Hidrostc3a1tica Janampa Quispe Kleber Ing Civil

UNSCH FISICA II-Civil

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MECÁNICA DE FLUIDOS

INTRODUCCIÓN El interés creciente por la degradación del medio ambiente, genera la necesidad de comprender la dinámica del agua en la naturaleza, facilitando el manejo y el aprovechamiento de los recursos hídricos en armonía con el medio ambiente. Mecánica de Fluidos, es el estudio del comportamiento estático y dinámico de los fluidos. Las aplicaciones de la Mecánica de Fluidos en el ámbito de las construcciones son muy variadas, por ejemplo: redes de tuberías para el agua o el gas, embalses (de líquidos e incluso de tierras), piscinas, etc. Fluidos Se denominan fluidos tanto a los líquidos y gases. La principal propiedad que distingue un fluido de un sólido es que un fluido no puede mantener un esfuerzo de corte durante ningún intervalo intervalo de tiempo. Si se aplica un esfuerzo esfuerzo de corte a un fluido este se moverá por efecto de dicho esfuerzo. En consecuencia un fluido carece de elasticidad de forma, es decir no tiene una forma propia y se puede adaptar al recipiente que lo contiene. Un fluido no presenta fuerzas internas tangenciales o éstas son muy pequeñas por lo que en los movimientos relativos entre partículas del fluido no se realizan trabajo. Los líquidos se caracterizan por ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene. Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que lo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en los líquidos y en los gases. Un líquido es bastante incompresible y en la gran mayoría de las aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su densidad sea constante. Los sólidos resisten a cambiar de volumen y forma en tanto que los líquidos resisten a cambiar de volumen pero no de forma. El estudio de los fluidos pueden efectuarse desde dos puntos de vista distintos: macroscópico o microscópico. El enfoque macroscópico adopta la mecánica de los medios continuos, que considera al fluido como un medio continuo sin espacios vacíos, ignorando partículas materiales (átomos o moléculas) que los constituyen. Por tanto, cuando nos referimos a partícula de fluido significa una porción de fluido con dimensiones infinitesimales comparadas con el volumen total, pero suficientemente grande a las dimensiones de una molécula. El enfoque microscópico del estudio de los fluidos considera que la materia está formada por átomos o moléculas y obtiene las propiedades macroscópicas de los fluidos como promedio sobre un gran número de estas partículas materiales. Presentamos seguidamente algunas de las propiedades mas relevantes de los fluidos desde un enfoque macroscópico.

HIDROSTÁTICA Es una parte de la Estática de fluidos que estudia el comportamiento de los líquidos en condiciones de reposo Teoría de los fluidos en condiciones de reposo . Estudia las propiedades mecánicas de los fluidos en reposo. Fluidos ideales: a) No responden a tensiones tensiones tangenciales (esfuerzos (esfuerzos de corte). b) Son conti continuos. nuos. La hipótesis de continuidad del fluido permite hablar de densidad como función de punto. La propiedad (a) implica que sólo existen fuerzas normales entre dos parcelas de fluido.

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En la fig.1 el triángulo representa una porción del fluido en forma de cuña. Despreciando el peso, las únicas fuerzas que actúan son debidas al resto del fluido y dado que estas fuerzas no pueden tener componentes tangencial que produzca esfuerzo cortante, ha de ser normales a la superficie de cuña.

F

F´ F´´

Fig.1 En cada porción del fluido la resultante de fuerzas debe ser cero

Fig. 2 En un fluido estático, en un punto dado el esfuerzo es la misma en todas las orientaciones

De igual modo, si se tiene un líquido contenido en un recipiente las fuerzas del líquido sobre las paredes del recipiente que la contiene es perpendicular a ella, es decir no hay componentes tangenciales.

F ┴ F F //

F //

(a) (b) (c) Fig. 3 (a) Fuerzas perpendiculares del líquido en reposo sobre las superficies del recipiente que la contiene. (b) En caso habría una componente tangencial a la superficie como F // , (c) se produce esfuerzos de corte que haría fluir el líquido, hecho que no debe darse en condiciones de un fluido en reposo. La hidrostática es la teoría del fluido en reposo. En este caso no existe velocidad ni aceleración del fluido. La ley de la hidrostática es que los esfuerzos siempre son perpendiculares a cualquier superficie dentro del fluido. Cuando un líquido está en reposo, no hay fuerzas de corte, el que no haya esfuerzo de corte en un fluido estático implica que el esfuerzo de presión es el mismo en todas las direcciones. “Un fluido ideal (líquido o gas) no requieren trabajo exterior alguno para las variaciones de forma (geometría) a volumen volumen constante” “No existen fuerzas fuerzas internas que se opongan opongan a esfuerzos tangenciales ni de tracción”. “En el seno de un fluido en equilibrio, sólo existen esfuerzos de compresión”.

1. DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DENSIDAD La densidad es una propiedad característica de cada sustancia que determina la distribución de masa por unidad de volumen, cualitativamente da idea de lo “pesado” de los átomos que la forman y de lo juntos que están: una misma masa de distintas sustancias ocupa distinto volumen. A. DENSIDAD ABSOLUTA Consideramos un cuerpo con volumen V y masa m, denominaremos densidad media del cuerpo al cociente m = ρ = V Esta densidad media puede calcularse para un cuerpo homogéneo, donde la distribución de masa por unidad de volumen es constante en cualquier punto del cuerpo.

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Si la distribución de masa no es uniforme, interesa obtener la densidad del material en un punto del cuerpo. Corresponde entonces que consideremos la masa pequeña ∆m que ocupa un volumen pequeño ∆V que contenga al punto. La densidad del material la podríamos escribir entonces como el cociente: ∆m ρ = ∆V para un volumen ∆V suficientemente pequeño que tiende al límite ∆m ρ = lim∆V →0 ∆V dm ρ = dV Implica que en elemento de volumen dV ubicado en algún punto del cuerpo hay distribuida dm de masa. En el SI la densidad se mide m ide en kg/m3. **Físicamente no podemos hacer ∆V → 0, ya que a medida que ∆V se hace muy pequeño, la masa contenida en ∆V variará de manera discontinua dependiendo del número de átomos o moléculas que haya en ∆V . En realidad, el cero en la definición de densidad debería reemplazarse por un cierto volumen límite por debajo del cual la hipótesis del continuo falla. Para todos los líquidos y gases a presión −9 3 −9 3 atmosférica, un valor típico de dicho volumen límite es 10 mm . Por ejemplo, 10 mm de aire en 7 condiciones normales contiene aproximadamente 3 × 10 moléculas, lo cual es suficiente para definir una densidad constante. Este volumen es, a su vez, el volumen más pequeño que podemos considerar para una partícula fluida. Típicamente, l a densidad de los gases es unas mil veces menor que la de los lí quidos. Por 3 ejemplo, la densidad del aire a presión atmosférica y 15 ◦ C de temperatura es 1,23 kg/m . La del agua es 3 3 10 kg/m .

La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si la densidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que es homogéneo. En caso contrario, se dice que es heterogéneo. La densidad de un material depende de factores ambientales, incluyendo la temperatura y la presión, aunque para líquidos y sólidos la variación de la densidad es muy pequeña para amplios rangos de variación de la temperatura y la presión y para muchas aplicaciones se puede considerar constante. Ejemplos - Osmio: es el3elemento metálico más denso de la tierra, cuya densidad (a 20º C) es 22,61g/cm 3, significa que cada cm de osmio se encuentra distribuida 22,61g de este material. - Mercurio: metal líquido de densidad 13,6g/cm 3 La presencia de mercurio en la Naturaleza N aturaleza presenta dos características especiales, especiales, debido a las propiedades prop iedades atípicas de este metal: a) Su gran capacidad de absorción por las arcillas y otros sedimentos hace que se deposite rápidamente en el terreno o en las aguas de ríos y de océanos (el contenido de mercurio en océanos se calcula aproximadamente en 200 millones de toneladas), por lo que su movilidad es muy pequeña y no se extiende muy lejos del foco de emisión. Por este motivo, su concentración en combustibles como carbón y petróleo es muy elevada lo que produce una apreciable emisión de este metal a la atmósfera durante su combustión. b) Su relativamente relativamente alta tensión de vapor en estado metálico o elemental, hace que la evaporación desde los depósitos minerales y durante los procesos industriales sea elevada, por lo que se puede considerar que la contaminación más importante por causa del mercurio es la emisión a la atmósfera.

- La densidad del agua pura es de 1 000 kg/m3. El agua de los océanos es más densa porque contiene sal; la densidad en su superficie, es aproximadamente 1027kg/m3. El agua de los océanos se hace más densa a medida que desciende la temperatura. De manera que mientras más fría esté el agua, más densa es. El aumento en la salinidad también

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hace que aumente la densidad en el agua de mar. En la profundidad de los océanos el agua más densa se encuentra en el fondo y la más liviana está por encima. Tabla I. Densidad de substancias

Tabla II. Densidades de algunas tierras, piedras y materiales de construcción MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN Alabastro Caliza Cuarzo Arena Fina seca

DENSIDAD (g / ml) 2,30 – 2,80 2,46 – 2,84 2,50 – 2,80 1,40 – 1,65

MATERIAL Basalto Cemento Mármol ordinario Granito

DENSIDAD (g / ml) 2,70 – 3,20 0,82 – 1,95 2,52 – 2,85 2,51 – 3,05

B. DENSIDAD RELATIVA Es posible utilizar una escala de densidades relativas a la de alguna substancia específica, de modo que: ρ c

ρ r = ρ

sr

Donde: ρc: densidad del cuerpo ρsr: densidad de la sustancia relativa Por ejemplo, la densidad relativa al agua, es: ρ c

ρ r = ρ

agua

La densidad relativa es una magnitud adimensional, es decir sin unidad. Ejemplo: Densidad relativa relativa al agua: agua: ρ r Hg = 13,6 ρ r Au = 19,3

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1.2 PESO ESPECÍFICO El peso específico medio de un cuerpo, que se define como el cociente entre su peso W y su volumen V w γ = V Como el peso es W=mg mg = ρ g γ = V donde g es el módulo de la aceleración debida al campo gravitatorio terrestre El peso específico de cada punto de un cuerpo, se obtiene haciendo el cociente del peso dW correspondiente a un pequeño volumen dV entre dicho volumen. dw γ = dV

1.3 PRESIÓN El efecto que produce una fuerza depende de la intensidad de la fuerza así como de la superficie sobre la que está aplicada. Ello explica: ¿Por qué los clavos se clavan de punta y no de cabeza? ¿Por qué se afila un cuchillo para que corte? ¿Por que se usan esquíes o raquetas para andar en la nieve?. Si sobre una superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua y uniforme, como se indica en la fig. 4, se define la presión como la intensidad de fuerza F por unidad de área A que actúa sobre la superficie. F F P=

F A

A Fig. 4 Distribución homogénea de fuerza sobre una superficie Esta distribución de fuerza, en general puede ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esa razón su definición involucra un elemento infinitésimo de área dA en donde está distribuido un dF de fuerza modo que la presión en dicho punto resulta P=

dF

dF

dA

S

dA

Unidades de Presión La unidad SI de presión es el Pascal, simbolizado por Pa 1Pa = 1Nm−2

Fig. 5 Distribución variable de fuerza sobre la superficie S. Ejemplo Halle la presión que ejerce el bloque de peso 300N en la posición (a) y (b) que se muestra 5m 2m

3m Fig.6 (a)

3m 5m

(b)

2m 5


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En la posición (a), el área de la base en la que se distribuye el peso es 15m 2, de manera que la presión es: 300 N N ⇒ = 20 = 20 Pa Pa = P a 2 15m 2 m En la posición (b), el área de la base en la que se distribuye el peso es A = π r 2 = π (1m) 2 = 3,14 m2 , la presión resulta: 300 N ⇒ Pb = 95,54Pa Pb = 3,14m 2 Si el recipiente de la fig. 6 a), contiene 100N de agua, ¿cuál será la presión del líquido en la base del recipiente? ¿Será 20Pa?, ¿porqué?.

1.4 PRESIÓN ATMOSFÉRICA La atmósfera está constituida por aire, una mezcla de gases fundamentalmente Nitrógeno y Oxígeno, que como toda substancia es atraída por el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión se denomina presión atmosférica (Po). El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor. Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un extremo, lleno de mercurio (13,6g cm −3). Tapando con un dedo el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contiene mercurio. Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una situación de equilibrio como se indica en la fig. 7, donde una altura de h = 76 cm de mercurio permanece equilibrada con vacío en su parte superior. La capa gaseosa que envuelve la tierra se extiende desde su superficie hasta una altura aproximada de 100Km.

PHg Po

Fig. 7 Barómetro de mercurio. La presión de peso de mercurio se equilibra con la presión atmosférica de modo que Po = PHg. A nivel del mar Po = 76cmHg al que se denomina también P o = 1 atm (atmósfera).

Fig.8 Variación de la presión atmosférica con la altitud

El peso de una columna de aire (mezcla de gases atmosféricos) que se extiende desde la superficie del mar hasta los límites superiores de la atmósfera es de 1,0333kgf por sección de centímetro cuadrado. Es decir que la presión atmosférica a nivel del mar es de 1,0333kgf/cm 2 lo cual equivale a 14,7 lbs/in 2 en el sistema inglés y 101kN/m2 en el sistema internacional. El valor de la presión atmosférica, en cualquier punto de la tierra, no es constante y varía momento a momento, dependiendo de la temperatura, de la cantidad de vapor de agua que contenga, de la velocidad y dirección de los vientos, de la actividad meteorológica y otros factores. En general, la presión atmosférica disminuye con la altura sobre el nivel del mar, por que el espesor de las capas de aire es menor con la altura sobre el nivel del mar.

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La presión atmosférica de Ayacucho (2761 m.s.n.m) es de 53cmHg (0,70atm), la de Cerro de Pasco (4340 m.s.n.m) es de 45cmHg (0,60atm) aproximadamente. Si se construye un barómetro de agua la altura de este líquido equivalente a la presión atmosférica es de 10,34m, es decir 13,6 veces 76cm de mercurio. De modo que la presión atmosférica se puede expresar en alturas de agua como: Po = 10,34mH 2O

PRESIÓN MANOMÉTRICA Los manómetros miden la diferencia de presión entre la presión total de un fluido contenido en un recipiente y la presión atmosférica. Los manómetros están calibrados para que el cero coincida con la presión normal Fig. 9 (a). Las presiones indicadas por los manómetros reciben el nombre de presiones manométricas (P m).

presión P

presión P

h

(a) (b) (c) Fig. 9 Manómetro. (a) Manómetro calibrado en cero, indica que la presión manométrica de la presión atmosférica es cero (b) Presión manométrica positiva, la presión P es mayor que la Po (c) Presión manométrica negativa, la presión P es menor que la Po De acuerdo a la fig.9 (b) la presión manométrica de P es P m = Ph (presión de la columna del líquido de referencia). En la fig. 9 (c) la presión manométrica de P es = -P h La PRESIÓN ABSOLUTA (P) es la suma de la presión atmosférica (Po) y la presión manométrica (P m): P = Po + Pm La variación de la presión atmosférica con la altura es P = P0 e mar y ho = 8,6km.

-

o

, donde Po es la presión a nivel del

Tabla III. Unidades de presión

Ejemplo: Un recipiente contiene una gas y líquido como muestra la figura 10 . La presión manométrica que indica el manómetro en A y B es respectivamente -0,2atm y 0,5atm, determine la presión absoluta en los puntos que indica cada manómetro. 7


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A

gas

15,2cmHg

líquido

36cmHg B

Fig. 10 Recipiente conteniendo un líquido y gas. La presión manométrica en A de -0,2atm (equivalente a -15,2 cmHg), implica que la presión del gas es menor que la presión atmosférica en 0,2atm (15,2cm de Hg), por lo que la presión absoluta en A resulta: 0,8atm (60,8 cmHg). P A = Po + Pm A ⇒ PA = 1atmo + ( −0, 2atm) ⇒ PA = 0,8atm La presión manométrica en B de 0,5atm (equivalente a 36cmHg), implica que la presión del gas es mayor a la presión atmosférica en 0,5atm (36cm de Hg), por lo que la presión absoluta en B resulta: 1,5atm (114mHg). P B = Po + Pm B ⇒ PB = 1atmo + (0,5atm ) ⇒ PB = 1,5atm

2. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD EN UN FLUIDO EN REPOSO Veremos ahora como varia la presión en el interior de un fluido con la profundidad. Para eso consideremos un líquido en reposo. Como todo el líquido está en reposo, cada parte del mismo debe estar en equilibrio. El líquido que hay en el fondo está soportando sobre sí del peso del líquido que tiene encima, ya que, por falta de fuerza de cohesión molecular, el líquido circundante no puede sostener por flexión ni por esfuerzos de corte, el líquido adyacente. Tomemos un diferencial de masa dm del fluido a una profundidad y de forma regular, (ver fig. 11). Sobre ella actúan la fuerza de la presión P en la parte superior de la superficie, en la superficie inferior actúa la fuerza de la presión (P+dP), dP corresponde a una variación en la profundidad de dy. La resultante de las fuerzas de presión del líquido es igual al diferencial de peso (dw=gdm) de dm, en consecuencia: F´− F = dw

y

P dA

y dy

F=PdA dy

dw=gdm P+dP F´=(P+dP)dA Fig. 11 Fuerzas verticales sobre un diferencial de porción del fluido

( P + dP)dA − PdA = dmg dPdA = ρ gdydA dP dy

= ρ g

De donde encontramos que la variación de la presión respecto a la profundidad depende de los valores que tome la densidad del líquido y la gravedad. Es decir la gradiente de la presión respecto a la profundidad es una función de la densidad y la gravedad. Considerando fluidos incomprensibles (densidad constante) y que la aceleración de la gravedad es constante (para alturas pequeñas), encontramos que la gradiente de la presión es una constante y define una distribución de presiones linealmente proporcional a la profundidad (fig. 12). Luego:

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= ρ g = const

Po

dP = ρ gdy

∫ ∫

P

Po P

Po

y

∫0 ρ gdy dP = ρ g ∫ dy 0 dP =

y

y

P = Po + ρ gy

θ P

y

ρ gy

Fig. 12 Distribución de presiones del líquido (P h) sobre una Superficie Vertical. Para densidad y gravedad constante determina un triángulo de presiones donde θ es constante. Al término Ph = ρ gy que es la presión del líquido, se le denomina presión hidrostática. Esta expresión nos muestra que la presión de un líquido de densidad constante depende fundamentalmente de la profundidad. Ejemplo. Mostramos dos puntos A y B de un líquido que se encuentran al mismo nivel como indica en la figura 13, La presión en dichos puntos son iguales debido a que se encuentran a la misma profundidad h A=hB respecto del nivel libre del líquido.

A

B

hA

hB

A

B

Fig. 13 Presión hidrostática en puntos del mismo nivel respecto a la superficie libre del líquido

Fig. 14 La presión hidrostática actúa en todas las direcciones

Ahora haremos una demostración mas detallada de presión que ejerce un fluido en un punto al interior. En un líquido en equilibrio, sobre una superficie cerrada cualquiera S que delimita una parte del fluido, el resto del fluido ejerce fuerzas normales a S en cada uno de sus elementos de área dA. Al diferencial de área se le denominara punto de la superficie

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x

y dF dW Fig. 15 Fuerzas normales a una superficie cerrada S

y

Fig. 16 Equilibrio de una porción dW del líquido

La presión en un punto es función de las coordenadas de dicho punto ( x,y,z) e independiente de la orientación de dS, de modo que la presión podemos expresar como P(x,y,z).    La fuerza de presión en un diferencial de área dS está dada por d F = − p dS n , donde n es el vector normal unitario a la superficie en cada punto el signo es por ser contrario al vector normal. La fuerza total de presión para toda la superficie S es:  

d F = − PdS 



F= -∫ PdS S

Por la propiedad de la gradiente para una superficie cerrada S que delimita un volumen V  

F= -∫ PdS = − ∫ ∇PdV 

S

V

dF= -∇PdV Condición de equilibrio hidrostático Para un líquido sometido únicamente a su propio peso homogéneo, de densidad  constante e incomprensible, ρ no depende de P. De manera que la fuerza resultante sobre un volumen elemental dv que contiene una masa dm = ρ dv, es:   

dFR =dF + dW

De donde: 



dFR =-∇PdV + ρ gdV 



dFR =( ρ g -∇P)dV 

dFR dV



= ρ g − ∇P

Para un líquido en reposo: 

dFR

=0

dV  ρ g − ∇P = 0 La expresión:



∇P = ρ g , determina la ecuación general de la hidrostática en presencia de un campo

gravitacional.  Sin embargo, si el líquido está acelerando con a , tenemos  dFR 

= ρ a dV   ρ g − ∇P = ρ a

Volvamos a la ecuación general de la hidrostática, en presencia de un campo gravitacional, considerando 

g = gj tenemos

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∇P = ρ gj De donde

∂P =0 ∂ x ∂P =0 ∂ z ∂P = ρ g ∂ y Este resultado nos muestra que la presión P varía sólo en función de y, mas no de las coordenadas x e z. Integrando obtenemos:

P = Po + ρ gy

Consecuencias de la presión hidrostática - Todos los puntos de una misma superficie horizontal S (y = cte.) tienen la misma presión (Paradoja hidrostática) - La presión disminuye a medida que altura aumenta (determinando una distribución de fuerzas correspondiente, en corte, a un triángulo de presiones sobre una superficie vertical). - La expresión de la diferencia de presiones entre los dos puntos de un líquido resulta: P1 − P2 = ρ g ( y1 - y2 ) implica que los cambios de presión en un punto se transmiten íntegramente a todos los puntos del fluido. Ejemplo: Paradoja hidrostática

Fig. 17 Vasos comunicados de distinta forma La figura 17 ilustra cuatro depósitos de formas diferentes comunicados entre si, se observa que el líquido vertido en ella alcanza el mismo nivel en todos los diferentes depósitos. A primera vista daría la impresión que la p2 es mayor que la p 1, pero eso no es así. ¿Cómo es p 1, p2, p3 y p4 ?. Teniendo en cuenta que la presión varía linealmente con la profundidad : p = ρ g h, si se mantiene h constante, la presión sólo depende de la profundidad y no de la forma del depósito. Y por lo tanto, como la profundidad o altura del líquido es la misma las presiones p 1, p2, p3 y p4 son iguales entre sí.

3. PRINCIPIO DE PASCAL Caracteriza una de las propiedades fundamentales de los líquidos que lo diferencian de los sólidos. P1 h

P1+∆P h

P2

P´2

Consideremos un fluido incompresible. La diferencia de presiones entre dos puntos es: P2 – P1 = ρgh Si la presión en 1 se incrementa, entonces P´2 – (P1+ ∆P) = ρgh P´2 = P2 + ∆P, incrementa la misma cantidad

Fig. 18 Diferencia de presiones entre dos puntos

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El resultado anterior se puede explicar a partir del Principio de Pascal que indica: “Un cambio en la presión aplicada a un líquido encerrada se transmite sin disminuir a cada punto del líquido y a las paredes del recipiente ”. “La presión aplicada a un líquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual a todos los p untos del fluido y a las paredes del recipiente.” El Principio de Pascal establece que los líquidos transmiten presiones y no fuerzas; esta característica los diferencia de los sólidos que transmiten fuerzas. En el caso de fluidos comprensibles, las fuerzas se transmiten por ondas de presión longitudinales, que se propaga a la velocidad del sonido desde el punto de aplicación de la fuerza. Ejemplo: Prensa Hidráulica La prensa hidráulica se basa en el Principio de Pascal. Consta de dos tubos de distintos diámetros que contienen un fluido incompresible, unidos y provistos de sus respectivos pistones. Al aplicar una fuerza sobre el pistón más chico, la presión ejercida se trasmite por todo el fluido y provoca la fuerza correspondiente en el pistón más grande. Como las presiones sobre ambos pistones son iguales se obtiene que:

x1 P1 = P2 F1 A1

=

Pistón 1 Pistón 2

F 2

x2

A2

Fig. 19. Esquema de una prensa hidráulica Sirve para multiplicar fuerzas. Nos permite que al aplicar fuerzas pequeñas, obtengamos fuerzas grandes. Se utiliza tanto para prensar como para levantar objetos pesados. Este sistema es utilizado en los frenos hidráulicos. Cuando el freno del vehículo es presionado, un cilindro conocido como “maestro”, que se encuentra dentro del auto se encarga de impulsar el líquido de frenos a través de una tubería hasta los frenos situados en las ruedas, la presión ejercida por el líquido produce la fuerza necesaria para detener el vehículo. A menor superficie sobre la que se aplica la fuerza, mayor será la presión ejercida en el fluido y por lo tanto la fuerza obtenida en el segundo tubo también será mayor y podrá frenar una rueda en movimiento. La prensa hidráulica, es una de las máquinas mas usadas en la industria, para embutir, cortar, doblar, perforar, toda clase de metales. Capaces de desarrollar fuerzas tan bajas como 5 toneladas para operaciones pequeñas, y tan grandes como 2 000 toneladas como para cortar láminas de acero de gran calibre en acerías. Debe tenerse presente que una prensa hidráulica no multiplica energía sino sólo fuerzas, de manera que por conservación de energía, trabajo realizado para desplazar verticalmente el pistón en 1 es igual al trabajo para levantar el pistón en 2, de modo que: W1 = W2

⇒ F1∆x1 = F2 ∆x2 ⇒

∆ x1 F 2 = ∆ x2 F 1

Ejemplo: Las aplicaciones de la prensa hidráulica se encuentra en: la gata hidráulica, el freno hidráulico, las puertas hidráulicas, etc.. Este sistema es utilizado en los frenos hidráulicos. Cuando el freno del vehículo es presionado, un cilindro conocido como “maestro”, que se encuentra dentro del auto se encarga de impulsar el líquido de frenos a través de una tubería hasta los frenos situados en las ruedas, la presión ejercida por el líquido produce la fuerza necesaria para detener el vehículo .

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Ejemplo: Distribución de presiones sobre una superficie vertical sumergida. Considerando la presión atmosférica Po

Po

Po

y

ρ gy

ρ gy

(a) (b) (c) Fig. 20 (a) La presión atmosférica se transmite al interior del líquido con la misma intensidad, generando una distribución de presiones homogénea sobre AB como se ilustra en (b). En (c) se muestra la distribución de presiones resultante sobre la superficie vertical AB. Observamos que la presión atmosférica actúa tanto en la parte interior como exterior de la superficie sumergida, por lo que se anulan. Ello nos sugiere determinar fundamentalmente la presión manométrica en el esquema de la distribución de presiones. Ejemplo: Distribución de presiones sobre superficies horizontales sumergidas F A

B

E C

D

Fig. 21 Distribución de fuerzas, sobre la superficie AB y CD hay una distribución homogénea dado que son puntos del mismo nivel respecto de la superficie libre del líquido. Sobre EF la distribución de fuerzas corresponde a una distribución triangular. Ejemplo: Distribución de presiones sobre una superficie vertical sumergida, que contiene una gas y un líquido. (i) Si la presión manométrica del gas (P mg) es positiva. P Po Pmg B B gas Líquido A A Fig. 22 Distribución de presiones sobre la superficie vertical AB, para una presión manométrica del gas positiva, el cual implica una presión resultante (P mg) del interior hacia la superficie AB en la misma dirección a la presión del líquido Observe que la presión del gas actúa sobre la superficie AB como si no existiera el líquido, ello se basa en el principio de Pascal. 13


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(ii) Si la presión manométrica del gas (P mg) es negativa. Pg

B

Pmg

Po

B

gas Líquido A

A

Fig. 23 Distribución de presiones sobre la superficie vertical AB, para una presión manométrica del gas negativa, el cual implica una presión resultante (P mg) del exterior hacia la superficie AB en contra posición a la presión del líquido. Ejemplo: Distribución de presiones sobre una superficie vertical sumergida, que contiene dos líquidos no miscibles. B B Líquido 1 C

PC

Líquido 2 A A Fig. 24 Distribución de presiones sobre la superficie vertical AB. La presión manométrica en C (P C) se transmite en el interior del líquido 2 por el Principio de Pascal. Ejemplo: Distribución de presiones sobre una pared vertical AB, de un líquido cerrado en un recipiente sujeta a compresión con presión manométrica positiva (P m) Pm B B Líquido 1 PC

Líquido 2 A A Fig. 25 Distribución de presiones sobre la superficie vertical AB. Obsérvese que la presión de compresión se transmite a todo los puntos del interior de los líquidos con la misma intensidad (Principio de Pascal) Ejemplo. Presión equivalente. De la fig. 26, la presión del líquido 1 de densidad ρ1 sobre la superficie vertical CA, se puede representar por la presión de una altura equivalente del líquido 2. B

B

Pc = ρ1 gh1 = ρ 2 gheq

heq

Líquido 1 C Líquido 2

PC

C

C

heq =

ρ 1 h1 ρ 2

Líquido 2

A A A Fig. 26. La presión en C generado por el líquido 1 es igual al del líquido 2 de altura equivalente h eq. 14


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4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: APLICACIÓN DE FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS En un cuerpo sumergido en un fluido de volumen V y rodeado por una superficie S, se puede conocer la fuerza ejercida por el fluido sobre toda la superficie que rodea al cuerpo, a partir de la fuerza infinitesimal sobre un elemento de superficie extendida a toda ella. 



d F = − P dS

p0







F= - ∫ P dS = - ∫ (Po + ρ gy) dS 

S

S







y

F= - ∫ P dS = - ∫ Po dS + ∫ ρ gy dS 

S

S





S

ρ

cuerpo

y

dF S

F= - ∫ Po dS + ρ g ∫ y dS S

x

z

p

dS

S

(a)



F= - ∫ ∇ Po dV - ρ g ∫ ∇ y dV S

S



F = 0 − ρ g ∫ dV j S



∇y =

∂ y j = 1 j ∂ y F

F = − ρ gV j

(b) Fig. 27 (a) Fuerza infinitesimal sobre un dS. (b) fuerza resultante sobre el cuerpo sumergido. 

La fuerza F representa la fuerza resultante sobre el cuerpo sumergido, es un vector cuyo módulo es igual al peso del líquido de volumen V rodeado por al superficie S, es decir es el volumen que desaloja el cuerpo. Por tanto la fuerza resultante sobre un cuerpo sumergido llamado fuerza de empuje o flotación (E), es igual al peso del líquido que desaloja el cuerpo al estar sumergido, dicha fuerza está dirigida verticalmente hacia arriba. Queda por determinar, ¿dónde actúa la fuerza de empuje?. Vamos a plantear una demostración cualitativa del PRINCIPIO DE ARQUIMIDES, e identificaremos el centro de empuje punto donde actúa la fuerza de empuje o flotación W líquido

(a)

E resultante de fuerzas del fluido (b) Fig. 28 Porción arbitraria de un líquido de densidad ρ

W cuerpo

E resultante de fuerzas del fluido (c)

a. Se toma un volumen del líquido de la forma indicada en la fig. 28(a), la suma de las fuerzas que actúa sobre él debe ser equilibrada por su peso, y está dirigida en sentido contrario al peso (fig. 28 b).( ρ gV s ) El punto de aplicación de la fuerza resultante E es el centroide (o centro de gravedad) del volumen del líquido tomado (donde actúa su peso). Este punto se llama centro de empuje (CE) ( que es el centro de masa del volumen del líquido).

15


Kléber Janampa

b. Al ser reemplazada el volumen del líquido por un cuerpo de la misma forma y tamaño, el líquido que lo rodea ejercerá presión independientemente del tipo de cuerpo. El centro de gravedad del cuerpo no necesariamente coincide con el centro de empuje. c. La suma de fuerzas que ejerce el líquido sobre el cuerpo será igual al peso del volumen del líquido desalojado por el cuerpo. d. La fuerza resultante del líquido sobre el cuerpo se denomina fuerza de flotación (E), está dirigida verticalmente hacia arriba y es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. E = ρ gV s Principio de Arquímedes: “Sobre un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, actúa una fuerza hacia arriba, igual al peso del fluido que desaloja” Ejemplo Centro de empuje de un cubo de lado l que flota con la mitad de su volumen sumergido en un líquido de densidad ρ. Si el cubo se hace girar hasta la posición que se indica en la fig. 28 (b), el volumen sumergido es el mismo pues el peso es el mismo y debe ser también igual al empuje sobre él.

mg

mg

cg

cg

CE

CE

E

E

Fig. 29 (a) El CE está en la intersección de las diagonales del volumen sumergido (rectángulo) (b) El volumen sumergido es un triángulo isósceles, el CE está en la intersección de las medianas. En cualquier caso la línea de acción del peso y empuje es el mismo.

FLOTACIÓN Consideremos un cuerpo ( ρc) que flota sumergido parcialmente en un líquido de densidad ρL, determinamos el DCL del cuerpo y aplicamos la condición de equilibrio. En este caso el volumen sumergido (Vs) es menor que el volumen del cuerpo (Vc) E = mg

ρ L gVs = ρ c gVc ρ c V s = < 1 ⇒ ρc < ρ L ρ L V c

mg

E

Fig. 30 Flota en equilibrio con una porción de volumen sumergido Luego, consideremos un cuerpo ( ρc) que flota en medio de dos aguas en un líquido de densidad ρL, obsérvese que el cuerpo se mantiene en equilibrio. En este caso el volumen sumergido (V s) es igual al volumen del cuerpo (V c). E = mg

ρ L gVs = ρ c gVc E

mg

ρ L = ρ c

Fig. 31 Flota en equilibrio en medio de dos aguas 16


Kléber Janampa

Si el cuerpo (ρc) se hunde en el líquido de densidad ρL y desciende aceleradamente encontramos que: E < mg

ρ L gVs < ρ c gVc ρ L < ρ c E

mg

Fig. 32 El cuerpo se hunde.

Resumiendo • si ρcuerpo < ρlíquido : El cuerpo flota con una porción en el aire • si ρcuerpo = ρlíquido : El cuerpo flota en medio de dos aguas • si ρcuerpo > ρlíquido : El cuerpo se hunde ESTABILIDAD Y FLOTACIÓN Las condiciones de equilibrio en el seno del fluido son, a) Si el CE está encima del CG, el equilibrio es estable b) Si el CE coincide con el CG, el equilibrio es indiferente c) Si el CE está por debajo del CG, el equilibrio es inestable, y espontáneamente se engendrará un par de fuerzas que le llevan a una posición aun más inestable Para que un cuerpo flote es necesario que el peso del fluido que desaloja sea mayor que su propio peso.

τ CE

CE CG CG

(a) (b) (c) Fig. 33 (a) Estabilidad en la flotación de un barco (b) movimientos del barco, (c) cuando el barco gira en sentido horario se genera un torque τ, debido a que la línea de acción del empuje y el peso determinan un brazo. El torque es de sentido horario y tiende a restituir el equilibrio inicial de (a). Por tanto la posición (a) del barco corresponde al equilibrio estable.

5. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS El diseño de dispositivos y objetos sumergidos, como presas, obstrucciones del flujo, superficies en barcos, requiere del cálculo de las magnitudes y posiciones de fuerzas que actúan sobre su superficie.

A) SUPERFICIES PLANAS Consideremos un superficie plana AB, inclinada un ángulo θ respecto de la horizontal, tal que una de sus caras está en contacto con un líquido de densidad ρ y la cara opuesta está en contacto con la atmósfera (fig.34). Tomamos una superficie infinitesimal de área dA situado a una profundidad h respecto de la superficie libre, el diferencial de fuerza que actúa en ella será dF = PdA. Ahora calcularemos la fuerza resultante sobre la superficie y su punto de aplicación

17


Kléber Janampa

B h

dF

O

θ

dF = PdA dF = ( ρ gh) ( dA ) dF = ( ρ gysen θ ) ( dA )

y

∫ dF

∫ ( ρgysenθ ) (dA ) F = ρ gsenθ ∫ ydA

A dA

=

Fig. 34 Fuerza del fluido sobre una superficie de área dA La expresión ycg =

∫ ydA es relacionado al centro de geométrico de la superficie AB medida desde O

∫ ydA A

Aycg =

∫ ydA

De donde F = ρ gsenθ ycg A F = ρ gh cg A

La distribución de presiones sobre la superficie AB θ

B

O hcg F

cg

P

B

θ

O

ycg ycp

cp A (a) A (b) Fig. 35 Distribución de presiones y el sistema equivalente de la fuerza resultante El sistema de fuerzas distribuidas (presión) Fig. 35(a) genera un momento respecto de O dado por dτ o =ydF

dτ o = y(ρ gysenθ ) (dA )

∫ dτ o

∫ (ρgy senθ ) (dA ) τ o = ρ gsenθ ∫ y 2dA 2

=

El término

∫ y dA = I determina el momento de inercia de la superficie AB respecto de O, luego 2

o

τ o = ρ gsenθ I o

18


Kléber Janampa

El sistema de fuerzas distribuidas se puede reemplazar por un sistema de una sola fuerza dado por la resultante F, para lo cual ésta debe estar aplicado en un punto determinado llamado centro de presiones cp. De modo que el momento total del sistema de fuerzas distribuidas τ o debe ser igual al momento que genera la fuerza resultante F respecto del mismo punto O. τ o = Fycp

ρ gsenθ I o = ρ gsen θ ycg Aycp ycp =

I o

ycg Por el Teorema de Steiner 2 I o = I cg + Aycg Luego 2 I cg + Aycg ycp = Aycg ycp =

I cg

+ ycg Aycg Este resultado nos indica que el cp está una distancia d siempre más al fondo del cg, donde d es I cg ycp − ycg = Aycg d =

I cg Aycg

Ejemplo: Fuerza horizontal sobre una superficie plana vertical de altura H y ancho L (perpendicular al plano del papel). L H/2 H

H

H

F

ycp

ρgH

(a) (b) (c) (d) Fig. 36 (a) Líquido contenido en un tanque (b) distribución de presiones sobre el plano de área HL (c) Triángulo de presiones (d) fuerza resultante sobre la superficie plana vertical. Fuerza resultante y punto de aplicación F = ρ gh cg A

h cg = H / 2 1 2 F = ρ gH L 2

A = HL

Ahora, si determinamos el área del triángulo de presiones y multiplicamos por la profundidad L, en contramos también la fuerza resultante

19


Kléber Janampa F = ATP L

( ρ g H )( H ) L 2 1 F = ρ gH 2 L 2 F=

F H/3 Fig. 37 Fuerza resultante y punto de aplicación

El punto de aplicación corresponde al cg del triángulo H/3 que está a 2H/3 de la superficie libre del líquido Ejemplo Fuerza Horizontal sobre la superficie plana vertical BC de altura l y ancho b. F = ρ gh cg A

a

B F

l /2

l

hcg=a+ l /2

cp

ycp

F = ρ g(a+l /2)(lb)

1 F= ρ g(2a+l )(lb) 2

C Fig. 38 Fuerza sobre BC Punto de aplicación de la fuerza I cg ycp = + hcg Ahcg

1 Al 2 l 2 + 12(a + l / 2) 2 12 ycp = + (a + l / 2) ⇒ ycp = A(a + l / 2) 12(a + l / 2) B) SUPERFICIE CURVA Supongamos una superficie curva AC sumergida en un líquido. Para determinar la fuerza del líquido sobre la superficie curva, determinaremos la fuerza que la superficie ejerce sobre una porción del líquido ABC que se ilustra en la fig. 39. La fuerza de reacción de la superficie curva sobre el liquido F R se descompone en dos componentes una vertical FV o otra horizontal F H. De donde encontramos:

Proyección horizontal de la superficie curva

Superficie curva

Proyección vertical de la superficie curva

Fig. 39 Fuerzas sobre una porción de líquido ABC 20


Kléber Janampa

La fuerza vertical resulta ser igual al peso del líquido ABC más la fuerza F y que represente el peso del líquido sobre la superficie AB que resulta de la proyección horizontal de la curva FV = W + F y FV = W liquido s obre la sup erficie La fuerza horizontal F H resulta ser igual a la fuerza F x que es la fuerza sobre la superficie que resulta de la proyección vertical de la curva F H = F x F H = ρ ghcg Aproyectada verticalmente

Ejemplo Fuerza Vertical sobre la superficie curva AB (Cuarto de circunferencia de radio R) y ancho uniforme b (perpendicular al plano del papel). FV = W líquido s obre la sup erficie AB

R

FV = ρ gV sobre sup erficie AB

A

FV = ρ g ( Asombreado )b

Fv

FV = ρ g (2 R 2 − π R

xcg

2

2 4 )b ⇒ FV = ρ gR (2 − π / 4)b

B Fig. 40 Fuerza sobre una superficie curva La línea de acción de la F v pasa por el cg del área sombreada sobre AB 2 R 2 ( R / 2) − (π R 2 / 4)( R − 4R / 3π ) xcg = 2 R 2 − (π R 2 / 4) xcg = R

16 − 3π 3(8 − π )

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Los compartimentos B y C (ver figura) están cerrados y llenos de aire. Qué valor tendrá la columna x de mercurio cuando el manómetro A marca 1,5 x 105 Pa, el extremo abierto del tubo D se encuentra a presión atmosférica. Solución Hallamos la presión manométrica del gas en C, en 1-1 PC + PHg = 0 PC = − PHg = −25cmHg PC = − ρ Hg gh

2

2

1

1

PC = −13600

Kg m

3

9,8

m s2

0, 25m

4

PC = −3,33 x10 Pa

21


Kléber Janampa

La presión del manómetro A determina el valor de la presión manométrica del gas en B. de modo que en 2-2 P B = PHg + PC

1,5 x105 Pa = ρ Hg gh − 3,33x10 4 Pa 1,5 x105 Pa = 13600

Kg

m

m

2

9,8 3

s

4

x − 3,33 x10 Pa

x = 1,375m

Qué también puede resolverse en función a las alturas de Hg P B = PHg + PC P B = 1,5 x105 Pa

76cmHg = 110,36cmHg 1,03 x105 Pa

PC = −25cmHg

110,36cmHg = x − 25cmHg x = 135,7 cmHg 2. Considere el sistema de la figura donde el tubo está lleno de aceite de densidad ρ = 0,85 g cm−3. Uno de los recipientes está abierto a la atmósfera y el otro está cerrado y contiene aire. Determine la presión en los puntos A y B si la presión atmosférica es 1atm. Solución Tomamos de referencia el punto 1-1 del tubo, encontramos por estar al mismo nivel: P1 P1 = P B P1 PB 1

B

1 P0

2

1

En el punto 2 -2: P0 = P2 P2 = P1 + ρ ac gh

P2

2

1, 013 x105 Pa = P1 + 850

Kg m3

9,8

1

2 m s2

0,5m

P1 = 9,713 x104 Pa

Luego, tomando en cuenta 1-A PA A P1 = P A + Ph

Ph

P1 = P A + ρ ac gh

9, 713 x104 Pa = P A + 850

Kg m3

9,8

m s2

2m

4

P A = 8,048 x10 Pa

22


Kléber Janampa

3. Un barril cilíndrico tiene un tubo angosto fijo a la tapa, como se muestra en la figura junto con sus dimensiones. El recipiente está lleno de agua hasta la parte superior del tubo. Determine, asumiendo que el tubo está expuesto a la atmósfera (a) el peso del agua contenida en su interior (b) la fuerza hidrostática ejercida sobre el fondo del barril, ¿Por qué no es igual la fuerza en la base y el peso del liquido? (c) la fuerza sobre la tapa superior del barril (d) Si la parte superior del tubo está cerrada y la presión manométrica a la mitad del tubo resulta 2m de agua, halla la fuerza sobre la tapa superior del barril. Solución 5cm (a) Peso del líquido en el barril: Primero determinamos el volumen del barril 2 V = π R h 2m V = π (1m) 2 (2 m) = 6, 28 m3 La masa m = ρ V

2m

m = 10

3

kg 3

3

3

x6, 28m = 6, 28 x10 kg

m Peso del líquido W L = mg

2m

W L = 6, 28 x104 N

El peso del líquido contenido en el tubo Wt = mg Wt = ρ Vg Wt = ρ ( Ah) g 3

−4

Wt = 10 (5 x10 x4)10 = 20 N Peso total del líquido

W=6,28x104N (b) Fuerza del líquido en la base Presión. P = ρ gH por estar toda la base al mismo nivel (horizontal), la distribución de presiones es constante, por lo que la fuerza en la base es: F = PA

At h=2m

F = ρ gHA

H=4m

F = 103 x10 x4 xπ 12 ⇒ F = 12,56 x10 4 N

P´

Observe que la fuerza hidrostática en la base es mayor que el peso del líquido, esto se debe a que en el barril el líquido ejerce una fuerza tanto en la base como en la tapa superior de modo que su resultante será el peso del líquido.

P

2m (c) Fuerza sobre la tapa superior del barril F ´= P´ A´

F´

F ´= ρ gh( A − At ) 3

2

F ´= 10 x10 x2 x(π 1 − 5 x10

−4

4

) ⇒ F´= 6, 28 x10 N

W

F 23


Kléber Janampa

Haciendo el DCL sobre el agua, encontramos que la fuerza resultante vertical sobre el barril si el igual al peso del líquido: F − F´= W (d) Hallamos la presión sobre la tapa superior del barril (P t) Pt = Pm + Ph

Pm=2mH2O

3

Pt = 3mH 2O ⇒ Pt = ρ gh = 10 x10 x3 4

Ph=1mH2O

Pt = 3x10 Pa Luego la fuerza es: F ´´= Pt A´

h=1m

F ´´= Pt ( A − At ) F ´´= 3 x10 4 (π 12 − 5 x10

Pt=3mH2O

−4

) ⇒ F´= 9, 42 x10 4 N

4. El rey Hierón de Siracusa pidió a Arquímedes que examinara una corona maciza que había ordenado hacer de oro puro. La corona pesaba 10kgf en el aire y 9,375kgf sumergida en agua. Arquímedes concluyó que la corona no era de puro oro. Asumiendo que en su interior contenía plata, ¿cuánto oro tenía la corona de Hierón? La densidad del oro es 19,3g/cm3; la de la plata, 10,5g/cm 3. Solución Tenemos Wa=10kgf=100N Wag=9,375Kgf=93,75N Consideramos que la corona tiene un volumen total V, donde el volumen de oro sea V o y de la plata Vp , tal que: Vo + V p = V Wa=100N

Wa

Wag=93,75N

E

Wa

De acuerdo al DCL sobre la corona sumergida Wa − Wag = E Wa − Wag = ρ gV

Wa − Wag = ρ g (Vo + Vp ) El peso total de la corona será Wo + Wp = W a

ρo gVo + ρ p gV p = Wa V p =

Wa − ρ o gV o

ρ p g Reemplazando en la ecuación anterior

24


Kléber Janampa

W − ρ o gV o Wa − Wag = ρ g (Vo + a ) ρ p g Wa − Wag =

ρ ( ρ p gVo + Wa − ρ o gVo ) ρ p

ρ p

Wa (

ρ

− 1) −

ρ p

W ag

ρ V o = g ( ρ p − ρ o ) Reemplazando valores 100(10, 5 − 1) −10, 5 x93, 75 Vo = = 3, 9 x10−4 m3 10(10500 −19300) Vo = 3,9 x10 4 x10 6 cm 3 = 390 cm3 La masa de oro resulta m = ρ oV o −

m = 19,3 x390 = 7527 g = 7,527 Kg

5. Un corcho flota en agua, de tal manera que el 60% de su volumen está bajo el nivel del agua. (a) Determine la densidad del corcho. (b) Si se lo mantiene completamente sumergido mediante una cuerda atada en el fondo, ¿cuál es la tensión en la cuerda?. (c) Si se lo mantiene sumergido, atándole una piedra, de modo que el conjunto está a “medias aguas”, ¿cuál debe ser la masa de la piedra?. Densidad de la piedra igual a 5gr/ cm 3. Observación: La piedra también siente empuje. El volumen del corcho es 50cm 3 Solución: (a) Corcho que flota en agua Por equilibrio W W = E

ρc gVc = ρ L gVs Vs = 60%V c

E

Vs = 0,60V c El líquido es agua y tiene densidad ρL=1g/cm , luego la densidad del aceite será: ρ cVc = 1g / cm 3 0, 6Vc 3

ρ c = 0, 6 g / cm 3 De donde el peso del corcho es: W = ρ c gVc = 0, 6

g

9,8 3

m 2

50cm3 = 0, 294 N

cm s (b) Sumergida completamente y atada a una cuerda

Por equilibrio, además el volumen sumergido es el total del corcho W + T = E

W

W + T = ρ L gVs

T

E

0, 294 N + T = 1

g 3

cm

9,8

m s

2

50cm3

T = 0,196 N

25


Kléber Janampa

(c) Corcho atado a una piedra Por equilibrio W + WP = E + EP W

ρc gVc + ρ P gVP = ρ L gVc + ρ L gVP ρ L − ρ c )V c ρ P − ρ L

VP = (

T

E W p = 5

T

Wp

g

9,8 3

cm

m s

( 2

1g

3

− 0,6 g

cm cm3 )50cm3 5g 1g 3− cm cm3

W p = 0,245 N

Ep

6. Para determinar la densidad de un objeto, se sumerge éste al fondo de un estanque con agua de 3m de profundidad y se suelta. Si éste demora 4s en llegar a la superficie, despreciando las fuerzas de fricción, ¿cuál es la densidad del objeto? Solución El cuerpo acelera desde el reposo para salir a flote De acuerdo a la cinemática obtenemos la aceleración d=

t=4s

d=3m W vo=0

a

a=

1 2 at 2 2d

t 2 Dinámicamente E − W = ma

ρ L gVc − ρc gVc = ρ cVc a

E

ρ L − ρ c )g ρ c Igualando las aceleraciones anteriores, la densidad del cuerpo es: 2d ρ L − ρ c )g 2 =( t ρ c a=(

ρc = ρ L (

g 2d

+g

t 2

ρ c = 1

g cm

) 9,8

( 3

ρ c = 0,963

2 x3m

m s2

16s 2

+ 9,8

m

)

s2

g 3

cm

7. Considere tres cubos del mismo tamaño, adheridos tal como se muestra en la figura El material del cual están hechos los dos cubos A y B es de 0,25 y 0,75g/cm 3 respectivamente, mientras que el cubo C está 26


Kléber Janampa

hecho de un material de densidad 2 g/cm3.(a) Determine la condición de flotación del bloque (es decir si sale a flote, se hunde o está en medio de dos aguas) (b) Para el caso que se ilustra en la fig. ¿Cuál será la orientación de equilibrio estable que el objeto adquirirá cuando está “flotando” rodeado de agua? Solución (a) Determinamos la densidad media del cuerpo m ρ = V V A = VB = V C m A + mB + mC ρ = ρ + ρ B + ρ C g V A + VB + V C ρ = A =1 3 3 cm ρ AVA + ρ BVB + ρ CV C ρ = V A + VB + V C Como el cuerpo está sumergido en agua, ρa=1g/cm3 igual a la densidad media, entonces el cuerpo permanece en medio de dos aguas en una posición de equilibrio. (b) Cálculo de la posición de equilibrio En la figura determinamos el centro de gravedad de cada cubo considerando el lado a x

0

( xcg , ycg ) =

(3a/2 , a/2) (a/2,a/2) B A

m A ( x A , y A ) + mB ( xB , y B ) + mC ( xC , yC ) m A + mB + mC

a a 3a 3a  3a a  ,  + ρ B a 3  ,  + ρ C a3  ,   2 2 2 2  2 2 

ρ A a 3 

( xcg , ycg ) =

(3a/2,3a/2) C

ρ A a3 + ρ B a3 + ρ C a3

a a 3a 3a  3a a  ,  + ρ B  ,  + ρ C  ,   2 2 2 2  2 2 

ρ A 

( xcg , ycg ) =

y

ρ A + ρ B + ρ C

Reemplazando los valores de las densidades de A, B y C obtenemos el cg del cuerpo

3a a a a 3a 3a 0, 25  ,  + 0, 75  ,  + 2  ,   2 2 2 2  2 2  ( xcg , ycg ) =

5a/4

3

7a tan α =

α

7a/6

rg= 1,71a

 5a 7a  ( xcg , ycg ) =  ,   4 6 

5a

6 4

14 15 α = 43,03o tan α =

Para determinar el centro de empuje del cuerpo sumergido, se considera cg del volumen sumergido, es decir es el cg del líquido que desaloja, luego en la expresión:

a a 3a 3a  3a a  ,  + ρ B  ,  + ρ C  ,   2 2 2 2  2 2 

ρ A 

( xcg , ycg ) =

ρ A + ρ B + ρ C Las densidades de A, B y C son iguales a la densidad del agua, de modo que el C.E es

5a 7a/6 5a/6

tan θ =

θ rg= 1,43a

7a

5 7 θ = 35.54o

6 6

tan θ =

27


Kléber Janampa

 3a a   a a   3a 3a   2 , 2+2,2 + 2 , 2       ( xCE , yCE ) = 

3

 7a 5a  ,  6 6 

( xCE , yCE ) = 

Luego, para garantizar el equilibrio del cuerpo las fuerzas de empuje E y el peso deben ser iguales y colineales, para no generar torque: d

β E

α rE

d = r E cos(θ + β ) = r g cos(α + β)

θ

1,43cos(35,54 + β) =1,71cos(43,03 + β ) cos(35,54) − sen(35,54)tan β =1,1958(cos43,03 − sen43,03tan β ) 0,8137 − 0,5813 x = 0,8741 −0,8160 x 0,2347 x = 0,0604 x = 0,2573 β =14.43o

rg

CE cg W

8. Una compuerta de 1,5 m de ancho está articulada en la línea B y descansa sobre una pared lisa en la línea A. Calcular: a) la fuerza sobre la compuerta debida a la presión del agua; b) la fuerza horizontal P que se ejerce sobre la pared en A; c) las reacciones de la bisagra B. Solución Longitud de AB l=

(1,8)2 + (2, 4)2 = 3m

Angulo θ = 37 o

Ahora determinamos el cg de la supercie rectangular AB DCL de la compuerta AB P F

3,6m

0,9m cg

Bx

θ

cg

θ

cp d l/2 By

Fuerza resultante sobre AB

28


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F = ρ ghcg A F = 1025

Kg m

3

x9,8

m

x3,6m(3mx1,5m )

s2

F = 1,627 x105 N Posición del cp I cg d = Aycg hcg = ycg sen37 o

ycg = 3,6 / sen37 o = 5,98m

1 Al 2 d = 12 Aycg

1 (3m) 2 d = 12 = 0,125m 5,98m Aplicando la segunda condición de equilibrio en el DCL de la superficie AB

∑ M B = 0 l o F ( − d ) = Plsen37

2

1, 627 x105 N (1,500 m − 0,125 m) = P(3 m) sen37 o 5 P = 1, 239 x10 N Luego  ∑ F = 0 B x = P − Fsen37 B y = F cos37

Bx = 2,598 x10 4 N

o

5

B y = 1, 299 x10 N

o

9. Un tanque presurizado con aire, contiene un líquido de densidad desconocido. El mismo posee una compuerta AB rectangular como se muestra en la figura adjunta; si la presión manométrica del aire es 2x105 N/m2 y la presión en el fondo del tanque es de 5x10 5 N/m2 Determínese la magnitud de la fuerza de presión y la línea de acción de la misma. El ancho de la compuerta es 5m. Solución

Pa 4m A

Determinamos la densidad del fluido desconocido, por manometría establecemos que la presión en el fondo es la suma de las presiones del fluido desconocido (P L) y la presión del aire (P a) P fond = PF + Pa

5x105 Pa = ρ F (9,8

PF B

ρ F = 3061

m s

2

)(10m)+2x10 5 Pa

Kg m3

29


Kléber Janampa

(i) 1er método: convirtiendo en altura equivalente del fluido desconocido la presión manométrica del aire heq

Peq = Pa

ρF

ρ F gheq = Pa 4m

hcg

ρF

heq =

A

hcp

cg cp

F

heq =

Pa

ρ F g

2x105 Pa 3061

B

Kg m

3

(9,8

m s

2

= 6,67 m

)

La fuerza total sobre la compuerta es F2 = ρ F ghcg AAB F2 = 3061

Kg m

3

x9,8

m s2

x13, 67 m(6 mx5 m)

F2 = 12,30 x106 N

El punto de aplicación de F hcp = ycg +

I cg

6,67m

Aycg

hcg = 13, 67m

ρF

l = 6m

1 Al 2 hcp = ycg + 12

13,67m

ρF

13,89m

Aycg

F

1 (6m) hcp = 13, 67 m + 12 = 13,89 m 13,67m 2

4m A cg cp B

z=2,78m

Calculo de la distancia d entre el cg y cp

1 Al 2 1 (6m)2 d= = 12 = 12 = 0,22m Aycg Aycg 13,67m z = 3m − d = 2, 78m I cg

(ii) 2do método: Determinando la presión total en A Fuerza sobre la compuerta La presión total en A se trasmite uniformemente de acuerdo al principio de pascal sobre toda la compuerta PA A P A = Pa + ρ gh 6m

5

P A = 2x10 Pa + 3061

Kg m

3

(9,8

m s

2

)(4m)

P A =3,2x105 Pa

P

B

30


Kléber Janampa

La fuerza de la presión P A F1 = P A AAB F1 = (3, 2x105 Pa) x(6 mx5m)

A

6

F1 = 9, 6 x10 N

Esta fuerza actúa en el centro de la compuerta

F1

La fuerza del debajo del punto A F2 = ρ ghcg A F2 = 3061

Kg m3

x9,8

m s2

F2

A

F 3m

2m

z=2,78m

B

x3m(6 mx5 m)

B

F2 = 2,70 x10 6 N

Esta fuerza actúa a 1/3 de la altura del triángulo de presiones que determina, medido desde B, el cual resulta 2m La fuerza resultante es: F = 12,30 x106 N El punto de aplicación de la fuerza resultantes F será

∑ M ( F1 + F2 ) B = ∑ M FB

3F1 + 2 F2 = Fz 3mx9, 60 x10 6 N + 2 mx2, 70 x10 6 N = (12,30 x10 6 N ) z z = 2,78m 10. En la fig. se muestra una compuerta semicilíndrica de profundidad L, rodeada por tres líquidos. Si la presión manométrica en A es 10 ρgR, hallar las fuerzas verticales y horizontales sobre la compuerta. Indique su punto de aplicación en cada caso

E 2R

ρ

D C

2ρ

Solución Determinamos la presión en el punto E (presión adiciona) P A = PE + P2 R + P3 R

3ρ R B

3R

A

10 ρ gR = P E + ρg2R + 2 ρ g3R P E = 2 ρ gR Convirtiendo la P E en heq del líquido de densidad ρ P E = ρ gh eq

2 ρ gR=ρ gh eq h eq = 2 R

El sistema queda (i)

Fuerza vertical y horizontal sobre CD

31


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FV1 heq=2R

4R

3R

R

ρ

2R

xv1

2ρ

hcp hcg

D FH1

R/2

R

D C

3R

C

3ρ

Fuerza vertical F V1: peso del líquido sobre la superficie CD, (relacionado al área sombreado As)

R B

3R

FV 1 = ρ gV = ρ gAs L

A

2

FV 1 = ρ g (4 R −

π R 2

π

) L = ρ gR 2 L (4 − ) 4 4

Actúa en xv1 es centro de gravedad del área sombreada

π R 2 4 R 4 R ( R / 2) − ( ) 4 3π x v1 = 2 π R 4 R 2 − 2

4

x v1 =

20 R 3(16 − π )

Fuerza Horizontal F H1

Punto de aplicación: hcp = hcg +

F H 1 = ρ ghcg Aproy F H 1 = ρ g (4 R − R / 2)(RL )

7 2

2

F H 1 = ρ gR L

(ii) Fuerza vertical y horizontal sobre BC

I cg Ahcg

1 AR 2 7 hcp = R + 12 7 2 A( R ) 2 147 hcp = R 42

Convirtiendo la PC en heq del líquido de densidad 2 ρ PC = 2 ρ gh eq

ρ g4R=2ρ gh eq

h eq = 2 R El sistema queda

32


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R heq=2R

2R

D

2ρ C

C

3ρ

2ρ

R

R

hcg

FH2 R/2

B

3R

hcp

FV2 xv2

B

Fuerza vertical F V2: peso del líquido sobre la superficie CB, (relacionado al área sombreado As) FV 2 = 2 ρ gV = 2 ρ gAs L 2

FV 2 = 2 ρ g (2 R +

π R 2

π

) L = 2 ρ gR 2 L (2 + ) 4 4

Actúa en xv2 es centro de gravedad del As π R 2 4 R 2 2 R ( R / 2) + ( ) 4 3π x v2 = 2 π R 2 R 2 +

4

x v2 =

16 R 3(8 + π )


Punto de aplicación: hcp = hcg +

F H 2 = 2 ρ ghcg Aproy

I cg Ahcg

1 AR2 1 5 hcp = R + 12 = 5 2 30 A( R ) 2 76 hcp = R 30

F H 2 = 2 ρ g (3R − R / 2)( RL) F H 2 = 5 ρ gR 2 L

(iii) Fuerza vertical y horizontal sobre ABC debido al liquido 3 ρ D R R

hcg hcp

3ρ

R

3ρ

3ρ

+

C

D =

C

C

FH3

xv3 FV3

B

B

B

33


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Fuerza vertical F V3: el peso del líquido sobre la superficie CD determina una fuerza vertical dirigida hacia arriba, el peso del líquido sobre la superficie CB determina una fuerza vertical dirigida hacia abajo encontrándose una fuerza neta caracterizada por el peso del volumen del área sombreado As (mitad del área de un disco circular) FV 2 = 3 ρ gV = 3ρ gAs L FV 2 = 3 ρ g (

π R 2

2

)L

Actúa en xv3 es centro de gravedad del As 4 R

x v3 =

3π


Punto de aplicación: I cg hcp = hcg + Ahcg

F H 2 = 3 ρ ghcg Aproy

1 A(2 R) 2 hcp = R + 12 A( R) 4 hcp = R 3

F H 2 = 3 ρ g ( R)(2RL) F H 2 = 6 ρ gR 2 L

11. Una cinta transportadora lleva una taza de café sobre una bandeja horizontal mientras se acelera a 7 m/s 2. La taza tiene 10cm de profundidad y 6cm de diámetro y el café que contiene llega hasta 3cm del borde en reposo. a) Suponiendo que el café adquiere una aceleración uniforme de 7m/s 2, determinar si rebosará o no; b) Calcular la presión manométrica en el punto A del rincón en reposo y en movimiento, si la densidad del café es 1010kg/m 3.

Solución Consideramos que se somete un recipiente que contiene un líquido a una aceleración constante en la dirección creciente de x (ver Figura). Como consecuencia la superficie adquiere una pendiente distinta de cero, recta que pasa por el punto central C, para distribuir la misma masa que se desplaza en la parte superior. a C h

θ

l

34


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Tomamos una porción diferencial de masa dm del líquido contenido en un volumen dV= dAdx, luego determinamos la presión a los lados de la masa x

a

x

y

yo C y

dm θ

h

(P+dP)dA

PdA dA dx

l

Dicha porción se encuentra verticalmente en equilibrio, sin embargo horizontalmente acelera. Ahora aplicamos la segunda Ley de Newton PdA − ( P + dP )dA = dma

−dPdA = ρ (dAdx )a dP

= − ρ a dx Observe que la presión P no sólo depende x sino también de la profundidad y, de modo que dP = − ρ adx P ( x, y ) = − ρ ax + P ( y ) + k Donde P ( y ) = ρ gy Luego P ( x, y ) = − ρ ax + ρ gy + k Para hallar k, tomamos las condiciones de contorno, observe que el punto medio C no ha variado por lo que la presión manométrica en dicho punto es cero, luego: l P (l / 2, yo ) = − ρ a + ρ gyo + k = 0

2

k = ρ a

l

2

− ρ gyo

Ahora hallaremos la pendiente de la recta Aplicamos la 2da Ley de Newton PdA − P´dA = dma y P = ρ gy dx

y-dy P´= ρ g ( y − dy )

ρ gydA − ρ g ( y − dy )dA = ρ dAdxa gdy = dxa dy dx

De modo que, de la figura anterior encontramos 2 y tan θ = o l

=

a g

= tan θ : pendiente dela recta

yo

θ l /2

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De donde k = 0, la presión queda P ( x, y ) = − ρ ax + ρ gy

Ahora, aplicamos al ejercicio propuesto: (a) para a=7m/s2, hallamos yo 2 y a la ⇒ yo = tan θ = o = ⇒ yo = l g 2g

(6cm)7m / s 2 ⇒ yo = 2,1cm 2(10m / s 2 )

Como 2,1cm < 3cm, el café no rebosa. (b) presión manométrica en el punto A P ( x, y ) = − ρ ax + ρ gy

(7 m / s 2 )(0) +1010kg / m 3(10 m / s 2)(10 cm) 3 2 P (0,10cm) = 1010kg / m (10 m / s )(0,10 m) P (0,10cm) = 1010 Pa P (0,10cm) = −1010kg / m

3

PREGUNTAS 1. El bloque de hielo flota en agua. Cuando el hielo se derrita, ¿qué ocurrirá con el nivel del agua; sube, baja o no varía? 2. ¿Por qué las burbujas de aire son muy peligrosas en los circuitos de frenos? 3. ¿Por qué los globos aerostáticos usados en meteorología acaban estallando? 4. Se tiene tres objetos que ocupan en mismo volumen, un cilindro de cobre, una esfera de hierro y un cubo de hierro y dos recipientes, uno que contiene agua y otro aceite. ¿Cuál de los tres objetos experimenta mayor empuje al introducirlos en agua y en aceite? ¿En cuál de los dos líquidos es mayor el empuje? 5. a) Dos objetos de forma esférica uno de hierro y otro de aluminio, tienen el mismo volumen, ¿cuál crees que experimenta más empuje al sumergirlos en el mismo líquido? b) Dos objetos de forma esférica, que tienen el mismo volumen, ¿cuál crees que experimenta un mayor empuje al sumergirlos en dos líquidos diferentes? 6. A) Esquematice las fuerzas distribuidas sobre el dique rectangular de la fig.a Porqué es lineal?. Explique a qué tipo de esfuerzo está sometido por el momento de volteo del agua?. B) Qué ventaja o desventaja ofrece el dique de forma parabólica (fig.b) respecto al dique rectangular?. Sustente su respuesta en relación a la fuerzas del fluido.

a

a

h

h

Fig. a

Fig. b

Demuestre que los sistemas de la fig. a y b, son o no equivalentes mecánicamente

Fig. a

h

ρ1

h

ρ

heq ρ

Fig. b

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7. Explique cómo debe variar la fuerza que se aplique para sacar lentamente el bloque fuera del agua?. El bloque es un cubo de arista b y masa m. Fig

h

8. El recipiente de la figura está formado por cuatro vasos de distinta forma y comunicados en la parte inferior por medio de unas llaves (T) que se pueden abrir o cerrar. Todos los vasos contienen el mismo líquido. Ordena los vasos en función de la presión hidrostática en el fondo de los mismo. Según la figura, ¿cómo se encuentran las llaves, abiertas o cerradas? ¿Qué ocurre si las llaves se encuentran abiertas?

9. Es muy peligroso que el sistema de frenos hidráulicos contenga aire (a la operación de extraer el aire se le llama sangrado). ¿Sabrías explicar el peligro producido por la presencia de aire en el sistema de frenos? 10. Queremos construir una prensa hidráulica que sea capaz de levantar un avión de 300 toneladas haciendo una fuerza con nuestra mano de 10 N. ¿Cuánto debe valer la relación entre las superficies? 11. Un zumo tiene una densidad de 1,2 g/cm 3. Pretendemos aspirar el zumo desde un balcón mediante un largo tubo. ¿Cuál es la máxima altura que puede alcanzar el zumo en el interior del tubo? Recuerda que es la presión atmosférica la que hace subir el zumo por el interior del tubo. Rpta. h = 8,61 m 12. En la figura se muestra una alberca de grandes dimensiones que se cierra mediante una compuerta articulada en su parte inferior y dispuesta verticalmente. Para vaciar la alberca, la compuerta se libera y se abate lentamente hacia el exterior. Entonces, podemos afirmar que durante la apertura de la compuerta, y en tanto que el agua de la alberca no la rebase, la fuerza hidrostática neto sobre la compuerta (a) no cambia. (b) aumenta. (c) disminuye. (d) No puede responderse a esta pregunta sin conocer las dimensiones de la compuerta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo pesa 800 N sumergido totalmente en agua y 600 N sumergido totalmente en un líquido de densidad igual a 1,2 g/cm3. Hallar cuánto pesará sumergido totalmente en alcohol de peso específico igual a 0,8 g/cm3 Sol. 1000,124 N 2. Un cuerpo flota en agua con el 68% de su volumen sumergido. Cuando se sumerge en otro líquido, también flota, pero ahora tiene el 90% de su volumen sumergido. Hallar la densidad del líquido

37


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3. Un bote en agua dulce (1gr/ cm 3) desplaza una cantidad de agua igual a 3500N. Para el mismo bote, pero en agua de mar (1,03gr/cm3 ): a. ¿Cuál es el peso de agua e mar que desplaza?. b. ¿Cuál es el volumen de agua que desplaza en ambos casos (agua dulce y de mar)?. 4. Según una publicidad, determinado coche pequeño flota en el agua. a) Si la masa del coche es 1000kg , su volumen interior es de 4m 3 y su volumen exterior de 5m 3 qué fracción del coche se sumerge cuando flota?. b) Si el agua penetra gradualmente en el coche desplazando al aire, qué fracción del volumen interno es agua cuando el coche se hunde? 5. Una esfera hueca de hierro y plomo flota completamente sumergida en agua, véase la figura. El diámetro exterior es de 58,7 cm y la densidad del hierro es de 7,87 g/cm 3, densidad del plomo 11.3g/cm3. Halle el diámetro interior de la esfera. Desprecie el peso de la masa del aire en el interior de la esfera. Halle el momento sobre el cuerpo y Determine la posición de equilibrio.

6. Considere un cilindro de sección A y altura h que se encuentra flotando en la interfase de dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2, respectivamente ( ρ1 > ρ2). Encuentre la densidad ρ del cilindro si éste se encuentra sumergido en el fluido 1 en una magnitud d.

7. Un corcho cilíndrico de masa m 1 y sección transversal S 1 flota en un líquido de densidad ρ. El corcho esta conectado por medio de una cuerda sin masa, de largo L, a un cilindro de aluminio de masa m 2 y sección transversal S2. El cilindro de aluminio puede deslizarse sin roce por un orificio hermético en el fondo del tiesto. Calcular la profundidad h a la que debe hallarse la base del corcho para que el sistema de los dos cilindros esté en equilibrio. La presión atmosférica, ¿juega algún rol?

8. Un Cubo de lado “a” flota en una sustancia de densidad ρ dejando 1/3 de su volumen fuera del líquido. Si se coloca el mismo cubo en la interfase de dos líquidos uno de densidad ρ y el otro de densidad ρ /4 como muestra la fig. (a) averiguar si el cubo puede quedar en flotación entre los líquidos. De ser así cuánto del cubo estaría sumergido en cada líquido. De no ser así cómo quedaría finalmente el cubo?. (b) Si el vértice del cubo A se hace girar de modo que queda en la interfase de los líquidos, determine el tipo de equilibrio en que se encuentra y si es necesario un torque para mantener el cubo en esa posición?. ρ /4

A H

ρ

H

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9. Una barra cilíndrica, de sección S = 5 cm 2 y de longitud L = 1m, encuentra atada mediante un cable de 25cm de longitud al techo de un depósito de agua. El agua del depósito dista 50cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en el agua según se muestra en la figura. Determine (a) Angulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio. (b) La longitud l de la barra que está sumergida. (c) La tensión del cable. Dato adicional: ρbarra / ρagua = 0,84.

10. Dos tubos de igual sección están comunicados como se indica en la figura. Al principio la llave L está cerrada. El tubo de la izquierda contiene agua y el de la derecha aceite de densidad 0,8 g/cm 3, estando los dos tubos llenos hasta la misma altura H=1m. El volumen del tubo de comunicación se supone despreciable. (a) Calcula los niveles alcanzados por los líquidos después de abrir la llave si h 0 = 0,2m. (b) Calcula los niveles alcanzados por los líquidos si h 0 = 0,02m.

F 11. Un tanque cilíndrico de 2,5m de diámetro contiene tres capas de líquidos. La del fondo, de 1,5 m de profundidad, es bromuro etílico, cuya densidad es de 1470 Kgm . En la parte superior de ese líquido hay una capa de agua de espesor 0,9 m y finalmente, flotando sobre la capa de aguase tiene una capa de benceno (densidad 880Kg m), de 2,0 m de espesor. Calcule la presión manométrica en el fondo del tanque y la fuerza total que ejerce el líquido sobre dicho fondo. 12. El tubo en U de la figura está cerrado en su rama izquierda y abierto a la presión atmosférica en su rama derecha; en su interior hay dos líquidos que no se mezclan con densidades ρ1=1000 kg/m3 y ρ2=800kg/m, con desniveles indicados en la figura. En el tubo izquierdo hay aire a una presión desconocida P x. Calcule (g=10m/s2; Patm=1,01x105Pa); a) La presión en el nivel A. b) La presión del aire encerrado P x.

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13. Con referencia a la fig. el punto A se encuentra a 53cm por debajo de la superficie libre del líquido de densidad relativa 1,25. Cuál es la presión manométrica y absoluta en A?.

B

C 4 cm

A

10cm Hg

Hg

14. Con respecto a la figura, determine la presión en los puntos A, B, y C de la figura donde el aceite tiene densidad 0,90 g cm −3 y el agua 1,00 g cm−3.

15. El líquido del manómetro de tubo abierto de la figura es mercurio, e y 1 = 3cm, y2 = 8cm. La presión atmosférica es de 570 milibares. a) ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo del tubo en U? b) ¿Cuál es la presión absoluta en el tubo abierto una profundidad de 5 cm por debajo de la superficie libre?. c) ¿Cuál es la presión absoluta del gas en el depósito?. d) ¿Cuál es la presión manométrica del gas en centímetros de mercurio? e) ¿Cuál es la presión manométrica del gas en centímetros de agua?

y2 y1 16. A través de los tubos A y B, vistos en corte en la figura, fluye agua. En el tubo en forma de U invertida se tiene aceite con una densidad relativa de 0,8. En los otros dos segmentos del manómetro se tiene mercurio con una densidad relativa de 13,6. Determine la diferencia de presión entre los tubos A y B en lbf/pulg 2.

40


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17. El manómetro inclinado mostrado en la figura tiene un depósito con diámetro D=90mm y un tubo medidor con diámetro d=6mm. El fluido manométrico es aceite rojo merian con ρ r =0,827. La longitud del tubo medidor es 0,6 m y posee un ángulo θ = 30º. Determinar la presión máxima en Pa que puede medirse con este manómetro.

18. Un aceite de densidad relativa 0,800 actúa sobre una superficie triangular vertical con uno de los vértices en la superficie libre del aceite. El triangulo tiene 2,745 m de altura y 3,660 m de base. A la base del triangulo de 3,660 m esta unida una superficie rectangular vertical de 2,440 m de altura y 3,660 m de anchura. Sobre la superficie rectangular actúa agua. Encontrar el módulo y situación de la fuerza resultante sobre el área entera. Solución: 371 kN; 3,72 m por debajo de la superficie libre del aceite. 19. Determine la ubicación “y ”del pivote fijo A de manera que justo se abra cuando el agua está como se indica en la figura.

20. La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 180cm de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B.

1,8m

3,0m

1,2m

0,9m

21. Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Si d= 0,75 m, determine las reacciones en A y D.

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22. El dique de un lago se diseña para soportar la fuerza adicional producida por el sedimento acumulado en el fondo del lago. Si la densidad del sedimento es equivalente a la de un líquido con densidad ρs=1,76x103 kg/m3 y considerando que el ancho del dique es de 1m, determine el porcentaje de incremento en la fuerza que actúa sobre la cara del dique cuando se tiene una acumulación de sedimento de 1,5 m de profundidad.

23. Una válvula automática consiste en una placa cuadrada de 225x225m pivoteada respecto a un eje horizontal a través de A, localizado a una distancia h= 90mm por encima del borde inferior. Determine la profundidad d del agua para la cual la válvula se abrirá.

24. La fig. muestra una compuerta plana AB de longitud 4m, articulada en A. Qué peso tiene la compuerta si está a punto de girar en las condiciones mostradas. La presión absoluta del gas es 1,1atm y la densidad relativa del petróleo es 0,9.

gas

5m

petróleo

agua

2m

B 2m

agua 45º A

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25. Sobre la compuerta AB se aplica una cuña, tal como se ilustra en la fig. Halle la fuerza hidrostática resultante sobre la cuña. Indique los puntos de aplicación de la fuerza vertical y horizontal.

B

agua 4m

50cm α

α

A 26. La figura muestra la sección transversal de un tanque cerrado de 7 m de largo. El tanque contiene alcohol etílico y la presión del aire es de 40 kPa. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la superficie circular AB y sobre la superficie triangular equilátera CD con vértice en C. Indique el punto de aplicación de la fuerza resultante. R=2m A

Aire

2R

2R

B Alcohol

C 2R D 45º

27. Un depósito de aceite tiene una parte del fondo con forma de triángulo rectángulo, como muestra la figura. Hallar a) la fuerza hidrostática sobre el triángulo y b) el centro de presiones de éste.

28. La figura representa la sección de un depósito, abierto a la atmósfera, que contiene un líquido de densidad ρ = 1200 kg/m 3 y, por encima de este, agua, de densidad ρagua = 1000 kg/m3, tal y como se indica en la figura. Del depósito parte una tubería de 0,03m 2 de sección, también llena del primer líquido y cerrada mediante una válvula V , perpendicular a la tubería. Una de las paredes laterales del depósito consiste en una compuerta rectangular de 9m de longitud y 1,5m de anchura, articulada en su extremo superior O y con un tope T en su parte inferior. Para la situación descrita, calcula: (a) la presión del líquido en la válvula V . (b) la fuerza neta ejercida por el líquido y el aire sobre la válvula V . (c) la fuerza neta ejercida 43


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por el agua y el aire sobre la compuerta y la distancia de su punto de aplicación al punto O. Datos adicionales: patm = 105 Pa.

29. Un submarino se encuentra a 100pies por debajo de la superficie del agua como se muestra en la figura. Determine la fuerza F necesaria para abrir la escotilla circular, cuya forma es como se indica en la figura. Suponga la presión dentro del submarino igual a la presión atmosférica.

30. El recipiente de la fig rectangular de profundidad 1,2m y de ancho 0,5m, está cerrado en uno de sus extremos por una compuerta de configuración circular con una articulación en la base. Cuál es la fuerza F aplicada en la parte superior de la compuerta para que no gire. El peso de la compuerta es 500N. F

ρr=1.2

31. La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante de W=5 m. La ecuación que describe la superficie es x = y2 a donde a = 4 m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta es 4 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante debida al agua y la línea de acción de cada una.

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32. La compuerta de la figura que tiene forma de cuarto de cilindro está articulada en el punto A y tiene 2m de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3m por debajo de la superficie del agua, determine: a. Magnitudes de la fuerza horizontal y vertical, b. Líneas de acción de la fuerza.

33. Hallar en función de los datos propuestos el máximo peso de la puerta semicircular para que se mantenga cerrada. En A hay una bisagra. Densidad del fluido ρ. (fig.)

2R

gas B R A

2R

ρ

2R (Hg)

ρHg =5ρ

R

En la fig., un cilindro de 2,4m de diámetro pesa 3000N y reposa sobre el fondo de un depósito de 2m de longitud. Se vierte agua y aceite en la parte izquierda y derecha del depósito hasta una profundidad de 0,6 y 1,2m respectivamente. Hallar la fuerza F horizontal y su punto de aplicación para que el cilindro se encuentre en equilibrio. Halle también la fuerza de contacto entre el cilindro y el recipiente. δAceite =0,75

F 1,2m 0,6m

34. Una compuerta con la forma de una superficie cilíndrica parcial (conocida como compuerta Tainter) es empleada para contener el agua en un dique como muestra la figura. El radio de la superficie es de 6 m y su longitud es de 10 m. La compuerta puede pivotar respecto del punto A y a su vez dicho punto está 3m por encima del punto de apoyo de la compuerta (C). Determine la magnitud de la fuerza resultante del líquido sobre la compuerta.

Agua

60º

A

C 45

Hidrostc3a1tica Janampa Quispe Kleber Ing Civil

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