Prác t ic icaa 7 Funciones Elemen Elementale taless y Funcione uncioness Analí Analítt icas
Problema 1. Hall Hallar ar la imag imagen en de la circu circunf nfer eren enci cia a da dada da po porr
, segú según n la tran transf sform ormaci ación ón ;
. Por lo tanto Así que
con
viada por
en
con
, por lo tanto,
y
por ser circunferencia centro pero como
y
. La imagen es el intervalo
en el eje .
, radio
es en-
Problema 2. Sea dada por (a) Hallar la transformación de por . (b) Resolver la ecuación
, sea
.
(a) Por tanto Sin embargo el estudio de tonces a la forma polar:
, Así que (b)
y
no conduce a alguna idea aceptable (como en el ejercicio anterior) recurrimos en-
, puesto que en 2do cuadrante. Por lo tanto
,
y
lo cual se deduce de que en , ó
Problema 3. a)
Estudiar en detalle la función
Ahora un complejo cualquiera o en forma polar El efecto de la función es elevar al cuadrado el módulo de
y duplicar su ángulo.
b)
Transformación de
por
? Es biyectiva?.
Ejercicio 3. Transformación de
Ejercicio 4. Calcular
por
. Es biyectiva?
Problema 4. Sea (a) Transformación de (b) Transformación de (c) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje imaginario. (d) Transformación de la franja entre el eje real y la recta fijo real. (e) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje real con: (f) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje real con:
(a) Aquí
.
,
(b) . Por lo tanto
c)
.
d)
e)
f)
Funciones Analíticas:
Definición 1 (Función derivable) Sea Notación existe Por comodidad, se escribe Ahora, El número complejo Si es derivable
abierto Notación
y sea
. Se dice que
es derivable en
, si
. si
y
.
definido por el límite anterior se llama la derivada de , se dice que es derivable en .
en .
Definición 2 (Función Analítica) abierto se dice Analítica (u holomorfa) en un punto si es derivable en un entorno de , es decir, si es derivable en cada punto de un disco abierto (o en cada punto de un abierto de que contenga a ). Si es analítica en cada punto de entonces se dice que es analítica en .
Definición 3 (Función Entera) Si
es analítica en cada punto de
, se dice que
es una función entera.
Una propiedad muy importante, que repasaremos más adelante y que contrasta con el caso real, es que para abierto , si existe entonces también existen (lo cual no siempre sucede para funciones reales).
Teorema 1 (Propiedades de funciones analíticas) Si se cumple:
y
(a) La derivada de una constante compleja es cero (b) (c) (d) (e) Si
y
son analíticas en es analítica en es analítica en
y
, entonces
es analítica en
y
son analíticas en un abierto
,
, entonces
Teorema 4 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Sea derivable en Cauchy-Riemann:
. Entonces existen
,
abierto en
. Suponga que
es
y se satisfacen las ecuaciones de
Teorema 4 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Sea derivable en
,
abierto
. Entonces existen
en
. Suponga que
es
y se satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann:
, existen Observación 1 El teorema 15 va en una sola dirección: Si existe ecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R) en . El recíproco es falso, si existen ecuaciones de (C-R) en ( , ), no tiene porque ser derivable en . El próximo teorema nos da las condiciones necesarias y suficientes para que
abierto Teorema 5 Sea como función de un subconjunto de Riemann en .
Corolario 1 Riemann en
, en
es derivable en .
, , es diferenciable en
.
,
,
,
y se satisfacen las y se satisfacen las
sea derivable.
es derivable en , considerada y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
Problema 5. Sea tal que utilizando la teoría estudiada.
. Demuestre formalmente que
es una función entera y que
En primer lugar, entera significa que es función de (lo es por definición) y además es analítica. Esto lo vamos a demostrar. Para ello, necesitamos que y (las componentes de ) sean en todo (el dominio de la función) y satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo . En efecto: . Ahora bien, y son funciones polinómicas en y por tanto (de MA-2112) sabemos que existen y que estas son, a su vez, funciones polinómicas en y por tanto continuas en . Asi que . Falta probar que y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en .
Finalmente, aplicando la definición 3 y el teorema 17 concluimos que
es función entera. Además, por el teorema 3
. Luego,
y
.
Problema 6. Hallar el dominio de analiticidad de
dada por
. Por lo tanto, Dom. Analiticidad .
y dibujarlo.
rayo
Problema 7. Sea
. Demuestre que
no es derivable para
.
La demostración se hará usando (teorema de lógica que ha debido estudiar en algún curso) el un teorema es cierto entonces también lo es su contra-recíproco (o negación del recíproco). teorema 15: derivable en (abierto) existen y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann en . El contra-recíproco sería: Si no condiciones de (C-R) en no es derivable en .
hecho de que si Pensemos en el en se satisfacen las
En nuestro caso, sea Por ser
función polinómica en
y
la función nula en
, es obvio que existen las derivadas parciales de
y :
, recordemos que (C-R) serían: pero en nuestro caso, la única manera de cumplirse (C-R) sería con . Conclusión: no es derivable para .
, cosa imposible ya que por hipótesis,
