ ) = 0 . (7.5) La teor´ teor´ıa de Liapunov de la estabilidad para este tipo de sistemas consiste en generalizar generali zar el concepto de energ´ energ´ıa V que V que aparece en los sistemas conservativos en mecánica, anica, donde es bien sabido que un punto cr´ cr´ıtico es estable si la energ´ energ´ıa tiene un m´ınimo en dicho punto.

on V : Rn R de clase C 1 , se define la Definic Defi nici´ i´ on on 52. Dada una funci´ ˙ de V respecto del sistema (7.5) como la siguiente derivada derivada orbital V direccional n dV ∂V ˙ = V = x˙ i = V.f . dt ∂x i i=1

→



∇

Nota 53. N´ otese que, dada una soluci´ on x(t) del sistema (7.5), se tiene

dV (x(t)) ˙ (x(t)) = dV ( V ( V . dt Defin De finic ici´ i´ on on 54. 54 . La funci´ on V : D Rn R con x∗ = 0 de Liapunov para el sistema (7.5) si verifica lo siguiente:

⊂

(i) V

→

∈ D es una funci´ función on

∈ C 1(D).

(ii) V es definida positiva, es decir, V (0) V (0) = 0 y V ( V (x) > 0 > 0 para todo x x = 0.



∈ D con



































7.3 Teor´ıa de Liapunov de la estabilidad

57

Teorema 55 (Liapunov) 55 (Liapunov).. (i) El punto pu nto cr´ıtico ıti co x∗ = 0 del sistema (7.5) es eson de Liapunov definida en un entorno D Rn table si existe una funci´ con 0 D.

⊂

∈

(ii) El punto oticamenete estable si punt o cr´ cr´ıtico x∗ = 0 del sistema (7.5) es asintóticamenete 0 D existe una funci´ on de Liapunov definida en un entorno D Rn con 0 ˙ es definida negativa, es decir, V (0) ˙ (0) = 0 y V ( ˙ (x) < 0 para todo V V tal que V x D con x = 0.

⊂

∈

∈



Demostraci´ on . Daremos una prueba sólo olo para el caso bidimensional, es decir 2 x = (x1 , x2 ) R . En primer lugar exploremos algunos aspectos geom´ etricos etricos de las funciones 2 R es definida positiva en un definidas positivas. Está claro que, si V : R 2 R del origen, entonces V tiene un m´ entorno D ınimo aislado en el origen. Esto implica que las curvas de nivel

∈

→

⊂

V −1 (c) = x

V (x) = c } { ∈ R2 | V (

en el plano de fases x1 x2 son curvas cerradas rodeando al origen para c R positivo y peque¯ no. no. En el siguiente paso, queremos determinar cómo omo cruzan las soluciones x(t) del sistema x˙ = f = f ((x) a las anteriores curvas de nivel de V de V .. Para verlo, calculamos la derivada orbital de V V seg´ un un el siste sistema ma x˙ = f = f ((x), es decir,

−

∈

˙ (x(t)) = ∂V (x(t))x˙ 1 + ∂V (x(t))x˙ 2 . V ( V ∂x 1 ∂x 2 Por supuesto, esta expresión on coincide con la del producto escalar del vector gradiente V ( V (x) y del vector f ( f (x) de modo que

∇

˙ (x) = f ( V ( V f (x). V ( V (x) = f (x)

 ∇V ( V (x) cos θ , siendo θ el ángulo angulo formado por los vectores ∇V ( V (x) y f ( f (x). Recordemos que el vector ∇V ( V (x) es perpendicular a la curva de nivel de V V que pasa por x y con ∇



˙

































58

Estabilidad

Recordemos que m existe puesto que el subconjunto de R2 de puntos x con x =  es  es cerrado y acotado y por lo tanto compacto. Ahora tomemos un δ tal que 0 < 0 < δ  tal que V que V ((x) < m para todo x todo x con x Dicho δ existe existe ya que δ . Dicho δ V es V es una función on continua con V (0 V (0,, 0) = 0. Sea x(t) la soluci´ on on del sistema que pasa por el punto x0 R2 para tiempo t = 0. Si se toma x0 δ δ entonces x(t)  para todo t 0 ya que ˙ V ( V (x(t)) 0 implica V ( V (x(t) V ( V (x0 ) para todo t 0. Hemos probado pues la estabilidad del origen. (ii) Se (ii) Se demuestra de manera similar.



≤ ≤

≤

  ≤

 ≤ ≤

∈

 ≤ ≥

≥

Por supuesto, una de las principales dificultades que uno se encuentra cuando quiere utilizar la teor´ teor´ıa de estabilida estabilidad d de Liapuno Liapunov v consiste consiste en buscar buscar la función on de Liapunov. Una situación on simple consiste en buscar formas cuadráticas aticas definidas positivas como funciones de Liapunov.

atica V ( Lema 56. Una forma cuadr´ V (x1 , x2 ) = ax21 + 2bx1 x2 + cx22 con a, a , b, c 2 es definida positiva si y s´ olo si a > 0 y ac b > 0.

−

∈R

olo la necesidad (la suficiencia sigue razonamienDemostraci´ on . Probaremos sólo tos análogos). alogos). Supongamos pues que V V es definida positiva. Entonces, como V ( V (x1 , 0) > 0) > 0 0 para todo x1 = 0, se debe tener a > 0. Tomemos ahora un x ˆ2 = 0 fijo de modo que V que V ((x1 , ˆ x2 ) > 0 > 0 para todo x todo x1 . As A s´ı, el poli p olino nomi mioo p( p(x1 ) = V ( V (x1 , ˆ x2 ) no puede tener ra´ ra´ıces reales. En consecuencia, su discriminante 4(b 4( b2 ac) ac) debe ser negativo.





−

7.3. 7.3.1. 1.

Apli Aplica caci ci´ o on ń a sistemas lineales

Consideremos de nuevo el sistema lineal x˙ = Ax = Ax ,

(7.6)

con x Rn y A on on mostraremos cómo omo se puede aplicar n (R). En esta secci´ a los sistemas lineales la teor´ teor´ıa de Liapunov. Para ello ensayaremos ensayaremos la siguiente

∈

∈M

































7.3 Teor´ıa de Liapunov de la estabilidad

59

Es fácil acil ver que Q es una matriz simétrica etrica puesto que P lo P lo es. Esto es debido a que QT =

−(AT P + P A)T = −(P T A + AT P T ) = −(P A + AT P ) P ) = Q .

˙ dada en (7.9) es una forma cuadrática. Por lo tanto la expresión on de V dada V atica. ˙ , es decir, fijar Q Es habitual fijar V , V fijar Q y y calcular V calcular V o o equivalentemente calcular una soluci´ soluci´ on on P de P de la ecuación on matricial de Liapunov (7.8). Los siguientes teoremas son una herramienta teórica orica con grandes aplicaciones en la teor´ teor´ıa de control óptimo optimo como veremos en cap c ap´´ıtulos posteriores. post eriores. Teorema 57 (Liapunov). (Liapunov). La ecuaci´ on matricial de Liapunov (7.8) verifica lo siguiente:

on (7.8) tiene una ´ unica soluci´ on P s imétri et rica ca para para cada cada Q si simétriri (i) La ecuaci´ P sim´ ca fijada si y s´ olo si para cada par de valores propios λi y λ λj de A A se verifica λi + λj = 0.



(ii) Si A es una matriz de estabilidad, para cada Q definida positiva existe una unica ´ soluci´ on de (7.8) que es definida positiva y viene dada de forma expl´ ex pl´ıcit ıc ita a por P =

∞



exp(A exp(AT t)Q exp(At exp(At)) dt .

(7.10)

0

ormula (7.10) tiene interés es teórico orico puesto que en muchas ocaocaNota 58. La f´ siones es m´ as simple resolver la ecuaci´ on matricial de Liapunov (7.8) directamenete que calcular mediante (7.10). matriz A es una una matr matriz iz de esta estabi bili lida dad d si y s´ olo olo si para ara Teorema eorema 59. La matriz cualquier cualquier matriz matriz Q etrica etrica y definida positiva, positiva, la matriz P n (R) sim´ on de la ecuaci´ on matricial mat ricial de Liapunov Lia punov (7.8) es tambi´ t ambién en definida de finida n (R) soluci´ positiva.

M

∈M

∈

































60

Estabilidad

Consideremos de nuevo la ecuación on no lineal (7.5) con el punto cr´ cr´ıtico x ∗ Rn , es decir, x˙ = f = f ((x) , f ( f (x∗ ) = 0 . (7.11)

∈

Supongamos que f que f es es suficientemente regular de modo que podemos realizar el desarrollo de Taylor de f ( f (x) en un entorno de x de x∗ , es decir, decir, f ( f (x) = Df ( Df (x∗ )(x )(x x∗ )+g )+ g (x), siendo la función g on g((x) la que contiene conti ene a los términos erminos de orden superior supe rior a los lineales en el desarrollo efectuado y

−

Df ( Df (x∗ ) =

  

∂f 1 ∂x 1 (x ∂f 2 ( ∂x 1 x

∗) ∗)

.. . ∂f n ∗ ∂x 1 (x )

··· ··· .. .

···

∂f 1 ∂x n (x ∂f 2 ( ∂x n x

∗) ∗)

.. . ∂f n ∗ ∂x n (x )

la matriz jacobiana de f calculada f calculada en el punto x∗ .

  ∈ M 

n (R)

,

Defin De finic ici´ i´ on on 60. 60 . El sistema lineal x˙ = Df = Df ((x∗ )x ,

(7.12)

se llama la linearizaci´ linearización on del sistema no lineal x˙ = f = f ((x) en el punto singular x∗ . Teorema 61 (Estabilidad 61 (Estabilidad por linearización). on). Si el sistema lineal x˙ = Df = Df ((x∗ )x es asint´ oticamente oticamente estable o inestable, entonces entonces el punto cr´ cr´ıtico ıtico x∗ del sistema no lineal x˙ = f con f ( = f ((x) con f (x∗ ) = 0 tiene la misma propiedad de estabilidad. Demostrare mos sólo olo la primera parte del teorema te orema relacionad re lacionadaa Demostraci´ on. Demostraremos ∗ con la estabilidad asintótica. otica. Supondremos además as que x = 0. Consideremos la función V on V = x T P x donde la matriz P matriz P satisface satisface la ecuación on matricial de Liapunov Df T (0)P (0)P + P Df (0) Df (0) =

−Q ,

































7.4 Estabilidad y control

61

donde en el primer paso se ha utilizado la propiedad conmutativa del producto escalar y en el último ultimo el hecho de que P que P e ess simétrica. etrica. De este est e modo mo do se tiene que ˙ = V

−xT Qx + 22ggT P x .

Puesto que g que g comienza comienza en términos erminos de al menos grado 2, es claro que el segundo T ˙ comienza con términos térmi er mino no 2g P x de V erminos de al menos grado 3. Entonces, para x para x suficienteme suficientemente nte cercano cercan o al origen domina el primer pr imer término ermino xT Qx Qx en en la ˙ . Esto implica que, puesto que Q expresi´ on on de V . V que Q es es una matriz definida positiva, para todo x suficientemente cercano al origen se tiene V˙ < 0. Aplicando ahora el Teore eorema ma 55 55,, se conc conclu luye ye que el orig origen en del del sist sistem emaa no line lineal al x˙ = f ( f (x) es asintóticamente oticamente estable.

−

on sobre Nota 62. Observar que el Teorema 61 no aporta ninguna informaci´ la estabilidad estabil idad del punto cr´ cr´ıtico x∗ del sistema x˙ = f ( f (x) cuando el sistema lin∗ earizado x˙ = Df oticamente estable. = Df ((x )x es estable pero no es asint´

7.4. 7.4.

Esta Estabi bili lida dad d y con control trol

Veamos alguna de las relaciones existentes entre los conceptos de estabilidad y los de control. Consideremos de nuevo el sistema lineal controlado x˙ = Ax = Ax + Bu ,

con A n (R) y B n×m (R) matrices constantes, x(t) Adem´ as, as, supondremos que la salida y (t) del sistema es

∈M

∈ M

y = C = C x ,

(7.13)

∈ Rn y u(t) ∈ Rm. (7.14)

con C

∈ ∈ Mr×n(R).

7.4.1. 7.4.1.

Estabil Estabilida idad d entra entrada–s da–salid alida a

Cuando un sistema es controlado mediante una entrada, es decir un vector



































62

Estabilidad

Demostraci´ on. En primer lugar, recordemos que la solución del sistema x˙ = Ax + Bu con Bu con condición on inicial x inicial x(0) (0) = x = x 0 viene dada seg´ un un (3.21) por la fórmula ormula de variación on de constantes t

 

x(t) = exp(At exp(At)) x0 +



exp( Aτ ) Aτ )Bu( Bu (τ ) τ ) dτ .

−

0

Tomando normas en la ecuación y on y = = C C x y utilizando sus propiedades se obtiene

y(t) ≤ C  x(t) exp(At))x0  + ≤ C   exp(At



t

 

exp[A exp[A(t

0



τ )] Bu( Bu (τ ) τ ) dτ (7.15) . − τ )]

Por otra parte, si A si A es es una matriz de estabilidad, entonces existen constantes reales positivas K y α de modo que

 exp(At exp(At)) ≤ K exp( exp(−αt) αt) ≤ K , ∀ t ≥ 0 .

(7.16)

Esta propiedad, para el caso particular en que todos los valores propios λk de A son distintos, se deduce de tomar normas en la fórmula de Sylvester (3.14), es decir,

   n

 exp(At exp(At))

=

  ≤    n

Z k exp(λ exp(λk t)

k=1 n

ˆ K

Z k

k=1 n

exp(λ exp(λ )

ˆ K

  exp(λ exp(λk t)

exp[ (λ ) ]



































7.4 Estabilidad y control

63

El rec´ rec´ıproco del Teorema 65 no es cierto en general. Sin embargo se dispone del siguiente resultado demostrado en la página agina 53 de [12]. Teorema 66. Si el sistema lineal x˙ = Ax Ax + + B Bu u, y = C x es completamente controlable, completamente observable y b.i.b.o. estable, entonces el sistema x˙ = oticamente estable. Ax es asint´

7.4. 7.4.2. 2.

Estab Estabil iliz izac aci´ i´ on por realimentaci´ on on on lineal

Suponga Supongamos mos que el sistem sistemaa de lazo abierto abierto x˙ = Ax Ax es es inestable. Dicho de otro modo, existe al menos un valor propio de la matriz A con parte real positiva (ver Teorema 49). En estos casos, un problema de gran aplicación consiste en averiguar si se puede aplicar algún un control u(t) de forma que el sistema = Ax + Bu se estabilice. x˙ = Ax Sabem Sabemos os que, si el siste sistema ma x˙ = Ax Ax + + Bu B u es completamente controlable, controlable, entonces existe una realimentaci´ realimentaci ón on lineal u = K x de modo que el sistema de lazo lazo cerrado cerrado x˙ = (A + B + BK K )x es asintóticamente oticamente estable, ver Teorema 36. De hecho existen infinitas matrices de ganancia K K diferentes que consiguen este objetivo. Sin embargo, embargo, cuando cuando el sistema x˙ = Ax = Ax + + Bu Bu no es completamente controlable, entonces podemos definir una propiedad más as débil ebil que esta. En concreto, concreto , se dice dice que el sistema sistema x˙ = Ax = Ax + + B Bu u es estabilizable si si existe una matriz real K tal que el sistema sistema de lazo cerrado cerrado ˙ (A + BK ) BK ) es asintóticamente oticamente estable.

































64

Estabilidad Realizando una expansión on de Taylor de la función on f (x, u) = (f 1 (x, u), . . . , fn (x, u))

en un entorno del punto (x (x∗ , u∗ ) = (x∗1 , . . . , x∗n , u∗1 , . . . , u ∗m ) y truncando a primer orden se tiene n



x˙ i ≈ f i (x∗ , u∗ )+

j =1

m

∂f i ∗ ∗ ∂f i ∗ ∗ (x , u )(x )(xj x∗j )+ (x , u )(u )(uj u∗j ) , i = 1, . . . , n . ∂x j ∂u j j =1



−

−

Puesto que se pretende estudiar el sistema en un entorno de (x ( x∗ , u∗ ), definimos las variables ∆xi = x = x i x∗i , ∆ui = u = u i u∗i . (7.18)

−

Como ∆˙xi = x˙ i

− x˙ ∗i = x˙ i − f i(x∗, u∗), se tiene

n

∆x˙ i =

−

 j =1

∂f i ∗ ∗ (x , u )∆x )∆xj + ∂x j

m

 j =1

∂f i ∗ ∗ (x , u )∆u )∆uj , i = 1, . . . , n . ∂u j

Por supuesto, este sistema lineal se puede escribir en la forma matricial ˆ ∆u , ∆x˙ = Aˆ∆x + B siendo ∆x ∆x = (∆x (∆x1 , . . . , ∆xn )t

(∆u1 , . . . , ∆um )t ∈ Rm , ∈ Rn, ∆u = (∆u

(7.19)

































7.5 Problemas resueltos

65

Soluci´ on. on. Usando el cambio de variables variables habitual θ˙ = w = w se se tiene el sistema θ˙ = w = w , w˙ =

−Ω2 sin θ − 2cw .

(7.20)

Los puntos singulares del sistema en el plano de fases son (θ, ( θ, w) = (nπ, 0), con n con n Z.

∈

Estudiemos a continuación on la estabilidad del origen del sistema (7.20) por linearizaci´ on. La matriz Jacobiana de (7.20) es on. Df ( Df (θ, w) =



−

0 Ω2 cos θ

1 2c





.

−

,

de modo que, calculada en el origen es Df (0 Df (0,, 0) =



0 Ω2

−

1 2c

−

√ Los valores propios asociados a Df a Df (0 (0,, 0) son λ son λ ± = −c ± c2 − Ω2 . Debido a que c > 0 y Ω > 0 se tiene que (λ± ) < 0 (independientemente de si c ≥ Ω o no). Por lo tanto, utilizando una combinación del Teorema 49 y del Teorema 61 se concluye que el origen ( θ, w) = (0, (0, 0) es asintóticamente oticamente estable para el sistema (7.20).

Es fácil acil demostrar que si n es par, las ecuaciones que se obtienen del estudio

































66

Estabilidad

2

(ii) Sea (x on del sistema. Utilizar la funci´ on (x(t), y (t) (x(t), y (t)) una soluci´ para estudiar la estabilidad del origen del sistema.



Soluci´ on. on. (i) La (i) La matriz Jacobiana asociada al sistema y calculada en el origen es 0 1 Df (0 Df (0,, 0) = . 1 0





−

Los valores propios asociados a Df D f (0 (0,, 0) son λ± = i y por lo tanto imaginarios puros. Puesto que (λ± ) = 0, no se puede aplicar el Teorema 61 y por lo tanto la linearización on no es suficiente para analizar la estabilidad del origen del sistema.

±



2

(ii) Sea V ( V (t) = (x(t), y (t) orbital de V V y obtenemos



= x2 (t) + y 2 (t). Calculamos la derivada

˙ = 2xx˙ +2 V +2yy y˙ = 2x[y + αx( αx(x2 + y 2 )]+2y )]+2y [ x + αy( αy (x2 + y 2 )] = 2α 2α(x2 + y 2 )2 .

−

˙ coincide con el de α. Est´ a claro que, excepto en el origen, el signo de V coincide V De este modo, teniendo en cuenta el significado geométrico etrico de la función V , V , concluimos que Si α < 0 entonces (x (x(t), y (t)) (0, (0, 0) cuando t de manera mon´ otona. En particular, el origen del sistema es asintóticamente otona.

→

→∞




































Soluci´ on. on.

67

































68

Estabilidad ˙ viene dado por De esta expresión on se obtiene que el signo de V viene V ˙ ] = sign [V ] V



sign [1 g/] g/] sign [ (1 g/) g/ )]

− − −

si si

w > 0, 0 , 0 < θ << 1 << 1 , w < 0, 0 , 0 < θ << 1 << 1 ,

Se concluye que no es posible tomar V V como función on de Liapunov en un entorno del (θ, (θ, w) = (0, (0, 0). (iii) Observar (iii) Observar que la función E on E (θ, θ˙) = 21 m2 ˙θ2 + mg(1 mg(1 cos θ) es definida positiva en un entorno suficientemente peque¯no no del origen puesto que  que ,, m ˙ y g son as, as, la derivada orbital E 0. Entonces, g son constantes positivas. Adem´ E es es una función on de Liapunov para el sistema y, aplicando la parte (i) del Teorema 55, el origen es estable.

−

≡ ≡

4. Considerar un oscilador amortiguado, es decir, un sistema del tipo mx ¨ + cx˙ + kx = kx = 0 ,


































69

˙ es por lo tanto E es semidefinida positiva. En definitiva E (x, y) es una función on de Liapunov para el sistema en un entorno del punto singular ( x, y ) = (0, (0, 0). Aplicando el apartado (i) del Teorema 55 se concluye que el punto singular (x, (x, y ) = (0, (0, 0) es estable1 . 5. Estudiar la estabilidad de los puntos singulares del sistema x˙ =

−2xy ,

y˙ = x = x 2

− y3 ,

V (x, y ) = ax2m + by 2n con utilizando una funci´ on de Liapunov del tipo V ( a,b, m, n. constantes adecuadas a,b, Soluci´ on. Est´ on. Está claro que la única unica solución on del sistema de ecuaciones 0=

−2xy , 0 = x2 − y3 ,

es (x, y ) = (0, (0, 0). Por lo tanto el origen es el único unico punto singular del

































70

Estabilidad ˙ = xT Qx si la derivada orbital de V respect respecto o del sistema sistema x˙ = Ax es V entonces se verifica (7.8) que es la llamada ecuación matricial de Liapunov

−

AT P + P A =

−Q .

Observar que la matriz A es una matriz de estabilidad, ver el apartado anterior donde se comprueba que todos sus valores propios tienen parte real negativa. Entonces, por el apartado (ii) del Teorema 57, se sabe que, para cada Q definida positiva existe una única unica solución o n de la ecuación on matricial de Liapunov que es definida positiva. Sea pues Q =



a 0 0 b



,

con a, con a, b R+ 0 . Obviamente Q Obviamente Q es una u na matriz simétrica etrica y definida d efinida positiva. Sea P = ( pij ) etrica. etrica. Entonces, la ecuación on matricial 2 (R) sim´ de Liapunov queda de la forma

∈ \{ }

∈ M


































71

siendo a, b constantes reales positivas.

∈ R3 y −1 −1 0 −1 −1 2a b 0 −b

7. Considerar el sistema x˙ = Ax = Ax , con x A =

 

 

.

(i) Averiguar Averigua r para para qué valores de los par´ ametros reales a y b el sistema oticamente estable. x˙ = Ax = Ax es asint´ (ii) Supongamos que a = 1 y b = 2. ¿Es b.i.b.o estable el sistema controlado x˙ = Ax = Ax + + Bu Bu , y = C x para cualquier matriz constante B, C adecuadas y vector control u(t)? (iii) Supongamos que a = a = 1, b = b = 3. Averiguar si el sistema x˙ = Ax = Ax+ +Bu , y = C = C x es b.i.b.o b.i.b.o estable donde

−



































72

Estabilidad La matriz de controlabilidad es U = [B,AB,A2 B ] =

 

1 0 2 1 7 3

−3 −1 11 11 28

5 14

7 3 18 9 63 30

 ∈M

3 6 (R)

×

y es fácil acil comprobar que su rango es 3 por ejemplo calculando el determi-




































73

El sistema en lazo cerrado es x˙ = (A + bK )x, siendo la matriz del sistema A + bK =



0 g

−

1 0

  − +

0 1

( k, 0) =

±√ − −



0 g k

− −

1 0



,

que tiene valores propios λ± = g k. Para estabilizar θ a zero, se tiene que elegir k de manera que el sistema lineal en lazo cerrado sea



































74

Estabilidad siendo siendo Λ = 1/ 1 /[3cos3 x3

− 8].

(ii) Bajo (ii) Bajo las condiciones del enunciado el sistema se encuentra en el punto x∗ = (0, (0, 0, 0, 0) con u con u ∗ = 0. Notemos que f que f ((x∗ , u∗ ) = (0, (0, 0, 0, 0)T , de modo que el sistema se encuentra en un estado de equilibrio, es decir un punto cr´ıtico. co .



































Cap´ıtulo 8



































76

C´ alculo de Variaciones

de modo que v2 = 2g (hA h). Con el sistema de referencia tomado está claro que x que x = = h h A h, de modo que, la ecuación on diferencial que rige el movimiento de la masa m es ds v := = 2gx , dt

−

−



siendo v siendo v el el módulo odulo de la velocidad que tiene la part´ part´ıcula cuando se encuentra en un punto con coordenada ( ( )) y ds y ds el el elemento de longitud de la trayectoria.





































8.2 Introducci´ on

77





































78






































8 3 Ecuaciones de Euler–Lagrange

79





































80






































8 4 Extremos con restricciones

81



















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































´ Control Optimo

11 2 Y

1

0.5

0.5

1

1.5

2

X

-0.5

-1

Figura 9.7: Trayectorias circulares (x (x

− 1)2 + y2 = R2 con control u(t) = 1.

(x, y ) = (1, (1, 0). Además, as, es fácil acil ver que las l as circunferenc ci rcunferencias ias (9.48) ( 9.48) son recorridas (seg´ un avanza el tiempo) en el sentido de las agujas del un reloj con un periodo de 2π 2 π. En particular, una semicircunferencia se recorre en el tiempo π , ver Figura 9.7. De forma totalmente análoga aloga al caso anterior, si u si u((t) = 1, el sistema (9.44) es x˙ = y = y,, y˙ = x + 1, es decir, dx/dy decir, dx/dy = = y y/ /( x 1) de modo que las trayectorias del sistema vienen dadas por

− −

(x + 1)2 + y 2 = R 2 ,

− − −

(9.49)

con R una constante arbitraria. As´ As´ı, las trayectorias trayectorias óptimas optimas son circunferencias de radio R centradas en el punto (x, (x, y ) = ( 1, 0). Adem´ as, al igual que en el caso anterior, las circunferencias (9.49) as, son recorridas en el sentido de las agujas del reloj, donde una semicircunferencia es recorrida en tiempo π, ver Figura 9.8.

−

Y

1

0.5

-2

-1.5

-1

X

-0. 5

-0.5


































113

Veamos cómo omo son las trayectorias óptimas optimas de este problema dependien2 R del sistema. do de las condiciones iniciales (x ( x(0), (0), y(0)) = (x (x0 , y0 ) Tomaremos el tiempo t tiempo t 1 de modo que el sistema se encuentre en el estado final, en nuestro caso (x (x(t1 ), y (t1 )) = (0, (0, 0).

∈

Supongamos que el último ultimo tramo del control óptimo optimo u∗ corresponde al valor u∗ = 1. Geométricamente, etricame nte, durante este ultimo u ´ ltimo intervalo de tiempo, el sistema evoluciona hacia el origen por la circunferencia (9.48) de radio R radio R = = 1 partiendo de un punto que denotaremos por A y está localizado lo calizado en el IV cuadrante. Por supuesto, como es el tramo final y por lo tanto u tanto u ∗ ya no vuelve a cambiar, el sistema llega sobre esa circunferencia al origen habiendo recorrido un arco inferior a la semicircunferencia. El sistema habrá llegado al punto A punto A desplaz´ desplazándose, andose, durante un intervalo de tiempo π y bajo la acción on del control u∗ = 1, por la semicircunferencia (9.49) de extremo final A. Llamemos B al extremo inicial de dicha semicircunferencia que, obviamente, estará en el II cuadrante. Notar que, el punto B es el simétrico etri co de A respecto del punto ( 1, 0). De forma análoga, aloga, la porción on de trayectoria óptima optima anterior a la B la BA A, llam ll am´émos em osla la C B , consis consiste te en la semici semicircu rcunfe nferen rencia cia (9.48) (9.48) que pasa pasa por el punto B y el sistema evoluciona en ella durante un tiempo π . Por supuesto, el punto C C estará situado en el IV cuadrante y es el sim´ si métri et rico co de B respecto del punto (1, (1, 0). Esta construcci´ constru cción on geométrica etrica continua hasta que la trayectoria óptioptima pase por el punto inicial (x ( x0 , y0 ), ver Figura 9.9.

−

−

Y 2

1

-3

-2

-1

1

-1

-2

-3

2

X

































´ Control Optimo

11 4

Supongamos ahora que el último ultimo tramo del control óptimo optimo u∗ corresponde al valor u∗ = 1. Geométricamente, etricame nte, durante este último ultimo intervalo de tiempo, el sistema evoluciona hacia el origen por la circunferencia (9.49) de radio R = 1 partiendo de un punto que denotaremos por A y está localizado en el II cuadrante. Por supuesto, como es el tramo final y por lo tanto u∗ ya no vuelve a cambiar, el sistema llega sobre esa circunferencia al origen habiendo recorrido un arco inferior a la semicircunferencia. El sistema habrá llegado al punto A desplazándose, andose, durante un intervalo de tiempo π y bajo la acción on del control u∗ = 1, por la semicircunferencia (9.48) de extremo final A . Llamemos B  al extremo inicial de dicha semicircunferencia que, obviamente, estará en el IV cuadrante. Notar que, el punto B  es el simétrico etri co de A respecto del punto (1, (1, 0). De forma análoga, aloga, la porción on de trayectoria óptima optima anterior a la B la B  A , llam ll am´émos em osla la C  B  , consiste en la semicircunferencia (9.49) que pasa por el punto B punto B  y el sistema evoluciona en ella durante un tiempo π. π .  Por supuesto, el punto C estará situado en el II cuadrante y es el sim´ si métri et rico co de B  respecto del punto ( 1, 0). Esta construcción on geom´ g eométrica etrica continua hasta h asta que la trayectoria t rayectoria óptioptima pase por el punto inicial (x ( x0 , y0 ), ver Figura 9.10.

−

−

Y

3

2

1

-1

1

2

3

X

-1

-2

Figura 9.10: Una trayectoria óptima optima con el control final u = tres arcos de circunferencias

−1, compuesta de

































Cap´ıtulo 10

Pr´ acticas Este Est e cap´ıtulo ıtu lo está compuest comp uestoo de varias prácticas acticas propuestas donde se aplica la teor´ teor´ıa introducida a lo largo del libro a problemas de diferente naturaleza.

10.1 10 .1..

Con Control trol de de la tem temper perat atur ura a de una una c´ c´ amara amara

Consideremos el problema de controlar la temperatura T temperatura T c en una cámara. amara. El objetivo consiste en analizar un controlador que regule, mediante una válvula, la cantidad de calor que se debe introducir en la cámara conociendo la temperatura de esta mediante un termómetro ometro de mercurio (Hg) introducido en la c´ amara y contenido en un tubo de cristal de vidrio. Por supuesto, la temperatuamara ra de la cámara amara está influenciada por la temperatura ambiente T a del entorno. Supongamos además as que la variable que puede ser medida es la altura h de la columna de Hg. Definamos los siguientes flujos de calor: q a es el flujo de calor de la cámara al ambiente. q cr amara al crital del termómetro. ometro. cr es el flujo de calor de la c´ q Hg Hg es el flujo de calor del cristal hacia el mercurio. Definamos también en las siguientes temperaturas temp eraturas:: amara. T c es la temperatura de la cámara. T es la temperatura ambiente.

































11 6

Pr´ acticas Acr es el área area interna del cristal del termómetro. ometro. V cr ometro. ometro. cr es el volumen del cristal del term´ V Hg Hg es el volumen del mercurio.

Supongamos que la válvula alvula puede ser regulada mediante un control u(t) de modo que, la cantidad de calor q (t) que se introduce en la c´ amara amara viene dada por q (t) = a 0 u(t) . Supongamos válidas alidas las siguientes ecuaciones de transferencia de calor q a dT c dt

= a1 (T a =

− T c) , q crcr = a2(T c − T crcr ) , q Hg Hg = a 3 (T cr cr − T Hg Hg ) , dT cr dT Hg cr Hg − b1 (q a + q ) , = b 2 (q cr q ) , = b 3 q Hg cr Hg Hg Hg , dt dt

y las siguientes siguientes relaciones relaciones de proporcional proporcionalidad idad debidas a las dilataciones dilataciones por las temperaturas 2 3 3 Acr = c 1 T cr , V cr cr = c 2 T cr , V Hg Hg = c 3 T Hg . La altura h de la columna de mercurio viene dada por h =

V Hg V cr Hg cr . Acr

−

Se supone que los parámetros ametros ai , bj y cj con i = 0, 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3 son constantes positivas que dependen de la geometr´ geometr´ıa y las propiedades de los materiales. Además, as, en un buen termómetro ometro se verificará c2 > c3 .

10.1. 10.1.1. 1.

Real Realiz izac aci´ i´ on on de la pr´ actica act ica

1. Hallar las ecuaciones ecuaciones del sistema tomando como como variables variables de estado T c T a , T cr T a y T Hg T a , siendo la variable de control u y T a un parámetro ametro cr Hg constante.

−

−

−

2. Demostrar que si no se ejerce ningún un control sobre el sistema (es decir u = 0), entonces el único unico punto de equilibrio x∗ del sistema corresponde al equilibrio equilibrio termodin´ amico amico T c = T = T cr as as es asintóticaoticacr = T Hg Hg = T a y adem´ mente estable en concordancia con el principio cero de la termodinámica. 3. ¿Es el sistema sistema completamen completamente te controlable controlable para todo valor de ai , bi ?



































10.2 Din´ amica amica de sat´ elites elites de comunicación

10.2.

117

Din´ amica amica de sat´ s at´ elites elites de comunicaci´ c omunicaci´ on on

El principal objetivo en la dinámica amica de un satélite elite de comunicación on consiste en que dicho satélite elite permanezca en una posición on que sea fija respecto de un cierto punto estrat´ egico egico de la Tierra. Este tipo de sat´ elites elites se conocedn como on telefónica, onica, de telegeoestacionarios . Se utilizan, por ejemplo, en comunicación visi´ on, on, navegación on de barcos y aviones, predicción on del tiempo, etc... En un principio, una órbita orbita geoestacionaria puede ser obtenida mediante la fuerza fuerza que ejercen ejercen los motores motores instalados instalados en el sat´ satélite. elite. Sin embargo embargo,, de este modo, el consumo energ´ etico etico de estos motores ser´ ser´ıa continuo continuo y no deseable. Surgen de este modo las siguientes preguntas: ¿Existe ¿Existe una orbita orbita geoestaciona geoestacionaria ria para el sat´ satélite elite aunque los motores motores est´ estén en parados? parados? Supondremos Supondremos en este caso, caso, para simplificar simplificar,, que la única unica fuerza externa que actúa ua sobre el sat´ elite elite es la gravitatoria que ejerce la Tierra. ¿Es esta órbita orbita estable? Si no es estable esta ble dicha órbita, orbi ta, ¿qué contro c ontroles les mantienen manti enen el satélite elit e en e n dicha orbita? órbita?

































11 8

Pr´ acticas  p ejercidas por la Luna, el Sol, el viento soLa fuerzas perturbativas F lar, etc... Estas fuerzas son perturbativas y el objetivo de los controles será precisamente precisam ente compensar compe nsar sus efectos.

La posición on del de l satélite eli te es descrit desc rita a mediant med iantee las coo coorden rdenadas adas esféricas eric as (r,φ,θ ( r,φ,θ), ), siendo r siendo r la la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de masas del sat´ elite. elite. De este modo, si tomamos un sistema de coordenadas cartesianas ( x,y,z) x,y,z ) con origen en el centro de la Tierra y siendo el plano x y el plano ecuatorial se tiene x = r = r cos φ cos θ , y = r = r cos φ sin θ , z = r sin φ .

−

Estudiaremos la dinámica amica del sat´ elite elite proyectada proyectada sobre el plano ecuatorial x y . En dicho plano, denotamos por er y eθ a los vectores unitarios en las direcciones radial y tangencial. De este modo r = rer . Se sabe que d er /dt = dθ/dteθ y d eθ /dt = /dt = dθ/dter . De este modo

−

−

d r dt d2r dt2

= =

dr dθ er + r eθ , dt dt d2 r dθ r dt2 dt



    − 2

d2 θ dr dθ er + r 2 + 2 dt dt dt



eθ .

 in Aplicando las leyes de la dinámica amica clásica asica de Newton, la fuerza inercial F in viene dada por 2

d r m 2 = m dt



2

d r dt2

− r

  dθ dt

2

d2 θ dr dθ er + m r 2 + 2 dt dt dt





eθ ,

 g es siendo m la masa del sat´ elite. elite. Por otra parte, la fuerza gravitacional F  g = k m er , F r2

−

siendo k = 4 104 m3 /s2 el producto de la masa de la Tierra y la constante de gravitaci´ on on universal. Además, as, definimos

×





































10.3 El p´ endulo doble invertido

10.2 10 .2.2 .2..

119

Reali Realiza zaci ci´ on o ń de la pr´ actica actica

1. Suponga Supongamos mos que los motores motores están an parados y que se desprecia la fuerza  perturbativa F p . Demostrar que existe una trayectoria circular geoestacionaria para el sat´ s atélite. elite. Hallar el radio r adio R de dicha trayectoria. 2. Introd Introduci ucirr el cam cambio bio de variabl ariablee θ(t) ξ (t) = θ (t) Ωt Ω t, siendo Ω la velocidad angular de la Tierra. Reescribir las ecuaciones del movimiento (10.1) y (10.2) del sat´ elite elite con las variables variables (r, ξ ). ). Verificar que (r ( r∗ , ξ ∗ ) = (R, 0) es un punto de equilibrio del sistema cuando los motores están  p . parados y que se desprecia la fuerza perturbativa F

→

−

3. Hallar Hallar el sistema sistema de control control lineal asociado asociado al sat´ satélite elite en un entorno entorno del  p . anterior punto equilibrio si se desprecia la fuerza perturbativa F 4. ¿Es el anterior anterior sistema linearizado linearizado completament completamentee controla controlable? ble? 5. Suponga Supongamos mos que uθ 0, es decir, el motor sólo olo puede actuar sobre el satélite elite en la dirección on radial. ¿Es posible hallar, en el sistema linearizado del apartado 3, un control por realimentación lineal de modo que el conjunto de valores propios en lazo cerrado sea el que deseemos?

≡

10.3.

El p´ endulo endulo doble doble invertido invertido

Consideremos un p´ endulo endulo doble invertido invertido montado sobre el centro de masas de un carrito que puede desplazarse sobre una recta horizontal. Definimos las siguientes magnitudes. m es la masa del carrito. m1 y m 2 son las masas de los dos péndulos. endulos. 1 y  2 son las longitudes de los dos p´ endulos. endulos. Definimos las variables siguientes. u es la fuerza externa horizontal que actúa ua sobre el carrito.

































12 0

Pr´ acticas

Figura 10.2: El p´ endulo endulo doble invertido. Utilizando el Lagrangiano del sistema L = K = K U , U , las ecuaciones del movimiento se obtienen mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

−

d ∂L dt ∂ ˙ q ˙

= u , − ∂L ∂q

d ∂L dt ∂ θ˙1

∂L =0, − ∂θ 1

d ∂L dt ∂ θ˙2

∂L =0. − ∂θ 2

Desarrollando estas ecuaciones se obtienen las siguientes ecuaciones del movimento del doble péndulo endulo invertido u =

sin(θ1 + θ2 ) −(1m1 + 1m2)(θ˙1)2 sin θ1 − 2m2 ˙θ1 ˙θ2 sin(θ sin(θ1 + θ2 ) + (m ( m + m1 + m2 )q q¨ −2m2(θ˙2)2 sin(θ

(10.3)

+( +(1 m1 + 1 m2 )θ¨1 cos θ1 + 2 m2 θ¨2 cos(θ cos(θ1 + θ2 ) , 0 = g1 (m1 + m2 )sin θ1 g2 m2 sin(θ sin(θ1 + θ2 ) + 2 m2 ˙q ˙θ2 sin(θ sin(θ1 + θ2 ) 1 2 m2 (θ˙2 )2 sin θ2 + ( ( 1 m1 + 1 m2 )q cos q¨ cos θ1 + 21 (m1 + m2 )θ¨1 (10.4) +1 2 m2 θ¨2 cos θ2 , 0 = g2 m2 sin(θ sin(θ1 + θ2 ) 2 m2 ˙q ˙θ1 sin(θ sin(θ1 + θ2 ) + 2 m2 q cos( q¨ cos(θθ1 + θ2 ) ¨ ¨

− − −

−

−

































10.4 Estabilidad Estabili dad en el p´ endulo endulo c´ onico

121

4. Averigua Averiguarr para qu´ e valores alores de los par´ ametros ametros m, m1 , m2 , 1 y 2 es el anterior sistema linearizado completamente controlable. 5. Se pretende estabilizar el sistema linearizado usando usando realimentaci´ realimentación on lineal. Hallar dicha realimentación on de modo que los valores propios de la matriz del sistema en lazo cerrado sean ρi = i, con i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Notar que todos los valores propios tienen parte real negativa y por lo tanto se estabiliza el sistema hacia x∗ .

−

10.4.

Estabilidad Estabilidad en el p´ p´ endulo endulo c´ c´ onico onico

Consideremos un p´ endulo endulo de masa m y longitud  sometido a un campo gravitato gravitatorio rio de intensid intensidad ad constant constantee g y suspendido de un punto fijo O. La posición on de la masa m queda determinada determin ada a través es de los ángulos angulos θ y φ. θ es el ángulo angulo que forma el p´ endulo endulo respecto de la vertical que pasa por p or el punto O. φ es un ángulo angulo formado por dos rectas contenidas en el plano horizontal donde se encuentra la masa m. Una recta de referencia con direcci´ on on fija y la recta que pasa por m y es perpendicular al eje vertical que pasa por O.



































12 2

Pr´ acticas

Utilizando el Lagrangiano del sistema L sistema L = = K K U , U , las ecuaciones del movimiento se obtienen mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

−

d ∂L dt ∂ ˙ q ˙

= 0 , q = θ = θ,, φ . − ∂L ∂q

Desarrollando estas ecuaciones se obtienen las siguientes ecuaciones del movimento del péndulo endu lo cónico onico g θ¨ = sin θ + φ˙ 2 sin θ cos θ , (10.6)  ˙ cot θ . φ¨ = 2θ˙φ (10.7)

− −

10.4. 10.4.1. 1.

Real Realiz izac aci´ i´ on on de la pr´ actica act ica

1. Utilizar Utilizar las variables variables de estado ˙ φ˙ )T x = (x1 , x2 , x3 )T = (θ, θ,

∈ R3

y reescr reescribi ibirr las ecuaci ecuacione oness del mo movim vimien iento to com comoo un sistem sistemaa de primer primer orden orden de la forma forma x˙ = f = f ((x). 2. Suponga Supongamos mos que la masa m describe un trayectoria circular en un plano horizontal a velocidad angular w constante cuando el p´ endulo endulo tiene un angulo ángulo θ = α constante. cons tante. Averiguar qué relación on deben verificarse entre w y α para que dicho movimiento sea posible.

































10.5 Un modelo de gr´ ua con serv ervomeca ecanismo y reg regulador

10.5.

123

Un mode odelo de gr´ ua con servomecanismo y ua regulador

Un modelo simple de grúa ua consiste en tomar una masa m1 realizando un movimiento rectil´ rectil´ıneo que q ue representa repr esenta el punto de d e suspensi´ susp ensión on de un péndulo end ulo simsim ple de longitud  y masa m2 . Se requiere que el punto de suspensión on donde está m 1 se traslade desde su posición on inicial hasta su posición on final de modo que las oscilaci osci laciones ones del péndulo endu lo sean m´ınimas. ınim as. Tomemos las siguientes coordenadas del sistema grúa u a con dos grados de libertad: x(t) R posición on en función on del tiempo de la masa m1 a lo largo de un eje horizontal.

∈

θ (t) será el ángulo angulo respecto respecto de la vertical vertical en funci´ función on del tiempo que forma el péndu en dulo lo.. Utilizando el Lagrangiano del sistema grúa ua L = K U , U , siendo K y U la energ´ energ´ıa cinética etica y potencial pote ncial del sistema respectivamente, respec tivamente, es fácil acil mostrar que

− −

1 1 L(x, x,θ, ˙ θ˙) = (m1 + m2 )x˙ 2 + m2 2 ˙θ2 cos2 θ + m2 x˙ θ˙ cos θ + m2 g cos θ . 2 2 Mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

































12 4

Pr´ acticas

2. Se desea que el puente de la grúa ua donde está m1 se desplace desde el origen de coordenadas en el eje x hasta una distancia D en un tiempo as, en el inicio y el fin del movimiento se supone velocidad nula. t1 . Además, Suponiendo una ley polinomial para el movimiento de referencia z (t) de m1 , hallar un polinomio de grado m´ınimo adecuado. 3. El sistema de grúa ua se compone de un servomecanismo (se desea que m1 se mueva seg´ un x un x((t) siguiendo lo más as cerca posible a z( z (t)) y un regulador (se quiere que el péndulo endulo tenga m´ınima oscilación on de modo que se quiere mantener θ y θ˙ tan próximo o ximo a cero como se pueda). De este modo, se puede tomar la se¯ nal nal de referencia r referencia r((t) para el sistema lineal del apartado R4 y el siguiente ´ 1 como r (t) = (0, (0, 0, z (t), z˙ (t))T ındice ındice de actuación on para minimizar

∈

1 1 J (u, x) = ∆T (t1 )M ∆( M ∆(tt1 ) + 2 2

t1



[∆T (t)Q∆(t ∆(t) + αu2 (t)] dt ,

0

R4 , α R un par´ siendo ∆(t ∆(t) = y (t) r( r (t) ametro, ametro, M, Q 4 (R) ∗ simétricas etricas y definidas defin idas positivas. posi tivas. Calcular Calcu lar el control óptimo u optimo u (t) por real∗ imentación on lineal y la trayectoria óptima optima y (t). Utilizar para las integraciones num´ numéricas ericas de ecuaciones diferenciales o bien el m´ etodo etodo RK4 con longitud de paso h = 0,1 o directamente el comando NDSolve[] NDSolve[] del programa Mathematica. Datos: t1 = 20, D = 6,  = 10, m1 = m2 = 1. Tomar, para simplificar

−

∈

∈

∈ M

































10.6 El regulador centr´ıfugo de Watt

10.6.

125

El regulador centr centr´ ´ıfugo de Watt Watt

El regulador centr´ centr´ıfugo, ideado por Watt a finales del siglo XVIII XVI II para ser utilizado en las máquinas aquinas de vapor, fue uno de los primeros mecanismos utilizados para el control automático. atico.

Figura 10.4: El regulador centr´ centr´ıfugo de Watt. El regulador centr´ centr´ıfugo consiste en una barra vertical S S que gira sobre

































12 6

Pr´ acticas Una fuerza de rozamiento F rozamiento F r debida a los engranajes de la varilla que se opone a la variación on de ángu an gulo lo ϕ ϕ de de modo que su módulo odulo se puede tomar F r = k ˙ ˙ siendo k una constante positiva. k ϕ Una fuerza, llamemosla F llamemosla F B , responsable del giro del regulador sobre su eje. Aplicando la segunda ley de Newton, es fácil acil ver que se verifica la siguiente ecua ec uaci ci´ón on mϕ¨ = m = mθ˙ 2 sin ϕ cos ϕ mg sin ϕ k ϕ ˙ .

−

−

Por otra parte, la máquina aquina de vapor es, simplificando, un volante con un momento de inercia J inercia J que que se mueve debido a la fuerza del vapor y es capaz de realizar un trabajo, por ejemplo mover un peso. Si denotamos por P 1 el momento que realizan las fuerzas del vapor sobre el volante y por P el momento de dicho peso, utilizando las leyes de la mecánica anica clásica asica y en particular las del sólido olido r´ıgido se tiene que J w˙ = P 1 P , P , siendo w la velocidad angular del volante.

−

El volante de la máquina aquina está conectado a la barra vertical S S del regulador mendiante engranajes de modo que existe una relación constante θ˙ = nw entre las velocidades angulares θ˙ y w de la barra y el volante respectivamente. Adem´ as, as, el mangito M M del regula regulador dor est´ está conectado a la válvula alvula que administra el vapor de modo que P que P F , siendo F siendo F



































10.6 El regulador centr´ıfugo de Watt

127

b ) Si se desea que el regulador regulador cumpla cumpla su misión on debe funcionar lo más as ∗ cercano posible posib le de un punto pu nto cr´ cr´ıtico del sistema s istema con ϕ con ϕ = = ϕ ϕ constante. Averiguar si existe dicho punto. c ) Con el paso del tiempo ti empo y gracias gr acias a las mejoras mejora s técnicas, ecnicas, se fueron fue ron modificando diversas magnitudes del regulador. Por un lado, el aumento de la poten po tencia cia de las máquinas aqui nas requer requ er´´ıa válvulas alvulas m´ as as pesadas con lo que m aumentó. o. La constante de rozamiento k disminuy´ o debido a que las piezas estaban cada vez más as pulidas. pulidas . También en se redujo el tama¯ no de los volantes y, en consecuencia, J no consecuencia, J disminuy´ disminuy´ o. o. Sin embargo, parad´ ojicamente, los reguladores funcionaron peor con dichas modiojicamente, ficaciones. Averiguar la causa mediante un análisis alisis de la estabilidad del punto cr´ cr´ıtico del apartado apartad o anterior.

































































Bibliograf´ıa [1] S. Barnet & R.G. Cameron. Introduction to mathematical control theory . Claredon Press. Oxford, 1985. Brockett. Finite [2] R.W. Brockett Finite dimension dimensional al linear linear systems systems . Wiley, New York,

































Teoria-de-Estabilidad-y-Control.pdf

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