UNIVERSIDAD DEL NORTE
Control de calidad ENTREGABLE 50% 1 PARCIAL
28 DE AGOSTO DE 2010
MARCO GARCIA CEDIEL YULIANA SANTIS RINCON CATALINA TORRES DIAZ
Primer Punto Desea usted determinar si el producto A es mas variable en su calidad que el producto B. Esta usted dispuesto a correr un riesgo máximo de 0.05, al resolver que el producto A es mas variable que el producto B, cuando en realidad no lo es. Por otra parte, usted no desea correr un riesgo mayor de 0,10 al determinar que el producto A es igual o menos variable que el producto B, cuando en realidad es 1.75 veces más variable. Las pruebas de calidad del producto B. Determine los tamaños de muestra y el límite de aceptación que utilizara en su prueba.
Se quiere determinar que producto entre A y B es mas variable, pero se conoce que el costo de evaluar una muestra del producto A es 3 veces mas alto que el producto B, por lo que el tamaño de la muestra es primordial y debe minimizar en costo de ejercer control de calidad. Este análisis se puede realizar con la distribución Fisher, que es la asociada a las pruebas de varianzas. Se quiere correr un riesgo máximo de 0,05(Riesgo tipo I) para decir que el producto A es mas variable que el producto B y en realidad no lo es, por lo que, la prueba de hipótesis asociada a la este riesgo que se quiere correr se puede expresar de la siguiente forma:
Se conoce que el producto A no es más variable que el producto B, con esto se quiere NO RECHAZAR hipótesis nula, por lo tanto los valores de la distribución Fisher que cumplen con este requisito serán aquellos mayores a 1 Criterio de no rechazo en la prueba Fisher:
Por lo tanto:
También se conoce que se quiere correr un riesgo no mayor a 0.1 (riesgo tipo I) de decir que el producto A es igual o menos variable que el producto B, cuando realmente es 1.75 veces mas variable. Planteando la prueba de hipótesis como se muestra a continuación:
Como se sabe que la variabilidad del producto B es 1.75 veces menor que la variabilidad del producto A, como se plantea la Prueba de hipótesis, entonces se busca Rechazar la hipótesis nula.
Por lo tanto:
Asociando las anteriores Pruebas y sus respectivas conclusiones se tiene:
Y 1
1.75
Con la tabla Fisher se buscarán los valores Fisher críticos entre 1 y 1.75, encontrando los grados de libertad asociados a cada uno, con el fin de hallar el costo mínimo sabiendo que:
A continuación se muestra una tabla que relaciona los grados de libertad con los tamaños de muestra y los costos asociados a las pruebas de calidad a las muestras de cada producto. Estos datos fueron tomados del libro Estadística Matemáticas con Aplicaciones, William Mendenhall Segunda edición: Importante: Como se quiere minimizar el costo, los siguientes serán los valores mínimos de
grados de libertad que cumplen con el requisito Los valores asociados al riesgo tipo I=0 ,1 gl 1
gl 2
na
nb
Costo
16
120
17
121
172
17
60
18
61
115
18 19
40
19
41
98
40
20
41
101
20
30
21
31
94
21
24
22
25
91
22 23
24
23
25
94
20
24
21
93
24
20
25
21
96
25
20
26
21
99
26
20
27
21
102
27
21
28
22
106
28
21
29
22
109
9 8
60
10
61
91
120
9
121
148
29
15
30
16
106
30
15
31
16
109
40 60
12
41
13
136
10
61
11
194
120
10
121
11
374
Mínimo
91
Valores asociados al Riesgo Tipo I = 0 ,05 gl 1
gl 2
na
nb
costo
120 120
26
121
27
202
27
121
28
205
120 60
28
121
29
208
29
61
30
151
60 30
30 40
61 31
31 41
154 154
20 15
60
21
61
204
120
16
121
379
Mínimo
151
Con estos valores se puede encontrar una región factible para los tamaños de muestra de los productos y los dos valores de los riesgos tipo I que se quieren tomar. Para riesgo tipo I= 0.05 la región factible es un tamaño de muestra para el producto a de n>30 y para e producto B n>61. Para el riesgo tipo I = 0.1 hay dos regiones factibles puesto que el costo mínimo es el mismo. En donde la primera región factible permite valores para el producto A mayores a 22 y para el tipo B mayores a 25. La segunda región factible permite tamaños de muestra para el producto A mayores a 10 y al producto B mayores a 61. Dada la intercepción de las regiones factibles para ambos riesgos tipo I del problema los tamaños de muestra para ambos productos aceptables es de 30 para el producto A y 61 para el producto B.
Referente a los limites de aceptación para ambos productos se tomaran las formulas para encontrar los limites de control teniendo en cuenta valores anteriores de tamaño de muestra.
Cálculos basados en la carta de control para desviación con línea central
Los factores para los límites de control de la carta de desviaciones B 3 y B4 se hallan en la tabla de factores para calcular las líneas de gráficos de control. Dado el tamaño de muestra producto A = 30 se tiene:
Dado el tamaño de muestra producto B = 61 se tiene:
Con lo anterior se tienen los siguientes límites de control para la desviación de los productos A y B: Producto A
Producto B
Seg
¡
d
t
£
¢
¡
¢
A eg r mie t de la cal id ad: La firma Hillt op Co ffe f abrica un pr oduct o d e ca fé mezcl ando ¤
¥
¡
¢
tres ti pos d e gr ano El peso por li br a y l as li br as d is poni bles d e cada gr ano son l as si guientes: ¦
Costo Po Lib
G no §
Lib s isponibl s
§
¨
§
§
©
¨
¨
1
$ 0 50
500
2
$ 0 70
600
3
$ 0 45
400
Se utilizan pr uebas d e l os pr oduct os d e ca fé con l os consumi dores par a obtener eval uaci ones en una escal a d e 0 a 100, en dond e l as calificaci ones alt as son señal d e may or cali dad Los est ándares d e
cali dad par a l os pr oduct os mezcl ado s exi gen una cl asificación d el
ar oma , por parte d e l os consumi dores , d e cuando menos 75 y una cl asificación d e l os c onsumi dores par a el s abor d e c uando menos 8 0. Las cl asificaci ones i nd i vi duales par a el ar oma y par a el s abor d el c a fé
que se f abrica con el 100% d e cada gr ano son l as si guientes: C lifi
G no
ión d l
C lifi ión d l s bo
o
1
75
86
2
85
88
3
60
75
Pue d e
s uponerse que l os atri but os d e ar oma y d e s abor d e l a mezcl a d e c a fé son un pr omed i o
pond er ado d e l os atri but os d e l os gr anos que se utilizan en l a mezcl a. a) ¿Cuál es l a mezcl a d e cost o mí nimo que satisf ace l os est ándares d e cali dad y pr oduce 1000 li br as d el pr oduct o d e ca fé mezcl ado? b) ¿Cuál es el c ost o por li br a d e l a mezcl a d e ca fé? c )
Utilice vari ables d e exced e nte par a d etermi nar l as c alificaci ones d e ar oma y d e sabor par a l a mezcl a d e ca fé
d) Si se f uer a a f abricar ca fé ad ici onal , ¿Cuál serí a el cost o es per ado por li br a? DES ARROLLO
a)
Par a
dar s ol ución a l a pregunt a pl anteada es necesari o d efi nir una vari able d e i nterés ,
una f unción obj eti vo y sus res pecti vas restricci ones. O jetiv . De e
-
"
!
#
$
%
&
'
#
la cantidad de libras de cada uno de los tipo de granos qu e
deb e conten er el caf é a elaborar, con el objetivo de minimizar su costo de fabricación, teniendo en cuenta las libras disponibles de cada grano, la cantidad de libras que se desea obtener y la califi cación esperada de aroma y sabor.
-
Definición
e l a variabl e:
(
-
F unción
objetivo:
-
S. A
Disponibilidad de recursos
Demanda
Calificaci ón de aroma
Calificaci ón de sabor
No negatividad
Haciendo uso de la herramienta solver se da solución el problema de programación lineal obteniendo los siguientes valores para X :
)
tilizando 500 Lb. De grano 1, 300 Lb. De grano 2, y 200 Lb. De grano 3, se estará cumpliendo
los estándares de calidad y produciendo las 1000 Lb. De café mezclado. b) Teniendo en cuenta que la solución del problema de programación lineal dará el costo por las 1000 lb. de café mezcladas, se hace necesario dividir dicho valor entre las unidades producidas para obtener el valor por libra.
c) Con la solución del p.l se obtuvo la cantidad de libra de cada grano que se deben mezclar para obtener el resultado pedido. En cuanto a los estándares de calidad se exigen calificaciones mínimas para el aroma y el sabor. De igual manera se evidencia que hay un sobrante del 50% de las libras de grano tipo 2 y 3 respectivamente.
Para determinar la puntuación de aroma se tiene:
Donde 500, 300 y 200 son las cantidades en lb. Que se deben mezclar de cada grano para cumplir la demanda existente y al mínimo costo posible. En este caso el valor de
es cero, lo que demuestra que la nueva mezcla
cumple estrictamente con la calificación del aroma, no me jora para tampoco está por fuera de la especificación. En el caso del sabor, el procedimiento es el mismo:
Pero hay una diferencia en relación con el aroma, pues la mezcla de los granos está produciendo un café con 4.4 más en calificación de sabor, la nueva mezcla está superando los el valor mínimo establecido para esta ca racterís tica. d )
Con la solución óptima del p.l. se obtiene que del grano 2 y 3 hay sobrante de 300 lb. y
200 lb. respectivamente, por lo tanto si se desea producir café adicional este estar compuesto solo por estos dos granos de café. Su costo por libra estará dado por el producto de las libras a utilizar y su costo asociado dado inicialmente.
=
T ercer punto
Se tiene hasta el momento un proceso en estado estable, que tiene un P´ = 0,04. DATOS: Numero de muestras por día: 10 Tamaño de la muestra: n=120, =0,05 NCA (AQL) QUE EXIGE EL CLIENTE: 4,5%
Los muéstrales de no conformes para cada día se presentan a continuación:
0
romedio
DIA 1
DIA 2
DIA 3
DIA 4
DIA 5
0,05
0,075
0,058
0,042
0,042
0,025
0,058
0,042
0,025
0,025
0,042
0,058
0,042
0,033
0,033
0,05
0,067
0,05
0,033
0,033
0,067
0,075
0,075
0,058
0,058
0,025
0,042
0,033
0,025
0,025
0,05
0,077
0,058
0,082
0,042
0,062
0,085
0,078
0,065
0,025
0,028
0,052
0,037
0,048
0,008
0,062
0,068
0,07
0,073
0,033
0,0461
0,0657
0,0543
0,0484
0,0324
Utilizando los datos que nos da el problema se calculan
los límites de control,
teniendo en cuenta que para este proceso se utilizara la carta
P ya que se está
mane jando la fracción de unidades no conforme para una muestra del proceso:
LIC = P´
-
3*
= 0, 04 3* =
-
0, 01366563 0
Ya que este límite no puede tener valores negativos debido a que se está hablando de una proporción. LSC = P´ +
3*
= 0, 04 + 3* =
Se tiene que el límite inferior seria igual a
-
0, 09366563
0,01366563 y como da un valor negativo
se aproxima a 0, y el límite superior es igual a 0,09366563. Estos serian los valores entre los cuales puede variar
el parámetro evaluado en estado estable antes de
arro jar productos no conformes. Al final de cada día, se hacen los a justes en caso de ser necesarios, con la intención de mantener el P en el valor de 0,04 y llevarlo al estado estable que traía.
a) Analice el comportamiento del proceso para cada uno de los cinco días. Teniendo en cuenta los datos presentados anteriormente se grafican para poder evaluar la carta de control y realizar los análisis pertinentes de cada día. 0.1
DI
0.09
1
0.08
0.07 0.06 0.05
Series1
0.04
LI
0.03
LS
0.02
1
1
p
0.01 0
0
2
4
6
8
10
12
Para el primer día se observa que los valores se encuentran dentro de los límites de control calculados, es decir el proceso es tá controlado , pero
también se puede ver
que la mayoría de los datos están por encima de la media muestral y aunque no hay una tendencia o comportamiento extraño, la mayoría de los valores o bservados ( 6 datos) están por encima del valor de exigencia de no conformidad de l cliente.
Esto se corrobora al observar el promedio que es 0,046 el cual es mayor al exigido por el cliente. Por esto se puede decir que el proceso no está en la capacida d de arro jar productos conformes para el cliente este día según las exigencias del cliente. Al final de este día se hace una revisión
y a justes del proceso para mantenerlo
estable. 0.1
DIA 2
0.09 0.08 0.07
0.06 Series1
0.05 0.04
LIC
0.03
LSC
0.02
p
0.01
0 0
2
4
6
Se observa que el proceso no ha me jorado y
8
10
por el contrario
12
9 de los datos no
cumplen con el porcenta je de no conformidad exigido por el cliente y al calcular el promedio de los valores de no conformidad se corrobora lo que se ha dicho, ya que este supera el porcenta je exigido. Por ende se debe revisar el proceso ya que este supuestamente fue monitoreado
y
a justado al final del día anterior, se hace necesario un a juste y supervisión urgente del proceso.
DIA 3
0.1 0.09
0.08 0.07 0.06
Series1
0.05
LIC
0.04
LSC
0.03
p
0.02
0.01 0 0
2
4
6
8
10
12
Para este día el proceso no ha cambiado mucho, sigue dentro de los limites de control calculados, hubo una me jora mínima y
se tienen que 2 de los valores
están
cumpliendo con el porcenta j e de no conformidad exigido por el cliente.
DI
0.1
4
0.09
0.08 0.07 0.06 Series1
0.05
LI
2
0.04 LS 0.03
3
p
0.02 0.01
0 0
2
4
6
8
10
12
Para el día 4 se observa que el proceso ha me jorado y está un poco más a justado, se nota que 5 de los valores están cumpliendo con los límites exigidos por el cliente. Al observar el promedio porcentual de no conformidad del proc eso para el día 4 se puede decir que está muy cerca de cumplir con las exigencias del cliente y por ende se sugiere un pequeño arreglo al proceso para que quede a justado completamente.
0.1
DI
0.09
5
0.08
0.07 0.06 Series1
0.05
LI
0.04
3
LS
0.03
3
p
0.02 0.01
0 0
2
4
6
8
10
12
Para el ultimo día se observa que el proceso esta a justado, los valores del proceso de este día están cumpliendo de los limites exigidos de no conformidad, l o cual es muy favorable, y únicamente un dato no cumple con las exigencias del cliente.
b) Compare y analice el comportamiento del proceso, día (i+1) con el día i. Ahora se realizara un análisis del comportami ento del proceso de cada día con su día posterior para ver cómo evoluciona el proceso.
y
Análisis comparativo para el Día 1 y Día 2:
Al analizar los 2 primeros días se observa que el proceso no me joró y por el contrario se nota que la proporción de no conformes aumentó; por ende se puede inferir que algo pudo pasar con el monitoreo y a juste por parte del operario ya que este no fue el más efectivo. Además calculando los promedio de las proporciones para los días 1 y 2, se obtuvo 0,046 y 0,0657 respectivamente, lo cual comprueba que el porcenta je de no conformidad arro jado por el proceso del segundo día aumento con respecto al día anterior. y
Análisis comparativo para el Día 2 y Día 3:
Se observa que el proceso tiene una leve me jora en cuanto a la proporción de no conformidad que estaba arro j ando, se asume que se realizaron a justes y supervisiones por parte del operario pero todavía un gran porcenta je de los valores arro jados por el proceso no cumplen con las exigencias de conformidad. Al analizar los promedios de los procesos de los días 2 y 3 se observa que no hay una diferencia significativa y por tal la me jora no es ta n representativa. y
Análisis comparativo para el Día 3 y Día 4:
Para el día 4 se observa que el proceso sigue me jorando, la proporción de no conformidad del proceso es menor con respecto al día anterior. Se podría llegar a pensar que se han ido realizando los a justes y supervisiones pertinentes, pero se debe seguir observando y monitoreando el comportamiento del proceso. y
Análisis comparativo para el Día 4 y Día 5:
Se observa que el proceso me joro y pudo ser a justado ba jo las condiciones de exigencia del cliente, el proceso paso de arro jar 4 valores que no cumplían con las exigencias de no conformidad en el día anterior
a arro jar solo uno. Teniendo en
cuenta esto se puede llegar a concluir que las supervisiones y a justes fueron efectivos y el proceso fue me jorando poco a poco hasta llegar a s er a justado completamente.
c) Calcule el valor de fracción no conforme del proceso tomando los cinco días en conjunto. Para calcular la fracción no conforme del proceso, se debe tomar los 5 días en con junto y sacar el promedio de todos los datos, el resultado de este promedio es de 0,04938. P =0,04938
Se puede concluir que en los 5 días se tuvo en promedio aleatorio de 0,04938% de producto no conforme por atributos.
d) Calcule la capacidad del proceso en cada día. Para saber
la capacidad del proceso se debe calcular el C , haciendo uso de la 4
siguiente fórmula:
C = 4
;
AQL = 0,045
Como se necesita el porcenta je de no conformidad para cada día se
hallaron los
promedios de las proporciones de no conformidad para cada día.
5
romedio C
5
DIA 1
DIA 2
DIA 3
DIA 4
DIA 5
0,05
0,075
0,058
0,042
0,042
0,025
0,058
0,042
0,025
0,025
0,042
0,058
0,042
0,033
0,033
0,05
0,067
0,05
0,033
0,033
0,067
0,075
0,075
0,058
0,058
0,025
0,042
0,033
0,025
0,025
0,05
0,077
0,058
0,082
0,042
0,062
0,085
0,078
0,065
0,025
0,028
0,052
0,037
0,048
0,008
0,062
0,068
0,07
0,073
0,033
0,0461
0,0657
0,0543
0,0484
0,0324
0,97613883
0,68493151
0,82872928
0,92975207
1,38888889
CP 1.6 1.4 1.2
1 0.8
Series1
0.6 0.4
0.2 0 1
2
3
4
5
e) Conclusiones particulares y generales. Al observar la evolución del proceso durante los tres primeros días la diferencia no es muy notable, se observa que el comportamiento es similar y la proporción de no conformidad que nos arro ja el proceso en los tres primeros periodos es bastante alta, por ende no se cumple con las exigencias del cliente con respecto al porcenta je de no conformidad permitido. Además al calcular y analizar los CPS para los tres primeros días se observa que el proceso no está en la capacidad de cumplir con las exigencias requeridas por el cliente ya que estos son menores a 1. Para los días 4 y 5 se nota una me jora más significativa, teniendo en cuenta q ue para el día 4 todavía el proceso no está en la capacidad de cumplir con los requerimientos del cliente de no conformidad ya que el CP sigue siendo menor que 1,
pero ya la
proporción de no conformidad arro jada por el proceso ha disminuido. Por otro lado si se puede observar una me j ora bastante notable para el último día, se logra cumplir con las exigencias del cliente, el proceso se ha a justado correctamente y está siendo capaz de cumplir con lo exigido por el cliente. Se puede concluir que después del tercer día se fueron realizando los a justes y supervisiones pertinentes por parte del operario y que poco a poco el proceso se fue a justando según las exigencias del cliente. Se podría llegar a pensar, al observar y analizar la grafica de comportamiento del CP, que para el día 6 es muy probable que el proceso este en la capacidad de arro jar productos conformes ba jo las exigencias requeridas por el cliente.
