UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SANTANDER ESCUELA DE ECONOMÍA TEORÍA DE JUEGOS Taller 1 Prof. Luis Alejandro Palacio G 1. EL JUEGO JUEGO DE LA INSPEC INSPECCIÓN CIÓN.. Un emleado fue con!ra!ado con!ra!ado or su jefe ara reali"ar cier!a !area. El emleado uede decidir decidir !ra#ajar !ra#ajar $T % o no !ra#ajar $ NT NT %. %. Los cos!os de !ra#ajar ara el emleado son i&uales a G ' el ni(e ni(ell de roduc roduc!o !o )ue )ue el consi& consi&ue ue en caso caso )ue !ra#aj !ra#ajee ser* ser* i&ua i&uall a V. El jefe uede I % o no inseccionar $ NI NI %. inseccionar $ I %. Si el jefe decide inseccionar incurre en un &as!o i&ual a H+ ero le ro(ee e(idencias so#re si el a&en!e !ra#aja o no. ,an con(enido )ue el jefe le a&ue a su emleado un salario W+ a menos )ue !en&a e(idencia de )ue el emleado no -a !ra#ajado. Los dos ju&adores !oman sus decisiones simul!*neamen!e. Para solucionar el jue&o suon&a )ue W >G > H > . a. De Descr scri# i#aa el ro#le ro#lema ma an!e an!eri rior or como como un jue&o jue&o en form formaa es!r es!ra! a!/& /&ic icaa ' encu encuen! en!re re los los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras.
SOLUCIÓN Jefe
T NT
Emleado
I 0G + 2,0 + ,
NI 0G + 20 0 + 0
Es!e jue&o no !iene e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras. 3. UN JUEGO JUEGO DE ES45A ES45A4EGIA 4EGIA 6ILI4A5. 6ILI4A5. El a7s A ' el a7s I es!*n es!*n en &uerra. Los dos a7ses es!*n searados or una serie de r7os como se ilus!ra en la si&uien!e fi&ura8 A
#
c
d
e
f
&
-
I
El a7s I en(7a en(7a una flo!a na(al a des!ruir des!ruir A+ la cual de#e desla"arse or los diferen!es r7os ' se de!iene cada noc-e en una de las in!ersecciones $or ejemlo+ I -e# -e# A )uiere decir )ue la flo!a aso la rimera noc-e en -+ lue&o en e ' as7 sucesi(amen!e%. Si al cuar!o d7a la flo!a lo&ra lle&ar al a7s A+ en!onces lo des!ruir* ' &anar* la &uerra el a7s I . Para defenderse+ el a7s A en(7a un #u)ue )ue solamen!e uede desla"arse or !res si!ios con!i&uos $or ejemlo+ A #cf )uiere decir )ue la flo!a aso la rimera noc-e noc- e en #+ lue&o en c ' as7 sucesi(amen!e%. sucesi(amen!e%. Si el #u)ue lo&ra in!ersec!ar in!ersec!ar a la flo!a en al&uno de los lu&ares donde /s!a asa la noc-e+ en!onces la des!ruir* ' &anar* la &uerra el a7s A. 1
a. Plan!e Plan!eee es!a si!uaci9 si!uaci9nn como como un jue&o jue&o en forma forma es!ra!/&i es!ra!/&ica ca ' de!erm de!ermine ine el e)uili#r e)uili#rio io de Nas- en es!ra!e&ias uras. #. Elimine las es!ra!e&ias d/#ilmen!e dominadas ' de!ermine el jue&o resul!an!e.
SOLUCIÓN
N I + A
$ f + c+ b% $ f + e+ d % $ f + e+ h% $h+ e+ b% $h+ g + d % $h+ e+ d %
S A $b+ e+ f % $b+ c+ f % $b+ e+ h% $b+ e+ d % $d + e+ f % $d + e+ h% $d + g + h% $d + e+ b%
S I
a. E)uili E)uili#ri #rioo de NasNas- en en es!ra! es!ra!e&i e&ias as uras uras
A
B,E,F B,C,F B,E,H B,E,D D,E,F D,E,H D,G,H D,E,B
F,C,B +1 1+ +1 +1 +1 +1 +1 1+
F,E,D 1+ +1 1+ 1+ 1+ 1+ +1 1+
I F,E,H 1+ +1 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+
H,E,B 1+ +1 1+ 1+ 1+ 1+ +1 1+
H,G,D +1 +1 +1 1+ +1 +1 1+ +1
H,E,D 1+ +1 1+ 1+ 1+ 1+ +1 1+
Como se uede (er no e:is!e e)uili#rio de Nas- en es!ra!e&ias uras #. Eliminaci9n de es!ra!e&ias d/#ilmen!e dominadas En la rimera ronda A elimina las si&uien!es es!ra!e&ias8 I A
B,E,D D,E,B
F,C,B +1 1+
F,E,D 1+ 1+
F,E,H 1+ 1+
H,E,B 1+ 1+
H,G,D 1+ +1
H,E,D 1+ 1+
En la se&unda ronda el jue&o )ueda reducido a8
A
B,E,D D,E,B
I F,C,B +1 1+
H,G,D 1+ +1
De lo an!erior se uede concluir )ue el jue&o resul!an!e es un jue&o 3:3 )ue no se uede solucionar en es!ra!e&ias uras.
2
;. ,ALC ,ALCÓN ÓN < PALO6 ALO6A. A. Dos animale animaless de cier!a cier!a o# o#lac laci9n i9n elean elean or una resa de (alor V. Cada animal uede comor!arse comor!arse como una aloma aloma o como un -alc9n. Si es!os animales animales se enfren!an enfren!an ' am#os se comor!an como alomas+ en!onces ellos se di(iden en ar!es i&uales el (alor de la resa= si am#os se comor!an como -alcones+ se elear*n fero"men!e reduciendo el (alor de la resa en C ' cual)uiera de los dos uede &anarla con i&ual ro#a#ilidad= si uno de ellos se comor!a como -alc9n ' el o!ro como aloma+ en!onces el -alc9n o#!iene la resa ' no le da nada al o!ro. a. Descri#a Descri#a el ro#lema ro#lema como como un jue&o jue&o en forma forma normal ' encuen!re encuen!re los e)uili#ri e)uili#rios os de Nasen es!ra!e&ias uras. No!a8 analice )ue aso cuando C > V ' cuando V > C
SOLUCIÓN J3
H
P
$V C %
H
3
+ V
$V C %
+
3
J1
V
P
+
3
V
+
V
3
Si V C el e)uili#rio de Nas- ser7a $,+,% J3
H
P
$V C %
H
3
+
$V C %
V
+
3
J1
V
P
+
V
3
+
V
3
Si V C el e)uili#rio de Nas- ser7a $,+P% = $P+,%. ?. 6ODE 6ODELO LO DE 2O 2O4 4ACIÓ ACIÓN. N. ,a' !res elec!ores+ 1+ 3 ' ;+ ' !res al!erna!i(as+ A, al!erna!i(as+ A, B y C. Los C. Los elec!ores (o!an simul!*neamen!e or una al!erna!i(a ' no se ermi!e la a#s!enci9n. La al!erna!i(a con m*s (o!os &ana+ ' si nin&una al!erna!i(a consi&ue la ma'or7a+ en!onces &ana la al!erna!i(a A al!erna!i(a A.. Una (e" se -a reali"ado las (o!aciones+ las referencias de los elec!ores so#re los resul!ados de la (o!aci9n se ueden reresen!ar de la si&uien!e forma8
3
U 1 (A) = U 2 (B) = U 3 (C) = 2 U 1 (B) = U 2 (C) = U 3 (A) = 1 U 1 (C) = U 2 (A) = U 3 (B) = 0. Donde+ or ejeml Donde+ ejemlo+ o+ U 3 (C) = 2 si&nif si&nifica ica )ue si si &ana &ana el candid candida!o a!o C + es!e resul!ado le reresen!a una u!ilidad de 3 ara el ju&ador 3. a. 5ere 5erese sen! n!ee es!a es!a si!u si!uac aci9 i9nn como como un jue&o jue&o en forma forma es!r es!ra! a!/&i /&ica ca ' encue encuen! n!re re !odo !odoss los los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras.
SOLUCIÓN
J1
A B C
A 2+ + 1 3+ + 1 3+ + 1
J3 B C 2+ + 1 3+ + 1 1 + 3 + 3+ + 1 3 + + 1 + 1+ 3 A
J1
A B C
A 3+ + 1 1+ 3+ 3+ + 1
J3 B 1+ 3+ 1+ 2+ 1+ 3+ B
C 3+ + 1 1+ 3+ + 1+ 3
J;
J1
A B C
A 3 + + 1 3 + + 1 + 1+ 3
J2 B 3+ + 1 1+ 3 + + 1 + 3 C J!
C + 1+ 2 + 1+ 3 + 1+ 2
Los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras son8 $A+ A+ A%= $A+ @+ A%= $@+ @+ @%= $A+ C+ C%= $C+ C+ C% . Dos indi(i indi(idu duos os es!* es!*nn in!e in!ere resad sados os en com comra rarr cada cada uno un au!o au!om9 m9(i (ill ' solam solamen en!e !e u uede ede esco&er en!re un (e-7culos jaon/s o un (e-iculo franc/s. Al ju&ador 1 le &us!an m*s los (e-7culos (e-7culos franceses+ ' al ju&ador 3 le &us!an m*s los (e-7culos (e-7culos jaoneses+ jaoneses+ sin em#ar&o+ ara &aran!i"ar )ue -a'a un mejor suminis!ro de reues!os es desea#le )ue am#os ju&adores comren (e-7culos del mismo ro(eedor. Es!as referencias se ueden reresen!ar or medio de las si&uien!es funciones de u!ilidad8 U 1 $W 1 + W 3 % u1 $W 1 % 3W 1W 3 U 3 $W 1 +W 3 % u 3 $W 3 % 3W 1W 3
Donde
W i 1 Si
W i
i ad)uiere un (e-iculo jaon/s+ ara i C1+ 3 B 1 Si i ad)uiere un (e-iculo franc/s+ ara i C1+ 3 B u1 $1% 1=
u1 $1% 3=
u3 $1% 3=
u3 $ 1% 1.
Descri#a es!e jue&o en una #ima!ri" ' encuen!re los e)uili#rios de Nas-. Para -allar los (alores de cada casilla
4
U 1 $ + % 1 3 $1% $1% ;
U 1 $ ! + % 3 3 $1% $1%
U 3 $ + % 3 3 $1% $1% ?
U 3 $ ! + % 3 3 $1% $1%
U 1 $ + ! % 1 3 $1% $ 1% 1
U 1 $ ! + ! % 3 3 $1% $1% ?
U 3 $ + ! % 1 3 $1% $ 1% 1
U 3 $ ! + ! % 1 3 $ 1% $1% ;
J1
Ja"#$%& (ra$'%&
J3 Ja"#$%& ;+? +
Fr a $ ' % & 1 + 1 ?+;
Los e)uili#rios de Nas- de es!e jue&o son $J+ J%= $+ % F. La &uardia &uardia imeria imeriall de Na Naole ole9n 9n @onaar! @onaar!ee se enfren! enfren!aa a las !roas !roas in&lesas in&lesas del General General 0ellin&!on. Para es!a con!ienda+ -a' camos de #a!alla con (alores mili!ares 1+ 3+ ; +? ' resec!i(amen!e. Cada General es do!ado con ? escuadrones ' de#e decidir a )u/ camo de #a!alla los en(7a+ ero solo uede en(iar un escuadr9n es cuadr9n como m*:imo a cada camo. a. Cuando el el com#a!e com#a!e comien"a+ comien"a+ los los a&os de cada ejerci! ejerci!oo ser*n i&uales i&uales al al (alor mili mili!ar !ar de los camos de #a!alla en los cuales !en&a suerioridad num/rica+ ' en caso )ue en un camo de #a!alla -alla i&ual numero de escuadrones+ en!onces nin&uno lo &ana. Descri#a es!a si!uaci9n como un jue&o en forma normal ' encuen!re los e)uili#rios de Nas-. #. A-ora suon&a suon& a )ue lo imor!an!e es &anar la &uerra+ ' la &ana a)uel ej/rci!o )ue o#!en&a ma'or (alor mili!ar or los !erri!orios ocuados. Analice es!e nue(o jue&o ' (erifi)ue )ue el e)uili#rio de Nas- es una com#inaci9n de es!ra!e&ias d/#ilmen!e dominan!es.
SOLUCIÓN) a. Para lan!e lan!ear ar el jue&o+ las es!ra! es!ra!e&i e&ias as de cada cada ju&ador ju&ador reresen!a reresen!ar*n r*n el camo de #a!alla #a!alla )ue descuidan. Por ejemlo+ I si&nifica )ue se en(iaron escuadrones a !odos lo camos de #a!alla menos al camo 1.
NAPOLEON
I II III IV V
I + 1+3 1+; 1+? 1+
0ELLING4ON II III IV 3+1 ;+1 ?+1 + ;+3 ?+3 3+; + ?+; 3+? ;+? + 3+ ;+ ?+
V +1 +3 +; +? +
Es!e jue&o !iene 3 e)uili#rios de Nas #. 0ELLING4ON
5
I II III IV V + 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 I II 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 1 + 1 NAPOLEON III 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 IV 1 + 1 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 V 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 + El e)uili#rio de Nas- es $I +I%= ' es f*cil o#ser(ar )ue es!as es!ra!e&ias siemre #rindan ma'or o i&ual u!ilidad u!ilidad so#re !odas las dem*s es!ra!e&ias es!ra!e&ias disoni#les+ disoni#les+ sin imor!ar imor!ar lo )ue es!e -aciendo -aciendo el ad(ersario. . Resuel Resuelva va el siguie siguiente nte juego juego con el princi principio pio soluci solución ón de elimin eliminaci ación ón iterada iterada de estrategias estrictamente dominadas y encuentre el equilibrio de Nash.
J1
A B C D E
A F;+ 1 ;3 + 1 ? + 1 1 + ; ; 33 +
B 3H + 1 3+ 3 + 1 ;+ ? ; 1+ 1 ;
J3 C 3 + 3+ + 3 1 + ; 1 + HH
D 3+ ? ; ;+ ?+ 1 1 + 13 3 +
E ; + 1 3+ ; + ? 1 + 1 ; + 3
D 3+ ? ;;+ ?+ 1 1 + 13 3 +
E ; + 1 3+ ; + ? 1 + 1 ; + 3
SOLUCIÓN
J1
A B C D E
A F;+ 1 ;3 + 1 ? + 1 1 + ; ; 33 +
B 3H + 1 3+ 3 + 1 ;+ ? ; 1+ 1 ;
J3 C 3 + 2, 5
+ 3 1 + ; 1 + HH
El e)uili#rio de Nas- de es!e jue&o es la com#inaci9n de es!ra!e&ias $@+ C% 5esol(iendo el jue&o or eliminaci9n i!erada de es!ra!e&ias es!ric!amen!e dominadas !enemos8 ara el jugador 1! las estrategias " y # son dominadas por la estrategia $! por lo tanto podemos eliminarlas.
J1
A B C
A F ;+ 1 ;3 + 1 ? + 1
B 3 H+ 1 3+ 3 + 1
J3 C 3+ 3+ + 3
D 3+ ? ;;+ ?+ 1
E ;+ 1 3+ ; + ?
Lue&o+ ara el ju&ador 3+ las es!ra!e&ias A ' @ son dominadas or la es!ra!e&ia E+ or lo !an!o odemos eliminarlas. J3 %
C 3 + 3+ + 3
A B C
J1
D 3+ ? ;;+ ?+ 1
E ;+ 1 3+ ; + ?
"n una tercera ronda! para el jugador 1! las estrategias & y $ son dominadas por la estrategia '! por lo tanto podemos eliminarlas.
J1
B
C 3+
J3 D ;; +
E 3+ ;
Por l!imo+ ara el ju&ador 3+ las es!ra!e&ias D ' E son dominadas or la es!ra!e&ia C+ or lo !an!o odemos eliminarlas. La soluci9n de es!e jue&o or eliminaci9n i!erada de es!ra!e&ias fuer!emen!e dominadas es la com#inaci9n de es!ra!e&ias $@+ C%. H. $onsidere el siguiente juego( J2 D E F A 1+ 3+ 1? 3+ 1+1H 1+ 1+ 11 J1 B F+ ;+ 3H ;3+ ?+ ; 3;+ 11+ 3; C H + ; + 1H 1 + 3 + ; 1 + 3 + ; G
J1
J2 D E F A ?1+3?+1 3?+ 31+ 1? 1;+ ?+ 1 B ?+ ;+ 1 13+ 3;+ 3 ?F+ H+ 11 C F+ 1; ?3+ 1;+ 33 3;+ 31+ 3? H
J! a. KE:is!e KE:is!e al&una al&una es!ra!e&i es!ra!e&iaa fuer!emen!e fuer!emen!e dominada dominada ara al&n ju&ador ju&ador #. 5esuel(a el jue&o u!ili"ando el rinciio de eliminaci9n i!erada de es!ra!e&ias fuer!emen!e dominadas ' encuen!re el e)uili#rio de NasSOLUCION a. Si+ la la es!ra!e&ia es!ra!e&ia , del ju&ador ju&ador ; es dominada dominada or la es!ra!e&i es!ra!e&iaa G. #. Como la es!ra!e&ia , de J; es dominada or G+ en!onces odemos eliminarla J2 D E F A 1+ 3+ 1? 3+ 1+1H 1+ 1+ 11 J1 B F+ ;+ 3H ;3+ ?+ ; 3;+ 11+ 3; C H+ ;+ 1H 1+ 3+ ; 1+ 3+ ; G J!
)
A-ora+ las es!ra!e&ias A ' D ara J1 son dominadas or @+ adem*s la es!ra!e&ia de J3 es dominada por "! por lo tanto se pueden eliminar
J2 J1
B
D F + ; + 3 H
E ;3+ ?+ ; G J!
En la !ercera ronda+ la es!ra!e&ia D es dominada or E+ or lo !an!o la soluci9n del jue&o or eliminaci9n i!erada de es!ra!e&ias fuer!emen!e dominan!es es $@+ E+ G% c. 5esuel(a 5esuel(a el jue&o u!ili"ando u!ili"ando el rincii rinciioo de e)uili e)uili#rio #rio de NasJ2 J2 D E F D E F A 1+ 3+ 1? 3+ 1+1H 1+ 1+ 11 A ?1+3?+1 3?+ 31+ 1? 1;+ ?+ 1 J1 B F+ ;+ 3H ;3+ ?+ ; 3;+ 11+ 3; J1 B ?+ ;+ 1 13+ 3;+ 3 ?F+ H+ 11 C H + ; + 1H 1 + 3 + ; 1 + 3 + ; C F+ 1; ?3+ 1;+ 33 3;+ 31+ 3? G H J! El nico e)uili#rio de Nas- del jue&o es $@+ E+ G% . Conside Considere re )ue un ar de ami&o ami&oss de#en esco&e esco&err un nmero nmero de 1 a de forma simul simul!*n !*nea. ea. Si coinciden en el mismo nmero+ en!onces o#!ienen un a&o i&ual al nmero )ue esco&ieron. En caso con!rario+ cada uno ierde el nmero )ue esco&i9. a. Plan!e Plan!eee es!a si!uaci9 si!uaci9nn como un jue&o en forma es!ra! es!ra!/&i /&ica ca ' de!erm de!ermine ine los e)uili# e)uili#rio rioss de Nas- en es!ra!e&ias uras. #. KMu/ creer7a us!ed )ue efec!i(amen!e se ju&ar* en es!a si!uaci9n
SOLUCIÓN J2 1 2 ! * + 1+1 1 + 3 1 + ; 1 + ? 1 + 1 3+3 3 + ; 3 + ? 3 + 2 3 + 1 J1 ;+; ; + ? ; + ! ; + 1 ; + 3 ?+? + ? * ? + 1 ? + 3 ? + ; + + + 1 + 3 + ; + ? Los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras son8 $1+ 1%= $3+ 3%= $;+ ;%= $?+ ?%= $+ %. 1. Dos &ruos eli!e de cier!o ejerci!o ejerci!o de de#en enfren!ar como ar!e de su en!renamien en!renamien!o. !o. El rimer &ruo &r uo es el de los Infan!es+ los cuales cuen!an con cua!ro es!ra!e&ias. El o!ro &ruo es el de los Ar!illeros+ )ue cuen!an con !res es!ra!e&ias. El si&uien!e dia&rama mues!ra la ro#a#ilidad de )ue el &ruo de los infan!es derro!e a los ar!illeros. Ar!illeros *
Ar-ller.a Pe&a/a, Ar-ller.a Ar-ller.a l-3era, 0aa el#'-/a/ Me/-a$a ala el#'-/a/ .; .3 .1 Ar4a& /e a&al# Infan!es Gra$a/a& /e 4a$# .1H .1? .1F .; .33 .1 M#rer#& .31 .1F .1 M-$a& erre&re& U!ilic U!ilicee la elimin eliminaci aci9n 9n i!erad i!eradaa de es!ra! es!ra!e&i e&ias as fuer!e fuer!emen men!e !e domina dominadas das ara de!erm de!ermina inarr la soluci9n de es!e jue&o. SOLUCIÓN Es!e es)uema se uede in!erre!ar in!erre!ar como un jue&o de suma cero+ dado )ue la ro#a#ilidad ro#a#ilidad de &anar de un e)uio es la misma ro#a#ilidad de erder del o!ro. En una rimera ronda+ se uede eliminar las es!ra!e&ias 6inas !erres!res ' Granadas de mano or ser dominadas or 6or!eros= de i&ual forma+ Ar!iller7a esada es dominada or Ar!iller7a mediana
Ar4a& /e a&al#
Ar!illeros Ar-ller.a Ar-ller.a l-3era, Me/-a$a ala el#'-/a/ .3 + . .1 + .H
Infan!es
M#rer#&
.33 + .H
.1 + .H;
"n la segunda ronda! +&rtiller,a -ediana es dominada por +&rtiller,a ligera.
Ar4a& /e a&al#
Ar!illeros Ar-ller.a l-3era, ala el#'-/a/ .1 + .H
M#rer#&
.1 + .H;
Infan!es
Por l!imo+ Armas de asal!o asal!o es dominada dominada or 6or!eros+ 6or!eros+ or lo !an!o+ la soluci9n de es!e jue&o or eliminaci9n i!erada de es!ra!e&ias fuer!emen!e dominadas es $6or!eros+ Ar!iller7a li&era% 11. LA SU@AS4A SU@AS4A DEL SEGUNDO 6EJO5 P5ECIO. Un o#je!o ser* (endido or medio de una su#as!a. E:is!en " 1 oferen!es ' cada uno de ellos solamen!e uede resen!ar una ofer!a en un so#re sellado. El &anador de la su#as!a ser* a)uel )ue realice la ofer!a m*s al!a+ ero solamen!e a&ar* el (alor corresondien!e con la se&unda mejor ofer!a. El (alor del o#je!o ara el oferen!e i es i&ual a V i . En caso de ema!e+ se u!ili"ar* un mecanismo alea!orio )ue o!or&ue la misma ro#a#ilidad de &anar a cada uno de los oferen!es )ue realicen la mejor ofer!a. 6ues!re )ue re(elar (erdaderamen!e el (alor del o#je!o es una es!ra!e&ia d/#ilmen!e dominan!e ara cada oferen!e. /
SOLUCIÓN El jue&o en forma normal es 1+ 3 + ...+ " S i Si + donde # i N
Sea
# $
la uja m*s al!a de !odos los indi(iduos sin incluir al i esimo
Por lo !an!o+ la funci9n de u!ilidad del ju&ador i ser*
V i # $ U i $ # i + # $ % . V # i $ &
%i # i # $ %i # i # $ %i # i # $
Para en!ender mejor es!a funci9n de u!ilidad es !il &raficar las diferen!es osi#ilidades
V i # $
U
V i # $
U
2iPj
2iPj
$2iPj%m
$2iPj%m
Pj
2i
Pi
$2iPj%m
2i
Pj
Pi
2iPj
V i # $
U
Pi PjQ 2i
Por lo !an!o+ la funci9n de mejor resues!a ser*
10
$ # $ + % %i V i # $ # i $ # $ % . + # $ %i V i # $ . + %i V # i $ Por Por lo !an! !an!oo el e)ui e)uili li#r #rio io de Na Nass- es!* es!* dond dondee se cruc crucen en !oda !odass las las mejo mejore ress res resue ues! s!as as++ $V 1 +V 3 + ... +V % + es decir+ cada ersona escri#e en el ael el nmero )ue coincide con su (aloraci9n= &an*ndose la su#as!a la ersona )ue m*s (alore el o#je!o. "
13. 4res 4res ami&os (an a ir a un res!auran!e. res!auran!e. Cada uno de ellos ele&ir* simul!*neam simul!*neamen!e en!e lo )ue (a a comer ' la cuen!a se di(idir* en ar!es i&uales. Si uno de ellos eli&e un la!o de recio # ' con!ri#u'e con!ri#u'e con ' con ' esos esos a la cuen!a+ su u!ilidad es i&ual a # i ' . Calcule los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras de es!e es !e jue&o. i
SOLUCIÓN El jue&o en forma normal es N
Si + Donde
S # i i
A + B + C
# i
es el (alor del la!o del ju&ador
i
.
# # 3 # ; U i $ # 1+ # 3 + # ; % # i 1 ;
Por lo !an!o+ el ro#lema de cada ju&ador 1 es # # 3 # ; U 1 $ # 1 + # 3 + # ; % # 1 1 ;
C.P.O U 1 1 1 # 1 3 ; # 1 3 1
1 1
3 3 # 1
;
; # 1 3
Por Por lo !an! an!o+ ju&ar u&ar
I ?
3
es una es!ra! es!ra!e&i e&iaa fuer!e fuer!emen men!e !e domina dominan!e n!e++ or)ue or)ue siemre siemre es mejor mejor I I I + + ? ? ?
resues!a+ ' el e)uili#rio de Nas- ser*
1;. tilice el siguiente juego en orma estratgica para mostrar que el orden en que se eliminan iteradamente estrategias dbilmente dominadas puede aectar el conjunto de posibles resultados(
J3 11
C 3+1 1+3 3 + 3
A B C
J1
D 1+1 ;+1 1 + 1
E + 3+1 1 + 1
SOLUCIÓN La e&rae3-a E /el J2 e& /#4-$a/a /%0-l4e$e "#r la e&rae3-a D, e$#$'e& 56e/ar.a el 6e3# /e la &-36-e$e (#r4a) J3 C D 3+1 1+1 A J1 B 1+3 ;+1 1 + 1 C 3 + 3 < en es!e jue&o no -a' es!ra!e&ias dominadas. Por o!ro lado+ si rimero elimino la es!ra!e&ia C del J1 que es dominada dbilmente por la estrategia &!
J1
C 3+1 1+3
A @
J3 D 1+1 ;+1
E + 3+1
A-ora+ la es!ra!e&ia E del J3 es dominada d/#ilmen!e or la es!ra!e&ia D+ sucede )ue8 J3 J1
A B
C 3+1 1+3
D 1+1 ;+1
La es!ra!e&ia D del J3 es dominada d/#ilmen!e or la es!ra!e&ia C+ )uedando8
J1
A B
J3 C 3+1 1+3
< or l!imo+ la es!ra!e&ia @ del J1 es domina or la es!ra!e&ia A. J3 C J1 A 3 + 1 Por lo !an!o+ la soluci9n del jue&o es $A+ C%
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1?. Una cororaci9n cororaci9n )ue osee cier!o ac!i(o de#e decidir si ermi!e ermi!e )ue un corredor de #olsa lo in(ier!a en un ro'ec!o roduc!i(o. Si la cororaci9n one el ac!i(o en manos del corredor de #olsa+ es!e de#e decidir si efec!i(amen!e efec !i(amen!e lo in(ier!e ' reci#e una comisi9n o si simlemen!e s imlemen!e se aroia del ac!i(o sin in(er!irlo. Sea ' el (alor del ac!i(o )ue osee la cororaci9n+ ( la ren!a#ilidad de la in(ersi9n ' # la comisi9n. 6odele es!a si!uaci9n como un jue&o en forma es!ra!/&ica ' en encuen!re el e)uili#rio de Nas-. Comen!e el resul!ado.
S#l6'-7$ S Q Si en!re&a el ac!i(o N Q No en!re&a el ac!i(o
J1
S N
I Q In(ier!e el ac!i(o NI Q No in(ier!e el ac!i(o J2 I NI ' ( # + # ' + ' + +
El nico e)uili#rio de Nas- de es!e jue&o ser7a $N+ NI% 1. Discu!iendo Discu!iendo acerca de la e(oluci9n social ' sus #eneficios+ J. 5ousseau $1% descri#e descri#e la si&uien!e si!uaci9n a la )ue se enfren!a un &ruo de ca"adores )ue ersi&uen un (enado8 REn el !ra#ajo de ca"ar un (enado cada ca"ador de#e sen!ir )ue su ro9si!o es man!enerse fiel a su o#je!i(o= sin em#ar&o+ si una lie#re asara cerca de al&uno de ellos+ no -a#r7a duda de )ue /s!e la erse&uir7a sin escrulos ' )ue+ -a#iendo o#!enido su resa+ oco le imor!ar7a -a#er causado a sus comaeros la erdida de las su'as. a. 6odele 6odele es!a es!a si!uaci9 si!uaci9nn en una #ima!ri #ima!ri"" asumiendo asumiendo )ue las nicas nicas acciones acciones disoni disoni#le #less a cada a&en!e son ca"ar (enado ' ca"ar lie#re #. Encuen!re el e)uili#rio de Nas- e in!erre!e el resul!ado.
SOLUCIÓN V 2alor del (enado ) 2alor de la lie#re Sea V + ) .
'
V 3
)
J2 CV J1
CV CL
V
3
+
V
3
L+
CL +L )
3
+
)
3
Se uede o#ser(ar como el e)uili#rio de Nas- es $ CL+ CL % 1F. A mediado mediadoss del si&lo TT mien!r mien!ras as se discern7a discern7a la se&unda se&unda &uerra mundial mundial se resen! resen!oo un -ec-o #as!an!e cr7!ico+ la #a!alla del mar de @ismarc+ ara con!rolar Nue(a Guinea. El jefe
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de los aliados+ el &eneral Venne'+ !end7a reor!es de in!eli&encia )ue indica#an )ue el ej/rci!o jaon/s -ar7a mo(imien!os de !roa ' con(o'es del uer!o de 5a#aul+ en la un!a orien!al de la isla de Nue(a @re!aa+ a Lae+ )ue es!a jus!o al es!e de Nue(a @re!aa en Nue(a Guinea. El jefe de los jaoneses !end7a dos al!erna!i(as8 4omar 4omar una ru!a asando or el nor!e+ o #ien o!ra or el sur de Nue(a @re!aa. En la ru!a or el nor!e+ donde don de con se&uridad la (isi#ilidad ser7a mu' mala de#ido al clima+ el (iaje durar* !res d7as+ mien!ras )ue en la ru!a or el sur el clima ser7a m*s fa(ora#le+ lo )ue conlle(a a )ue el (iaje solo !ardar* un d7a. El &ene &enera rall Ve Venn nne' e' !en7 !en7aa la oci oci9n 9n de conc concen en!r !rar ar la ma'o ma'orr ar! ar!ee de sus sus a(io a(ione ness de reconocimien!o en una ru!a o en la o!ra+ ' una (e" locali"ado el con(o'+ od7a #om#ardearlo -as! -as!aa su lle&a le&ada da a Lae. ae. Sin Sin em#a em#arr&o+ &o+ el cli clima !am#i am#i/n /n infl nflu' u'ee en el !ra#a ra#ajjo de reconocimien!o+ or)ue con #uen clima se uede reconocer el con(o' f*cilmen!e+ ero con mal clima la ro#a#ilidad de iden!ificar el con(o' se reduce a la mi!ad. Plan!ee es!a si!uaci9n como un jue&o en forma normal ' encuen!re los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras.
SOLUCIÓN N Q 5u!a del Nor!e $6ala (isi#ilidad% S Q 5u!a del Sur $@uena (isi#ilidad% (isi#ilidad% D Q 2alor 2alor de de!ec!ar ' des!ruir el con(o' J3 N #r e J1
N#re S6r
S6r
* * ; + 3 3
; +
* 1 +
1 +
*
1. En el (iaje (iaje de re&reso re&reso de una unass (acaci (acaciones ones se erdie erdieron ron los e)uiajes e)uiajes de dos (iajeros (iajeros )ue -a#7an comrado e:ac!amen!e los mismos o#je!os. La coma7a a/rea le dice a los (iajeros )ue cada uno de#e solici!ar un a&o or el (alor de los o#je!os e:!ra(iados+ )ue se sa#e es un numero ml!ilo de mil en!re . ' 1.+ am#os incluidos. La coma7a se comrome!e a a&ar a cada uno el +NI+el +NI+- de de las dos can!idades solici!adas+ ero ara ase&urarse )ue no e:is!a en&ao+ se le )ui!ar*n ;. a la ersona )ue -a&a la solici!ud m*s al!a ara d*rselos a la )ue -i"o la m*s #aja. a. Por medio medio de una ma!ri" ma!ri" lan!e lan!eee es!e ro#lem ro#lemaa como un jue&o en forma forma es!ra!/ es!ra!/&ic &icaa ' encuen!re los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras de es!e jue&o
SOLUCIÓN 3
1
89 :9 ;9 19
89 . + . ?. + 1. ?. + 1. ?. + 1.
:9 1. + ?. H. + H. . + 11. . + 11.
;9 1. + ?. 11. + . . + . F.+ 13.
19 1. + ?. 11. + . 13. + F. 1.+ 1. 14
Por lo !an!o+ el nico e)uili#rio de Nas- del jue&o es $. + .% 1H. Considere Considere la si&uien!e si&uien!e si!uaci9n. si!uaci9n. 4res ju&adores ju&adores de#en esco&er en!re c/ o c/ o %e, %e, ' cada uno de ellos o#!iene un a&a i&ual al numero de ju&adores )ue esco&ieron la misma es!ra!e&ia )ue el. Por ejemlo+ U 1 $c+ c+ %% U 3 $c+ c+ %% 3 ' U ; $c+ c+ %% 1 . Plan!ee es!a si!uaci9n como un jue&o en forma normal ' encuen!re los e)uili#rios de Nas- en es!ra!e&ias uras. 1. Dos ami&os ami&os acordar acordaron on encon!r encon!rarse arse a cier!a cier!a -ora en la uni(ersid uni(ersidad+ ad+ ero en el momen! momen!oo de dejar claro el lu&ar se cor!9 la comunicaci9n. En el momen!o )ue es!a#an -a#lando+ uno de ellos se encon!ra#a en la en!rada de la uni(ersidad ' el o!ro es!a en la #i#lio!eca+ lo cual es de conocimien!o comn. Sin em#ar&o e:is!e un !ercer lu&ar donde odr7an encon!rarse+ el edificio de ciencias -umanas. a. Plan!ee Plan!ee es!a si!uaci si!uaci9n 9n como un jue&o jue&o en forma forma normal+ normal+ donde los los a&os de#an de#an reflejar reflejar )ue lo fundamen!al es )ue los dos ami&os se encuen!ren+ sin imor!ar el lu&ar. Adem*s encuen!re los e)uili#rios de Nas- ara es!e jue&o. #. A-ora considere )ue desla"arse cues!a+ es decir+ se sa#e )ue el ju&ador 1 es!a en la en!rada ' el ju&ador 3 en la #i#lio!eca ' si ellos decidieran cam#iar de lu&ar incurrir7an en un cos!o. Suon&a adem*s )ue el cos!o de desla"arse es menor )ue lo )ue &anan cuando se encuen!ran. Plan!ee Plan!ee es!a nue(a si!uaci9n si!uaci9n como un jue&o ' encuen!re los e)uili#rios e)uili#rios de Nas-.
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