12) Más sobre Funciones

Fatela Preuniversitarios

MATEMÁTICA GUÍA º 12 “MÁS SOBRE FUCIOES” En esta guía se tratará sobre:

Funciones Inversas:  

Modo de obtención analítica de la Función Inversa. Simetría Gráfica de las funciones inversas.

Funciones Compuestas. Funciones Par e Impar. Transformación de Funciones:   

Desplazamientos Vertical y Horizontal. Reflexiones con respecto a los ejes "x" e "y". Expansiones y Contracciones.

Funciones Especiales:    

Valor Absoluto. Signo. Parte Entera Mantisa.

FUCIOES IVERSAS: Recordemos que: dada una función "f (x) (x)" que aplica "A" en "B", se llama −1 función inversa " f ( x ) " a aquella función que aplica "B" en "A" en la cual para todo par ordenado (x; y) que pertenece a "f (x)", existirá un par ordenado (y; x) que pertenecerá a " f (−x1) ". −1

−1

Si f: A → B ∃ f : B → A ⇔ (∀(x; y)∈f : (y; x)∈f )

Forma de hallar la Función Inversa I nversa de una función dada: Dada una función por su expresión analítica, se puede hallar su función inversa procediendo de la siguiente forma:

1) Se sustituye la "x" por la "y" y la "y" por la "x" en la función que se quiere invertir.

2) Se procede a despejar la nueva "y" que es la función inversa. La función inversa se puede hallar fácilmente si la función a invertir es biyectiva, por ejemplo en rectas oblicuas. En ese caso el conjunto de partida "A" de Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 1 -24


la función a invertir "f" se convertirá en el conjunto de llegada de la función inversa −1 −1 f y el de llegada de "f" será el conjunto de partida de "f ". Pero si la función "f" no es biyectiva, habrá que restringir su conjunto de −1 partida "A" para que lo sea. Sólo así se podrá obtener una expresión de " f " que cumpla las condiciones de existencia y unicidad que se exigen para las funciones.

Por ejemplo, dada la función:

y

= 2x + 1

1) Cambio “x” por “y” e “y” por “x”

x

= 2y +1

x − 1 =

2) Despejo la “y”

x

−1

2

Función Inversa

2y

= y

⇒

y

=

1 2

x−

1 2

Simetría Gráfica de las Funciones Inversas Si se representan gráficamente en un mismo gráfico una función f(x) y su -1 inversa f (x) se observa que ambas gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x, que es la función idéntica o “función identidad”. Esta simetría implica que si la gráfica de una función corta al eje de simetría (y = x), su función inversa también lo corta en el mismo punto.

Función Identidad: y = x

y=2x+1 d d

y=½x−½

Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 2 -24


Para cualquier otro punto de la gráfica de f(x) su distancia al eje de simetría (medida perpendicularmente al mismo) es igual a la distancia al mismo eje de un -1 punto de la gráfica de la función inversa f (x). Se dice que las gráficas de una función y su inversa presentan una simetría axial respecto de la función identidad. Veamos otro ejemplo: 2 Hallaremos la función inversa de y = x . Sabemos que esta función no es biyectiva (Ver Guía N° 8). Para poder invertirla es necesario convertirla en biyectiva, lo cual se logra restringiendo tanto el conjunto de partida "A" como el de llegada "B" al intervalo [0; ∞). Entonces sí puede procederse a invertir la función: Dada la función:

2

y=x

1) Cambio “x” por “y” e “y” por “x”

x=y

2) Despejo la “y”

x =y

2

y=x

Función Inversa

2

⇒

y=

x

Función Identidad: y = x

y=

x

2

En la gráfica se observa que se toma a la función y = x solamente en el primer cuadrante, donde tanto "A" como "B" corresponden a los reales positivos + más el cero: [0; ∞) = ℜ0 . De esta manera es posible hallar la función inversa, tanto gráfica como analíticamente. Más adelante en este curso, al tratar el tema de las funciones trascendentes al álgebra: Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas, volveremos a hablar de



las funciones inversas, su simetría gráfica y las restricciones a realizar al dominio de una función para transformarla transformarla en biyectiva y así poder invertirla. En algunas funciones como por ejemplo las racionales, existe un método analítico que permite hallar el conjunto imagen de la función, sin necesidad de graficarla. Consiste en hallar la función inversa a la dada y luego determinar su dominio analíticamente. El dominio de la inversa es igual a la imagen de la función inicial. Por ejemplo: Se desea hallar analíticamente analíticamente el conjunto imagen de la función: y=

x=

2x − 5 x −3 2y − 5 y−3

Para ello debemos encontrar su función inversa:

Reemplazamos “x” por “y” e “y” por “x”:

x ( y − 3) = 2 y − 5 xy − 3x = 2 y − 5

Despejamos “y”: xy − 2 y = −5 + 3x y ( x − 2 ) = 3x − 5

y=

3 x −5 x−2

Función Inversa −1

El Dominio Dominio de esta esta función función inversa inversa será: Dom (f ) = ℜ − {2} que es igual a la Imagen de la función inicial:

Im (f ) (f ) = ℜ − {2}

En la representación gráfica siguiente puede observarse la función f(x) con su dominio e imagen y la ubicación de las dos rectas asíntotas Dom (f ) (f ) = ℜ − {3}

Im (f ) (f ) = ℜ − {2}

Recta Asíntota Asíntota Vertical: Vertical: x = 3 Recta Asíntota Asíntota Horizontal Horizontal y = 2



Im (f ) (f ) = ℜ − {2}

Dom (f ) (f ) = ℜ − {3}

Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa analíticamente, y usando el simulador digital "Graficador de Funciones" graficar ambas funciones y verificar su simetría con la recta identidad (y = x). (Indicar los conjuntos de partida y de llegada de la función a invertir a fin de que sea biyectiva, y utilizar los mismos como conjuntos de llegada y partida respectivamente de la función inversa a fin de estudiar la simetría)

Para Practicar

a) y = 4 − 3 x b) y = c)

5x − 9

x −2 y = 3− x

y = −1/3 x + 4/3 2x − 9 y= x −5 2 y = −x + 3

FUCIOES COMPUESTAS: Dadas dos funciones de variable real: f(x) y g(x) se define el operador "o": composición de funciones. Se pueden obtener entonces otras funciones llamadas funciones compuestas: 

f [g(x)]. fog(x): "f" compuesta con "g". Se puede indicar también como: f [g(x)]. Se dice que es una "f" de "g(x)".



gof(x): "g" compuesta con "f". Se puede indicar también como: g [f(x)]. Se dice que es una "g" de d e "f(x)". Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 5 -24


Mostraremos con un ejemplo como se forman las funciones compuestas: Se tienen dos funciones:

f(x) = x + 1

y

g(x) =

x

f(a) = a + 1

Si f(x) = x + 1 ⇒

f(b) = b + 1 , etc. etc. Entonces: f [g(x)] f [g(x)] = g(x) + 1 ⇒

f [g(x)] f [g(x)] =

x + 1 = fog(x)

“f” compuesta con “g”

Análogamente, también se puede obtener la otra función compuesta: Si g(x) = x

⇒

g(a) =

a

g(b) = b , etc.

Entonces: g [f(x)] =

f ( x) ⇒

g [f(x)] =

x + 1 = gof(x)

“g” compuesta con “f”

Como vemos las dos funciones compuestas son distintas y tenemos que aclarar que para que exista una función compuesta f [g(x)], f [g(x)], la imagen o recorrido de g(x) debe estar incluida en el dominio de f(x). En caso contrario la función compuesta fog(x) no está definida. Esto es así dado que al tomar un valor de “x” le aplicamos primero la g(x) y al valor así obtenido le aplicamos la f(x): si un valor de imagen de g(x) no pertenece al dominio de f(x) no es posible calcular la función compuesta fog(x). Análogamente, para que esté definida la función compuesta g [f(x)] la imagen de f(x) debe estar incluida dentro del dominio de g(x). Entonces existirá la gof(x). Otro ejemplo:

Se tienen dos funciones:

3 f(x) = x − 5

y

g(x) = sen(x)

Entonces se tienen las siguientes funciones compuestas: 3 f [g(x)] f [g(x)] = g(x) − 5 ⇒

3 f [g(x)] f [g(x)] = sen (x) − 5 = fog(x)

g[f(x)] = sen[f(x)] ⇒

g[f(x)] = sen (x − 5) = gof(x)

3

“f” compuesta con “g” “g” compuesta con “f”



También se puede componer una función con su función inversa: −1

2

su función inversa es : f (x) =

Como vimos anteriormente si: f(x) = x

x

Entonces se tienen las siguientes funciones compuestas: −1

−1

2

f [f f [f (x)] = [f (x)] = −1

f [f (x)] [f (x)] =

2

( ) =x x

−1

−1

f [f f [f (x)] = x

⇒

x2 = x

f(x) =

⇒

f of f of (x) = x

−1

−1

f [f (x)] = x

f of (x) = x

Una función compuesta con su inversa siempre da como resultado la función identidad

Además se puede componer una función consigo misma: Si: f(x) = x

2

se puede tener la siguiente función compuesta: 2

2 4 fof(x) = f [f f [f (x)] (x)] = [f (x)] [f (x)] = ( x )  = x  

2

f of f of (x) (x) = f [f f [f (x)] (x)] = x

4

Para Practicar Dadas los siguientes pares de funciones f(x) y g(x) hallar: fog(x)



gof(x)



fof(x)



gog (x)

a

2+3x

b

1

c

b) f(x) = x + 1

−1

fog(x)

x

a) f(x) = 2 + 3 x ; g(x) = x3



3

+1

1 cos (x) − 2

c) f(x) =

gof(x) (2 + 3 x)

3

1 x +1

 1    x−2

cos 

1 x−2

; g(x) =

1 x

; g(x) = cos(x)

fof(x)

gog−1(x)

8+9x

x

x+1 + 1 x−2 5 − 2x

x

x



PARIDAD DE FUCIOES Algunas funciones que cumplen ciertas condiciones se pueden clasificar como "pares" o "impares". La mayor mayor parte de las funciones, sin embargo no son pares ni impares.

FUCIÓ PAR Una función es par si para todo valor de "x" del dominio, se cumple que la función (y) toma el mismo valor ante valores opuestos de "x". Por ejemplo en la 2 parábola y = x que se grafica a continuación, si "x" toma los valores opuestos 2 y −2, la función es igual a 4. Como esta situación se repite para todos los números del dominio, se trata entonces de una función par. f (x) f (x) es Par ⇔ [∀ x / x ∈ Df : f ( f (−x) = f (x)] f (x)]

4 f ( f (−x) = f (x) f (x) d

−2 −x

d

2 x

Las funciones pares presentan siempre como eje de simetría vertical al eje "y"

El nombre de "par" proviene del análisis de la función potencial:

y = xn

En la Función Potencial si "n" es par se genera una función par, y si "n" es impar la función será impar

Como vemos en el siguiente gráfico, son pares las parábolas con exponente 2 4 par, y = x , y = x , etc. También las rectas horizontales y = 3, por ejemplo, que equivalen a polinomios de grado cero. En este caso vemos que el exponente cero se comporta como un exponente par. También son pares las funciones polinómicas 4 2 que tienen sólo exponentes pares, por ejemplo: y = ½ x −2 x − 1 En cuanto a las funciones trascendentes, son pares las funciones y = cos(x) e y = sec(x). Obsérvese que en todas ellas se cumple la simetría con respecto al eje "y". Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 8 -24


y

y

y=3

y = sec(x) y=x

4

y=x

2

x

x y = cos(x)

4

2

y = ½ x −2x −1

FUCIÓ IMPAR Una función es impar si para todo valor de "x" del dominio, se cumple que la función (y) toma valores opuestos ante valores opuestos de "x". Por ejemplo en la 3 parábola y = x que se grafica a continuación, si "x" toma los valores opuestos 2 y −2, la función es igual a 8 y −8 respectivamente. Como esta situación se repite para todos los números del dominio, se trata entonces de una función impar. f(x) = 8

Las funciones impares presentan siempre simetría central respecto al origen

5

f ( f (−x) = −f (x) f (x)

2

-2

x

−x

−5

f (x) f (x) es Impar ⇔ [∀ x/ x∈Df : f ( f (−x) = −f (x)] f (x)] f −x = −8



Las funciones impares son simétricas respecto al origen; esto significa que trazando cualquier recta que pase por el origen, la distancia entre el origen y un punto de intersección entre dicha recta y la función impar, es igual a la distancia que hay entre el origen y el otro punto de intersección. O dicho de otra forma el origen es siempre el punto medio del segmento determinado por las intersecciones entre cualquier recta que pase por el origen y las dos "ramas" de la función impar.

d

d

Como vemos en el siguiente gráfico, son impares las parábolas con exponente 3 5 impar, y = x , y = x , etc. También las rectas que pasan por el origen: y = 2 x, por ejemplo, que también son potencias de exponente impar de "x" (exponente uno). Además son impares las funciones polinómicas que tienen sólo exponentes impares y no tienen término independiente (que se consideraría un término de exponente 3 par), por ejemplo: y = 3/2 x −5 x. En cuanto a las funciones trascendentes, son impares las funciones y = sen(x) e y = tg(x). Obsérvese que en todas ellas se cumple la simetría central con respecto al origen. y=x

5

y = tan (x)

y=x

3

y=2x

y = sen (x) 3

y = 3/2 x −5 x Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 10 -24


Para saber analíticamente si una función es par o impar, o bien no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones; dada una función f(x) se determina analíticamente la f(−x).  Si f(−x) = f(x) : La función es par. 

Si f(−x) = −f(x): La función es impar.



Si no se cumple ninguna de las dos afirmaciones anteriores, la función no se puede clasificar como par ni impar.

Por ejemplo, dada la siguiente función:

f(x) =

2

( −x ) Hallamos f ( f (−x): f ( − x ) = 1 + ( −x )

x2 1+ x x2

f (−x ) =

1− x

f ( − x ) ≠ ±f ( x ) La Función no es par ni impar

El producto o cociente de dos funciones pares, resulta en otra función par: Si

f(x) es par ⇒ f(−x) = f(x),

y se tiene que: h(x) = f(x).g(x)

g(x) es par ⇒ g(−x) = g(x)

h(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).g(x) = h(x)

⇒

h(−x) = h(x)

Par

El producto o cociente de dos funciones impares, resulta en una función par: f(x) es impar ⇒ f(−x) = −f(x), Si

g(x) es impar ⇒ g(−x) = −g(x)

y se tiene que: h(x) = f(x).g(x) h(−x) = f(−x).g(−x) = −f(x).[−g(x)] = h(x)

⇒

h(−x) = h(x)

Par

El producto o cociente entre una función par y una impar, da una función impar: y se tiene que: h(x) = f(x).g(x)

f(x) es par ⇒ f(−x) = f(x), Si

g(x) es impar ⇒ g(−x) = −g(x)

h(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).[−g(x)] = −h(x)

⇒

h(−x) = −h(x)

Dadas las siguientes funciones determinar analíticamente si son pares, impares o no se ajustan a ninguna de estas clasificaciones; hallando la f ( f (−x) y comparándola con la f(x).

Para Practicar

a) f(x) = 3 x + 2 x 5

(Impar)

b) f(x) = x + 1

(No es par ni impar)

c) f(x) =

Impar

x

4

x2 − 2

(Par) Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 11 -24


TRASFORMACIÓ DE FUCIOES En este tema estudiaremos como cambia analíticamente la expresión de una función cuando: 

Hay desplazamientos horizontales o verticales de su representación gráfica.



Se producen reflexiones de la gráfica con respecto a los ejes "x" e "y".



Se aplican expansiones o contracciones en su aspecto gráfico.

DESPLAZAMIETO HORIZOTAL Al producirse un desplazamiento horizontal de una gráfica, "a" unidades hacia la derecha, se debe reemplazar en la expresión analítica a "x" por "x − a". Por el contrario, si el desplazamiento es de "a" unidades hacia la izquierda se debe reemplazar en la expresión analítica "x" por "x + a". Se puede considerar también que al desplazarse hacia la izquierda el valor de "a" es negativo y usar siempre para los desplazamientos horizontales la expresión f (x f (x − a), sin importar si el desplazamiento es a la derecha o izquierda. 3 y=3x −5x

a f (x f (x + a)

a

f (x) f (x)

f (x) f (x)

f (x f (x − a)

a=4

−3 3 y = 3 (x + 3) − 5 (x + 3)

3

y = 3 (x − 4) − 5 (x − 4)

DESPLAZAMIETO VERTICAL En cuanto al desplazamiento desplazamiento vertical el procedimiento a realizar es más simple: 

Si la curva va a desplazarse "b" divisiones hacia arriba, debe sumarse "b" a la forma analítica de f (x). f (x).



Si la curva va a desplazarse "b" divisiones hacia abajo, debe restarse "b" a la forma analítica de f (x). f (x). Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 12 -24


y=

1

1 x3 + x + 2 12 3

f (x) b

y=

b=2

1

1 x3 + x 12 3

f (x) f (x) − b

−1

f (x) + b + b b y=

f (x) f (x)

1

1 x3 + x − 1 12 3

Como vemos, para desplazar verticalmente a la curva, sólo hay que sumar un número constante a la f(x). Si ese número es positivo la curva se desplaza hacia arriba y si es negativo lo hace hacia abajo. Aún cuando pareciera que las curvas están más separadas en la parte media del gráfico y se aproximan entre sí hacia ambos costados, se hace notar que su separación medida verticalmente permanece constante. A modo de resumen de los desplazamientos verticales y horizontales:

f (x) + b

f (x + a)

f (x)

f (x − a)

f (x) − b Con esta teoría de los desplazamientos se puede deducir fácilmente la forma canónica de la función cuadrática, aplicando desplazamientos horizontales y 2 verticales a la parábola con vértice en el origen del tipo y = a x . Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 13 -24


y = (x − 3)

2

2

y=x

a=3 2

y = (x − h) + k

b = −2

2

y = (x − 3) − 2

V (3; −2)

REFLEXIOES RESPECTO A LOS EJES COORDEADOS A) REFLEXIÓ RESPECTO AL EJE "Y": Para reflejar una curva de una función f(x) con respecto al eje "y" hay que reemplazar en f(x) a "x" por " −x", manteniendo el signo de "y". De esta forma, ante valores opuestos de "x" ambas funciones toman igual valor, de modo que las curvas tienen una imagen "de espejo" con respecto al eje "y".

y = f (−x)

y = f (x)

2 y = (−x − 3) − 2

2

y = (x − 3) − 2

−x

x

y



En caso que la función a reflejar ya sea simétrica con respecto al eje "y", o sea que se trate de una función par, la función se refleja sobre sí misma, no dando pues lugar a una función distinta. La función reflejada coincide con la inicial. Esto ocurriría con cualquier parábola que tenga el vértice sobre el eje "y". Por lo tanto en las funciones pares la reflexión sobre el eje "y" no tiene ningún efecto.

B) REFLEXIÓ RESPECTO AL EJE "X": Para reflejar una curva de una función f(x) con respecto al eje "x" hay que cambiar el signo de la función "y" por "−y", manteniendo el signo de "x". De esta forma, ante valores idénticos de "x" ambas funciones toman valores opuestos, de modo que las curvas tienen una imagen "de espejo" con respecto al eje "y". 2 y=x −6x+8

y

y = f (x)

x O bien:

−y = f (x) 2

−y = x − 6 x + 8

y = − f (x) 2

y=−x +6x−8 −y

Resumiendo los tipos de reflexión que puede sufrir una función: y

y y = f ( f (−x)

y = f (x) f (x)

y = f (x) f (x) x x

Reflexión respecto al eje "y": cambia el signo de la "x"

−y = f (x) f (x)

Reflexión respecto al eje "x": cambia el signo de la "y"



EXPASIOES Y COTRACCIOES: Las transformaciones vistas hasta ahora: los desplazamientos (horizontal y vertical) y las reflexiones (con respecto respecto a los ejes "x" "x" e "y") son considerados considerados "movimientos" de la función f(x) pues no se altera la forma de la curva, sólo se traslada o refleja pero su forma se mantiene. Ahora veremos dos transformaciones que sí afectan la forma de la curva f(x): 

Expansiones: Expandir una función equivale a multiplicarla por un número real positivo "k" que sea mayor mayor a uno.



Contracciones: Contraer una función equivale a multiplicarla por un número real positivo "k" que sea menor a uno.

Para ilustrar el efecto gráfico de las expansiones y contracciones de una f(x), observemos el siguiente gráfico: y = k . f (x) k > 1 ⇒ Expansión

k>0 y = ½ f (x)

k < 1 ⇒ Contracción

f (x) f (x) = 1/5 x (x+2) (x −4)

y = 2 f (x) En azul se grafica la función inicial f(x); en verde se halla la misma función "expandida" por un factor k = 2; y en color rojo la función f(x) "contraída" por un factor k = ½. Se observa que los ceros de las tres funciones graficadas coinciden, de modo que el producto por una constante "k" no produce variación en los ceros de una función: todo cero de "f(x)" también lo será de "k.f(x)" para cualquier valor de "k". Se aclara que "k" debe ser positivo para que las expansiones o contracciones sean "puras" o sea que no estén asociadas a otra transformación (reflexión). (reflexión). Si el factor "k" fuera un número negativo, se puede considerar que el signo menos implica una reflexión respecto del eje "x" y además el módulo de "k" Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 16 -24


indicará si es mayor a uno que se trata de una expansión, o si es menor a uno de una contracción. Se produciría entonces una transformación compuesta: expansión o contracción con reflexión con respecto al eje "x". Por ejemplo, si tenemos la función 2 cuadrática y = x , y la multiplicamos por un k = −2; por el signo menos aplicado a una f(x) le estamos produciendo una reflexión con respecto al eje "x" y además hay una expansión dada por el |k| = 2, con lo cual se obtiene la curva en rojo en el gráfico contiguo. Nótese que en este caso, la expansión de la curva da la impresión que la curva "se contrae sobre el eje y", cuando en realidad es una expansión pues para cada valor de "x" el módulo de "y" se duplica.

2

y=x

y x y

y=−2x

2

Resumiendo, las expansiones y contracciones por un factor "k":

|k|>1

k es positivo (k > 0)

Expansión Pura

k es negativo (k < 0)

Expansión con Reflexión sobre el eje x

|k|<1

Contracción Pura

Contracción con Reflexión sobre el eje x



Para Practicar

transformaciones 1) Dadas las siguientes funciones, efectuar las transformaciones que se piden. Verificar el efecto de la transformación con el Simulador Digital "Graficador de Funciones".

a) f(x) = 3 x 2 − 2, Desplazamiento Horizontal de 4 unidades hacia la derecha. b) f(x) =

3x − 5 x−2

, Desplazamiento Horizontal de 2 unidades hacia la izquierda.

c) f(x) = x + 1 , Desplazamiento Vertical de 3 unidades hacia arriba. h acia abajo. d) f(x) = e x, Desplazamiento Vertical de 1 unidad hacia e) f(x) = 2 x − 2 + 1, Reflexión con respecto al eje "y". f) f(x) = 2 x − 2 + 1, Reflexión con respecto al eje "x". g) f(x) = ½ x3 − 2 x, Expansión por un factor k = 2. h) f(x) = x2 − 4 x, Contracción por un factor k = ¼. i) f(x) = ½ x3 − 2 x, Expansión con reflexión sobre el eje "x", con k = − 2. j) f(x) = 2 − x , Contracción con reflexión sobre el eje "x", con k = − ½. Respuestas 1) a) y = 3 x2 − 24 x + 46 b) y =

3x + 1 x

c) y = x + 1 + 3 d) y = e x − 1 e) y = 2 − x − 2 + 1

f) y = − 2 x − 2 − 1 g) y = x3 − 4 x h) y = ¼ x2 − x i) y = − x3 + 4 x 1 j)  y = − 2 − x 



2



2) Dada g(x) = (−1/3).x2 + 3, podemos afirmar que respecto a f(x) = x 2 tiene: a) Contracción sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. b) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. c) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí. d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí. e) Expansión no, contracción no, reflexión sí y desplazamientos d esplazamientos:: horizontal no, vertical sí.



FUCIOES ESPECIALES: Todo número real puede descomponerse en el producto de dos factores:

x = | x |. sg(x)

El Valor Absoluto

El Signo

FUCIÓ VALOR ABSOLUTO DE "X": Como sabemos el Valor Absoluto o Módulo es el mismo número pero tomado siempre como positivo, equivale a la distancia a cero del número en cuestión. Dom f = ℜ

y = |x|

Im f = [0; ∞) +

C = ℜ − {0} −

C =∅ Ic = (0; ∞)

Equivale a la función definida por tramos

Id = (−∞; 0) Cero: X1 = 0 si x ≥ 0

Mín. Rel. (0; 0)

y = −x, si x < 0

Mín. Abs. y = 0

y = x,

FUCIÓ SIGO DE "X": Y

y = sg (x)

Dom f = ℜ

1

0

−1

Im f = { −1, 0, 1}

Por tramos:

y = 1, si x > 0 y = 0, si x = 0 y = −1, si x < 0



Como vemos, se trata de una función discontinua en x = 0. También todo número real puede descomponerse en la suma de dos términos:

x = [ x ] + mant (x)

La Parte Entera

La Mantisa

FUCIÓ PARTE ETERA DE "X" La Parte Entera de "x" es el mayor número entero que es menor a "x" Dom f = ℜ Im f = Z

y = [x]

x = − 2,19

[x] = − 3

FUCIÓ MATISA DE "X" La mantisa se define como la diferencia entre un número y su parte entera. Y

mant (x) = 0,81

mant (x) = x − [ x ] 1

1 −4

x = − 2,19

−3

−2

0

−1

y = mant (x)

−1

1

2

Si x > 0 la mantisa es la "parte decimal" de "x"

3

4

Dom f = ℜ Im f = [0; 1)



Obsérvese que cuando "x" es negativo, tanto la parte entera como la mantisa dan resultados que pueden parecer desconcertantes. Por ejemplo:

Si x = − 2,19 ⇒

[ x ] = − 3 (Según la definición de Parte Entera) mant (x) = x − [ x ] = − 2,19 − (−3) = 0,81

Se cumple que: x = [ x ] + mant (x) = − 3 + 0,81 = − 2,19



Trabajo Práctico º 12 : "Más sobre Funciones" 12.1) Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa analíticamente, y usando el simulador digital "Graficador de Funciones" graficar ambas funciones y verificar su simetría respecto a la recta identidad (y = x). (Indicar los conjuntos de partida y de llegada de la función a invertir a fin de que sea biyectiva, y utilizar los mismos como conjuntos de llegada y partida respectivamente de la función inversa a fin de estudiar la simetría)

a) y = ½ x + 2 b) y = c)

3x − 1

x+5 y = x − 2 +1

12.2) Dadas los siguientes pares de funciones f(x) y g(x) hallar:  fog(x)  gof(x)  fof(x) −1

 gog

(x)

g(x) = x + 1 a) f(x) = (x + 1) 2 ; g(

b) f(x) = x 3 − 2x 2 c)

; g(x) =

1

x−5 f(x) = ln (x); g(x) = sen (2x − 1)

12.3) Dadas las siguientes funciones determinar analíticamente si son pares, impares o no se ajustan a ninguna de estas clasificaciones; hallando la f ( f (−x) y comparándola con la f(x). Verificar graficando con el Simulador Digital "Graficador de Funciones".

a) y = x4 − 2 x2 + 2 b) y = x3 +2 x − 7 c) y =

sen(x) x2

12.4) Dada g(x) = 5.ex −2 + 3, podemos afirmar que respecto a f(x) = e x tiene: a) Contracción sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal horizontal no, vertical sí. b) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. c) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí. d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí. e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

12.5) Dada g(x) = −2.cos(x−1), podemos afirmar que respecto a f(x) = cos(x) tiene: a) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 22 -24


b) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. c) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí. d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical no. e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal si, vertical no.

12.6) Dada g(x) = −x2 + 2, podemos afirmar que respecto a f(x) = x 2 tiene: a) Contracción no, expansión no, reflexión sí y desplaz.: horizontal sí, vertical no. b) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. c) Contracción no, expansión no, reflexión sí y desplaz.: d esplaz.: horizontal no, vertical sí. d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal no, vertical sí. e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical no.



Respuestas del trabajo Práctico º 12 " Más sobre Funciones " 12.1) a) f −1(x) = 2 x − 4; b) f −1(x) =

5x + 1 3− x

−1

tanto f(x) como f (x) tienen Dom = ℜ e Im = ℜ. para f(x): Dom = ℜ − {−5}; Im = ℜ − {3}

;

−1

para f (x): Dom = ℜ − {3}; Im = ℜ − {−5}

c) f −1(x) = (x − 1)2 + 2

para f(x): Dom = [2; ∞) ; Im = [1; ∞) −1 para f (x): Dom = [1; ∞) ; Im = [2; ∞)

12.2) fog(x) a

(

x +2

)

3

12.3)

fof(x)

|x+1| + 1

( x + 1) 2 + 1  

2

b

 1   1    − 2   x −5  x −5

c

ln sen ( 2x − 1) 

gog−1(x)

gof(x)

2

1 3

3

2

x − 2x − 5

sen ( 2. ln x − 1)

2 3

3

2

x

2 2

(x −2x ) −2(x −2x )

x

ln [ln (x)]

x

a) Par. b) Ni par ni impar. c) Impar.

12.4) Opción d) 12.5) Opción e) 12.6) Opción c)


12) Más sobre Funciones

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