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I.
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ELASTICIDAD
1. INTR INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN Los diferentes objetos como una silla, el televisor, así como edificios, pu entes, etc. disponen de una estructura que les permite proporcionar forma y protección para resistir fuerzas externas. externas. Las estructuras están formadas por varias piezas o elementos y cada uno de ellos contribuye, a evitar que la estructura se rompa. Por ejemplo para diseñar adecuadamente edificios o construcciones, es necesario conocer profundamente como es la relación que existe entre las acciones externas (viento, sismo, cargas fijas y móviles, etc.) y la respuesta interna del material que constituye a la estructura. Ello nos plantea caracterizar el comportamiento del material sometido a la acción de fuerzas externas. En el estudio de cuerpos rígidos, se definió un cuerpo rígido como un cuerpo ideal formado por un sistema de partículas donde las distancias entre ellas permanecen invariable; en consecuencia un cuerpo rígido no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas aplicadas. En la práctica todo cuerpo se deforma por efecto de una fuerza externa, deformaciones que aun siendo muy pequeñas tienen un efecto macroscópico importante. La capacidad de un sólido de sufrir cambios depende de su estructura molecular y de las características de los enlaces intermoleculares. Los sólidos pueden caracterizarse como cristalinos o amorfos. En un sólido cristalino sus átomos, moléculas o iones están en un arreglo ordenadamente tridimensional, tridimensional, formando un un red periódica tridimensional llamada red cristalina. Cada átomo vibra respecto a su posición fija y no tiene libertad para moverse por la red. Un sólido compuesto de un solo átomo o molécula (Monocristal) se caracteriza por ser anisotrópico debido a las características de la estructura cristalina regular no presenta las mismas propiedades en todas las direcciones. En tanto que los policristales se caracterizan por ser isotrópicos, es decir presentan presentan las mismas propiedades en todas la direcciones. Los sólidos amorfos, no presentan una estructura microscópica regular, por lo que se parecen más a los líquidos, sus átomos y moléculas se encuentran en un estado aleatorio y vibran respecto a po siciones fijas. El vidrio, el alquitrán, los polímeros de alta masa molecular como el plexiglás son ejemplos de sólidos amorfos. Los sólidos resisten a cambiar de volumen y forma en tanto que los líquidos resisten a cambiar de volumen pero no de forma.
Fig. 1 Estructuras diversas
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2. PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS SÓLIDOS La elasticidad, relaciona el comportamiento de los cuerpos cuerpos que tienen la propiedad de recuperar su tamaño y forma cuando cesan las fuerzas que producen dichas deformaciones. Todos los cuerpos sólidos presentan propiedades elásticas en cierta medida. Al aplicar fuerzas externas sobre un cuerpo éste se deforma, aunque dichas deformaciones no se observan a gran escala, las fuerzas que resisten la deformación se vuelven fuerzas de corto alcance a nivel molecular . El comportamiento elástico del material está determinado por su estructura molecular y las fuerzas intermoleculares. La distancia intermolecular de un material no sometido a fuerzas externas depende del equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión, las moléculas ocupan posiciones que hacen mínima la energía potencial. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensión en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con una tensión intensa. En cambio, si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causará una deformación grande. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma (al modificar la posición de las moléculas del sólido) se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial y por tanto se producirá un aumento de la energía interna . Decimos que el sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, de modo que cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el sistema tiende a adoptar la configuración de mínima energía potencial y el material elástico recupera su forma original debido a las fuerzas internas que producen el reajuste de las posiciones moleculares. Más allá del límite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida, la energía no se recupera, y el material queda permanentemente deformado o se rompe. La deformación de un sólido puede caracterizarse en base a los siguientes conceptos:
Esfuerzo : El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas de corto alcance que se producen en un cuerpo por la aplicación de fuerzas exteriores, por fuerzas internas se entienden fuerzas entre elementos macroscópicos con dimensiones pequeñas en relación con aquellas típicas del sólido considerado, pero grandes en comparación con las dimensiones típicas de los cristales. El esfuerzo es proporcional a la fuerza que produce la deformación, y se define como la relación entre la intensidad de la fuerza externa por unidad de área de la sección transversal.
Deformación : medida del grado de deformación, variación relativa de la forma o dimensión de un cuerpo sometido a esfuerzo. Depende del material que se deforma y de la naturaleza de la deformación:(estiramiento, deformación:(estiramien to, aplastamiento, compresión, torsión).
Módulo de elasticidad: para esfuerzos pequeños, se encuentra que el esfuerzo es proporcional a la deformación, la constante de proporcionalidad se denomina módulo de elasticidad, que se puede expresar como: Módulo elástico= (esfuerzo)/(deformación) (esfuerzo)/(deformación) Coeficiente de elasticidad : Si el esfuerzo es lo suficientemente pequeño la deformación es proporcional al esfuerzo, denominándose la constante de proporcionalidad coeficiente de elasticidad. El coeficiente de elasticidad nos cuantifica la facilidad que tiene un objeto para deformarse y el módulo de elasticidad la resistencia que opone al ser deformado. Un material es, por tanto, más elástico cuando menor sea su módulo de elasticidad. En los sólidos reales los coeficientes de elasticidad pueden depender también de la dirección en que es aplicado el esfuerzo, no son por tanto, isótropos en lo que a propiedades elásticas se refiere. Sin embargo, en este tema se considerarán sólo sólidos isótropos . F
Fig. 2 Un cuerpo en equilibrio Los átomos tienen una posición donde la energía interna es mínima
F
Fig. 3 El trabajo realizado por F aumenta la energía potencial interna y cambia la coniguración de los átomos
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2.1 ELASTICIDAD DE LONGITUD: TENSIÓN La elasticidad de longitud mide la resistencia del sólido al cambio de longitud. Consideremos una barra que está sometida a dos fuerzas opuestas que actúan perpendicularmente a las caras del sólido como ilustra la figura 4 y tienden a estirarlo (tracción) o a comprimirlo (contracción). Las fuerzas aplicadas pasa por el centroide de l a sección considerada. En cada caso l as fuerzas internas de nivel molecular se resisten a la deformación longitudinal de tracción o contracción. Si evaluamos la distribución de fuerzas internas en una porción de la barra, las fuerzas internas se hallan uniformemente distribuidas sobre la sección transversal, la resultante de las fuerzas aplicadas pasa por el centroide de la sección considerada. Puesto que cada porción está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan en direcciones contrarios deben tener igual valor F, a dicha fuerza resultante interna se denomina tensión. l
l
F
F F F F Fig. 4.a Barra sometida a tensión de tracción
F
l
l
F
F F F F Fig. 4.b Barra sujeta a tensión de com presión En la porción de la barra sometida a tensión uniaxial, definimos el transversal como:
σ =
F
esfuerzo de tensión sobre la sección
F
F
A l l+∆ l
Fig. 5. donde σ es el esfuerzo unitario (N/m ), F es la fuerza aplicada (N) y A es el área sobre la cual a ctúa la fuerza (m2) 2
El cambio de longitud que sufre la barra bajo esfuerzo de tensión uniaxial, se conoce como deformación longitudinal ∆ l . La deformación unitaria se define como el cambio en la longitud por unidad de longitud, esta magnitud es adimensional (no tiene unidades):
λ =
∆l
l
El módulo de elasticidad de longitud, que relaciona el esfuerzo y la deformación unitaria se define como:
σ Y = λ
F Y = A ∆l l
El módulo de elasticidad de longitud Y mide la resistencia del sólido al cambio de longitud, es decir es una medida de la rigidez del material de cuan deformable sea; entre mayor sea el valor de Y, mayor es la rigidez del material. Este valor fue calculada a principios del siglo XIV por Thomas Young; por lo que se le llama módulo de Young. El m ódulo de Young de un m aterial cualquiera puede cambiar con la temperatura.
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Esta ley es válida para la tracción y la contracción. Hay materiales para los que el módulo de Young para un esfuerzo de tracción es diferente al de contracción, por ejemplo el cemento. El cemento MDF (Macro-Defect Free) tiene una resistencia a la compresión 300 MPa, se encuentra que la resistencia a la tracción es muy baja, aproximadamente se encuentra entre 5% a 15% de la resistencia de comprensión. Un porcentaje óptimo puede considerarse en el orden del 10%. La deformación también se encuentra en el mismo rango correspondiente a la resistencia a la tracción. Cuando se somete un sólido a un esfuerzo de tensión no sólo cambia longitudinalmente sino también se modifica las otras direcciones, se observa que su sección transversal disminuye en tracción y aumenta en el caso de contracción. Experimentalmente, se observa que la deformación transversal es proporcional a la deformación longitudinal, cumpliendo, ∆a
a
=
∆h
h
= −u
∆l
l a
F h ∆L
Fig. 6 Deformación lateral El signo menos de la ecuación anterior refleja que cuando la sección longitudinal aumenta, las otras dimensiones disminuyen. La constante u se denomina coeficiente de Poisson y es un parámetro adimensional. Aunque se le denomina coeficiente por razones históricas hay que tener presente que no es un coeficiente de elasticidad en el sentido habitual. En la mayoría de metales el coeficiente de Poisson está comprendido entre 0.25 y 0.45, pudiendo utilizarse como regla práctica u ≈1/3 para metales. En un sólido isótropo, sólo hay dos constantes elásticas independientes, de modo que las constantes elásticas se pueden expresar en función del módulo de Young y del coeficiente de Poisson.
CURVA ESFUERZO DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN UNITARIA Experimentalmente se realizan ensayos de tensión, donde la muestra se somete a un esfuerzo de tracción axial a lo largo de su eje longitudinal. La figura 7 muestra la curva a típica del esfuerzo de tensión con respecto a la deformación unitaria, ésta curva permite evaluar varias propiedades mecánicas de los materiales, característica inherente del material que permite diferenciar uno de otro bajo fuerzas externas. En la figura 7 se distinguen claramente dos tipos de comportamiento:
b
c
d
λ λ o Fig. 7 Relación entre esfuerzo y deformación.
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Deformación Elástico: Ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcance un valor en (c) de la Fig. 7, llamado límite de elasticidad. En esta zona, si el material es sometido a esfuerzo, al suprimir el mismo, éste retoma su forma original sin sufrir deformación permanente. Al principio del estiramiento, para esfuerzos suficientemente pequeños, la deformación es proporcional al esfuerzo, es en esta zona que es válida la Ley de Hooke. Esta zona de proporcionalidad elástica ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcanza un valor llamado “límite de proporcionalidad” (punto b). Más allá del límite de proporcionalidad, la gráfica se desvía de la recta y no existe una relación sencilla entre el esfuerzo y deformación. Sin embargo la deformación es reversible y cuando cesa el esfuerzo el material recupera su estado original.
Deformación plástica o flujo plástico: Si la muestra se somete más allá del límite elástico (Fig. 7), entra la zona plástica en donde si quitamos el esfuerzo aplicado el material no vuelve a su estado original y queda permanentemente deformado, esto es el material presenta efectos de histéresis (líneas punteadas donde muestra una deformación permanente λ o cuando cesa el esfuerzo aplicado). Si el esfuerzo continua incrementándose, el punto final de esta zona es en el que se produce la fractura o ruptura del material, por ello se le denomina punto de fractura (d). El esfuerzo necesario para causar la fractura recibe el nombre de esfuerzo de ruptura, o resistencia límite. Entre el límite elástico y el punto de ruptura, a menudo existe una zona de fluencia, donde el material se deforma fácilmente, sin necesidad de aumentar el esfuerzo (región plana de la curva). Dependiendo del tipo de material, esta región de fluencia puede o no existir, si esta región es pequeña o inexistente, el material es frágil, si esta región es amplia, el material es dúctil. σm e s f u e r z o
d
deformación
Fig. 8 Procesos, hasta la ruptura de la muestra
Es de vital importancia para los ingenieros que el diseño de estructuras por ejemplo, se realicen dentro de la zona elástica lineal o proporcional, para evitar que las estructuras falle.
Fig. 9. Curvas esfuerzos- deformación a la tensión, para distintos materiales. Los gráficos son cualitativos.
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Tabla 1. Valores comunes para módulos elásticos Sustancia
Módulo de Young (N/m2)
Módulo de corte (N/m2)
Módulo volumétrico (N/m 2)
Aluminio
7.0 x 10
2.5 x 10
7.0 x 10
Latón
9.1 x 1010
3.5 x 1010
6.1 x 1010
Cobre
11 x 1010
4.2 x 1010
14 x 1010
Acero
20 x 10
8.4 x 10
16 x 10
Tun steno
35 x 10
14 x 10
20 x 10
Vidrio
6.5 –7.8 x 10
2.6 – 3.2 x 10
5.0 – 5.5 x 10
Cuarzo
5.6 x 10
2.6 x 10
2.7 x 10
A ua
0.21 x 1010
Mercurio
2.8 x 1010
Tabla 2. Resistencia a la tensión de varios sólidos Material Alambre de acero para piano Acero
Resistencia a la tensión MN/m2 3000 400 – 1500
Hierro colado
70 – 250
Aluminio puro
70
Aleaciones de aluminio Cobre Aleaciones de titanio Vidrio
140 – 550 140 700 – 1400 30 – 170
Seda de araña
250
Tendón humano
100
Licuación de los suelos por un sismo Básicamente afecta a suelos como arenas de baja compacidad o arcillas débiles en presencia de agua (saturadas o sumergidas); ocurre cuando la presión del fluido contenido en los espacios intergranulares aumenta repentinamente como consecuencia de la presión inducida por el paso de ondas sísmicas, haciendo que el contacto entre los granos disminuya a tal grado que el cuerpo llega a comportarse, por unos instantes, como un líquido denso. Lo anterior ocasiona deslizamientos en laderas o que l os edificios pierdan la verticalidad en mayor o menor grado aunque sin sufrir, en muchos casos, daño considerable en su estructura. Es este caso, el suelo pierde toda su r esistencia a corte y se comporta como un líquido. Los rellenos aún compactados son materiales muy susceptibles a licuación.
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Teoría del rebote elástico en un sismo. En la corteza de la Tierra se acumula energía, gracias a procesos de deformación elástica. La figura 10 que ilustra el proceso de liberación de esa energía, muestra como se produce la ruptura de una capa de rocas, después de superar el límite elástico. Allí resulta un conjunto de bloques desplazados a lo largo de las líneas de ruptura. La corteza terrestre está prácticamente, siempre y en todas partes, sometida a algún tipo de tensión. Las mayores concentraciones de tensiones se producen a lo largo de los límites entre las placas corticales, e incluso en su interior donde pueden producirse acumulaciones de tensiones que superen la competencia elástica de las rocas. La ruptura de las rocas debajo de los volcanes se produce debida a los movimientos de ascenso de magma y a la liberación explosiva de gases volcánicos. Siendo esto así, en todo momento existen en el mundo diversos sectores, grandes o pequeños, en que los esfuerzos elásticos acumulados en la corteza terrestre hacen que las rocas que allí se encuentran estén muy próximas a su punto de rotura probable. En estas circunstancias, basta un pequeño esfuerzo adicional para desencadenar un terremoto, comprendiéndose, por tanto, que los cambios causados por la tensión consecuente de un gran terremoto pueden provocar una reacción en cadena que se tr aducirá en una serie d e sacudidas grandes o pequeñas. También es factible que las pequeñas alteraciones en el campo de esfuerzos de la corteza, generadas por el paso de depresiones ciclónicas profundas o por los ciclos de mareas terrestres, puedan desencadenar auténticas sacudidas.
Fig. 10. Teoría del r ebote elástico: 1. deformación elástica, 2. fisuras de tensión, 3. fisuras de tensión y compresión, 4. fallamiento y liberación de la energía de deformación por ruptura
Concreto La gráfica esfuerzo deformación del concreto (fig. 11) nos muestra que el concreto posee una mayor capacidad para resistir esfuerzos de compresión que para soportar esfuerzos de tracción. Debido a este comportamiento, el concreto se emplea dentro de las estructuras para resistir esfuerzos de compresión y la parte de los esfuerzos de tensión o tracción es absorbida por el acero de refuerzo con que van armadas las estructuras. La resistencia a tracción del concreto se encuentra entre 5 a 15% de la resistencia a compresión, tomándose como porcentaje óptimo el 10%. El concreto presenta un comportamiento frágil bajo esfuerzos de tracción y de corte. Por esta razón, el esfuerzo de tensión que pueda soportar es casi siempre despreciable en el diseño de estructuras. Resistencia a la compresión = 20x10 6 N/m2
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Fig. 11. Gráfica Esfuerzo - Deformación del Concreto Simple La curva característica de esfuerzo-deformación del acero permite visualizar la manera en que se comporta el material ante esfuerzos de tensión (figura 12).
Fig.12. Gráfica característica esfuerzo – deformación del acero. Cabe decir que, para las diferentes clases de aceros, esta curva varía en función de la cantidad de carbón que poseen las barras
Ley de HOOKE Podemos expresar la ley de Hooke a partir de la expresión del módulo de Young. Para esfuerzos pequeños hay un proporcionalidad entre el esfuerzo de tensión y la deformación unitaria: σ = Y λ
F A
= Y
∆l
l
YA ∆l l
F =
La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada. El trabajo realizado en la deformación de un cuerpo se acumula en forma de energía elástica interna en el cuerpo. Para aumentar la longitud un una barra de longitud inicial l en un diferencial d( ∆l), se realiza un diferencial de trabajo dW, dado por:
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dW = F d (∆l )
∫
W = ( W =
YA
l 1 YA
∆l ) d ( ∆l )
a
(∆l ) 2
F
2 l ∆l 1 W = Y ( Al )( ) 2 l 2 1 W = YV λ 2 = ∆U 2 ∆U 1 2 = Y λ V 2
h ∆l
l
La última expresión, determina la energía potencial acumulada por unidad de volumen.
2.2
MÓDULO DE CORTE : ELASTICIDAD DE LA FORMA
Los esfuerzos de tensión están relacionados con esfuerzos normales porque las fuerzas actúan perpendicularmente a la superficie. Ahora evaluaremos los esfuerzos generados por fuerzas aplicadas en dirección tangencial a la caras sobre las que actúan, cuando se aplica fuerzas transversales a una barra o pieza, esta experimenta fuerzas internas en el plano de la sección cuya resultante es F. Estas fuerzas internas son llamadas fuerzas cortantes . Las fuerzas distribuidas tangencialmente se denominan esfuerzos tangenciales, esfuerzos de corte o de cizalladura. El sólido reacciona inclinándose, de modo que el volumen del cuerpo permanece constante y la d eformación correspondiente se denomina de deslizamiento. La fig. 13 muestra, que cuando se aplica una fuerza tangencial F a la cara superior del bloque éste se desliza, inclinándose la cara vertical un ángulo θ, mientras que la otra cara horizontal se mantiene fija. El deslizamiento del bloque lo podemos explicar asumiendo que está constituido por sucesivas placas planas o láminas (fig. 13), de modo que cuando se aplica la fuerza tangencial en la cara superior, éste desliza a la placa inferior y así sucesivamente entre las otras placas. El deslizamiento entre las placas se da debido a las fuerzas internas de fricción entre placas, estas fuerzas internas dan lugar al esfuerzo cortante o de cizalladura. La placa en contacto con la superficie permanece en reposo, y como el bloque permanece deformado en equilibrio la fuerza de la superficie de apoyo sobre ella es de igual valor y dirección contraria a F.
F
x
y
A
F
F
θ F
A
F (a) (b) (c) Fig. 13 (a) Fuerza tangencial sobre un bloque (b) Deslizamiento de las placas que constituyen el bloque (c) distribución uniforme de fuerzas internas en una lámina interna del bloque Para una distribución uniforme de las fuerzas internas se define el esfuerzo de corte o de cizalladura como:
σ s
=
F A
Donde F es la resultante tangencial de la fuerzas internas que actúan sobre la superficie de área A. La deformación de corte o cizalladura o deformación angular, se define como la tangente del ángulo de deformación
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λs
=
λ s
=
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tan θ ∆ x
y
Para ángulos θ muy pequeños se puede aproximar a:
λs
=
tan θ ≈ θ
λs
= θ
La relación entre el esfuerzo de corte σs y su deformación λ s se llama módulo de elasticidad de corte G:
G=
σ s λ s
F G = A
θ
Fig. 14 Relación entre el esfuerzo de corte y de t ensión El módulo de corte (también llamado Coeficiente de rigidez) mide la resistencia al movimiento de los planos de un sólido a deslizar uno sobre otro, mide la resistencia del sólido a deformarse. Consideramos un bloque cúbico (fig. 15) sometido a esfuerzo de corte, que se distribuye de la siguiente forma
F
n
n σ
σ F F
m
D/2
p
m
p
σ σ F (a)
q (b)
q (c)
Fig. 15. Bloque cúbico sometido a esfuerzo de corte Una deformación por cizalladura se pude considerar que es una combinación de: Esfuerzo de tracción • Contracción lateral • Es decir en una deformación de corte se pu ede considerar que se aplican simultáneamente fuerzas de tracción en un par de caras opuestas y fu erzas de compresión en otro par. Consideremos un cubo sometido a esfuerzo de corte Fig. 15a, en ella evaluamos el cubo mnpq Fig.15.b, que bajo la acción del esfuerzo de corte se desliza, dicho efecto se considera como el resultado de esfuerzos de tracción y comprensión como ilustra la Fig. 15c. Ahora determinemos la deformación longitudinal por tracción del cubo de lado mn igual a l = D/2
λ 1 =
∆l1
D
2
=
σ Y
Por efecto de la compresión el lado np tiene una deformación unitaria λ
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λ =
∆l
D
=−
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σ Y
2
La compresión estira más el lado mn, la que se deduce mediante:
λ2
=
λ 2
∆l2
D
= −uλ
2
σ
=u
Y
La deformación unitaria total del lado nm resulta
λ1 + λ 2 ∆l
D
=
=
∆l1
D
+
2 σ (1 + u )
∆l2
D
=
σ Y
2
+u
σ Y
Y
2
La deformación unitaria, para una longitud D resulta: ∆ D
2∆l
=
D ∆ D
D ∆l σ (1 + u ) = = D D Y 2 ∆ D σ (1 + u ) Y
=
λ s
=
x
D l
La deformación de corte del bloque cúbico resulta:
λs
Q
45º
=
D
D
F
tan θ
θ
∆ x
y
F Fig. 16. Desplazamiento ∆x
Para desplazamientos muy pequeños, el ángulo en Q de la Fig. 16 tiende a ser perpendicular a la prolongación del diámetro D, por lo que resulta: ∆ x =
y =
λ s
=
λ s
=
2 ∆D
D
2 2 2
∆ D
D σ (1 + u ) Y
Luego, el módulo de corte o de cizalladura, al igual que el módulo de compresibilidad, se puede expresar en función del módulo de Young y del coeficiente de Poison:
G=
σ s λ s
=
σ
G=
2σ (1 + u ) Y
Y
2(1 + u )
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De los valores del coeficiente de Poisson se deduce que el valor del módulo de cizalladura suele estar comprendido entre Y/3 e Y/2. 2.3
MÓDULO VOLUMÉTRICO. ELASTICIDAD DE VOLUMEN:
El módulo volumétrico caracteriza la respuesta de un cuerpo a una fuerza uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda su superficie. Si consideramos un sólido de forma cúbica (Fig. 17), al cual se aplican fuerzas uniformes en todas sus caras; este es el caso, por ejemplo, cuando sumergimos un sólido en un recipiente lleno de un líquido; el esfuerzo de volumen, llamado en este caso presión, se define como: ∆ p =
F A
La deformación de relativa del volumen del cuerpo, es: ∆V
V El Módulo volumétrico β, que mide la resistencia que sólidos o líquidos presentan a los cambios de volumen, se define como:
β = −
∆ p ∆V
V
F β = − A ∆V V
F Fig. 17. Esfuerzo volumétrico A
El signo menos garantiza que β sea positivo, en razón que V es menor que cero p uesto que el cubo se comprime. Al recíproco del módulo volumétrico se denomina módulo de comprensibilidad del material. Para el sólido cúbico, se demuestra la siguiente relación que vincula el módulo de Young y el coeficiente de Poisson
β =
Y
3(1 − 2u )
En el cubo de la Fig. 18, se muestra el cambio de volumen cuando es sometido a esfuerzo de volumen Las variaciones de sus lados serán respectivamente: ∆a , ∆l y ∆h Determinemos el cambio de volumen del cubo: l El volumen inicial es:
V = lha
a
El volumen final
a + ∆a h + ∆h l + ∆l )( )( ) a h l h ∆a ∆h ∆l V ´= V (1 + )(1 + )(1 + ) a h l ∆a ∆h ∆a ∆h ∆l ∆a ∆l ∆h ∆l ∆a ∆h ∆l V ´= V (1 + ) + + + + + + a h a h l a l h l a h l V ´= lha (
Fig. 18. Cambio de volumen del cubo sujeto a presión
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La variación de volumen resulta: ∆V = V ´−V ∆V
V ∆V
=
≈
∆a
+
a ∆a
V
+
a
∆h
h ∆h
+
∆l
+
∆a ∆h
l +
a
h
+
∆a ∆l
a
+
l
∆h ∆l
h l
+
∆a ∆h ∆l
a
h l
∆l
h
l
Ahora determinemos la variación longitudinal de un lado del cubo, el lado de longitud l; para ello consideraremos la variación de la longitud de l es el efecto de la compresión directa ∆l1 mas el efecto de alargamiento por la comprensión de los lados a y h qu e denominaremos ∆l2 y ∆l3 respectivamente l De modo que ∆l1
∆l = ∆l1 + ∆l 2 + ∆l3
Calculemos ∆l1 por la comprensión del lado l F
F
= Y
A ∆l1
(−∆l1 )
=−
l
l F
A
YA
Fig. 19. Deformación longitudinal en l
La variación del lado h por comprensión es F
F A
= Y
(−∆h2 )
∆l2
A
h
Comprensión que genera el alargamiento de l dado por ∆l2
l
∆h2
∆h2
= −u
h
h
Resultando ∆l2
l
=u
F YA Fig. 20. Deformación longitudinal en h
De igual manera para el lado a, la comprensión de a genera un alargamiento de l dado por ∆l3
l
=u
F YA
De modo que la variación longitudinal total de l es: ∆l
l ∆l
=
∆l1
l =−
l ∆l
l
+
=−
∆l2
+
l F
YA F YA
+u
∆l3
l F YA
+u
F
YA
(1 − 2σ )
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Por simetría para un cuerpo homogéneo la variación longitudinal de los lados h y a son respectivamente ∆h
=−
h
F YA
∆a
(1 − 2u )
F
=−
a
YA
(1 − 2u )
De donde podemos obtener: el cambio de volumen t otal ∆V
V
≈
∆a
+
∆h
a
h
+
∆l
∆V
l
V
=−
F YA
3(1 − 2u)
Reemplazando en la expresión del módulo volumétrico obtenemos la relación con el coeficiente de Poisson
F
F β = − A ∆V V
β =
A F YA
3(1 − 2u)
β =
Y
3(1 − 2u)
Relación que es válida para un sólido isótropico de forma cualquiera ya que siempre podemos considerar que todo sólido está formado por cubos infinitesimales. De la última expresión, podemos deducir que el coeficiente de Poisson debe ser menor que 1/2 para que β sea positivo. Incidentalmente, si u tiende a 0.5, β tiende al infinito, o sea el material sería incompresible.
3. FLEXIÓN Los cuerpos pueden experimentar esfuerzos de tensión y compresión al mismo tiempo, así tenemos por ejemplo, una viga horizontal apoyada en sus extremos, este se flexiona por su propio peso (pandea). Encontramos, que la parte superior de la viga disminuye de longitud en consecuencia está sujeto a compresión y la parte inferior aumenta de longitud y está en tracción. Para minimizar el esfuerzo y por consiguiente la deformación por flexión, las partes superior e inferior, de la viga deben tener una sección transversal grande. Los esfuerzos máximos de compresión o tracción se encuentran en los extremos de la viga (Fig. 21) y van disminuyendo conforme se acercan a la línea central (zona neutra) de la viga, zona que no está sujeta ni a compresión ni tracción, así que esta parte puede tener una sección pequeña; esto ayuda a minimizar el peso de la viga y reducir el esfuerzo. Es decir si se quiere una barra que se flexione poco para un esfuerzo dado, será preciso disponer la materia de manera que esté lo más alejada posible del hilo neutro. De ahí la forma de doble T de las secciones de las vigas y la forma que se les da a los carriles de ferrocarril. F θ r Compresión
θ dF y L
Tracción Fig. 21. Viga sujeta a flexión y zona neutra
∆L
Fig. 22 Porción de una viga sujeta a flexión
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En la Fig. 22 se muestra una porción de una viga flexionada. La longitud no deformada de un sección de la viga a una distancia y de la zona neutra es L=r θ, la longitud sujeta a compresión será L`= (r-y) θ. De modo que el esfuerzo de compresión resulta:
Y Y
∆ L
=
dF
L dA rθ − ( r − y )θ
=
rθ yθ dF Y = rθ dA Y
y 2
r YI r
dF dA
dA = ydF
= M
Fig. 23. Viga sujeta a flexión. Esfuerzos de com presión y tracción debidos al momento flector M que surge.
4. TORSIÓN Consideremos una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a una cupla aplicado en un plano perpendicular el eje, como se muestra en la figura, se d ice que la barra esta sometida a torsión simple. Una torsión simple se presenta muy pocas veces, en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, aplicando el principio de superposición de efectos, a partir de la torsión simple se puede llegarse a otros casos de torsión compuesta. Para una torsión simple consideraremos que las secciones normales al eje de la barra permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión y las secciones transversales mantienen su forma. Como consecuencia, resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. En estas condiciones determinaremos qué tipo de esfuerzos genera la torsión simple y cual es s u distribución. La presencia de esfuerzos normales σ a la sección transversal de la barra, en caso de tener una distribución uniforme haría que exista una deformación resultante longitudinal lo cual no se muestra en una torsión simple; por lo que la distribución del esfuerzo no debería ser uniforme, sin embargo ello generaría deformaciones especificas longitudinales variables de punto a punto, y la sección tranversal de la barra no continuaría siendo normal al eje y no se mantendría plana. En consecuencia en una torsión sólo debe haber esfuerzos tangenciales. Si tomamos un elemento diferencial, el esfuerzo tangencial a la sección deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de radial que originaría variaciones del tamaño del área de la sección. En resumen en una torsión simple: sólo existen tensiones tangenciales, la distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica y su dirección es normal al radio
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FISICA II 2012
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A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello consideramos que aislamos un tubo de espesar ∆r torsionada y de ella tomamos un paralelepípedo de longitud ∆L (Fig. 25). El ángulo que giran será θ, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión ”.
σs R θ
γ
R L Fig. 24 Torsión de una barra y distribución de esfuerzo de corte r
s
γ
r θ
l s γ
L Fig. 25. Evaluación del esfuerzo de corte en una porción cúbica de la barra Así tenemos geométricamente: ∆ Lγ = ∆s = r θ ∆ Lγ = r θ ∆A= ∆l∆r El esfuerzo de corte que desplaza un ∆s es ∆F ∆ A
θ
=G
∆F = G
r
∆L
θ ∆ L
∆Fr = G ∆ M = G
r ∆A
θ ∆ L
θ ∆ L
r 2 ∆A
dM = G
θ ∆ L
2
r dA
θ
∫ dM = G ∆ L ∫ r dA M = G
θ ∆ L
2
I
r 2 ∆A
LA PLASTICIDAD MODELA PAISAJES Flujo “plástico” de tierras El hielo fluye plásticamente en los glaciares. La corteza, el manto y hasta el núcleo sólido de la tierra están en un continuo proceso de deformación plástica Las arrugas plásticas de la corteza terrestre crean las grandes cordilleras, como el Himalaya. Internamente, las rocas y minerales muestran también signos microscópicos de las deformaciones plásticas La plasticidad está casi siempre presente en la rotura, incluso, localmente, en las roturas frágiles.
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FISICA II 2012
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MATERIALES DÚCTILES Y FRÁGILES Los materiales como el acero dulce, que alcanzan una gran deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles” y los materiales como el acero duro donde la rotura se produce sin grandes deformaciones se denominan “frágiles”.
Figura. Curva esfuerzo deformación de materiales frágiles y dúctiles
ELASTICIDAD: NOTAS FUNDAMENTALES • • •
• • • •
•
• •
• • •
Plasticidad: El cambio de disposición de los átomos en el mismo elimina la energía elástica y por ello conserva la deformación. Plasticidad, capacidad de cambiar de forma y conservarlo. El límite elástico depende de las impurezas, por ejemplo el aluminio monocristal tiene un límite elástico de 40N/cm2 y λ=10-5, el aluminio comercial tiene 10000N/cm 2 Endurecimiento. Si se somete a deformación plástica el límite de elasticidad se eleva. Ejemplo. El monocristal zinc tiene un límite elástico menor que luego de doblar fácilmente con los dedos se hace difícil enderezar puesto que su límite elástico aumenta. La propiedad del metal al elaborarlo en frío implica endurecimiento por deformación plástica. El vidrio no es capaz de deformarse plásticamente. Fluencia. Bajo una tensión igual al límite de fluencia, el cuerpo aumentará indefinidamente la deformación fluirá como un líquido. Un metal en que se produce muy poca deformación plástica antes de su ruptura se denomina frágil. Si se deforma un objeto, los esfuerzos pueden ser altos al principio, pero decaen lentamente con el tiempo. Además si van a esfuerzos altos, no hasta el punto de ruptura, cuando baja la deformación el esfuerzo retornará siguiendo una curva diferente llamado Histéresis. La histéresis es una indicación de que parte del trabajo mecánico se pierde durante el ciclo de estiramiento y contracción. Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensióndeformación no tiene ningún tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresión anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al módulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensión de estiramiento y la deformación obtenida no son directamente proporcionales. La tiza: presenta mayor resistencia al esfuerzo de corte que al de tensión. Concreto: Esfuerzo o resistencia a la tensión = 2x10 6 N/m2 Resistencia a la compresión = 20x10 6 N/m2 Resistencia al corte = 2x10 6 N/m2 En general el concreto es quebradizo cuando se moldea en secciones delgadas Losas pre-esforzadas: Concreto se refuerza aun más pre esforzándolo con varillas de acero bajo tensión. CONCRETO: Los esfuerzos generados en los pavimentos de concreto tienen diferentes orígenes. Algunos se deben a las características mismas del concreto y se presentan como consecuencia de las reacciones del cemento con el agua y se conocen como esfuerzos de retracción por secado, otros esfuerzos que se presentan en las losas se deben a las cargas a que se ven sometidas durante la vida útil, otro tipo de esfuerzos son los que se presentan por los cambios térmicos y de humedad en las losas.
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FISICA II 2012
• • • •
•
Kléber Janampa
El acero es un ejemplo de normalidad: su módulo de Young es el mismo en tracción que en compresión, y las resistencias a la tracción y a la compresión también son iguales. El hormigón, sin embargo, aunque tiene el mismo módulo de Young en ambos casos, presenta una 2 2 resistencia a la tracción de 2 MN/m , pero tiene una resistencia a la compresión de 17 MN/m . 2 2 Y el hueso humano tiene un módulo de Young de 16 GN/m en tracción, que baja a 9 GN/m en 2 2 compresión, con una resistencia en tracción de 200 MN/m y de 270 MN/m en compresión. Esfuerzos debido al alabeo : Durante el día cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más alta que en la inferior, la superficie superior tiende a expandirse con respecto al eje neutro mientras que la inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso de la losa restringe tanto la expansión como la contracción; entonces, se inducen esfuerzos de compresión en la parte superior y de tracción en la inferior. En la noche cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más baja que la de la inferior y así se inducen esfuerzos de tensión en la parte superior y de compresión en la inferior. Fatiga: la fatiga de materiales se refiere a un fenómeno por el cual la rotura de los materiales bajo cargas dinámicas cíclicas (fuerzas repetidas aplicadas sobre el material) se produce ante cargas inferiores a las cargas estáticas que producirían la rotura. Un ejemplo de ello se tiene en un alambre: flexionándolo repetidamente se rompe con facilidad, pero la fuerza que hay que hacer para romperlo en una sola flexión es muy grande. La fatiga es una forma de rotura que ocurre en estructuras sometidas a tensiones dinámicas y fluctuantes (puentes, automóviles, aviones, etc.). Su principal peligro es que puede ocurrir a una tensión menor que la resistencia a tracción o el límite elástico para una carga estática, y aparecer sin previo aviso, causando roturas catastróficas. Es un fenómeno muy importante, ya que es la primera causa de rotura de los materiales metálicos (aproximadamente el 90%), aunque también está presente en polímeros (plásticos, composites,...), y en cerámicas.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una barra de cobre de 90cm de longitud y sección transversal 3.2cm 2 está unida, extremo con extremo a una barra de acero de longitud L y sección 6.4cm 2. La barra compuesta es sometida a sus extremos a tensiones iguales y opuestas de 30000N (a) calcular la longitud L de la barra de acero si son iguales los alargamiento de ambas barras (b) cuál es el esfuerzo en cada barra. (c) y la deformación específica?.
F
F
Lcu =90cm
Lac= L
Solución
F
F
Lcu=90cm
Lcu
Lac= L
Lac
(a) La deformación de cada material es:
F Y = A ∆ L L
→
∆L =
F YA
L
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FISICA II 2012
F
∆ Lcu =
Lcu
Ycu Acu F
∆ Lac =
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Lac
Yac Aac
Igualando ∆ Lcu = ∆Lac
F Ycu Acu Lac = Lac =
Lcu =
Yac Aac Ycu Acu
F Yac Aac
Lac
Lcu
− 20.6 x1010 Nm 2 x6.4 cm2
10 2 −2 8.2 x10 Nm x3.2cm Lac = 452.2cm
90cm
(b) el esfuerzo en cada barra
σ ac
=
σ ac
=
σ cu
=
σ ac
=
F Aac
30000 N −4
6.4 x10 m F
2
=
7 −2 4.69 x10 Nm
=
− 2.34 x10 7 Nm 2
Acu
30000 N −4
3.2 x10 m
2
(c) la deformación específica ∆ Lcu = ∆ Lcu =
F Ycu Acu
Lcu
30000 N 2 −2 −4 8.2 x10 Nm x3.2 x10 m 10
90cm = 0.102cm
2. Suponga que para generar un agujero en la placa de 8mm se usa un punzón de diámetro d=20mm tal como se muestra en la figura. Si se requiere una fuerza de 110kN para realizar el agujero. ¿Cual es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión en el punzón?
Solución
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FISICA II 2012
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Para determinar el esfuerzo de corte sobre la placa, debemos identificar el área sobre la que actúa las fuerzas cortantes, dicha área es el área lateral dado por: P
A = (π d )t −
−
A = π x 20 x10 3 x8 x10 3 m2 −
A = 5, 02 x10 4 m2 El esfuerzo de corte resulta
σ c σ c
=
F A
110 x103 N
=
−4
5,02 x10 m
2
=
2, 2 x108 Nm−2 P
El esfuerzo de presión en el punzón se da en el área
A = (π d 2 ) / 4 A =
π x(20 x10−3 ) 2 4 −4
A = 3,14 x10 m
m
2
2
El esfuerzo de compresión resulta
σ = σ =
P
F A 3 110 x10 N −4
3,14 x10 m
2
8
= 3, 5 x10 Nm
−2
3. Un tubo de acero de L=4pies de longitud, diámetro externo d 2=6pulg y diámetro interno d 1=4,5 pulg se comprime con una fuerza axial P= 140klb. El módulo de elasticidad del material es Y= 30x10 6lb/pul2 y la relación de Poisson es u=0,3. Determine las siguientes variables para el tubo: a) el acortamiento b) la deformación unitaria lateral c) el aumento del diámetro interior y exterior d) el aumento del espesor de la pared Solución Esfuerzo de tensión
A =
σ
=
π 4 F A
( d 22 − d12 ) ⇒ A =
⇒ σ =
π 4
140 x103 lb 12,36 pul
2
[6 2 − (4, 5) 2 ] = 12, 36 pul 2 4
= 1,13 x10 lb / pul
P=140klb
2
Determinamos a) Acortamiento longitudinal
λ=
σ Y
⇒ λ =
1,13 x10 4 lb / pul 2 6
30 x10 lb / pul
∆l = l λ ⇒ ∆ l = 3, 7 x10
−4
2
= 3, 7 x10
−4
x4 pies = 1, 48 x10 −3 pies
b) La deformación unitaria lateral
20
FISICA II 2012
ε
=
∆d
d
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= −u λ
⇒ ε = −0,3 x(3, 7 x10−4 ) = 1,1x10 −4
c) Aumento del diámetro interior y exterior
ε =
∆d 2
d 2
∆d 2 = ε d 2
⇒ ∆ d2 = 1,1x10−4 (6 pul) = 6, 6 x10 −4 pul
∆d1 = ε d1
⇒ ∆ d1 = 1,1x10 −4 (4,5 pul) = 5, 0 x10 −4 pul
d) Aumento del espesor de la pared ∆d 2 = ε d 2 ∆d1 = ε d 1 ∆t =
∆d 2 − ∆d1
2
⇒ ∆ t =
6, 6 x10−4 − 5, 0 x10 −4 2
= 8 x10
−5
pu l
4. En el interior de un cilindro de acero absolutamente rígido, de radio interior r = 0.10m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson = 0.4), según se indica en la figura. Mediante una fuerza de F = 20000N que actúa sobre un pistón de peso y rozamiento despreciable colocado sobre el caucho, se comprime este. Calcula la presión existente entre la goma y el acero.
Solución u=0.4 Ycaucho= 0.001 GN/m2 =1x106 N/m2 r= 0.10m F= 20000N A= πr2
F = A L Y 20000 π (0.10)2 ∆ L ∆ L
=
L ∆ L L
106
= 0.64
El aumento de r resultaría ∆r
r
= −u
∆L
∆r
L
r
= −0.4 x ( −0.64)
∆r
r
=
0.26
21
FISICA II 2012
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Las fuerzas del cilindro de acero genera comprensión en el orden que debiera aumentar la dimensión de r.
∆r
r
F L =
∆r
A L
Y
P
=
r
P =Y
Y
∆r
r
P = 2.6 x105 N / m 2
5. Una barra supuestamente rígida está sustentada por dos barras circulares articuladas con la anterior, según la disposición siguiente :
La barra A tiene una tensión de 1000 kg/cm2 y sección 10 cm 2, mientras que la barra B tiene una tensión de 1200 kg/cm2 y sección 8 cm 2. Ambas barras tienen idéntico módulo de elasticidad. Hallar los valores máximos de las cargas puntuales P y Q p ara que la barra permanezca horizontal. Respuesta Q = 7142.86 kg , P = 10857.14 kg Solución
∑ M
P
T A Y =
A A
T B =
λ
T B = TA
−3.5Q + 2.5T B + 0.5T A = 0
AB
λ
A B A A
= 10000
=0
Q=
8 10
= 8000 Kg
Q=
2.5T B + 0.5T A 3.5 2.5(8000) + 0.5(10000)
3.5 Q = 7142.89 Kg
P = T A + TB − Q P = 10857.14 Kg 6. Un péndulo de torsión está formado por un alambre de cierto material que lleva a su extremo un disco homogéneo de plomo. Si el alambre es de acero, tiene una longitud de 80 cm y un diámetro de 1 mm, siendo el disco de plomo de un diámetro de 12 cm y de 1 cm de espesor. a) ¿Qué esfuerzo soportará el alambre? ¿Se superará el límite elástico? b) Si se gira el disco de plomo cierto ángulo y después se abandona de modo que realice oscilaciones. Sabiendo que el tiempo empleado en realizar 100 oscilaciones es de 315 s determinar la constante de torsión de este péndulo c) Determinar el módulo de rigidez del acero que constituye el alambre.
2
m = ρ eπ r
L=80cm
3
−2
−2
2
m = 11.3x10 x10 x3.14 x(6 x10 ) = 1.277 Kg
σ =
F A
=
12.77 N −4
3.14 x(5 x10 )
6
2
= 16.3 x10 N
/m 2
D=12cm 22
FISICA II 2012
M = (G
I a
)θ
L
M = − kθ = I
ω =
k
Kléber Janampa
d 2θ dt 2
2π
=
I
T 2
2π k = I T
=G
I a L 2
L 2π L 2π r 4 ) G= I e = ρ π ( pb 2 π r 4 T I a 315 ( ) 100 2 2
2
2π − 0.8 (6 x10 2 ) 4 −2 3 G= (11.3 x10 x10 π ) 2 π (5 x10−4 ) 4 315 100 2
9
2
= 74.5 x10 N / m
7. Obtener las distribuciones de fuerza cortante y momento flector a lo largo de la viga uniforme de longitud
L y peso W, representada en la figura 2(b), la cual se halla empotrada por uno de sus extremos 10000N 2m
4m Solución
Calculamos las reacciones en A y B 10000N 3m
A + B = 10000 4m
A
B
4 B = 1x10000 B = 2500 N A = 7500 N
Fuerza cortante V y momento flector M sobre una longitud x de la barra x <2 5000x x/2 A
x/2
V V
1.5 2 M
5000 x + V = 7500 V = 7500 − 5000 x M
23
FISICA II 2012
Kléber Janampa
X M = 5000 X ( ) + (7500 − 5000 X ) X 2 M = 7500 X − 2500 X 2 10000N
Para 2
10000 + V = 7500
V
1m
M
V = −2500 N A
x
M = −2500 X + 10000
8. Obtener las distribuciones de fuerza cortante y momento flector a lo largo de la viga uniforme que se
muestra en la fig.
P
P
d
RA
d
B
RD
C
Determinamos las reacciones en A y B
∑ M
A
= − Pd − P( L − d ) + RD L = 0
R D = P
∑ F = −P − P + R
D
+ RA = 0
R A = P
V x
Momento flector entre A y B: x
M
∑ F = P − V = 0
RA
V =P
∑ M
A
= −Vx + M = 0
M = Px
P
Momento flector entre A y B: d < x < L-d
∑ F = P − P − V = 0
V
d M
RA=P
x
V = 0
∑ M
A
= − Pd + M = 0
M = Pd
24
FISICA II 2012
Kléber Janampa P
Momento flector entre A D: L-d
M x
RA=P
V = −P
L-d
= − Pd − P( L − d ) + Px + M = 0
A
V
d
∑ F = P − P − P − V = 0 ∑ M
P
M = P( L − x) 9. Dos alambres de acero con un área de sección transversal de 0.2 cm 2, sostienen un letrero cuya masa es de 2 10 kg. (a) ¿cuál es el esfuerzo sobre cada alambre? (b) ¿en cuánto se alargará cada alambre? (Ignore su masa. Ver Fig ). Si la resistencia a la tensión del acero es de 480Mpa, determine el máximo peso de la carga que puede soportar y cuál podrá romperse primero? Y ac=20x1010 N/m2
4B/5
A
4B/5
B
3B/5 4B/5
A =
2
4 B 5
Cálculo de las tensiones
7 B
= 2100 5 B = 1500 N
1697.0.6 2 7 2 N / m = 8.48 x10 N / m −5 2 x10 1500 2 7 2 N / m = 7.5 x10 N / m σ A = −5 2 x10
σ A
A = 1200 2 N = 1697.06 N
=
Deformación unitaria
λ A λ B
=
=
σ A
=
8.48 x107 10
Y
20 x10
σ B
7.5 x107
Y
=
10
20 x10
=
−4 4.24 x10
= 3.75 x10
−4
Peso máximo 8
B = 4.8 x10 x2 x10
−5
= 9600 N
7 B
= W 5 W = 13440 N
PREGUNTAS 1. 2. 3. 4.
¿Cuáles son los tipos fundamentales de tensión? ¿Qué caracteriza el módulo de Poison? ¿Es posible que haya esfuerzos sin la aplicación de fuerzas externas? Por qué la mayor parte del acero en una viga en forma de I está en los patines superior e inferior
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FISICA II 2012
5. 6.
7. 8.
Kléber Janampa
Diferencie desde un punto de vista microscópico, el comportamiento elástico y plástico de un cuerpo Una columna vertical de concreto armado soporta una carga axial, explique en ella qué significa estar sujeto a esfuerzos de compresión. Luego, indique en qué condiciones la columna estará en posibilidad de pandearse y en estas condiciones a qué tipos de esfuerzo está sometido Una viga apoyada sobre sus extremos, se flexiona debido a su peso. A qué tipos de esfuerzo está sometido? Explique. La tabla muestra, valores de módulos de elasticidad y resistencias de algunos materiales. Analice comparativamente el significado de cada valor.
Material
Y (Young) x109 N/m2
Rest. Tracción x106 N/m2
Rest. compresión x106 N/m2
M (Cizalladura) x109 N/m2
B (Volumétrico) x109 N/m2
Acero
200
520
520
84
160
Hierro
190
390
-
70
100
EJERCICIOS PROPUESTOS 1-
Un cable de acero se encuerda entre dos apoyos adjuntos al techo (Figura). Inicialmente, no hay ninguna tensión en el cable cuando está horizontal. Entonces, desde el centro del cable se cuelga un cuadro de 96N, como el dibujo ilustra, formando un ángulo de 26º con respecto a la horizontal. ¿Cuál es el radio del cable? E=200x10 9 N/m2. 26º
96N 2-
Sea la barra AB de la figura 2 articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y por la de cobre CD. Considérese absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 20000 kg. La longitud de CD es de 90 cm y la de EB 150 cm. Si la sección CD es de 5 cm 2 y la de EB 3 cm 2, determinar la tensión y esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB. Para el cobre, E=1.2·106 kg/cm2 y para el acero E=2.1·10 6 kg/cm2.
3-
Un paralelepípedo de un material elástico, con módulo de Young Y y módulo de Poisson u y de dimensiones a, b y c, se introduce en una cavidad de anchura b de paredes completamente rígidas, planas y perfectamente lisas, como se indica en la figura. Se aplica sobre la cara superior, perpendicularmente a ella, una fuerza constante p por unidad de superficie. Se pide: (a) esfuerzos a los que está sometido; (b) deformaciones sufridas por el paralelepípedo; (c) variación de la longitud de cada uno de sus lados.
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Kléber Janampa
4-
Dos miembros se unen mediante un tornillo AB de aluminio como se muestra en la figura 4, si la carga P = 36.000N, y el esfuerzo cortante permisible es de 90 MPa. , halle el diámetro mínimo requerido del tornillo para el cual no falle.
5-
Una barra de sección variable y peso despreciable está empotrada en su extremo inferior y sometida a las cargas que se indican en la figura 5. Se pide determinar: Tensión máxima, indicando donde se dará, e incremento de longitud de cada barra sin son de igual longitud inicial. Datos: Y = 210000 N/mm 2. 2000N
1 cm2 1000N 2cm2
4 cm2
6-
7-
8-
2000N
2m
En la barra prismática suspendida verticalmente cuya sección es A= 40cm 2 cuya densidad relativa es de 7.8 se coloca la carga Q=100MN, según que ley varía la tensión de tracción en la barra a la distancia x del punto de actuación de la carga? En un cable de sección A= 20cm 2 se coloca una carga de Q=5MP¿cuál es la longitud del cable admisible considerando el peso propio como carga estática, si la tensión de tracción en el cable junto al tambor ha de ser σ =3000kp/cm2, densidad relativa del cable 7,8. Una varilla redonda de acero de 8 pies de longitud esta sujeta a una carga axial de tensión de 8000 lb. ¿Qué diámetro debe tener la varilla si el esfuerzo de tensión no debe exceder de 16 000lb/plg 2 y el
27
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9-
10-
11-
12-
13-
14-
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alargamiento debe ser menor que 0,075plg? Supóngase que se consiguen varillas con incrementos de 1/16plg de diámetro. El modulo de elasticidad de acero es de 30 000klb/ plg 2. Una varilla de acero de 10mm de diámetro y 2m de longitud esta sujeta a una fuerza de tensión de 18000 N. El modulo de elasticidad del acero es de 200Gpa. Determinar a) la deformación unitaria en la varilla, b) la deformación total de la varilla. Determinar la carga máxima de tensión que puede soportar una barra de aluminio de 1,5 m de longitud y de 10mm x 30mm de sección transversal. El esfuerzo de tensión no debe exceder de 100Mpa y el alargamiento debe ser menor que 2mm. Se usa aceite lubricante de densidad relativa 0,88 como fluido de trabajo en un sistema hidráulico de alta presión. Estime el cambio porcentual en la densidad del aceite cuando su presión se eleva de las condiciones ambiente hasta 300atm (man). ¿Suponer fluido incompresible es una buena hipótesis para este aceite en esas condiciones ?. Aceite : β = 1.44 GN/m2 . Sol. : 2.1 % Un pequeño poste construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26klb. Los diámetros internos y externos del tubo son d 1 = 4,0pulg y d 2 = 4,5pulg respectivamente y su longitud es de 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste debido a la carga y resulta ser de 0,012 pulg. Determinar el esfuerzo y la deformación unitaria de compresión en el poste (no tenga en cuenta el peso del poste miso y suponga que el poste no se pandea bajo la carga). Una varilla redonda de acero de longitud L y diámetro d cuelga en un tiro de mina y sostiene una canasta de mineral con peso W en su extremo inferior. a) deducir la formula del esfuerzo máximo σmax en la varilla, teniendo en cuenta el peso de la varilla misma. b) calcular el esfuerzo máximo si L=40 m, d = 8mm y W = 1,5kN En el sistema de la figura se piden las esfuerzos en los cables.
15- Obtener las distribuciones de fuerza cortante y momento flexor a lo largo de la viga uniforme de longitud L y peso W, representada en la figura 6, la cual se halla empotrada por uno de sus extremos
10000N 2m
4m
28
