APLICACIONES DEL TEOREMA DE STOKES. PROBLEMAS RESUELTOS
E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas 5 de diciembre de 2007
Capítulo 1
Problemas de Integración Sean γ : [a, [ a, b]
45.-
−→ IR3 una curva regular y f : IR IR3 −→ IR diferenciable. Demostrar que df = f ( f (γ (b)) − f ( f (γ (a)). )).
γ
Concluir que Solución:
γ
df es nula sobre cualquier curva cerrada.
En primer lugar observemos que
df =
γ
γ
∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + dx3 . ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
Por otro lado, de la relación entre el elemento de longitud y los elementos de volumen coordenados tenemos, x dxi = xi dt = i γ dt = T i dl, γ
|| || || ||
donde dl es el elemento de longitud y T i son las componentes del vector tangente a la curva. Por tanto, substituyendo en la integral, obtenemos
df =
γ
γ
b
=
a
46.-
∂f ∂f ∂f T 1 dl + T 2 dl + T 3 dl = ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
γ (t) f ( f (γ (t)), )), γ (t)
||
||
||γ (t)||dt =
Sea X el campo definido en IR3 X =
b
a
γ
f, T dl =
b
(f ◦ γ ) (t)dt = f (γ (t))
= f (γ (b))
a
− {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + y2 = 0 } por −y ∂ + x ∂ .
x2 + y2 ∂x
1
x2 + y 2 ∂y
− f ( f (γ (a)). )).
2
Problemas Resueltos
Demostrar que (i) rot(X ) = 0. (ii) C (X, γ ) = 0, 0 , donde γ es una circunferencia paralela al plano xy y con centro en el eje z . (iii) (iii) No puede existir existir una función función f tal que X = f . f .
Solución:
(i) Calculamos el rotacional, i j rot(X ) =
∂ ∂x y 2 x + y2
−
k
∂ ∂y x 2 x + y2
∂ ∂z 0
x2 + y2 2x2 x2 + y2 2y2 = 0, 0, + = (0, (0 , 0, 0). 0). (x2 + y2 )2 (x2 + y 2 )2 (ii) Una parametrización parametrización de γ en coordenadas cilíndricas es,
−
−
γ (θ ) = (R cos θ, R sen θ, z0 ), donde θ
∈ [0, [0, 2π ].
Luego, γ (θ) = ( R sen θ, R cos θ, 0) y el producto escalar restringido a la curva es X, γ (θ) = 1. 1.
−
π
Por tanto, C (X, γ ) =
0
X, γ (θ ) dθ =
2π
dθ = 2π 2 π = 0. 0.
0
(iii) (iii) Supongamos Supongamos que existe una función función f tal que X = f . Entonces la circulación a través de cualquier curva cerrada será nula. En particular, C (X, γ ) = 0, donde γ es la curva que hemos considerado en el apartado anterior, lo que es una contradicción ya que hemos demostrad demostradoo que la circulació circulación n es no nula. Por tanto, tanto, el campo X no puede ser un campo gradiente. Lo que ocurre en este caso es que el campo X es un campo diferenciable en IR3 (x,y,z) x,y,z) IR3 : x2 + y2 = 0 que no es un abierto con forma de estrella.
−{
47.-
∈
}
Consideram Consideramos os el campo de IR2 X = (x ( x2 + 7y 7y )
∂ ∂ + ( x + y sen y 2 ) . ∂x ∂y
−
Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0, (0, 2), 2), (0, (0, 0) y (1, (1, 0). 0). Solución:
Primer método. La circulación a lo largo de la frontera del triángulo es la suma de las circulaciones en cada uno de los lados, C (X,∂T ) =
X, T 1 dl +
α1
X, T 2 dl +
α2
α3
X, T 3 dl.
3
Teoremas integrales
Figura 1.1: Representación de T
Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente.
∈ [0, [0, 1]; α1 (t) = (1, (1, 0), 0), y = 2(1 − x); α2 (t) = (−t, 2(1 + t)), )), t ∈ [−1, 0]; α2 (t) = (−1, 2), 2), x = 0; α3 (t) = (0, (0, −t), t ∈ [−2, 0]; α1 (t) = (0, (0, −1). 1). y = 0; α1 (t) = (t, 0), 0), t
− − − − − − − 1
C (X,∂T ) =
0
1
0
2
t dt +
0
t3 3
0
X, α1 dt +
t
2
−1
X, α dt + 2
0
−2
+
0
t3 3
14(1 + t) + 2t 2 t + 4(1 + t) sen(2(1 sen(2(1 + t)) dt +
14t 14t
2
2
7t + t
cos(2(1 + t))2 2
Segundo método.
0
0
2
−1
1
X, α3 dt =
t sen t2 dt =
−2
0
−1
−
cos t2 = 2 −2
−8.
Calculamos la circulación aplicando el Teorema de Green. 2
C (X,∂T ) =
2
(x + 7y 7y ) dx + ( x + y sen y ) dy =
∂T
−
8 dxdy =
T
−8.
4
Problemas Resueltos
48.-
Sea X el campo de fuerzas definido en IR2 por X = (2x (2 x + y cos(xy cos(xy)) ))
∂ ∂ + x cos(xy cos(xy)) . ∂x ∂y
Calcular Calcular el trabajo realizado realizado por p or X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2 . Solución:
Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el campo sobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 IR diferenciable tal que X = f . f . Entonces, se debe satisfacer
−→
∂f = 2x 2 x + y cos(xy cos(xy)) ∂x ∂f = x cos(xy cos(xy)) ∂y Integrando la primera ecuación respecto de x obtenemos,
(1.1)
f (x, y) = x2 + sen(xy sen(xy)) + ϕ(y). Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuación de (1.1) obtenemos que ϕ (y) = 0 y por tanto ϕ(y ) = A = cte. Finalmente, la función f ( f (x, y) = x2 + sen(xy sen(xy)) + A verifica que X = 49.-
Calcular la circulación del campo X = y2
f . f .
∂ ∂ definido en IR2 a lo largo del cuadrado +x ∂x ∂y
de vértices (0, (0, 0), 0), (2, (2, 0), 0), (2, (2, 2) y (0, (0, 2). 2). Este ejercicio ejercicio se puede puede resolver resolver parametriza parametrizando ndo las cuatro cuatro rectas rectas que forman el cuadrado o aplicando el Teorema de Green, lo que en este caso resulta más sencillo. El recinto de integración se muestra en la Figura 1.2
Solución:
C (X,∂C ) =
2
y dx + x dy =
∂C
− (1
2y) dxdy =
C
−4.
50.- (a) Si f : [a, [ a, b] IR es diferenciable no negativa y la gráfica de f en el plano xy se hace girar alrededor del eje x en IR3 , engendra engendra una superficie superficie M . Probar que el área de M es
−→
b
a
2πf ( πf (t) 1 + (f ( f )2 (t) dt.
Solución:
Una parametrización de la curva en el plano xy es, α(t) = (t, f ( f (t), 0), 0), t
∈ [a, b].
5
Teoremas integrales
Figura 1.2: Representación de C Por tanto, la parametrización de la superficie y la base del tangente son x (t, θ ) = (t, f ( f (t)cos θ, f ( f (t)sen θ), t x t = (1, (1 , f (t)cos θ, f (t)sen θ ),
∈ [a, b], θ ∈ [0, [0, 2π ], x θ = (0, (0 , −f ( f (t)sen θ, f ( f (t)cos θ ).
Los coeficientes de la métrica son E = 1 + f (t)2 , G = f (t)2 y F = 0. 0. Por último el área es A=
− EG
M
2π
b
F 2 dtdθ
=
a
0
b
f ( f (t) 1 + (f ( f )2 (t) dtdθ =
2πf ( πf (t)
a
1 + (f ( f )2 (t)dt.
Sean, U IR2 abierto, f : U IR de clase C 1 y S = (x,y,z) x,y,z) IR3 : z = f ( f (x, y ) . Hallar el elemento de volumen de S y demostrar la siguiente expresión para el área de S
51.-
⊂
−→
dxdy = U cos θ
{
U
1 + f x2 + f y2 dxdy,
siendo θ el ángulo que la normal exterior a S forma con el eje z . Solución:
En primer lugar, hallamos una parametrización de la superficie. x (x, y) = (x,y,f (x, y )), )), (x, y )
∈ U.
∈
}
6
Problemas Resueltos
La base del tangente es, x x = (1, (1 , 0, f x ) y x y = (0, (0 , 1, f y ). Por tanto los coeficientes de la métrica son, E = xx , x x = 1 + f x2 , F = xx , xxy = f x f y , G = x y , xxy = 1 + f y2 .
Luego el elemento de volumen y el área son
√EG − F 2 = A=
(1 + f x2 )(1 + f y2 )
− EG
F 2
dxdy =
U
− (f xf y )2 =
1 + f x2 + f y2 ,
1 + f x2 + f y2 dxdy.
U
Por último, falta comprobar que
1 = cos θ Calculamos el vector normal N =
xx xx
∧ xy = || ∧ xy ||
1
1 + f x2 + f y2
1 + f x2 + f y2 .
− −
( f x , f y , 1). 1).
Buscamos el ángulo que forma la normal con el eje z , cos θ = N, e3 =
Por tanto,
52.-
1+
1 f x2
(0, (0, 0, 1), 1), (−f x , −f y , 1) = 2
+ f y
dxdy = U cos θ
1+
1 f x2
+ f y2
.
U
1 + f x2 + f y2 dxdy.
Consideremos el campo X definido en IR3 por X = (x ( x + yz) yz )
∂ + (y (y + z ∂x
∂ ∂ − xz) xz ) + (3 − y) . ∂y ∂z
(i) Calcular el flujo de X sobre el hemisferio z > 0 de la superficie x2 + y2 + z 2 = 1. 1. 2 2 (ii) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X sobre la curva x + y = 1, 1 , z = 0. 0. Solución:
(i) Paramet Parametrizam rizamos os la superficie superficie y calculam calculamos os los campos involuc involucrados rados en la evalua evaluación ción del flujo, x(θ, ϕ) = (sen ϕ cos θ, sen ϕ sen θ, cos ϕ), θ
∈ [0, [0, 2π], ϕ ∈ [0, [0, π2 ],
7
Teoremas integrales
xθ = ( sen ϕ sen θ, sen ϕ cos θ, 0), 0),
−
xϕ = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sen θ, xθ
2
∧ xϕ = ( − sen
ϕ cos θ,
− sen ϕ),
− sen2 ϕ sen θ, − sen ϕ cos ϕ).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es
X, xθ ∧ xϕ = (1 + 3 cos ϕ − cos2 ϕ)sen ϕ.
Entonces el flujo es,
π
2π
2
Φ(X, Φ(X, S ) = = 2π 2π
−
0
(1 + 3cos ϕ
0
−
cos ϕ
− cos2 ϕ)sen ϕdϕdθ
3cos2 ϕ cos3 ϕ + 2 3
(ii) La parametrizac parametrización ión de la curva curva es, α(θ) = (cos θ, sen θ, 0), 0), θ
π 2
=
0
13π 13π . 3
∈ [0, [0, 2π].
Por tanto, el vector tangente y la restricción del producto escalar a la curva son α (θ ) = ( sen θ, cos θ, 0), 0),
−
X, α = (cos θ, sen θ, 3 − sen θ), (− sen θ, cos θ, 0) = 0.
Luego la circulación es,
C (X, γ ) =
X, T dl = 0. 0.
γ
∂ ∂ ∂ definido en IR3 , calcular el flujo de X a través +y + 2z 2z ∂x ∂y ∂z de la superficie superficie esférica esférica x2 + y2 + z 2 = a, a > 0.
53.-
Dado el campo X = x
Solución:
Para hallar el flujo a través de la superficie, que denotaremos por S , hallamos una parametrización de ésta y los campos involucrados en el cálculo del flujo. x (θ, ϕ) = (sen ϕ cos θ, sen ϕ sen θ, cos ϕ), θ
∈ [0, [0, 2π ], ϕ ∈ [0, [0, π2 ],
xθ = (
− sen ϕ sen θ, sen ϕ cos θ, 0), 0), x ϕ = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sen θ, − sen ϕ), x θ ∧ xϕ = ( − sen2 ϕ cos θ, − sen2 ϕ sen θ, − sen ϕ cos ϕ). Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es
X, xθ ∧ xϕ = ( − sen2 ϕ − 2cos2 ϕ)sen ϕ. Luego el flujo es,
− 2π
π
Φ(X, Φ(X, S ) =
−π
0
( sen2 ϕ
− 2cos2 ϕ)sen ϕdϕdθ =
8
Problemas Resueltos
2π
π
1 2 2 cos ϕ sen2 ϕ + cos ϕ + cos3 ϕ 3 3 3
= 0. 0.
−π
1 ∂ , en coordenadas cilíndricas, calcular el flujo de X a través de r ∂r la superficie, S , dada por x2 + y 2 = a2 , 0 < z < a, a IR+ . Dado el campo X =
54.-
∈
Solución:
Debido a que el campo está dado en coordendas cilíndricas, expresamos el cilindro en estas coordenadas, x = r cos θ y = r sen θ z=z
r2 = a2 =
⇒ r = a con (θ, z ) ∈ [0, [0, 2π ]× ∈ (0, (0, a).
=
⇒
La superficie está dada como la superficie de nivel f ( f (r,θ,z) r,θ,z ) = r a = 0, por tanto la normal f será N = , donde f deberá ser calculado en coordenadas cilíndricas. f
|| ||||
f ( p) p) =
−
g11
g12
g13
g12
g22
g23
g13
g23
g33
Por tanto, la normal es N =
−1
∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂z
=
1
0 1 r2 0
0 0
0 0 1
1 0 0
1
=
0 0
=
∂ . ∂r
f = ∂ . ||f || ∂r
El producto escalar restringido al cilindro es X, N =
1 . a
Por último, el elemento de volumen de las coordenadas cilíndricas es al cilindro es g = a.
√
√g = r y su restricción
Por tanto, el flujo es,
2π
X, N dA =
S
0
a
0
1 adzdθ = 2πa. 2 πa. a
∂ ∂ Calcular el flujo del campo X dado en coordenadas cilíndricas por X = r +z , a ∂r ∂z través través de cada una de las siguientes siguientes superficies: superficies:
55.-
(i) x2 + y2 = z 2 , 0 < z < 4. (ii) x2 + y2 + (z (z 4)2 = 16, 16 , 4 < z < 4 + 2 3. 2 2 (iii) x + y < 4, z = 4 + 2 3.
−
Solución:
√
√
9
Teoremas integrales
Representamos las tres superficies en la Figura 1.3. (i) Sea S el cono x2 + y 2 = z 2 , 0 < z < 4. En primer lugar buscaremos como se expresa la superficie en coordenada cilíndricas, ya que el campo está dado en estas coordenadas. x = r cos θ y = r sen θ z=z
⇒ =
r2 = z 2 =
⇒ r = z con (θ, z ) ∈ [0, [0, 2π ] × (0, (0, 4). 4).
La superficie está dada como la superficie de nivel f (r,θ,z) r,θ,z ) = r f normal será N = . f
|| ||
f ( f ( p) p)
=
=
− g11
g12
g13
g12
g22
g23
g13 1
g23
g33
0
=
1
∂ ∂r
−1
− ∂z∂ ,
√
1 de donde la normal es N = 2
∂ ∂r
−
∂ ∂z
∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂z
=
1
0 1 r2 0
0 0
− z = 0, por tanto la
−
0
1 0
0
1
1
.
√12 (r − z) = 0.
El producto escalar restringido al cilindro es X, N = Luego, φ(X, S ) = 0.
√
(ii) Sea S 2 el trozo de esfera centrada en (0, (0, 0, 4) y de radio r = 4 con 4 < z < 4 + 2 3, ver Figura 1.3. Para hallar el flujo seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior. La superficie expresada en cilíndricas viene dada por, r 2 + (z (z
− 4)2 = 16 =⇒ h(r,θ,z) r,θ,z ) = r2 + z 2 − 8z = 0. 0.
En este caso tenemos que
h = Por tanto,
1 0 0
0 1 r 0
0 0 1
− − − − 2r 0
2z
h = N = ||h|| 2 y su restricción a S 2 es
2r
N =
0
=
8
1 2 r + (z (z
2z
4)2
1 ∂ r + (z (z 4 ∂r
= 2r 2r
8
∂ 2r + 2(z 2(z ∂r 4)
∂ . ∂z
−
∂ + (2z (2z ∂r
∂ 4) ∂z
− 8) ∂z∂ .
10
Problemas Resueltos
Figura 1.3: Representación de S , S 2 y D 1 2 (r + z 2 4z ) = z . 4 Por último, falta hallar el elemento de volumen. Por lo que debemos calcular una parametrización de S 2 y los coeficientes de la métrica.
−
Entonces, X, N =
√ − √ − √ −− √ −− xθ = ( − 8z − z 2 sen θ, 8z − z 2 cos θ, 0) (4 − z )2 16 2 √ E = + 1 = , F = 0, 0 , G = 8z 8 z − z , g = 4. 4. 8z − z 2 8z − z 2 x(z, θ ) = ( 8z z 2 cos θ, 8z z 2 sen θ, z ) 8 2z 8 2z xz = ( cos θ, sen θ, 1) 2 2 8z z 2 8z z 2
Finalmente,
√
4+2 3
φ(X, S ) =
4
2π
0
z2 4z d z d θ = 8π 8π 2
√
4+2 3
√
= 4π 4 π(12 + 16 3). 3).
4
(iii) (iii) En este caso la superficie es un disco, disco, D, cuya expresión expresión en coordenadas cilíndri cilíndricas cas es,
√
z = 4 + 2 3, r
∈ (0, (0, 2), 2), θ ∈ (0, (0, 2π ).
La normal a la superficie es N =
∂ y la restricción del producto escalar a D es ∂z
X, N = z = 4 + 2√3.
11
Teoremas integrales
Luego el flujo es, φ(X, D) =
√
√
4 + 2 3 dA = (4 + 2 3)4π. 3)4π.
D
∂ ∂ Dado el campo en IR3 , X = x3 + yz . Calcular el flujo de X a través de la superficie ∂x ∂z S dada por x2 + z 2 = 4, 4 , 0 < y < 10, 10, z > 0. 56.-
Solución:
La superficie S está representada en la Figura 1.4.
Figura 1.4: Representacción de S En primer lugar parametrizamos la superficie y hallamos los campos involucrados en el cálculo del flujo. cos θ,y, 2sen θ ), θ x (θ, y ) = (2 cos
∈ (0, (0, π ), y ∈ (0, (0, 10), 10),
x θ = ( 2sen θ, 0, 2cos θ),
−
x y = (0, (0 , 1, 0), 0), xθ
∧ xy = ( −2cos θ, 0, −2sen θ).
El producto escalar restringido al cilindro es,
12
Problemas Resueltos
X, xθ ∧ xy = −16cos4 θ − 4y sen2 θ. Luego el flujo es,
− − − − − − − −{ } −→ 10
π
16cos4 θ
Φ(X, Φ(X, S ) =
0
0
π
−40 −40 57.-
4y sen2 θ dθdy =
1 + cos(2θ cos(2θ)
0
2
+
5 1 2
π
cos(2θ cos(2θ ) dθ =
1 1 cos(2θ cos(2θ) + cos(4θ cos(4θ) dθ = 2 2
π
=
160π. 160 π.
0
x2 + y 2 + z 2 , E = IR IR3
Sean r =
4
0
1 1 sen(2θ sen(2θ) + sen(4θ sen(4θ ) 4 8
4θ
40
0 y f : E
f (x,y,z) x,y,z) =
IR dada por
1 . r
(i) Demostrar Demostrar que f es armónica en E . ∂f (ii) Calcular Calcular , donde S R es la esfera de radio R centrada en el origen. SR ∂N (iii) (iii) Demostrar Demostrar que no puede existir un campo Y tal que f = rot(Y ) Y ). (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de f a lo largo de las curvas:
(a) (b)
x2 + y2 + z 2 = R2 z = a, 0 < a < R x2 + y2 + z 2 = R2 y = 3x
√
Solución:
(i) Calculamos en primer lugar las derivadas derivadas parciales de f , f , ∂f = ∂x
− rx3 ,
∂f = ∂y
− ry3 ,
∂f = ∂z
− rz3 .
Por tanto, ∆f ( f (x,y,z) x,y,z) =
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 3x2 r r3 3y 2 r r 3 3z 2 r r3 + + 2 = + + = 0. 0. ∂ 2 x ∂ 2 y ∂ z r6 r6 r6
−
(ii) Observemos Observemos que
SR
∂f = ∂N
SR
−
−
f, N dA.
1 La normal a la esfera unidad es N = (x,y,z) x,y,z) y el producto escalar restringido a la R esfera es, x2 + y 2 + z 2 1 f, N = = . 4 R R2
−
−
13
Teoremas integrales
Luego,
f, N dA =
SR
−
1 R2
dA =
SR
−4π = 0.0 .
(iii) (iii) Supongamos Supongamos que existe existe Y tal que f = rot(Y ) Y ). Entonces, aplicando el Teorema de de Stokes-Ampère en el apartado anterior obtendríamos
f, N dA =
SR
dA =
rot(Y ) Y ), N
SR
∅
ya que ∂S R = . Por tanto, no existe ningún campo Y tal que
curva cerrada es nula obtenemos que
(b) La curva
58.-
Sea Γ =
4
i=1
Γ1 Γ2 Γ3 Γ4
= = = =
f = rot(Y ) Y ).
x2 + y2 + z 2 = R2 es una circunferencia centrada en (0, (0, 0, a) de radio z = a, 0 < a < R a2 . Teniendo en cuenta que la circulación de un campo gradiente a lo largo de una
(iv) (a) La curva
√R2 −
Y, T dl = 0, 0,
∂S R
f, T dl = 0. 0.
γ
x2 + y2 + z 2 = R2 es una curva cerrrada. Por tanto, y = 3x
√
γ
f, T dl = 0. 0.
Γi , donde
{(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z = 2 + cos(π cos(π (y + 1)) cos x, −π/2 π/2 ≤ x ≤ π/2 π/2, −1/2 ≤ y ≤ 1/2}, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : y = 1/ 1 /2, −π/2 π/ 2 ≤ x ≤ π/2 π/2, 0 ≤ z ≤ 2cos x}, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : y = −1/2, −π/2 π/2 ≤ x ≤ π/2 π/2, 0 ≤ z ≤ 2cos x}, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : z = 0, 0 , −π/2 π/2 ≤ x ≤ π/2 π/ 2, −1/2 ≤ y ≤ 1/2}.
Sea X el campo vectorial definido por X = x
∂ ∂ +z . ∂x ∂x
(i) Representar Γ y calcular el volumen encerrado por Γ. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (iii) (iii) Calcular Calcular la circulació circulación n de X a lo largo de Γ1 Γ2 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γ2 Γ4 . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de Γ1 (x,y,z) x,y,z)
∩ ∩ ∩{
∈ IR3 : y = 0,0 , 0 ≤ x ≤ π/2 π/2}.
Solución:
Las curvas intersección de las diferentes superficies son,
∩ Γ2 = {y = 1/ 1 /2, z = 2 cos cos x, −π/2 π/ 2 ≤ x ≤ π/2 π/2} Γ1 ∩ Γ3 = {y = −1/2, z = 2 cos cos x, −π/2 π/ 2 ≤ x ≤ π/2 π/2} Γ1 ∩ Γ4 = {z = 0, 0 , x = π/2 π/2, −1/2 ≤ y ≤ 1/2} ∪ {z = 0, 0 , x = −π/2 π/2, −1/2 ≤ y ≤ 1/2} Γ2 ∩ Γ4 = {z = 0, 0 , y = 1/ 1 /2, −π/2 π/2 ≤ x ≤ π/2 π/2} Γ3 ∩ Γ4 = {z = 0, 0 , y = −1/2, −π/2 π/2 ≤ x ≤ π/2 π/ 2} Γ1
14
Problemas Resueltos
Figura 1.5: Representación de Γ La superficie superficie Γ está representada en la Figura 1.5. 2
Por otro lado,
div(X ) =
2,
rot(X )
= (0, (0, 0, 0) y X =
x f , f , donde f ( f (x,y,z) x,y,z) = 2
+
z2 . 2
(i) Sea Ω el volumen encerrado por Γ. Entonces,
π/2 π/2
vol(Ω) vol(Ω) =
−π/2 π/ 2 −1/2
π/2 π/ 2
1/2
cos x(2+cos(π (2+cos(π(y +1)))
dxdydz =
0
1/2
π/2 π/2
cos x(2 + cos(π cos(π(y + 1))) dxdy =
−π/2 π/2 −1/2 π/2 π/ 2
sen x
−π/2 π/ 2
− −
1 2y + sen(π sen(π (y + 1)) π
(ii) Primer Primer método.
1/2
cos xdx
−π/2 π/ 2
1/2
=2 1
−1/2
2 + cos(π cos(π (y + 1))dy 1))dy =
−1/2
1 +1 π
1 π
=
4 (π π
− 1). 1).
La representación de Γ1 se halla en la Figura 1.6 Para hallar el flujo aprovecharemos los calculos hechos en el apartado (i), de forma que φ(X, Γ1 ) = φ(X, Γ)
− φ(X, Γ2) − φ(X, Γ3) − φ(X, Γ4).
Calculamos cada uno de estos flujos,
• φ(X, Γ) =
div(X )dV
= 2vol 2 vol(Ω) (Ω) =
Ω
• φ(X, Γ2) = 0, ya que N 2 = − ∂y∂
8 (π π
− 1). 1).
y el campo no tiene componente
∂ . ∂y
15
Teoremas integrales
Figura 1.6: Representación de Γ1
• φ(X, Γ3) = 0, ya que N 3 = ∂y∂
y el campo no tiene componente
• φ(X, Γ4) = 0, ya que N 4 = − ∂z∂ Por tanto, φ(X, Γ1 ) =
8 (π π
y < X, X, N 4 >=
−z|Γ
4
∂ . ∂y
= 0. 0.
− 1). 1).
Segundo método. Hallamos una parametrización de Γ1 y los campos involucrados en el cálculo del flujo. x(x, y ) = x,y, cos x 2 + cos(π cos(π (y + 1)) , x [ π/2 π/2, π/2] π/ 2],, y [ 1/2, 1/2], 2],
xx = 1, 0, xy = xx
− sen x(2 + cos(π cos(π (y + 1))) 0, 1, −π cos x sen(π sen(π (y + 1)) ,
∧ xy =
∈−
∈−
,
sen x(2 + cos(π cos(π (y + 1))), 1))), π cos x sen(π sen(π(y + 1)), 1)), 1 .
Entonces Entonces,, la restricción restricción del producto escalar a la superficie es,
X , x x ∧ x y = Finalmente,
2 + cos(π cos(π(y + 1))
π/2 π/2
φ(X, Γ1 ) =
x sen x + cos x .
1/2
−π/2 π/ 2 −1/2
(2 + cos(π cos(π(y + 1)))(x 1)))(x sen x + cos x) dxdy =
16
Problemas Resueltos
− − 1/2
π/2 π/2
2 + cos(π cos(π (y + 1))dy 1))dy
−1/2 2
2 π
(iii) (iii) Como X =
x sen x + cos xdx =
−π/2 π/ 2
π/2 π/2
x cos x
cos xdx
−π/2 π/2
−π/2 π/2
2
x f , f , con f ( f (x,y,z) x,y,z) = 2
u=x du = dx v = cos x
−
π/2 π/2
+2
= 2
2 π
−
π/2 π/2
2sen x
=
−π/2 π/ 2
8 (π π
=
− 1). 1).
z2 , cada una de las circulaciones se calcula como 2
+
C (X, α) = f ( f (α(b))
− f ( f (α(a)), )),
donde α(b) y α(a) representan los extremos de definición de la curva correspondiente. Sea α12 = Γ 1
∩ Γ2. Entonces, α12 = (x, ( x, 1/2, 2cos x), x ∈ [−π/2 π/2, π/2] π/ 2] y 2
C (X, α12 ) = f ( f (α12 (π/2)) π/2)) (iv) Sea α24 = Γ 2
−
(π/2) π/2)2 f (α24 ( π/2)) π/2)) = 8
−
−
(π/2) π/ 2)2 = 0. 0. 8
∩ {y = 0,0 , 0 ≤ x ≤ π/2 π/2}. Entonces, α1 = (x, ( x, 0, cos x), x ∈ [0, [0, π/2] π/ 2] y C (X, α1 ) = f ( f (α1 (π/2)) π/ 2))
59.-
= 0. 0.
∩ Γ4. Entonces, α24 = (x, ( x, 1/2, 0), 0), x ∈ [−π/2 π/ 2, π/2] π/ 2] y
C (X, α24 ) = f ( f (α24 (π/2)) π/2)) (v) Sea α1 = Γ 1
2
(π/2) π/2) (π/2) π/ 2) − f (α12(−π/2)) − π/2)) = 8 8
−
(π/2) π/2)2 f ( f (α1 (0)) = 8
− 12 .
∈ IR+, c T c = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + y 2 ≤ 49 , 0 ≤ z ≤ 5c} ∪ √ 2 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + (y (y + c) ≤ 3c2 , (x − 23 c)2 + (y (y − 2c )2 ≤ 3c2 , √3 (x + 2 c)2 + (y (y − 2c )2 ≤ 3c2 , 5c ≤ z ≤ 9c} ∪ c {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + y 2 ≤ 49 , 9c ≤ z ≤ 13c 13c}
Sean, c
2
2
y consideremos el campo vectorial X = az 2
∂ ∂x
− b ∂z∂ ; a, b ∈ IR+.
T T
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ c . (ii) Calcular el flujo de X a través de A = (x,y,z) x,y,z)
{
∈
c2 IR : x + y = , 9c 49 3
2
2
≤ z ≤ 13c 13c}.
17
Teoremas integrales
(iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de
{
B = (x,y,z) x,y,z)
∈ IR3 :
√
√
2 − 23 c)2 + (y (y − 2c ) = 3c 3 c2 , − 23 c ≤ x ≤ 0, −c ≤ y ≤ 2c , 5c ≤ z ≤ 9c}.
(x
(iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂B. ∂B . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de 2
γ = (x,y,z) x,y,z)
{
c ∈ IR3 : x2 + y2 = 49 , z = 9c 9 c}.
Solución:
c c2 (i) La superficie superficie (x,y,z) x,y,z) IR3 : x2 + y2 49 , 0 z 5c es un cilindro de eje z y radio 7 con 0 z 5c. √ √ 2 La superficie (x,y,z) x,y,z) IR3 : x2 +(y +( y + c) 3c2 , (x 23 c)2 +(y +( y 2c )2 3c2 , (x + 23 c)2 + c 2 2 (y 2 ) 3c , 5c z 9c es la intersección de tres cilindros de eje z. Representamos en la Figura 1.7 dicha intersección en el plano xy. xy .
{
≤ ≤ { − ≤
∈
∈ ≤ ≤ }
≤
≤ ≤ }
≤
−
−
≤
Figura 1.7: Representación de la intersección 2
La superficie (x,y,z) x,y,z) c con 9c z 13c 13c. 7
∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 49c , 9c ≤ z ≤ 13c 13c} es un cilindro de eje z y radio
La Representación de
T c se encuentra en la Figura 1.8.
{ ≤ ≤
18
Problemas Resueltos
Figura 1.8: Representación de
T c
Para calcular el flujo a través de la frontera aplicamos el Teorema de la Divergencia. φ(X, ∂ c ) =
T T
X, N =
T
c
div(X )dV
= 0. 0.
T
c
(ii) Para calcular el flujo a través través de A, ver Figura 1.9, podemos cerrarla empleando dos discos con lo que podremos aplicar el Teorema de la Divergencia. 2
c Sean D1 = (x,y,z) x,y,z) IR3 : x2 + y2 13c , D2 = (x,y,z) x,y,z) 49 , z = 13c 2 c 9 c y el volumen encerrado por A D1 D2 . 49 , z = 9c ∂ ∂ Entonces, N 1 = , N 2 = y ∂z ∂z
{
∈
} A
A
X, N dA =
≤
∪ ∪
−
div (X )dV
−
X, N dA
D1
A
}
−
{
X, N dA = b
D1
∈ IR3 : x2 + y2 ≤
− dA
D1
b
D2
(iii) (iii) La representa representación ción de B se halla en la Figura Figura 1.10. En este caso para calcular calcular el flujo parametriz parametrizamos amos la superficie, superficie, x(y, z ) =
√ − − − ∈ − 3 c 2
3c2
y
c 2
2
,y,z , y
c,
c , z 2
∈ [5c, [5c, 9c].
dA = 0. 0.
19
Teoremas integrales
Figura 1.9: Representación de A
− − − − − − − c 2
y
xy =
3c2
c 2 2
y
, 1, 0 , x z = (0, (0 , 0, 1). 1).
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son, c 2
y
xy
∧ xz =
1,
3c2
c 2 2
y
y X , xy
,0
∧ xz = az2
Por último, el flujo de X a través de B es, c
2
φ(X, B ) =
9c
X, N dA =
−c
B
5c
3 z3 az dz dy = c 2 3 2
9c
= 302c 302c4 a.
5c
(iv) La circulación a lo largo de la frontera de B la podemos hallar aplicando el teorema de Stokes-Ampere. C (X,∂B) X,∂B) =
∂B
X, T dl =
rot(X ), N
B
dA.
20
Problemas Resueltos
Figura 1.10: Representación de B En este caso el rotacional es rot(X ) = (0, (0 , 2az, 0), 0), y la restricción del producto escalar a la superficie es, 2az( az (y 2c ) rot(X ), x y xz = . c 2 2 3c y 2
∧ −
− −−
Luego, la circulación es,
− − − − c
2
C (X,∂B) X,∂B ) =
−c
9c
5c
3c2
y
− − 9c
c 2)
2az( az (y
c 2 2
dydz = az
2
3c2
5c
y
c 2
2
c 2
√
= 28 3ac2 .
−c
(v) Para Para hallar la circulació circulación n a lo largo de γ procedemos del mismo modo que en el apartado ∂ anterior. En este caso la normal es, N = . ∂z Por tanto, la circulación es, C (X, γ ) =
γ
dA = 0.0 .
rot(X ), N
21
Teoremas integrales
Sea Γ1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva x2 + z 2 = y = 0, z 0 y en la recta y = 2R, z = 0 , que son paralelas al plano yz, yz , con R x R, 0 y 2R.
60.R2 ,
≥ } ≤ ≤
− ≤ ≤
{
{
}
Sea Γ3 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva x2 + (z + R)2 = R2 , y = 2R, z R y en la recta y = 0, z = R , que son paralelas al plano yz, yz , con R x R, 0 y 2R.
− ≤ ≤
≤− } ≤ ≤
{
{
− }
(i) Calcular Calcular la ecuación ecuación paramétrica paramétrica de Γ1 y de Γ3 . (ii) Sea Γ =
6
i=1
Γ2 Γ4 Γ5 Γ6
Γi , donde
= = = =
√R2 − x2}, {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y = 0, 0 , − R ≤ x ≤ R, − R ≤ z √ ≤ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y = 2R, 2 R, − R ≤ x ≤ R, − R − R2 − x2 ≤ z ≤ 0}, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : x = −R, 0 ≤ y ≤ 2R, − R ≤ z ≤ 0}, {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = R, 0 ≤ y ≤ 2R, − R ≤ z ≤ 0}.
Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3 X =
−2z y − 3R
∂ ∂x
− x(y2−R22R)
∂ . ∂z
(a) Calcular el flujo de X a través de Γ. (b) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (c) Calcular la circulación de X sobre ∂ Γ2 . Solución:
(i) Una parametrizac parametrización ión de la curva x2 + z 2 = R2 , y = 0, 0, z α(u) = (R cos u, 0, R sen u), u
{
∈ [0, [0, π ].
≥ 0} es,
Como las rectas deben ser paralelas al plano yz, yz , debemos parametrizar la recta
{y = 2R, 2 R, z = 0 } como β (u) = (R cos u, 2R, 0). 0). En este caso, w(u) = α(u) − β (u) = (0, (0, −2R, R sen u). Por tanto, la parametrización de Γ1 es,
x(u, v ) = β (u) + vw( vw (u) = (R cos u, 2R
− v2R,vR sen u).
De forma forma análoga análoga una parmetriz parmetrización ación de Γ3 es, y (u, v ) = (R cos u, v 2R, vR sen u
−
− R).
(ii) (a) La representa representación ción de Γ se halla en la Figura 1.11. Para calcular el flujo a través de Γ podemos aplicar el Teorema de la Divergencia. φ(X, Γ) =
Γ
X, N dA =
Ω
div (X )dV
= 0. 0.
22
Problemas Resueltos
Figura 1.11: Representación de Γ (b) En este caso para poder aplicar aplicar el Teorema eorema de la Divergenci Divergencia a en el cálculo del flujo, utilizaremos dos superficies auxiliares, para obtener una superficie que encierre un volumen, ver Figura 1.12. Sean
{ ∈ IR3 : y = 0,0 , −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ z ≤ √R2 − x2}, T 1 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z = 0, 0 , −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ 2R}. ∂ ∂ Entonces, N 1 = − y N 2 = − . Por tanto, el flujo es, ∂y ∂z D1 = (x,y,z) x,y,z)
φ(X, Γ1 ) =
−
Ω1
−
T 1
−
X, N dA = T 2R x(y − 2r) dxdy = 0. 0.
div(X )dV
X, N dA
D1
R
x(y 2r) dy dx = 2R2 −R
− 1
2R2
0
(c) La circulación circulación sobre la frontera frontera de Γ2 la podemos hallar aplicando el teorema de StokesAmpere, ver Figura 1.13. C (X, ∂ Γ2 ) =
∂ Γ2
X, T dl =
donde la normal y el rotacional son, ∂ x 2 y 2R 1 N = , rot(X ) = , + , 2 2 ∂y 2R y 3R 2R (y 3R)2
−
−
− −
−
dA,
rot(X ), N
Γ2
−
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es
.
rot(X ), N = 31R . Luego,
23
Teoremas integrales
Figura 1.12: Representación de Γ1 1 C (X, ∂ Γ2 ) = 3R
dA =
Γ2
1 π 2 R R + 2R 2R2 = (π + 4). 4). 3R 2 6
Sea Γ1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la hélice α(θ ) = (cos θ, sen θ,a θ) θ ) y en el eje z , que son paralelas al plano xy, xy, con 0 θ 2π y 0 x2 + y2 1. 61.-
≤ ≤
≤
(i) Calcular Calcular la ecuación ecuación paramétrica paramétrica de Γ1 y su expresión en coordenadas cilíndricas. (ii) Sea Γ =
5
i=1
Γi , donde Γ2 Γ3 Γ4 Γ5
= = = =
{0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, z = a(θ + 2π 2π )} {ρ = 1,1 , 0 ≤ θ ≤ 2π, a θ ≤ z ≤ a(θ + 2π 2π )} {0 ≤ ρ ≤ 1, θ = 0,0 , 0 ≤ z ≤ 2aπ} {0 ≤ ρ ≤ 1, θ = 0,0 , 2aπ ≤ z ≤ 4aπ}
y ρ, θ, z son las coordenadas cilíndricas. Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3 X = y
x2 + y2
∂ ∂x
(a) Calcular el flujo de X a través de Γ. (b) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (c) Calcular el flujo de X a través de Γ2 .
−x
x2 + y2
∂ . ∂y
≤
24
Problemas Resueltos
Figura 1.13: Representación de ∂ Γ2 (d) Calcular el flujo de X a través de Γ4
∪ Γ5.
(e) Calcular la circulación de X sobre α(θ), 0
∪ ≤ ≤
(f) Calcular la circulación de X sobre ∂ Γ4
θ
2π .
Γ5 .
Solución:
(i) Las generatric generatrices es de Γ1 tendrán como vector director, w(θ ) = α(θ)
− (0, (0, 0, aθ) aθ) = (cos θ, sen θ, 0), 0),
ya que deben ser rectas paralelas al plano xy. Por tanto, una parametrización de Γ1 es, x (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ,aθ) θ,aθ ), θ
∈ [0, [0, 2π], ρ ∈ [0, [0, 1], 1],
ya que 0
≤ x2 + y2 ≤ 1.
Por otro lado su expresión en coordenadas cilíndricas es z = aθ. aθ. (ii) (a) La representación representación de Γ se encuentra en la Figura 1.14. Para calcular el flujo a través de Γ podemos aplicar el Teorema de la Divergencia, ya que la superficie encierra un volumen. Como la divergencia del campo es nula, div(X ) = 0, tenemos que φ(X, Γ) =
V
div (X )dV
= 0. 0.
25
Teoremas integrales
Figura 1.14: Representación de Γ (b) Para Para calcular el flujo a través través de Γ1 parametrizamos la superficie, x1 (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ,aθ) θ,aθ ), ρ
∈ [0, [0, 1], 1], θ ∈ [0, [0, 2π ].
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son xρ = (cos θ, sen θ, 0), 0), x θ = ( ρ sen θ, ρ cos θ, a), xρ
−
∧ xθ = (a ( a sen θ, −a cos θ, ρ)
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xρ ∧ xθ = aρ2 sen2 θ + aρ2 cos2 θ = aρ2.
Luego, el flujo es
1
Φ(X, Φ(X, Γ1 ) =
0
2π
0
ρ3 aρ dρdθ = 2πa 2 πa 3 2
1
=
0
2πa . 3
(c) Para Para calcular calcular el flujo sobre Γ2 procedemos del mismo modo que en el caso anterior. Una parametrización de Γ2 es, x2 (ρ, θ ) = (ρ cos θ, ρ sen θ,aθ + a2π).
26
Problemas Resueltos
xρ = (cos θ, sen θ, 0), 0), x θ = ( ρ sen θ, ρ cos θ, a), xρ
−
∧ xθ = (a ( a sen θ, −a cos θ, ρ)
Luego, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xρ ∧ xθ = aρ2 sen2 θ + aρ2 cos2 θ = aρ2.
Por tanto,
Φ(X, Φ(X, Γ2 ) = Φ(X, Φ(X, Γ1 )
∪
(d) La superficie Γ4 Γ5 es un plano, podemos calcular la normal y el producto escalar del campo restringido restringido a la superficie. superficie. N = (0, (0 , 1, 0). 0).
X, N = −x
x2 + y 2 =
Φ(X, Φ(X, Γ4
Por tanto, el flujo es,
∪ Γ5) =
−x2.
1
Γ4 Γ5
∪
X, N dA =
0
4πa
0
2
−x
dxdz =
−
x3 4πa 3
(e) Para calcular la circulación parametrizamos parametrizamos la curva,
1
=
0
− 4πa . 3
α(θ) = (cos θ, sin θ , a θ) θ ), α (θ ) = ( sen θ, cos θ, a),
− X, T = − sen2 θ − cos2 θ = −1. Por tanto, la circulación es,
C (X, α) =
α
−
2π
X, T dl =
(f) La circulación sobre la frontera de Γ4 Stokes-Ampére. Γ5 )) =
−2π.
∪ Γ5 la podemos hallar aplicando el Teorema de
∪ − − −
C (X, ∂ (Γ (Γ4
dθ =
0
X, T dl =
∂ (Γ (Γ4 Γ5 )
Γ4 Γ5
∪
∪
rot(x), N dA,
donde la normal y el rotacional son, ∂ N = , ∂y
rot(X ) =
0, 0,
x2 + y2
x
x
x2 + y 2
Por tanto, la circulación es,
C (X, ∂ (Γ (Γ4
62.-
∪ Γ5)) = 0.0.
Consideramos el campo vectorial diferenciable de IR2 X = x
∂ ∂ + x2 . ∂x ∂y
x2 + y 2
− y
y
x2 + y 2
.
27
Teoremas integrales
− Ω2, donde Ω1 = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≤ R2 , − R2 ≤ x, − R2 ≤ y } y 2 Ω2 = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≤ ( R2 ) , R 4 ≤ x, 0 ≤ y }.
(i) Calcular Calcular la circulación circulación de X sobre la frontera, Γ, de Ω = Ω1
Consideramos X = x
∂ ∂ + x2 en IR3 y se hace girar ∂ Ω2 alrededor del eje OY. ∂x ∂y
(ii) Calcular el flujo de X a través de la superficie de revolución obtenida. Solución:
(i) La representa representación ción de Γ se encuentra en la Figura 1.15.
Figura 1.15: Representación de Γ La circulación de X a lo largo de la frontera de Γ es, C (X, ∂ Γ) Γ) =
X, T dl =
∂ Ω
Aplicando el Teorema de Green, C (X, ∂ Γ) Γ) =
2xdxdy =
Ω
R
+
√
3 2
R
2
2
2
2
x dx + x2 dy.
∂ Ω
3 2
R2
2
4
R 4
0
−
R 2
√
3 2
2
−x
2
R
2xdxdy =
Ω2
R
√R −x
− √
2xdxdy
Ω1
√R −x 2xdxdy −√R −x
− −
2xdxdy =
−
R 2
2xdxdy
R 2
R
2x
−
2
R2
x2 +
R 2
dx+ dx+
28
Problemas Resueltos
− − − − − − − R
R
√
2x(2
3 2
R2
2
x2 )
2x
4
R
3
x2 ) 2
√
3 2
+
R
2
2 3
R 4
x2 dx
4
R
R
4 2 (R 3
R2
x2
3 2
2 2 (R 3
=
R 2
x x2 ) + R 2
− √ 7 3
1 + 3 32
= R3
R 4
2
3 2
.
√
3 2
−
R
R 2
(ii) La frontera frontera de Ω2 es la curva representada en la Figura 1.16. La superficie de revolución obtenida que denotaremos por Γ2 está representada en la Figura 1.17.
Figura 1.16: Representación de ∂ Ω2 Como Γ2 es la frontera de un volumen V y Divergencia obtenemos, φ(X, Γ2 ) =
X, N dA =
Γ2
div (X )
= 1, aplicando el Teorema de la
div(X )dV
V
=
dV.
V
Para hallar el volumen V aplicamos la fórmula del volumen de revolución, π
f 2 (y)dy y
tendremos en cuenta que se debe restar el volumen del cilindro que se genera al hacer la revolución.
− √
3 4
dV = π
V
0
R
2
R 4
y
2
2
√3
R dy π R=π 16 4
−
Por tanto, φ(X, Γ2 ) =
√
2
R y 4
π 3R3 . 32
3
−
y 3
√
3 4
0
R
−
√
√
π 3R3 π = 3R3 . 43 32
29
Teoremas integrales
Figura 1.17: Representación de Γ2 63.-
Sean Ω =
8
i=1
Ω1 = Ω2 = Ω3 = Ω4 = Ω5 = Ω6 = Ω7 = Ω8 =
Ωi y a, b
∈ (0, (0, +∞), donde
≥ − ≤ ≤ ≤ } − ≤ ≤ − ≤ ≤− ≤ ≤ } − ≤ ≤ ≤ ≤ } 2
3
a a 2 5a a2 , x + y+ , 0 z 2a , 2 2 2 4 a a x , 3a y 2a, 0 z 2a , 2 2 2 a a 2 5a a2 , x+ + y+ , 0 z 2a , 2 2 2 4 a a x , 2a y 0, y 2 2a(2a (2a z ), 2az y 2a(2a (2a + 1) , 2 2 a a x , 0 y 2a, y 2 2a(2a (2a z ), 2az + y 2a(2a (2a + 1) , 2 2 2 a a 2 5a a2 , x + y , 0 z 2a , 2 2 2 4 a a x , 2a y 3a, 0 z 2a , 2 2 2 a a 2 5a a2 + y , x+ , 0 z 2a . 2 2 2 4
{(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR : x {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : x {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : − ≤ {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : − ≤ {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : x ≥ {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : − ≤ − {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 : x ≤
Sean Γi = ∂ Ωi
≤ − ≤ ≤ ≥ − − ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ − ≤ − − ≤ ≤ ≤ } ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ } − ≤ ≤ ≤ }
∩ ∂ Ω, 1 ≤ i ≤ 8 y X el campo vectorial vectorial definido por 1 ∂ ∂ X = + (z (z − 2a − 1) . z + b ∂x ∂z
}
}
30
Problemas Resueltos
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ6 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ p , siendo Γ p = (Γ 4
∪ Γ5) ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y 2 = 2a 2 a(2a (2a − z )}.
(iv) Calcular el flujo de X a través de Γt , siendo Γt = Γ 5
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : 2az 2 az + y = 2a 2 a(2a (2a + 1)}.
(v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de ∂ Γ p . (vi) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂ Γ7
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y = 3a 3 a} .
Solución:
(i) La representa representación ción de Ω se halla en la Figura 1.18. Como
div(X ) =
−
1, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dA =
∂ Ω
div (X )dV
Ω
=
dV . dV .
Ω
Para calcular el volumen tendremos en cuenta que Ω es unión de trozos de cilindros y prismas más un cuerpo central que debemos integrar.
Ω
dV = 2π 2π
a2 2
a
3
2a + 4a 4a +
8 = πa 3 + 4a 4a3 + 2a 2a2 + a3 . 3
2a
2
2a + 1
−
a 2
0
y 2a
−
y2 2a + 2a
Figura 1.18: Representación de Ω
dxdy
31
Teoremas integrales
(ii) Para calcular calcular el flujo a través través de Γ6 empleamos un rectángulo T para obtener una superficie que encierre un volumen, Ω, y así poder aplicar el Teorema de la divergencia. Ver Figura 1.19.
Figura 1.19: Representación de Γ6 T = (x,y,z) x,y,z)
{
∈ IR3 : x = a2 , 2a ≤ y ≤ 3a, 0 ≤ z ≤ 2a}.
Por tanto, la normal y el producto escalar con el campo son, N = y el flujo es, φ(X, Γ6 ) =
− div (X )dV
Ω
3
=
πa + a ln 4
T
2a + b . b
1 a X, N dA = π 2 2
− ∂x∂ y X, N = − z +1 b
2
3a
2a
2a +
2a
0
1 dxdy = z+b
(iii) (iii) Buscamos Buscamos el flujo a través través de la superficie Γ p , ver Figura 1.20. Para hallar el flujo en este caso resulta más sencillo parametrizar la superficie. La parametrización de la superficie y los campos involucrados en el cálculo del flujo son, y2 a a x(x, y ) = x,y, 2a , x , , y [ 2a, 2a]; 2a 2 2 y y xx = (1, (1 , 0, 0), 0), x y = 0, 1, , x x x y = 0, , 1 . a 2a y2 Por tanto, el producto escalar restringido a la superficie es X, xxx xy = +1 . 2a Luego,
∈− − ∈ − − ∧
∧
−
32
Problemas Resueltos
Figura 1.20: Representación de Γ p y ∂ Γ p
− − − − ∈ − ∈ − − ∧ a
2a
2
φ(X, Γ p ) =
Γp
a
y3 6a
y2 +1 2a
X, N dA =
−
2a
+y
=
4a2
−2a
a
−2a
2
dxdy =
2 a+1 . 3
(iv) La representació representación n de Γt se halla en la Figura 1.21. En este caso la parametrización de la superficie y los campos involucrados en el cálculo del flujo son, x(x, y ) = x,y, 2a + 1
y 2a
xx = (1, (1 , 0, 0), 0), x y = 0, 1,
a a 2, 2
, x
1 2a
,y
[ 2a, 2a];
.
1 ,1 2a Luego, el producto escalar restringido a la superficie es, y X, x x x y = . 2a Finalmente, el flujo es,
xx
xy =
0,
∧ −
φ(X, Γt ) =
a
X, N dA =
Γt
− 2a
2
−
a 2
0
y dxdy = 2a
−a2.
(v) La circulació circulación n a lo largo de la frontera frontera de Γ p la podemos hallar aplicando el Teorema de Stokes-Ampere.
33
Teoremas integrales
Figura 1.21: Representación de Γt
C (X, ∂ Γ2 ) =
X, T dl =
∂ Γp
El rotacional es, rot(x) =
− 0,
rot(X ), N
dA.
Γp
− − − − − −
1 ,0 = (z + b)2
y
0,
a 2a
y2 2a
+b
2,0
.
La restricción del producto escalar a la superficie es, y rot(X ), x x xy = 2. y2 a 2a +b 2a Luego, la circulación es,
∧
a
2a
2
C (X, ∂ Γ p ) =
−
a 2
−2a a 2a
y
y2 2a
+b
2
dxdy = 0, 0,
ya que es la integral de una función impar integrada en un itervalo simétrico. (vi) Este apartado se resuelve de forma análoga al anterior. La normal a la superficie Γ7 (x,y,z) x,y,z) IR3 : y = 3a 3 a y el rotacional del campo son, ∂ 1 y rot(x) = 0, N = ,0 . ∂y (z + b)2
{
∈
}−
∩
34
Problemas Resueltos
Por tanto, la circulación es,
∩{ − C X, ∂ Γ7 a
2a
2
−
64.-
2
i=1
∈ IR
0
} −
: y = 3a 3a
=
dA =
rot(x), N
R
1 dxdy = a (z + b)2
Sean
3
Ω=
a
(x,y,z) x,y,z)
3
1 2a + b
1 b
.
{(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }, {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + z 2 ≥ r2 }, {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y2 + z 2 ≥ r2 }, √ Ωi , R > r 2, Γi = ∂ Ωi ∩ ∂ Ω, i = 1, 1 , 2, 3 y X el campo vectorial vectorial definido por Ω1 = Ω2 = Ω3 =
X = x
∂ ∂ ∂ +y +z . ∂x ∂y ∂z
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ2 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂ Γ2 (x,y,z) x,y,z) IR3 : 0 y < R2 r2 . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de Γ2 Γ3 (x,y,z) x,y,z) IR3 : x 0, y 0, z 0 .
∩{ ∩ ∩{
∈
∈
≤
√ − } ≥ ≥ ≥ }
Solución:
La representación de Ω en el primer octante se halla en la Figura 1.22. En primer lugar calculamos las intersecciones de las diferentes geometrías. Γ1
∩ Γ2
≡
x2 + y 2 + z 2 = R2 x2 + z 2 = r2
⇒
⇒ y2 = R2 − r2 =
=
∗
de donde la curva intersección para ( ) es la circunferencia Denotaremos por h =
√R2 − r2.
Análogamente para y =
Γ1
∩ Γ3
≡
−h, tendremos
x2 + y2 + z 2 = R2 y 2 + z 2 = r2
x2 + z 2 = r 2 , y=
√R2 − r2.
x2 + z 2 = r2 , y= =
−h. 2
⇒x
2
=R
de donde la curva intersección para ( ) es la circunferencia
∗
√R2 − r2(∗), √ y = − R2 − r2 , y=
−r
2
⇒
=
x = h(∗) , x=
y2 + z 2 = r2 , x = h.
−h,
35
Teoremas integrales
Figura 1.22: Representación de Ω
Análogamente para x =
Γ2
∩ Γ3
−h, tendremos
≡
x2 + z 2 = r 2 y2 + z 2 = r2
∗
de donde la curva intersección para ( ) es
Análogamente para y =
−x, tendremos
y 2 + z 2 = r2 , x=
−h.
2
⇒x −y
=
2
=0 =
x2 + z 2 = r2 y=x x2 + z 2 = r2 y=
−x
⇒
≡{ ≡{
y = x(∗) , y=
−x,
(x,x,z) x,x,z ) : x2 + z 2 = r 2 .
}
(x, x, z ) : x2 + z 2 = r2 .
−
}
Por las simetrías de Ω y del campo podemos resolver en el primer octante y multiplicar los resultados por 8. (i) Como div(X ) = 3, 3 , y queremos calcular un flujo en ∂ Ω podemos aplicar el Teorema de la Divergencia. φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dA =
∂ Ω
Ω
div(X )dV
=3
dV . dV .
Ω
El volumen del primer octante de Ω es: el volumen de 1/8 de esfera de radio R menos dos cuartos de un casquete esférico de radio R y altura R h, menos el volumen de , donde
−
A
36
Problemas Resueltos
A está representada en la Figura 1.23. El volumen de A a su vez, se puede hallar como dos del volumen de un cilindro de radio r y altura h − r más dos vces el volumen de β (
ver Figura 1.24 ).
Figura 1.23: Representación de
A
• V E (R) = 43 πR3. • V C (R, R − h) = ∗ (Utilizamos la fórmula del volumen de revolución). R R x3 R3 h3 2 2 2 3 2 ∗ = π(R − x )dx = π R x − 3 −R h+ 3 =π R − 3 π
h
2 3 R 3
−
h3 R h+ 3 2
=π
h
2 3 R 3
1 R h + (R2 3 2
−
2
− r )h
=π
π (2R (2R3 2R2 h r2 h). 3 V ( V ( ) = 24 V Ci( Ci (r, h r) + V ( V (β ), donde V ( V (β ) = 2V ( V (β )
−
− √r −y
− √ − − r
V ( V (β ) =
x
dx
dy
0
arcsin
dx
0
r2 2
0
x r
0
r
arcsin
0
−
=
2 2 R h 3
−
1 2 r h 3
=
=
−
• A
r
2 3 R 3
2
2
0
1
x2 r2
x
r2
dx
0
r2 r2 cos2 θ dθ = 2
x x + r r
r
dz =
r
0
0
sen2θ sen2θ θ+ 2
dx =
y2 dy =
arcsin
x r
dx =
0
u = arcsin xr 1 du = 2 r x2 v=x
=
y = r sen θ dy = r cos θdθ
→ θ = arcsin xr y =0 → θ =0 y=x
37
Teoremas integrales
Figura 1.24: Representación de β r2 2 2
− √ − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − r
x
r2
0
0
r
r π r+ 2 2 Por tanto, V (Ω) V (Ω) = 8
r
x r
x arcsin
r2
x2
+
0
14 3 πR 83
4 3 4 πR π (2R (2R3 3 3 R3 2 3 4π R + 3 3 Luego,
x2
2
r 3
=
2π (2R (2R3 12
2R2 h
r 2
r2 h)
1
3/2
x2 r2
r 2
r
=
0
3
π r 2
2R2 h
r+
r r = (3π (3π 3 12
r 2 h)
1 2 πr (h 2
4πr 2 h + 4πr 4πr 3
2 2 1 R h + r2 h 3 3
Ω) = 4π 4π(2h (2h3 φ(X, ∂ Ω)
2 3
dx
r2 h +
r)
4). 4).
r3 (3π (3π 6
16 3 r = 3 R3 2 + h3 3 3
4)
=
4πr 3 +
16 3 r = 4π 4π 3
+
16 3 r . 3
− R3) + 16r 16r3 . −
(ii) Γ1 es la esfera menos cuatro casquetes de radio R y altura R h. Podemos tapar Γ1 con cuatro cuatro discos discos y obtener obtener así una superficie superficie que encierra encierra un volumen, volumen, ver Figura 1.25 φ(X, Γ1 ) =
− 4
div (X )dV
Ω
i=1
X, N i dA. dA.
Di
Para calcular los flujos sobre los discos calculamos:
X, N 1 = x|
D1
−x|
= h, X, N 2 =
D2
−y|
= h, X, N 3 = y|D3 = h, X, N 4 =
D3
= h.
38
Problemas Resueltos
Figura 1.25: Representación de Γ1
Por tanto, φ(X, Di ) =
X, N i dA = h
Di
dA = hπr 2 , i = 1, 1 , . . . , 4.
Di
De donde, φ(X, Γ1 ) = 3
4 3 πR 3
−
4 (2R3 π(2R 3
2
2
−
− 2R h − r h)
4hπr 2 = 4πR 4 πR 2 (2h (2h
− R).
(iii) Observemos Observemos que φ(X, Γ2 ) = 8φ(X, Γ2 ), ver Figura 1.26. Una parametrización de Γ2 es x (x, y) = (x,y,
− r2
x2 ), 0
≤ x ≤ r, x ≤ y ≤
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son,
− R2
−x ), xy = (0, x xx = (1, (1 , 0, √ (0 , 1, 0) y xx ∧ x y = √ , 0, 1 r2 − x2 r2 − x2 Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X , x x ∧ x y =
√
x2
r2
− x2
+z
2
=
√r2r− x2 .
.
r2 = h.
39
Teoremas integrales
Figura 1.26: Representación de Γ2
De donde,
√ − √ −− √ − − r
h
φ(X, Γ2 ) =
0
r2 h arcsin xr
Finalmente, φ(X, Γ2 ) = 4r2 (πh
r
r
r2
x
r2
x2
+
r2
x2
0
dxdy =
0
r
= r2
0
r2 (h r2
π 2h
x) dx = x2
r .
− 2r).
√ ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : 0 ≤ y < R2 − r2 }, ver Figura 1.27. Como γ es una curva x2 y2 z2 cerrada y X = f donde f (x,y,z) x,y,z) = + + , tenemos que C (X, γ ) = 0. 2 2 2
(iv) Sea γ = ∂ Γ2
(v) Sea β = Γ 2
∩ Γ3 ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, ver Figura 1.28.
Como el campo es gradiente se verifica, C (X, β ) = f ( f (r,r, 0)
−
r2 f (0 f (0,, 0, r ) = . 2
40
Problemas Resueltos
Figura 1.27: Representación de γ
Figura 1.28: Representación de β
6
65.-
Sean Ω =
i=1
Ωi y a > 0, donde
{ ∈ IR3 : ( xa )2 + ( ay )2 + ( 4za )2 ≥ 1}, y 2 x 2 z 2 Ω2 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : ( a+1 ) + ( a+1 ) + ( 10a 10a ) ≤ 1}, Ω3 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z ≤ 0}, −3a}, Ω4 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z ≥ √ 3 Ω5 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : y − √3x ≤ 0}, Ω6 = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : y + 3x ≥ 0}. Ω1 = (x,y,z) x,y,z)
41
Teoremas integrales
Sean Γi = ∂ Ωi
∩ ∂ Ω, 1 ≤ i ≤ 6 y X el campo vectorial vectorial definido por X = z
∂ . ∂x
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ2 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ4 Γ5 Γ6 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γ2 Γ4 . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de Γ2 Γ5 .
∪ ∪
∩ ∩
Solución:
(i) La representa representación ción de Ω se halla en la Figura 1.29.
Figura 1.29: Representación de Ω Como
div(X ) =
0, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
∂ Ω
X, N dA =
div (X )dV
= 0. 0.
Ω
(ii) La representaci representación ón de Γ2 se halla en la Figura 1.30.
− ≤ z ≤ 0, −√3x ≤ y ≤ √3x}, es
y 2 x 2 z 2 Γ2 = (x,y,z) x,y,z) IR3 : ( a+1 ) + ( a+1 ) + ( 10a 1 , 3a 10a ) = 1, un trozo de elipsoide.
{
∈
Una parametrización de éste en coordenadas esferoidales es,
∈ [− π3 , π3 ], ϕ ∈ [ π2 , arc cos − 103 ], √3(a+1)sen ϕ cos θ ≤ 3 ya que −3a ≤ 10a 10a cos ϕ ≤ 0, lo que implica π2 ≤ ϕ ≤ arc cos − 10 y − 3(a √3(a + 1)sen ϕ cos θ, lo que implica − π ≤ θ ≤ π . (a + 1)sen ϕ sen θ ≤ 3(a 3 3
x(θ, ϕ) = ((a ((a+1)sen ϕ cos θ, (a+1)sen ϕ sen θ, 10a 10a cos ϕ), θ
42
Problemas Resueltos
Figura 1.30: Representación de Γ2 Por tanto, los campos involucrados en el cálculo del flujo son, xθ = ( (a + 11)) sen ϕ sen θ, (a + 1)sen ϕ cos θ, 0), 0), (( a + 11)) cos ϕ cos θ, (a + 1)cos ϕ sen θ, 10a 10a sen ϕ). xϕ = ((a
−
xθ
∧ xϕ = ( −10a 10a(a + 1)sen
2
−
ϕ cos θ, 10a 10a(a + 1)sen2 ϕ sen θ, (a + 1)2 sen ϕ cos ϕ).
−
−
La restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xθ ∧ xϕ = −100 100a a2 (a + 1)sen2 ϕ cos ϕ cos θ.
Finalmente,
π 3
φ(X, Γ2 ) =
−
π 3
arccos( 3/10)
−
π 2
− − − − − √ √ 3
sen ϕ 100a (a + 1) 100a 3
−
2
1 100a 100 a (a + 1) 3
−
2
1 100a 100 a2 (a + 1) 3
−
−100 100a a2 (a + 11)) sen2 ϕ cos ϕ cos θdθdϕ =
arccos
π/3 π/3
sen θ
π/2 π/ 2
9 100
(iii) La representación representación de Γ4
=
−π/3 π/3
cos2 arccos(
1
1
−3/10
3/2
1
3/10)
3
3 3 + 2 2
1 3
− sen(−π/3) π/3) = √3 103 − 91√91 2 = 100a 100a (a + 1) sen(π/ sen(π/3) 3)
3
∪ Γ5 ∪ Γ6 se halla en la Figura 1.31.
Utilizando el Teorema de la Divergencia tenemos, φ(X, Γ4
∪ Γ5 ∪ Γ6) = φ(X, ∂ Ω) Ω) − φ(X, Γ1 ) − φ(X, Γ2 ) − φ(X, Γ3 ).
Calculamos cada uno de estos flujos,
103
.
43
Teoremas integrales
Figura 1.31: Representación de Γ4
• φ(X, ∂ Ω) Ω) = 0 por (i). • φ(X, Γ2) está calculado en (ii), pero al considerar considerar la normal exterior a Ω en Γ2 , por tanto, √3 103 − 91√91 φ(X, Γ2 ) = −100 100a a2 (a + 1) . 3 103
∪ Γ5 ∪ Γ6 Γ2 como frontera de Ω debemos
• φ(X, Γ1) se calcula de forma análoga al de Γ2, teniendo en cuenta los cambios en los
parámetros que definen los elipsoides. Una parametrización del elipsoide en coordenadas esferoidales es, x = (a ( a sen ϕ cos θ, a sen ϕ sen θ, 4a cos ϕ), θ
√ 7√7 − 64 3 3 Por tanto, φ(X, Γ1 ) = −a 3
4
∈ − ∈ π π , ,ϕ 3 3
π , arccos 2
− 3 4
.
• φ(X, Γ3) = 0, ya que N 3 = ∂z∂ y X, N = 0.0 . Por tanto, φ(X, Γ4
∪ Γ5 ∪ Γ6) = a2(a + 1)
√3 3
103
− 91√91 10
√3 7√7 − 64 + a3 3
4
.
44
Problemas Resueltos
(iv) Sea α = Γ 2
∩ Γ4. La curva está dada como intersección de superficies, 2 2 x y z 2 √ √ + + =1 , − 3x ≤ y ≤ 3x. a+1 a+1 10a 10a z = −3a
⇒
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera tenemos, x a+1
2
y a+1
+
2
9 + 2 =1 = 10
x2 + y 2 = (a ( a + 1)2 Por tanto, una parametrización de α es, α(θ) =
√
2
x a+1
y a+1
+
91 91 (a + 1)cos θ, (a + 11)) sen θ, 3a , π/3 π/3 10 10
y el campo involucrado en la evaluación de la circulación es
− √
=
91 = 102
⇒
91 . 102
− −
√
2
≤ θ ≤ π/3 π/3.
√
91 91 (a + 1)sen θ, (a + 1)cos θ, 0 , 10 10
α (θ) =
√
91 de donde X, α (θ ) = 3 a(a + 1)sen θ. 10
Luego
π/3 π/3
C (X, α) =
√
−π/3 π/3
(v) Sea β = Γ 2
3 91a 91a(a + 1) 1) sen θ dθ = 0. 0. 10
∩ Γ5. La curva curva está dada como intersecci intersección ón de superficies, superficies,
√ 2
x + a+1 y = 3x
2
y a+1
+
z 10a 10a
2
=1 ,
−3a ≤ z ≤ 0.
El plano en coordenadas esferoidales es θ = π/3 π/3, por tanto tanto una parametrizac parametrización ión de β es, β (ϕ) =
√
y el vector tangente es β (ϕ) =
√
arccos( 3/10)
C (X, β ) =
−
π/2 π/2
−
5 sen2ϕ sen2ϕ 5a(a + 11)) cos ϕ dϕ = a(a + 1) ϕ + 2 2
5 a(a + 1) arc cos( cos( 3/10) 2
−
≤ ϕ ≤ arccos(−3/10)
1 3 (a + 1)cos ϕ, (a + 1) 1) cos ϕ, 10a 10a sen ϕ , 2 2
de donde X, β (ϕ) = 5a 5 a(a + 1)cos2 ϕ. Luego,
1 3 (a + 1)sen ϕ, (a + 1)sen ϕ, 10a 10a cos ϕ , π/2 π/ 2 2 2
2
−
√
3 91 102
−
π . 2
arccos( 3/10) π/2 π/2
−
=
45
Teoremas integrales
6
66.-
Sean Ω =
Ωi y a > 0, donde
i=1
Sean Γi = ∂ Ωi
Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6
1 2 2 2 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : 48a 48a (x + y − a ) ≥ z }, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : x2 + y 2 ≥ 49a 49a2 }, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : x2 + y 2 ≤ 23a 23a − z }, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : x ≤ 0}, {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z ≥ √ 0}, 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : y − 3x ≥ 0}.
= = = = = =
∂ ∩ ∂ Ω, 1 ≤ i ≤ 6 y X el campo vectorial vectorial definido por X = z . ∂x
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ3 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γ1 Γ3 . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de ∂ Γ4 .
∩
Solución:
(i) Para representar representar Ω calculamos las intersecciones de las diferentes superficies,
• ∂ Ω1 ∩ ∂ Ω2. Sustituyendo la ecuación de ∂ Ω2 en la de ∂ Ω1 obtenemos, 1 49a 49a2 − a2 = z =⇒ z = a, 48a 48a por tanto ∂ Ω1 ∩ ∂ Ω2 es un arco de la circunferencia x2 + y 2 = 49a 49 a2 en el plano z = a. • ∂ Ω1 ∩ ∂ Ω3. Sustituyendo la ecuación de ∂ Ω3 en la de ∂ Ω1 obtenemos, 1 (23a − z )2 − a2 = z =⇒ 529 529a a2 + z 2 − 46az 46az − a2 = 48az 48 az 48a 48a (23a √ 94a 94a ± 8836 8836a 2112a 94 ± 82 a2 − 2112 a2 =⇒ z 2 − 94az 94az + 528a 528a2 = 0 =⇒ z = = a = 6a, 6 a, 2 2 ya que z ≤ 23a 23a. Por tanto ∂ Ω1 ∩ ∂ Ω3 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = (17a (17a)2 , en
el plano z = 6a 6 a.
• ∂ Ω3 ∩ ∂ Ω5. Si z = 0,0 , entonces x2 + y2 = (23a (23a)2 que es una arco de circunferencia en el
plano z = 0. 0 . La representación de Ω se halla en la Figura 1.32. Como
div(X ) =
0, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dA =
∂ Ω
div (X )dV
= 0. 0.
Ω
1 2 2 (ii) Γ1 = (x,y,z) x,y,z) IR3 : 48a a2 ) = z, x 0, a z 6a, 7a x2 + y 2 17a 17a .Por 48a (x + y tanto, Γ1 es la superficie de revolución formada al girar respecto del eje z la parábola 1 2 a2 ) = z, π2 θ 43π , ver Figura 1.33. Luego una parametrización de Γ1 es, 48a 48a (x
{
∈
−
−
≤
≤ ≤
1 x(θ, x) = x cos θ, x sen θ, (x2 48a 48a
2
≤ ≤
∈
−a ) , θ
≤
π 4π , , x 2 3
≤
∈ [7a, [7a, 17a 17a],
}
46
Problemas Resueltos
Figura 1.32: Representación de Ω
√3x ≤ y, x ≤ 0 lo que implica π ≤ θ ≤ 4π .
ya que
2
3
Hallamos los campos involucrados en el cálculo del flujo, xx =
1 cos θ, sen θ, x , 24a 24a
xθ = ( x sen θ, x cos θ, 0), 0),
−
xx
∧ xy =
−
x2 cos θ, 24a 24a
−
x2 sen θ, x . 24a 24a
Entonces Entonces,, la restricción restricción del producto escalar a la superficie es, x2 1 x2 (x2 − a2 ) X, xx ∧ xy = − 24a cos θ (x2 − a2 ) = − cos θ. 24a 48a 48a 32 27 a2 Finalmente,
− 4π 3
17a 17a
φ(X, Γ1 ) =
7a
−
1 2 3 27 a2
−
a3 32 27
2
5 5
17 a 5
175 3
a3 175 3 533 28
π
−
x2 (x2 a2 ) cos θdθdx = 32 27 a2
173 a5 3
−
−
75 a5 73 a5 + 5 3
15
4π sen 3
− √ − √
− 1735 − 753 + 735
− 1735 − 753 + 735
−
3 2
3+2 .
1
=
1 x5 32 27 a2 5
−
1 =
3 2x
−a
3
17 7a
4π/3 π/ 3
sen θ
π/2 π/2
=
47
Teoremas integrales
Figura 1.33: Representación de Γ1 (iii) La representación representación de Γ3 se halla en la Figura 1.34.
Γ3 = (x,y,z) x,y,z) IR3 : x2 + y2 = (23a (23a z ), 0 ción de Γ3 en coordenadas cilíndricas es:
{
∈
x (θ, z ) = (23a (23a
−
≤ z ≤ 6a, 0 ≤ x ≤ √y3 }. Una parametriza-
− z)cos θ, (23a (23a − z )sen θ, z , (θ, z )
∈ × π 4π , 2 3
[0, [0, 6a].
Hallamos los campos involucrados en el cálculo del flujo, xθ = ( (23a (23a z )sen θ, (23a (23a xz = ( cos θ, sen θ, 1). 1).
− −
xθ
∧ xz =
(23a (23a
− −
− z)cos θ, 0), 0),
− z)cos θ, (23a (23a − z )sen θ, (23a (23a − z ) .
Entonces, el producto escalar restringido a la superficie es,
X, xθ ∧ xz = (23a (23a − z )z cos θ. Finalmente,
√
4π 3
6a
φ(X, Γ3 ) =
0
−171
π 2
32 + 2 a3 .
(23a (23a
−
z2 z )z cos θ d z d θ = 23a 23a 2
−
z3 3
6a 0
4π/3 π/3
sen θ
π/2 π/2
=
48
Problemas Resueltos
Figura 1.34: Representación de Γ3 (iv) Sea α = Γ 3 Γ1 . Según hemos visto la curva es un arco de circunferencia de radio 17a 17a en el plano z = 6a 6 a. Por tanto una parametrización de α es,
∩
α(θ) = (17a (17a cos θ, 17a 17a sen θ, 6a) , π/2 π/ 2
≤ θ ≤ 4π/3 π/3.
Por otro lado, α (θ ) = ( 17a 17a sen θ, 17a 17a cos θ, 0) ,
−
y el productoescalar restringido a la curva es,
X, α (θ) = −102 102a a2 sen θ. Luego,
4π/3 π/3
C (X, α) =
π/2 π/2
4π/3 π/3
2
−102 102a a
2
sen θ dθ = 102a 102a cos θ
π/2 π/ 2
=
−51a 51a2 .
(v) El rotacional del campo es rot(X ) = (0, (0, 1, 0). 0). Además, la normal a Γ4 es N = (1, (1, 0, 0). 0). Por tanto, aplicando el Teorema del Rotacional tenemos, C (X, ∂ Γ4 ) =
67.-
Sea a > 0.
X, T dl =
∂ Γ4
Γ4
dA = 0.0 .
rot(X ), N
49
Teoremas integrales
(i) Hallar una parametrización de la superficie reglada, Γ1 , generada por rectas paralelas al plano plano yz que se apoya apoyan n en las curvas curvas α1 (u) = (a cos u, a sen u + a, 0) y α2 (u) = (a cos u, a sen u, a) con u [0, [0, π ], v [0, [0, 1]. 1]. (ii) Hallar una parametrización de la superficie reglada, Γ2 , generada por rectas paralelas al plano yz que se apoyan en las curvas α2 y α3 (u) = (a cos u, (a sen u + a), 0) con u [0, [0, π ], v [0, [0, 1]. 1].
∈
∈
5
(iii) Sea Γ =
∈
−
∈
Γi , donde
i=1
Γ3 Γ4 Γ5
{ ∈ IR3 : −a ≤ x ≤ a, −a − √a2 − x2 ≤ y ≤ a + √a2 − x2, z = 0 }, = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = −a, 0 ≤ z ≤ a, z − a ≤ y ≤ a − z }, = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = a, 0 ≤ z ≤ a, z − a ≤ y ≤ a − z }. = (x,y,z) x,y,z)
Sea X el campo vectorial de IR3 X =
−y ∂x∂ + x ∂z∂ .
(a) Calcular el flujo de X a través de Γ. (b) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (c) Calcular el flujo de X a través de Γ5 . (d) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1
∩ Γ2.
Solución:
(i) A partir de las curvas curvas dadas debemos hallar el vector director director de las rectas que generan la superficie reglada, (0, a, a). w1 (u) = α2 (u) α1 (u) = (0,
−
−
Observemos que como en w1 la componente x es nula, estos vectores son paralelos al plano yz. yz . Por tanto, una parametrización de la superficie reglada será:
x(u, v ) = α2 (u) + vw 1 (u) = a cos u, a(sen u (ii) Procedemos Procedemos como en el apartado apartado anterior. anterior. w2 (u) = α2 (u)
− v), a(1 + v) .
− α3(u) = (0, (0, a(2sen u + 1), 1), a).
Por tanto,
y (u, v ) = α2 (u) + vw2 (u) = a cos u, a sen u + av(2sen av(2sen u + 1), 1), a(1 + v) . (iii)
(a) Como div(X ) = 0 y Γ encierra un volumen Ω, ver Figura 1.35, podemos aplicar el Teorema de la Divergencia, φ(X, Γ) =
X, N dA =
Γ
Ω
div(X ) =
0.
50
Problemas Resueltos
Figura 1.35: Representación de Γ (b) Γ1 es la superficie reglada calculada en (i),ver Figura 1.36, por tanto una parametrización de esta superficie y los campos involucrados en el cálculo del flujo son, x(u, v ) = (a cos u, a(sen u
− v), a(1 + v)), )), (u, v ) ∈ [0, [0, π ] × [0, [0, 1]. 1].
xu = ( a sen u, a cos u, 0) y xv = (0, (0 , a, a). xu
−
−
∧ xv = a2(cos u, sen u, sen u).
Luego, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xu ∧ xv = a3v cos u.
Finalmente, φ(X, Γ1 ) =
Γ1
1
π
X, N dA =
0
3
3v
a v cos ududv = a
0
2
2
(c) La representa representación ción de Γ5 se halla en la Figura 1.37.
1
π
sen u
0
Parametrizamos la superficie en coordenadas cartesianas: x(x, y ) = (a,y,z) a,y,z ), (y, z )
∈ [z − a, a − z] × [0, [0, a].
En este caso la base del tangente y la normal son, xy = (0, (0 , 1, 0), 0), xz = (0, (0 , 0, 1) y N = (1, (1 , 0, 0) Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, N = −y.
0
= 0. 0.
51
Teoremas integrales
Figura 1.36: Representación de Γ1 De donde, φ(X, Γ5 ) =
Γ5
− a
X, N dA =
0
a z
−
y d y d z = 0, ya que es la integral de una función
z a
−
impar en un intervalo simétrico.
(d) Debemos Debemos observar observar que Γ1 Γ2 es la curva α2 (u) = (a cos u, a sen u, a). Por tanto, α2 (u) = ( a sen u, a cos u, 0) y X, α2 = a2 sen2 u. De donde,
−
C (X, α2 ) =
α2
68.-
∩
2
X, T dl = a
π
2
2
sen u du = a
0
Sean las curvas planas x = f 1 (z ) =
− u 2
sen2u sen2u 4
π 0
π = a2 . 2
√1 + z2, z ∈ [0, √ √3]. [0, 1] y x = f (z ) = 3 − z 2 , z ∈ [1, [1, 3]. 2
(i) Obtener las parametrizaciones parametrizaciones de las superficies de revolución revolución S 1 y S 2 que se obtienen al girar respecto del eje OZ las curvas x = f 1 (z ) y x = f 2 (z ) respectivamente. (ii) Considéres Considéresee el campo vectorial vectorial de IR3 X =
∂ −x ∂x∂ − y ∂y∂ + (2z (2z − 1) . ∂z
(a) Calcular el flujo de X a través de S = S 1 (b) Calcular el flujo de X a través de S 2 .
∪ S 2.
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z = 1 }. (d) Calcular la circulación de X a lo largo de S ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = 0 }. (c) Calcular la circulación de X a lo largo de S
52
Problemas Resueltos
Figura 1.37: Representación de Γ5 Solución:
(i) Como se trata trata de superficies superficies de revolución revolución las podemos parametrizar parametrizar de la siguiente siguiente manera,
√ √1 + z2 sen θ, z), (θ, z ) ∈ [0, [0, 2π ] × [0, [0, 1]. 1]. √ √ √ S : x(θ, z ) = ( 3 − z 2 cos θ, 3 − z 2 sen θ, z ), (θ, z ) ∈ [0, [0, 2π ] × [1, [1, 3]. 3]. S 1 : x(θ, z ) = ( 1 + z 2 cos θ, 2
(ii) (a) La superficie S no es frontera de nigún abierto de IR3 por lo que para aplicar el Teorema de la Divergencia, será necesario utilizar un disco para formar una superficie que encierre un volumen. Ver Figura 1.38. Entonces, φ(X, S ) =
div (X )dV
V
{
donde, D = (x,y,z) x,y,z)
−
∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 1, z = 0 } y la normal N = − ∂z∂ .
Luego,
X, N = −2z + 1 = 1.1.
Por tanto y dado que
X, N dA,
D
divX = 0
el flujo es, φ(X, S ) =
− D
dA =
−π.
53
Teoremas integrales
Figura 1.38: Representación de S (b) En este caso también es necesario necesario emplear emplear una superficie superficie auxiliar auxiliar para calcular calcular el flujo a través de S 2 . Ver figura 1.39. φ(X, S 2 ) =
div(X )dV
V
donde, D2 = (x,y,z) x,y,z)
{
−
X, N dA,
D2
∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 2, z = 1 } y la normal N = − ∂z∂ .
Luego,
X, N = −2z + 1 = −1.
Finalmente,
φ(X, S 2 ) =
−
−2π.
dA =
D2
(c) Para calcular la circulación sobre la circumferencia circumferencia podemos po demos aplicar el Teorema Teorema de StokesAmpere. C (X,∂B) X,∂B ) =
X, T dl =
∂B
El rotacional es,
rot(x)
rot(x), N
B
= (0, (0, 0, 0). 0).
Por tanto, C (X,∂B) X,∂B ) =
B
dA = 0.0 .
rot(x), N
dA.
54
Problemas Resueltos
Figura 1.39: Representación de S 2 (d) La representa representación ción de γ se halla en la Figura 1.40. Como rot(x) = (0, (0, 0, 0) y IR3 es un abierto en forma de estrella, el campo es gradiente 2 y2 2 X = f , donde f = x2 z . Por tanto, 2 +z
C (X, γ ) =
− −
f, T dl = f ( f (γ (b))
γ
69.-
Sean, R
1 1 − f ( f (γ (a)) = f (0 f (0,, 1, 0) − f (0 f (0,, −1, 0) = − + = 0. 0. 2 2
∈ IR+, Γ1 Γ2 Γ3
Γ=
−
{
= (x,y,z) x,y,z) = (x,y,z) x,y,z)
{
= (x,y,z) x,y,z)
{
3
∈ IR ∈ ∈
2
2
2
2
: x +y +z = R , z
R2 IR : x2 + y 2 6 z2 IR3 : = x2 + y 2 , 3 3
≤
≤ √
−y ∂x∂ + x ∂y∂ + ∂z∂ .
(i) Calcular el flujo de X a través de Γ. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ3 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂ (Γ (Γ2 ).
2
}
R
√
R2 2 , z= R 2 2 2 2 R z R , 4 2
∪3i=1Γi y X el campo vectorial de IR3 X =
≥
√2
≤ ≤
√
}
}
55
Teoremas integrales
Figura 1.40: Representación de γ Solución:
(i) La superficie Γ no encierra ningún volumen, pero como div(X ) = 0, para hallar el flujo a través de toda la superficie puede ser conveniente cerrar la superficie y luego aplicar el Teorema de la Divergencia. Ver Figura 1.41. φ(X, Γ) =
X, N dA =
Γ
div (X )dV
Ω
√
−
X, N dA =
T 1
−
dA,
T 1
R2 2 donde T 1 = (x,y,z) x,y,z) IR : x + y ,z = R y Ω es tal que ∂ Ω = Γ T 1 . 24 4 Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T 1 debe ser la exterior al conjunto Ω, por tanto N 1 = (0, (0 , 0, 1), 1), ya que en esta superficie z es constante.
{
∈
3
2
−1, de donde
Luego X, N 1 =
φ(X, Γ) =
2
≤
}
∪
−
− T 1
X, N dA =
dA = π
T 1
R2 . 24
(ii) Primer Primer método La superficie Γ1 es un trozo de esfera por lo que consideramos una parametrización de Γ1 en coordenadas esféricas, x 1 (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ), (θ, ϕ)
∈ [0, [0, 2π] × [0, [0, π/4] π/ 4]..
56
Problemas Resueltos
Figura 1.41: Representación de Γ
El límite superior de ϕ lo obtenemos al imponer z = R cos ϕ =
√2 2
R=
⇒
cos ϕ =
√2
√2 2
2 =
R en la parametrización,
⇒
ϕ = π/4 π/4
En este caso los campos involucrados en el cálculo del flujo son, xθ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0), 0),
−
xϕ = (R ( R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ), xθ
−
∧ xϕ = ( −R2 sen2 ϕ cos θ, −R2 sen2 ϕ sen θ, −R2 sen ϕ cos ϕ).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xθ ∧ xϕ = −R2 sen ϕ cos ϕ.
Finalmente, φ(X, Γ1 ) =
2π
X, N dA =
Γ1
Segundo método
0
π/4 π/4
0
−R
2
sen ϕ cos ϕdθdϕ = 2πR 2 πR
2 2 cos ϕ
2
π/4 π/4
=
0
− πR2
2
.
Podemos proceder como en el primer apartado y añadir a la superficie Γ1 otra superficie para encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T 2 = (x,y,z) x,y,z) IR2 : x2 + R2 2 y2 ,z = R y Ω1 tal que ∂ Ω1 = Γ 1 T 2 . Entonces, 2 2
≤
φ(X, Γ1 ) =
√
Ω1
{
}
∪ X, N dA = − X, N dA. div(X )dV −
T 2
T 2
∈
57
Teoremas integrales
Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T 2 debe ser la exterior al conjunto Ω, por tanto N 1 = (0, (0, 0, 1), 1), ya que en esta superficie z es constante. Luego X, N 1 = 1, de donde
−
−
φ(X, Γ1 ) =
−
X, N dA =
T 2
dA = π
T 2
R2 . 2
Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido al cambio de orientación en la normal. (iii) (iii) Primer Primer método
√ ∈ √ ×
1 = π/6 π/ 6 por lo que consi3 deramos una parametrización de Γ3 en coordenadas esféricas tomando ϕ = π/6 π/ 6,
La superficie Γ3 es un trozo de cono de ángulo arctan
x 3 (ρ, θ) =
√
ρ ρ 3ρ cos θ, sen θ, 2 2 2
6 , 6
, (ρ, θ)
2 3
[0, [0, 2π ].
Los límites de ρ los obtenemos al imponer los valores límites de z para la superficie, 1 R2 x + y = ρ2 = = 4 24 2
2
⇒
√6
ρ=
6
R,
1 R2 2 x + y = ρ2 = = ρ= R. 4 6 3 En este caso los campos involucrados en el cálculo del flujo son, 2
2
⇒
√
1 1 3 xρ = ( cos θ, sen θ, ), 2 2 2 ρ ρ xθ = ( sen θ, cos θ, 0), 0), 2 2
−
xρ
∧ xθ =
− √
3ρ cos θ, 4
−
√3ρ
ρ sen θ, . 4 4
Luego, la restricción del producto escalar a la superficie es, ρ X, x ρ x θ = . 4 Finalmente,
∧
φ(X, Γ3 ) =
√ 2 3
X, N dA =
Γ3
√
6 6
R
2π
R
0
ρ π dρdθ = ρ2 4 4
Segundo método
√
2 3
√
6 6
R
= R
πR 2 . 8
Podemos proceder como en los apartados anteriores y añadir a la superficie Γ3 otra superficie o superficies para encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T 3 = R2 2R R2 2R (x,y,z) x,y,z) IR2 : x2 +y 2 ,z = , T 4 = (x,y,z) x,y,z ) IR2 : x2 +y2 ,z = 24 4 6 2 y Ω3 tal que ∂ Ω3 = Γ 3 T 3 T 4 . Entonces,
{
∈
≤ ∪ ∪
√
}
{
∈
≤
√
}
58
Problemas Resueltos
φ(X, Γ3 ) =
div(X )dV
Ω3
−
−
X, N dA
T 3
X, N dA =
T 4
−
−
X, N dA
T 3
X, N dA.
T 4
Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia las normales a T 3 y T 4 deben ser las exteriores al conjunto Ω3 , por tanto N 3 = (0, (0, 0, 1) y N 4 = (0, (0, 0, 1), 1), ya que en estas superficies z es constante. Luego X, N 3 = 1 y X, N 4 = 1, 1 , de donde φ(X, Γ3 ) =
−
X, N dA
T 3
−
−
−
X, N dA =
T 4
− dA
T 3
dA = π
T 4
R2 24
−
R2 6
2
=
−π R8
Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido al cambio de orientación en la normal. (iv) La frontera frontera de Γ2 es la unión de dos curvas, concretamente las circunferencias, α1 (θ ) = y α2 (θ ) =
√ √
√
√2R
2 2 R cos θ, R sen θ, 2 2
2
√
√2R
6 6 R cos θ, R sen θ, 6 6
2
,θ
∈ [0, [0, 2π]
,θ
∈ [0, [0, 2π].
Podemos hallar las tangentes a las curvas y calcular las circulaciones directamente o bien podemos intentar aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.
−
C (X, ∂ Γ2 ) =
X, T dl =
∂ Γ2
donde N = (0, (0 , 0, 1) y
rot(X )
= (0, (0, 0, 2). 2). Por tanto,
C (X, ∂ Γ2 ) =
2dA = 2π 2π
Γ2
70.-
Ω p =
rot(X ), N
dA,
Γ2
1 2 R 2
=2 y
rot(X ), N
1 2 R 6
=
2 2 πR . 3
Sean los subconjunt subconjuntos os de IR3 dados por
3
i=1
Ω1
= (x,y,z) x,y,z)
∈
Ω2
= (x,y,z) x,y,z)
∈
Ω3
= (x,y,z) x,y,z)
∈
{ { {
Ωi , Γi = ∂ Ω p
y2 + z 2 IR : x + < 1, y > 0, z < 0 , 4 z2 IR3 : x2 + < 1, y ( 8, 0), 0), z < 0 , 4 z 2 (y + 8)2 IR3 : x2 + + < 1, z < 0, y 4 16 3
2
}
∈−
}
∈ (−10, 10, −8)},
∩ ∂ Ωi, i = 1,1 , 2, 3 y X c el campo vectorial de IR3 X c =
∂ ∂ ∂ −(3x (3x + y ) + (x (x + 2y 2y ) + (z (z + 2) . ∂x ∂y ∂z
59
Teoremas integrales
3
(i) Calcular el flujo de X c a través de Γ p =
Γi .
i=1
(ii) Calcular el flujo de X c a través de Γc = Γ p (x,y,z) x,y,z ) IR3 , z = 0 . (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X c a través de Γa = Γ 2 (x,y,z) x,y,z) IR3 , z < 0 . (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X c a lo largo de ∂ Γ p . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X c a lo largo de ∂ Γ2 (x,y,z) x,y,z ) IR3 , y = 5, x > 0, z < 0 .
∩{ ∩{
∈ ∈
∩{
} }
∈
−
}
Solución:
La representación de Ω p se encuentra en la Figura 1.42. En primer lugar calculamos la divergencia y el rotacional, div (X c ) =
0y
rot(X c )
= (0, (0, 0, 2). 2).
Figura 1.42: Representación de Ω p . (i) Como el flujo que debemos calcular es a través través de una superficie que es frontera del abierto 3 Ω p IR , podemos aplicar el Teorema de la Divergencia
⊂
φ(X c , Γ p ) =
< X c , N > dA dA =
Γp
div(X c )dV
= 0. 0.
Ωp
(ii) Hemos representa representado do la superficie superficie Γc en la Figura 1.43. La normal a esta superficie es N c = (0, (0 , 0, 1), 1), por tanto φ(X c , Γc ) =
Γc
< X c , N c > dA = 2
Γc
dA.
60
Problemas Resueltos
Figura 1.43: Representación de Γc Luego debemos calcular el área de la superficie. Para ello la dividimos es tres partes,
• Sea A1 el área de la superficie encerrada por la elipse y ∈ [−10, 10, −8]. 8]. Entonces,
x2 +
(y + 8)2 = 1, z = 0 con 16
− − − − √ −8
A1 =
1
dy
−10
−(
y+8 4
)2
−8
y +8 4
= sen t t = arcsen dy = 4 cos cos t dt y = 10 t = π6 y= 8 t =0
y +8 4
0
=
2
dy =
8cos2 t dt =
−π/6 π/ 6
0
4
y+8 4
dx = 2 1 2 10 − 1−( y+8 − ) 4
(1 + cos(2t cos(2t)) dt = 4 t +
−π/6 π/6
sen(2t sen(2t) 2
0
=
−π/6 π/6
2π + 3
3.
• Sea A2 el área de un rectángulo de lados 8 y 2. Entonces, A2 = 16. 16 . 2 • Sea A3 el área de la superficie encerrada por la elipse x2 + (y4) = 1,1 , z = 0 con y ∈ [0, [0, 2]. 2].
Entonces,
√ 2 1−x
1
A3 =
dx
−1
0
2
− 1
dy = 2
1
−1
x2 dx =
x = sen t t = arcsen x dx = cos t dt x= 1 t = π2 x =1 t = π2
−
−
=
61
Teoremas integrales
π/2 π/ 2
π/2 π/ 2
2
2cos t dt =
−π/2 π/2
(1 + cos(2t cos(2t)) dt =
−π/2 π/2
Finalmente,
φ(X c , Γc ) =
sen(2t sen(2t) t+ 2
π/2 π/2
= π.
−π/2 π/2
√
10π 10π + 32 + 2 3. 3
z2 (iii) Γa es una porción de cilindro elíptico, concretamente, x2 + = 1, 1 , z < 0, y [ 8, 0], 0], ver 4 Figura 1.44. Por tanto una parametrización de Γa en coordenadas cilíndricas es,
∈−
Figura 1.44: Representación de Γa . x(θ, y ) = (cos θ,y, 2sen θ), y
∈ [−8, 0], 0], θ ∈ [−π, 0]. 0].
En este caso los productos involucrados en el cálculo del flujo son, xθ = ( sen θ, 0, 2cos θ ),
−
xy = (0, (0 , 1, 0). 0). xθ
∧ xy = ( −2cos θ, 0, − sen θ)
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X c, xxθ ∧ xy = 6 cos cos2 θ − 2sen2 θ + 2y 2y cos θ − 2sen θ.
Finalmente, φ(X, Γa ) =
0
−π
Γa
(6y (6y cos2 θ
0
X, N a dS =
0
−π − 8
(6cos2 θ
− 2sen2 θ + 2y 2y cos θ − 2sen θ ) dydθ =
− 2y sen2 θ + y2 cos θ − 2y sen θ) −0 8 dθ =
62
Problemas Resueltos
0
(48 cos2 θ
−π
− 16sen2 θ − 64cos θ − 16sen θ) dθ =
sen(2θ sen(2θ) 24 θ + 2
− − − sen(2θ sen(2θ ) 2
8 θ
64sen θ + 16cos θ
(iv) ∂ Γ p es la curva representada en la Figura 1.45.
0
= 16π 16 π + 32. 32.
−π
Figura 1.45: Representación de ∂ Γ p Podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere para calcular la circulación,
C (∂ Γ p, X c) =
X c , T dl =
∂ Γp
rot( rot(X c ), N c dS + dS +
Γc
z2 4 rot( rot(X c ) = (0, (0, 0, 2) tenemos que,
donde T es la superficie x2 +
rot( rot(X c ), N t dS,
T
≤ 34 , y = −10, 10, z ≤ 0. Por tanto, N t = (0, (0, −1, 0). 0). Como
rot( rot(X c ), N c = 2 y rot( rot(X c ), N t = 0. 0. Luego,
C (∂ Γ p, X c) = 2 (v) Sea α = ∂ Γ2
Γc
dA =
√
10π 10π + 32 + 2 3. 3
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 , y = −5, x > 0, z < 0}, ver Figura 1.46.
Una parametrización de α es,
−
α(θ) = (cos θ, 5, 2sen θ ), θ
∈ (− π2 , 0). 0).
El vector tangente a α es, α (θ ) = ( sen θ, 0, 2cos θ) y X c , α = 7cos θ sen θ + 4 cos cos θ
−
− 5sen θ.
63
Teoremas integrales
α
Figura 1.46: Representación de α Por tanto,
C (α, X c) =
71.-
α
0
X c , T dl =
(7cos θ sen θ + 4 cos cos θ
−π/2 π/2
− 5sen θ) dθ =
0
7 11 sen2 θ + 4 sen sen θ + 5 cos cos θ) = . 2 2 −π/2 π/2
Consideremos las curvas parametrizadas en IR3 dadas por α1 (t) = (1, (1, t
− 1, 0), 0),
− − t, 10), 10), w2 (t) = (t − 2, −t, 10), 10), w3 (t) = (t, t − 2, 10), 10), w4 (t) = (2 − t,t, 10), 10), w1 (t) = ( t, 2
− t, 1, 0), 0), α3 (t) = (−1, 1 − t, 0), 0), α4 (t) = (t − 1, −1, 0), 0), donde t ∈ [0, [0, 2]. 2]. Para cada i = 1, · · · , 4, sea Γi la superficie reglada con directriz αi generada por rectas con vector director wi y parámetro v ∈ [0, [0, 1]. 1]. Consideremos X el campo vectorial de 3 α2 (t) = (1
IR
X =
−y ∂x∂ + x ∂y∂ + z ∂z∂ .
(i) Calcular el flujo de X a través de Γ1 . (ii) Calcular el flujo de X a través de
4
i=1
Γi .
(iii) (iii) Calcular Calcular la circulació circulación n de X a lo largo de ∂ Γ1 .
64
Problemas Resueltos
∩ ∩ {
(iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γ1 (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de
Γ2 .
4
i=1
Solución:
Γi
z = 10 .
}
(i) La superficie Γ1 es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en la recta α1 generada por rectas con vector director w1 . Por tanto una parametrización será, x1 (t, v ) = (1
− vt,t − 1 + v(2 − t), 10v 10v), t ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1].
La representación de Γ1 se encuentra en la Figura 1.47.
Figura 1.47: Representación de Γ1 Por tanto, los campos involucrados en el cálculo del flujo son, xt1 = ( v, 1
− − v, 0), 0), x1v = ( −t, 2 − t, 10), 10), xt1 ∧ x1v = (10(1 − v), 10v, 10v, −2v + t).
Entonces Entonces,, la restricción restricción del producto escalar a la superficie es,
65
Teoremas integrales
X, xt1 ∧ x1v = −10(1 − v)(t )(t − 1 + v(2 − t)) + 10v 10v(1 − vt) vt ) + 10v 10 v(t − 2v ) = 10v 10v (t − 1 + 2v 2v − vt + 1 − vt + t − 2v) + 10(1 − t − 2v + vt) vt) = 10(1 − t − 2v + 3vt 3vt − 2v2 t).
Finalmente,
1
φ(X, Γ1 ) = 10
0
− − − 1
10
t
0
10 v2
t2 2
4 3 v 3
2
0
(1
− t − 2v + 3vt 3vt − 2v2 t) dtdv =
3 2vt + vt 2 2
1 0
=
2
2 2
−v t
− 103 .
− 1
dv = 10
2v
4v2 dv =
0
0
(ii) Primer Primer método
Podemos calcular el flujo a través de
4
i=1
Γi como suma de los flujos de cada una de las
superficies, ya que en el apartado anterior hemos calculado el flujo a través de Γ1 . Para ello parametrizamos las tres restantes y efectuamos los calculos necesarios.
• x2(t, v) = (1 − t + v(t − 2), 2), 1 − vt, 10v 10v), t ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1]. xt2 = ( −1 + v, −v, 0), 0), x2v = (t ( t − 2, −t, 10), 10), xt2 ∧ x2v = ( −10v, 10v, −10(v 10(v − 1), 1), −2v + t). X, xt2 ∧ x2v = 10v 10 v(1 − vt) vt ) − 10(v 10(v − 1)(1 − t + vt − 2v) + 10v 10 v(t − 2v ) = 10v 10v (1 − vt − 1 + t − vt + 2v 2v + t − 2v) + 10(1 − t − 2v + vt) vt) = 10(1 − t − 2v + 3vt 3vt − 2v2 t). Luego, φ(X, Γ2 ) = φ(X, Γ1 ).
• x3(t, v ) = (−1 + tv, 1 − t + v(t − 2), 2), 10v 10v), t ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1]. xt3 = (v, ( v, −1 + v, 0), 0), x3v = (t, ( t, t − 2, 10), 10), xt3 ∧ x3v = (10(v (10(v − 1), 1), −10v, 10v, −2v + t). X, xt3 ∧ x3v = −10(v 10(v − 1)(1 − t + vt − 2v) − 10v 10v (vt − 1) + 10v 10v (t − 2v) = 10(1 − t − 2v + 3vt 3vt − 2v2 t). Luego, φ(X, Γ3 ) = φ(X, Γ1 ).
• x4(t, v ) = (t − 1 + v(2 − t), −1 + vt, 10v 10v), t ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1]. xt4 = (1 − v,v, 0), 0), x4v = (2 − t,t, 10), 10), xt4 ∧ x4v = (10v, (10v, −10(1 − v), −2v + t). X, xt4 ∧ x4v = 10v 10 v(1 − vt) vt ) − 10(1 − v )(−1 + t − vt + 2v 2v) + 10v 10 v(t − 2v ) = 10(1 − t − 2v + 3vt 3vt − 2v2 t). Luego, φ(X, Γ4 ) = φ(X, Γ1 ).
66
Problemas Resueltos
Finalmente, 4
φ(X,
Γi ) = 4φ(X, Γ1 ) =
i=1
− 403 .
Segundo método Dado que
div(X )
= 1, podemos añadir a la superficie
4
i=1
Γi otras dos superficies para
encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T 1 = (x,y,z) x,y,z ) IR3 : 1 x 1, 1 y 1, z = 0 , T 2 = (x,y,z) x,y,z) IR3 : 1 x 1, 1 y 1, z = 10 y Ω tal
− ≤ ≤
4
que, ∂ Ω =
i=1
{
∈
− ≤ ≤ }
} { ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ 4 Γi ∪ T 1 ∪ T 2 . La representación de Γi se halla en la Figura 1.48.
i=1
Figura 1.48: Representación de Ω Entonces, φ(X,
4
i=1
Γi ) =
Ω
div(X )dV
− T 1
X, N 1 dA
−
X, N 2 dA.
T 2
Calculemos el volumen de Ω. Podemos proceder al cálculo mediante la fórmula fórmula del volumen
67
Teoremas integrales
por secciones,
10
vol(Ω)
=
A(z )dz,
0
donde A(z ) es el área de la sección z = cte en Ω. Comprobemo Comprobemoss que las secciones secciones z = z0 o equivalentemente v = v0 son cuadrados de lado, (z ) = 2 Las curvas intersección de
4
i=1
β i (t) = xi (t, v0 ), t
− z2 z + 100 10
1
2
.
Γi con v = v0 son segmentos de rectas parametrizadas por
∈ [0, [0, 2]. 2]. Además, β 1 (t) = (1 − v0 t, t − 1 + v0 (2 − t), 10v 10v0 ), β 2 (t) = (1 − t + v0 (t − 2), 2), 1 − v0 t, 10v 10v0 ), β 3 (t) = (−1 + v0 t, 1 − t + v0 (t − 2), 2), 10v 10v0 ), β 4 (t) = (t − 1 + v0 (2 − t), v0 t − 1, 10v 10v0 ),
β 1 (t) = ( v0 , 1
− v0, 0). 0). β 2 (t) = (v0 − 1, −v0 , 0). 0). β 3 (t) = (v0 , −1 + v0 , 0). 0). β 4 (t) = (1 − v0 , v0 , 0). 0). −
Observemos Observemos que β 1 es paralelo a β 3 , β 2 es paralelo a β 4 y que β 1 es ortogonal a β 2 . Para concluir, basta comprobar que las longitudes de los lados del paralelepípedo son iguales. Sus vértices son p1 = β 1 (0) = β 4 (2), (2), p2 = β 2 (0) = β 1 (2), (2), p3 = β 3 (0) = β 2 (2) y p4 = β 4 (0) = β 3 (2) y por tanto, 1 = d(β 1 (0), (0), β 1 (2)) = Luego, A(z ) = 8
4v02 + 4(v 4(v0
− 1)2 = 2 = d(β 2(0), (0), β 2 (2)). (2)).
− − z2 100
z 1 + 10 2
y por tanto,
10
10
z2 z 1 z3 z2 z 80 + dz = 8 + = . div(X )dV = 8 100 10 2 300 20 2 3 Ω 0 0 Finalmente, las normales a T 1 y a T 2 deben ser las exteriores al conjunto Ω, por tanto N 1 = (0, (0 , 0, 1) y N 2 = (0, (0 , 0, 1), 1), ya que en estas superficies z es constante. Luego X, N 1 = z = 0 y X, N 2 = z = 10. 10 . Teniendo en cuenta que T 2 es un cuadrado de área 4 resulta que,
−
−
−
4
φ(X,
i=1
Γi ) =
80 3
− 40 = − 403 .
(iii) (iii) Para Para calcular la circulación circulación a lo largo de ∂ Γ1 aplicamos el Teorema de Stokes-Ampère o Teorema del rotacional, ya que tenemos casi todos los calculos hechos. rot(X )
Por tanto,
1
C (X, ∂ Γ1)
−
4 v
= 2
1
v
2
0
0
= 0. 0.
= (0, (0, 0, 2), 2),
rot(X ), x1t ∧ x1v = 2( −2v + t).
2
0
− 1
−
2( 2v + t)dvdu = 2
0
t2 2
2
2vt
0
1
dv = 4
0
(1
− 2v)dv
=
68
Problemas Resueltos
∩
(iv) La curva γ = Γ1 Γ2 no es frontera de ninguna superficie, por tanto para calcular la circulación parametrizamos la curva. Para ello debemos recordar las parametrizaciones de las dos superficies y tener en cuenta que el parámetro t es distinto en cada una de ellas: x1 (t1 , v ) = (1
− vt1, t1 − 1 + v(2 − t1 − 1), 1), 10v 10v), t1 ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1]. x 2 (t2 , v ) = (1 − t2 + v(t2 − 2), 2), 1 − vt 2 , 10v 10v), t2 ∈ [0, [0, 2], 2], v ∈ [0, [0, 1]. 1].
Luego la curva intersección que se obtiene es,
− vt1 = 1 − t2 + v(t2 − 2) =⇒ v(t2 − 2 + t1) = t2 t1 − 1 + v(2 − t1 ) = 1 − vt2 v (2 − t1 + t2 ) = 2 − t1 t2 2 − t1 =⇒ v = = =⇒ t22 + (t (t1 − 2)2 = 0 =⇒ t2 = 0, 0 , t1 = 2. 2. t2 + t1 − 2 2 − t1 + t2 Por tanto, γ (v) = x 1 (2, (2, v ) = x2 (0, (0, v ) = (1 − 2v, 1, 10v 10v). 1
El vector tangente es,
γ (v ) = ( 2, 0, 10) y X, γ (v) = 2 + 100v. 100 v.
−
Luego,
∩{ }
1
1
C (X, γ ) = (v) Sea γ 2 =
X, T dl = 2
4
i=1
(1 + 50v 50v )dv = 2 v + 25v 25v
0
γ
Γi
2
= 52. 52 .
0
z = 10 = ∂T 2 , donde T 2 es la superficie definida en (ii). Entonces,
γ 2 es la frontera de un cuadrado de lado 2 en el plano z = 10, 10 , por lo que podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampère. En este caso la normal al cuadrado es N = (0, (0, 0, 1) y 2 . Luego, rot(X ), N = 2.
C (X, γ 2) = 72.-
X, T dl =
γ2
rot(X ), N
T 2
dS = 8.8 .
Sean a > r > 0, Γ1 =
Γ2 = Γ3 = 3
y Γ=
{(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = (a ( a + r cos u)cos v, y = (a ( a + r cos u)sen v, z = r sen u, u ∈ [0, [0, π ], v ∈ [0, [0, 2π ]} 3 {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR : x2 + y2 + z 2 = (a ( a + r)2 , z ≤ 0} {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z 2 = (a ( a − r)2 , z ≤ 0}
Γi . Consideremos X el campo vectorial de IR3
i=1
X = x
∂ ∂ +z ∂x ∂y
− y ∂z∂ .
69
Teoremas integrales
(i) Calcular el flujo de X a través de Γ. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ2 . (iii) (iii) Calcular Calcular la circulació circulación n de X a lo largo de Γ
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = 0 }.
(iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γ
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : z = 0 }.
Solución:
En primer lugar hallamos las superficies involucradas y el conjunto Γ. La superficie Γ1 es la mitad superior de un toro ya que u [0, [0, π ] y por tanto z = r sen u 0. Por otro lado las superficies Γ2 y Γ3 son dos medias esferas con z 0 de radios a + r y a r. Ver Figura 1.49.
∈
≥ −
≤
Figura 1.49: Representación de Γ
(i) Como la superficie superficie Γ encierra un volumen y la divergencia para calcular el flujo pedido, φ(X, Γ) =
Ω
div(X )dV
div (X )
= 1, podemos aplicar el Teorema de
= vol(Ω), (Ω),
donde Ω es el abierto de IR3 tal que ∂ Ω = Γ. El volumen de Ω es el volumen de medio toro más el volumen de media esfera de radio a + r menos el volumen de media esfera de radio a r. Por tanto, lo único que debemos calcular es el volumen del toro. Para ello consideramos las coordenadas dadas en el enunciado pero haciendo variar r para obtener
−
70
Problemas Resueltos
un volumen y calculamos el jacobiano del cambio. x (ρ,u,v) ρ,u,v ) = ((a ((a + ρ cos u) cos v, (a + ρ cos u) sen v, ρ sen u) , ρ x ρ = (cos u cos v, cos u sen v, sen u) ,
∈ [0, [0, r], u ∈ [0, [0, π ], v ∈ [0, [0, 2π ],
x u = ( ρ sen u cos v, ρ sen u sen v, ρ cos u) ,
− − x v = ( −(a + ρ cos u) sen v, (a + ρ cos u) cos v, 0) ,
g11 = 1, 1 , g22 = ρ2 , g33 = (a ( a + ρ cos u)2 , g12 = g13 = g23 = 0, 0,
√g = ρ (a + ρ cos u). Por tanto,
r
vol(T /2) =
0
π
0 3
2π
π
π
ρ (a + ρ cos u) dρdudv = 2π 2π
0
r2 r 2π a+ cos u du = 2π 2π 2 3 0 Finalmente,
0
π
r2 r3 au + sen u 2 3
= π 2 r2 a.
r
du =
0
0
2 φ(X, Γ) = π 2 r2 a + π (a + r)3 3 (ii) Primera Primera forma
ρ2 ρ3 a+ cos u 2 3
− (a − r)3
.
Podemos calcular el flujo a través de Γ2 parametrizando la superficie. Como es una esfera trabajamos en esféricas. Sea R = a + r, x (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ), θ
∈ [0, [0, 2π], ϕ ∈ [π/2 π/2, π ].
Por tanto, los campos involucrados en el cálculo del flujo son, xθ = ( R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0), 0),
−
xϕ = (R ( R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, R sen ϕ), xθ
−
∧ xϕ = (R ( R2 sen2 ϕ cos θ, R2 sen2 ϕ sen θ, R2 sen ϕ cos ϕ).
Luego, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xθ ∧ xϕ = R3 sen3 ϕ cos2 θ + R3 sen2 ϕ cos ϕ sen2θ sen2θ − R3 sen2 ϕ cos ϕ sen θ = R3 sen3 ϕ cos2 θ.
Finalmente, 3
φ(X, Γ2 ) = R
π/2 π/2
2π
0
1
2π
π
Segunda forma
2
− −
sen ϕ cos θdθdϕ = R
0
− cos(2θ cos(2θ) R3 dθ = 2
3
2
−
π
3
sen ϕ(1
cos2 ϕ)dϕ
π/2 π/2
cos ϕ +
π
1 cos3 ϕ 3
θ
π/2 π/2
sen(2θ sen(2θ ) 2
2π 0
=
2 π (a + r )3 . 3
Dado que div(X ) = 1, podemos añadir a la superficie Γ2 otra superficie para encerrar encerrar un 3 2 2 volumen, por ejemplo podemos considerar T 1 = (x,y,z) x,y,z ) IR : z = 0, 0, x +y (a + r )2 y Ω1 tal que ∂ Ω1 = Γ 2 . Ver Figura 1.50.
{
∈
≤
}
71
Teoremas integrales
Figura 1.50: Representación de Γ2 Entonces, φ(X, Γ2 ) =
div( div(X )dV
Ω1
−
∪ T 1
X, N 1 dS.
T 1
2 π (a + r)3 y por otro, T 1 es un disco que podemos parametrizar 3 en coordenadas polares. Además, N 1 = (0, (0 , 0, 1), 1), X, N 1 = y y g = ρ. Por tanto,
Por un lado
φ(X, Γ2 ) =
vol(Ω1 )
=
− − div(X )
Ω1
2 π (a + r)3 + 3
0
X, N 1 =
T 1
2π
a+r
0
− √
−
2 ρ sen θdθdρ = π(a+ r)3 + 3 2
(iii) La representación de la curva curva α = Γ
a+r
2π
ρ2 cos θ dρ
0
0
=
2 π (a + r )3 . 3
∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = 0 } se halla en la Figura 1.51.
Podemos ver a la curva como la frontera de una superficie, Γ4 , formada por dos medios círculos y medio anillo circular cuya normal es N 4 = (1, (1, 0, 0). 0). Por tanto, para calcular la circulación a lo largo de α podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampère o del rotacional. En este caso, rot(X ) = ( 2, 0, 0), 0), rot(X ), N 4 = 2.
−
Por tanto,
C (X, α) = −2π
2
r +
X, T dl =
α
(a + r )2
rot(X ), N 4
Γ4
− (a − r)2 2
=
−
dS = −2 area(Γ area(Γ4 ) =
−2rπ( rπ (r + 2a 2a).
(iv) La curva curva γ = Γ (x,y,z) x,y,z) IR3 : z = 0 es la unión de dos circunferencias concéntricas de radios a + r y a r, por tanto podemos verla como la frontera de un anillo circular,
∩{
−
∈
}
72
Problemas Resueltos
Figura 1.51: Representación de α Γ5 , y aplicar el Teorema de Stokes-Ampère. En este caso, rot(X ) =
Por tanto,
C (X, γ ) = 73.-
X, T dl =
γ
rot(X ), N 5
Γ5
rot(X ), N 5 = 0.0 .
dS = 0.0 .
Sean los subconjunt subconjuntos os de IR3 dados por Ω1 Ω2 Ω3 3
Ω=
−
( 2, 0, 0), 0), N 5 = (0, (0 , 0, 1), 1),
i=1
{ ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3, 25 ≤ y ≤ 37, 37, y − 25 ≤ z ≤ 12} √ = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3, −25 ≤ y ≤ 25, 25, −25 + (25 2)2 − y2 ≤ z ≤ 12} = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3, −37 ≤ y ≤ −25, 25, −y − 25 ≤ z ≤ 12}, = (x,y,z) x,y,z)
Ωi y X el campo vectorial de IR3 X = y
∂ ∂ +z . ∂y ∂z
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω.
√ ∩ {(x,y,z) x,y,z ) ∈ IR3 (z + 25)2 + y2 = (25 2)2 }. (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γ p = ∂ Ω ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 z = y − 25}. (iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γc ∩ {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = 3 }. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γc = ∂ Ω
73
Teoremas integrales
Figura 1.52: Representación de Ω (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de ∂ Γc . Solución:
La representación de Ω se halla en la Figura 1.52.
(i) Como
div(X ) =
2, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dS =
∂ Ω
div(X ) =
2
Ω
dV . dV .
Ω
El volumen de Ω es dos veces el volumen de un prisma triangular de lados 12, 12 y 6 que denotaremos por VP, más el volumen de , donde está repersentado en la Figura 1.53. 1 V P = 12 12 6 = 432. 432. 2
A
•
· ·
3
25
12
A
− √ − √ − · − · 25
• V ( V (A) = dx dy dz = 6 37 √ 0 0 −3 −25+ (25√2) −y √ y = 25 2sen θ √ π/4 π/4 dy = 25 2cos θdθ = 6 · 37 · 25 6 (25 y = 25 → θ = arcsin √12 = π/4 π/4 0 y =0 → θ =0 π/4 π/4 1 + cos cos 2θ 6 · 37 · 25 − 6 · 252 · 2 dθ = 6 · 37 25 6 252 2
2
2
0
· · − 6 · 252
6 37 25
π 1 + 4 2
= 75(49
− 25π/ 25π/2) 2)
Por tanto,
·
·
V (Ω) V (Ω) = 2 432 + 2 75(49
− 25π/ 25π/2) 2) = 8214 − 1875 1875π, π,
(25 2)2
y2 dy =
2)2 cos2 θ dθ =
sen2θ sen2θ θ+ 2
π/4 π/4
dx =
0
74
Problemas Resueltos
Figura 1.53: Representación de
A
luego φ(X, ∂ Ω) Ω) = 2V 2V (Ω) (Ω) = 16428
− 3750 3750π π.
(ii) Γc es la parte cilíndrica de ∂ Ω, ver Figura 1.54. Primera forma Parametrizamos Γc mediante coordenadas cilíndricas descentradas ya que la circunferencia que define el cilindro tiene centro en (0, (0, 0, 25). 25).
− √ √ x(x, θ ) = (x, 25 2cos θ, −25 + 25 2sen θ), (x, θ) ∈ [−3, 3] × [π/4 π/ 4, 3π/4] π/4]..
El intervalo de variación de θ se halla mediante el intervalo de variación de la variable y :
√ −25 =⇒ 25√2cos θ = −25 =⇒ θ = arcos( arcos(− 2/2) = 3π/ 3π/44. De forma análoga y = 25 =⇒ θ = π/4 π/4. Los campos involucrados en el cálculo del flujo son, √ √ xx = (1, (1 , 0, 0), 0), xθ = (0, (0 , −25 2sen θ, 25 2cos θ), √ √ xx ∧ xθ = (0, (0 , −25 2cos θ, −25 2sen θ ). Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es, X, x ∧ x = −(25√2)2 + 252√2sen θ. y=
x
θ
Finalmnte,
3
φ(X, Γc ) = 6 252
·
−
−3
2θ
3π/4 π/4
π/4 π/ 4
− √2cos
−(25√2)2 + 252√2sen θdxdθ =
3π/4 π/4
θ
π/4 π/4
=
−6 · 252(π − 2) = 3750(2 − π).
75
Teoremas integrales
Figura 1.54: Representación de Γc y ∂ Γc Segunda forma Parametrizamos Γc mediante coordenadas cartesianas. z (x, y ) = (x,y, 25 +
−
√
(25 2)2
− y2), (x, y) ∈ [−3, 3] × [−25, 25, 25]. 25].
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son,
− √ − √ − ∧ √ ∧ √ − − √√ − − √ − · · −
z x = (1, (1 , 0, 0), 0), z y =
y
0, 1,
2)2
(25
zx
zy =
y
0,
(25
,
y2
,1 .
2)2
y2
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es, X, z x
zy =
(25 2)2
(25
2)2
25. 25.
y2
Finalmente,
3
25
(25 2)2
φ(X, Γc ) =
−3 −25
(25
2)2
25dxdy 25dxdy =
y2
25
6 252 2arcsin
y 25 2 −25
2
= 6 252 (π
2) =
−3750(2 − π).
76
Problemas Resueltos
Observar que el cambio de signo viene dado por el cambio de orientación en las normales. Tercera forma Calculamos el flujo a través de Γc mediante la consideración de un volumen que contenga a Γc como parte de su frontera. Por ejemplo V c puede ser el representado en la Figura 1.55
Figura 1.55: Representación de V c Entonces, φ(X, Γc ) =
V c
− 5
div(X )
X, N i .
Si
i=1
Para calcular los flujos sobre el resto de superficies que forman parte de la frontera de V c calculamos:
◦X, N 1 = 0,0 , X, N 2 = y| = 25, 25 , X, N 3 = 0, 0, ◦X, N 4 = z| = 12, 12 , X, N 5 = −y| = 25. 25 . S2
S4
S5
Por tanto,
φ(X, N 1 ) = φ(X, N 3 ) = 0, φ(X, N 2 ) = φ(X, N 5 ) = φ(X, N 4 ) =
S4
< X, X, N i >= 25
Si
< X, X, N 4 >= 12
S4
· ·
dA = 25 12 6 = 1800, 1800,
Si
· ·
dA = 12 6 50 = 3600. 3600.
77
Teoremas integrales
De donde, φ(X, Γc ) = 2(7350
− 1875 1875π π ) − 2 · 1800 − 3600 = 3750(2 − π).
(iii) La representación representación de Γ p se halla en la Figura 1.56.
Figura 1.56: Representación de Γ p Una parametrización de la superficie y los campos involucardos en el cálculo del flujo son, x(x, y ) = (x,y,y
− 25), 25), (x, y) ∈ [−3, 3] × [25, [25, 37]. 37].
xx = (1, (1 , 0, 0), 0), xy = (0, (0 , 1, 1), 1), xx
∧ xy = (0, (0 , −1, 1). 1).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xx ∧ xy = −y + z = −25
De donde,
− 3
φ(X, Γ p ) =
37
25 dxdy =
−3
25
−6 · 25 · 12 = −1800 1800..
(iv) Sea γ = Γc (x,y,z) x,y,z) IR3 : x = 3 . Debemos observar que rotX = 0 y como el campo está definido en un abierto con forma de estrella X = f , f , basta observar X para deducir 2 2 que f (x,y,z) x,y,z) = y /2 + z /2. Por tanto, para cualquier curva,
∩{
∈
}
C (X, γ ) = f ( f (γ (b))
− f ( f (γ (a)). )).
En nuestro caso γ (3π/ (3π/4) 4) = (3, (3, 25, 25, 0) y γ (π/4) π/ 4) = (3, (3, 25, 25, 0), 0), ver Figura 1.57. De donde,
−
C (X, γ ) = 0. Podemos calcular la circulación parametrizando la curva,
78
Problemas Resueltos
Figura 1.57: Representación de γ
√
√
γ (θ) = (3, (3, 25 2cos θ, 25 + 25 2sen θ ), θ
∈ [π/4 π/ 4, 3π/4] π/4].. Por tanto, √ √ √ γ (θ) = (0, (0, −25 2sen θ, 25 2cos θ) y γ , X = −252 2cos θ. De donde, 3π/4 π/4 C (X, γ ) = −252√2cos θ dθ = −252√2cos θ. −
π/4 π/4
(v) Como la curva curva α = ∂ Γc es cerrada, ver Figura 1.54 y el campo es gradiente C (X, α) = 0. Otra forma alternativa de calcular esta circulación es aplicando el Teorema de StokesAmpere. C (X, α) =
74.-
Sean, a, b
X, T dl =
∂ Γc
dS = 0.0 .
rotX, N
Γc
∈ IR+, a < b < 4a, Ω = {(x,y,z) x,y,z) ∈ IR3 : x = ρ cos θ, y = y, z = ρ sen θ, con ρ ∈ (a, b), y ∈ (z − 4a, 4a − z ), θ ∈ (−π/6 π/6, π + π/6) π/6)}
y X el campo vectorial de IR3 X = (2a (2 a
− z) ∂z∂ .
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω.
∩ {(ρ,y,θ) ρ,y,θ) ∈ IR3 : y = −ρ sen θ + 4a 4a}. (iii) (iii) Calcular Calcular el flujo de X a través de Γa = ∂ Ω ∩ {(ρ,y,θ) ρ,y,θ) ∈ IR3 : ρ = a}. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ p = ∂ Ω
79
Teoremas integrales
∩ Γ p.
(iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de Γa Solución:
La representación de Ω se halla en la Figura 1.58
Figura 1.58: Representación de Ω
(i) Como
div(X ) =
−1, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dS =
∂ Ω
div(X ) =
Ω
−
dV . dV .
Ω
El volumen de Ω se puede calcular dividiéndolo en tres partes, la parte central en la que y ( 3a, 3a), y dos veces el volumen de una de las partes externas: , ver Figura 1.59
∈− • V ( V (C )
− √ b
A
π +π/6 π/6
=
−π/6 π/6
a
b
•
A b 3a π ρ2 ρdydθdρ = 6a 6 a(π + ) = 4πa 4 πa((b2 − a2 ) 3 2
−3a
π+π/6 π/ 6
a
−π/6 π/ 6
a
4a ρ sen θ
−
V ( V ( ) =
π+π/6 π/6
Por tanto,
b
dρ =
ρ3 3 3
∂ Ω
b
a
ρ a
a
−π/6 π/6
4π ρ2 a 3 2
ρ(a
−π/6 π/6
a
ρ (aθ + ρ cos θ)
a
π+π/6 π/6
b
ρdydθdρ =
3a
b
− √
C
2π 2 = a(b 3
√
2 3 3 X, N dS = (b 3
2
4π 3
−a )−
− ρ sen θ) dθdρ =
3ρ dρ =
√3 3
(b3
− a3)
16π 2 − a3) − 16π a(b − a2 ) 3
(ii) Una parametrización parametrización de Γ p es, x (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ + 4a, 4a, ρ sen θ ), ρ
−
∈ (a, b), θ ∈ (−π/6 π/6, π + π/6) π/6),,
80
Problemas Resueltos
Figura 1.59: Representación de
A
dado que Γ p se obtiene al restringir la y en la superficie ∂ Ω, concretamente y = ρ sen θ + 4a 4a.
−
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son, xρ = (cos θ,
− sen θ, sen θ), xθ = ( −ρ sen θ, −ρ cos θ, ρ cos θ ), xρ ∧ x θ = (0, (0 , −ρ, ρ).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, xρ ∧ xθ = ρ(2a (2a − ρ sen θ).
Luego, el flujo es,
− − √ b
π+π/6 π/ 6
φ(X, Γ p ) =
ρ(2a (2a
a
b
ρ
a
8π a 3
ρ sen θ ) dθdρ =
dρ =
4π 2 aρ 3
−
3
(iii) Una parametrización parametrización de Γa es, y (y, θ) = (a cos θ,y,a sen θ), θ
ρ (2aθ (2aθ + ρ cos θ )
a
√3
b
3
ρ
=
a
4π 2 a(b 3
− a2) −
3 3 (b 3
− a3).
∈ (−π/6 π/6, π + π/6) π/ 6),, y ∈ (a sen θ − 4a, 4a − a sen θ).
y y = (0, (0 , 1, 0), 0), y θ = ( a sen θ, 0, a cos θ ),
−
∧ y θ = (a ( a cos θ, 0, a sen θ ).
dρ =
−π/6 π/ 6
Los campos involucrados en el cálculo del flujo son, yy
√
π +π/6 π/6
b
−π/6 π/ 6
3ρ
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
81
Teoremas integrales
X, y y ∧ y θ = a2(2sen θ − sen2 θ).
Finalmente,
π+π/6 π/6
φ(X, Γa ) =
−π/6 π/6
π +π/6 π/6
2(4a 2(4a
−π/6 π/6 π +π/6 π/6
2a
2
2a
8a cos θ
8 3a
a2 (2sen θ
−
− sen2 θ) dydθ =
− a sen θ)a2(2sen θ − sen2 θ)dθ =
2a2 (8a (8a sen θ
− √
−
a sen θ 4a
−π/6 π/6 2
4a a sen θ
− 3a
− 6a sen2 θ + a sen3 θ)dθ =
− − sen2θ sen2θ 2
θ
√3
6a( 23π
√3
cos3 θ a cos θ + a 3
√3
3
π+π/6 π/6
=
−π/6 π/6
√
27 3 4
− − 4 ) + 2 a − 4 a = 2a 2a − 4π . (iv) Sea γ = Γa ∩ Γ p . Debemos observar que rot X = 0 y como el campo está definido en un abierto con forma de estrella X = f , f , basta observar X para deducir que f ( f (x,y,z) x,y,z) = 2 2az − z /2. Por tanto, para cualquier curva desde t0 hasta t1 , C (X, γ ) = f ( f (γ (t1 )) − f ( f (γ (t0 )). )). En nuestro nuestro caso γ (θ) = (a cos θ, −a sen θ + 4a, a sen θ), θ ∈ (−π/6 π/6, π + π/6) π/6).. Luego, √3 a 2 2 a a a 4a, − = −a2 − =− y f ( f (γ (−π/6)) π/6)) = f a , + 4a, 2 2 2 8 9 √3 a a a2 a2 f ( f (γ (π + π/6)) π/6)) = f −a , + 4a, 4a, − = −a2 − =− . 2 2 2 8 9
De donde, C (X, γ ) = 0. 75.-
Sean 0 < a < b, b,
Ω = (x,y,z) x,y,z)
∈ IR3 :
y2 + z 2
≥ a2, x2 + z2 ≥ a2, z ≥ 0, z ≤ 2b − x, z ≤ 2b + x, z ≤ 2b − y, z ≤ 2b + y, si x ∈ [−b, −a], y ∈ [−b, b], si x ∈ [−a, a], y ∈ [−b, a] ∪ [a, b] y si x ∈ [a, b], y ∈ [−b, b]
y X el campo vectorial de IR3 X =
−y ∂x∂ + x ∂y∂ + z ∂z∂ .
(i) Calcular el flujo de X a través de ∂ Ω. (ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 = ∂ Ω (x,y,z) x,y,z) IR3 : y2 + z 2 = a2 , x 0 . 3 item[(iii)] Calcular el flujo de X a través de Γ2 = ∂ Ω (x,y,z) x,y,z) IR : z = 2b 2b x .
∩{
∩{
∈
∈
≥ } − }
82
Problemas Resueltos
(iv) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂ Γ1 . (v) Calcular Calcular la circulación circulación de X a lo largo de ∂ Γ2 . (vi) Calcular Calcular la circulaci circulación ón de X a lo largo de ∂ (∂ Ω
∩ {z = 0 }).
Solución:
En primer lugar calculamos la divergencia y el rotacional de X . div(X ) =
1, rot(X ) = (0, (0, 0, 2). 2).
Como el rotacional de X no es nulo el campo no será gradiente. (i) La representa representación ción de ∂ Ω se halla en la Figura 1.60.
Figura 1.60: Representación de ∂ Ω Como el flujo que debemos calcular es a través de una superficie que es frontera de un volumen Ω, podemos aplicar el T. de la Divergencia, φ(X, ∂ Ω) Ω) =
X, N dS =
∂ Ω
dV.
Ω
Luego el flujo a calcular es el volumen de Ω. Por las simetrías del recinto el volumen será 8 veces el volumen de + , ver Figura 1.61.
A B
83
Teoremas integrales
Figura 1.61: Representación de
A+B
A − − − √ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − B − − − − − − a
V ( V ( ) =
2bx
0
a
−
dx
0
a
2b x
b
dy
dz =
a2 y2
a
3 2 b a 2
a
a2
y 2 (b
a2 (b 2
a) t + b
V ( V ( ) =
0
b
=
a
3 2 b 2
sen2t sen2t 2
a)
=
(1 + cos(2t cos(2t))dt ))dt =
0
3 2 b a 2
2ba2 +
b
dz =
0
3 2 b 2
a2 2ba + 2
dy
3 2 b y 2
y 2 dx =
a3 2
a2 2
a2 (b
3 2 b a 2
2ba2 +
(2b (2b
x)dx =
2bx
a
y3 by + 6
b
2
=
a
π/2 π/2
a)
y 2 (b
a3 2
2b3 3
x2 2
3 2 b a + ba2 2
− a)
cos2 tdt =
a)π.
b
y
a2
0
a2 (b 4
b
a
dy =
a2
2ba +
0
π/2 π/ 2
−
y2 2by + 2
3 2 b 2
=a
2b x
dx
y
y a
π/2 π/2
a2 (b 2
b
dy
a
a) dy =
a
a3 2
x)
a
b
x2 2
2ba2 +
(2b (2b
0
−
y = a sen t t = arcsin dy = a cos tdt y=a t = π2 y =0 t =0
=
b
dy
b
dy =
y
a3 . 6
dy =
84
Problemas Resueltos
Finalmente, V (Ω) V (Ω) = 8 1 (16b (16b3 3
3 2 b a 2
a3 2ba + 2 2
−
−
a2 (b 4
− a)π
+8
2b3 3
−
3 2 b a + ba2 2
−
a3 6
=
− 24ba 24ba2 + 8a 8a3 ) + 2πa 2 πa 2 (a − b).
(ii) Γ1 es una porción de cilindro, concretamente, y2 + z 2 = a2 , x [a, b], y [ a, a]. Por tanto una parametrización de Γ1 en coordenadas cilíndricas y los campos involucrados en el cálculo del flujo son,
∈
x(x, θ ) = (x, a cos θ, a sen θ), x
∈−
∈ [a, b], θ ∈ [0, [0, π ].
(1 , 0, 0), 0), xθ = (0, (0 , a sen θ, a cos θ), xx = (1,
− xx ∧ xθ = (0, (0 , −a cos θ, −a sen θ ).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
y X, xxx
Luego,
∧ xθ = −ax cos θ − a2 sen2 θ.
− π
φ(X, Γ1 ) =
b
0
− − − − a 2 a 2
π
(b2
a(x cos θ + a sen2 θ ) dxdθ =
a
a2 )cos θ + a(b
0
(b
2
2
a )sen θ + a(b
− a)(1 − cos(2θ cos(2θ))
− a)
− θ
sen(2θ sen(2θ) 2
dθ = π 0
=
− π2 a2(b − a).
(iii) Γ2 es un trozo del plano z = 2b x concretamente x [a, b], y [ x, x] ya que en ∂ Ω los planos z = 2b x y z = 2b + y se cortan en la recta y = x mientras que los planos z = 2b 2 b x y z = 2b 2 b y lo hacen en la recta y = x. Por tanto una parametrización de Γ2 y los campos involucrados en el cálculo del flujo son,
−
−
x2 (x, y ) = (x,y, 2b
−
∈
−
−
∈−
− x), (x, y) ∈ [a, b] × [−x, x].
x2 x = (1, (1 , 0, 1) y x2 y = (0, (0 , 1, 0), 0), x2 x
−
∧ x2y = (1, (1 , 0, 1). 1).
Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,
X, x2x ∧ x2y = −y + 2b 2b − x.
De donde,
− b
x
φ(X, Γ2 ) =
a
2 bx2
x3 3
b
(2b (2b
−x
b
=
a
− y − x) dxdy =
2 3 (b 3
a
2(2b 2(2b
− x)x dx =
− 3ba2 + a3).
(iv) Para calcular la circulación a lo largo de la curva ∂ Γ1 podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere , debemos tener en cuenta que ya hemos hecho la mayoría de los cálculos que intervendrán.
85
Teoremas integrales
C (∂ Γ1, X ) =
− π
0
2a(b
X, T 1 dl =
∂ Γ1
π
rot( rot(X ), xxx
Γ1
− a)sen θdθ = 2a 2 a(b − a)cos θ
−
∧ xθ dS =
π
=
0
b
2a sen θdxdθ =
0
a
−4a(b − a).
(v) Del mismo modo que en el apartado anterior podemos aplicar el Teorema de StokesAmpere para calcular la circulación a lo largo de la curva ∂ Γ2 .
C (∂ Γ2, X ) =
X, T 2 dl =
∂ Γ2
Γ2
rot( rot(X ), xx2 x
b
∧ x2y dS =
a
x
2 dxdy = 2(b 2(b2
−x
− a2).
(vi) Aplicamos Aplicamos de nuevo el Teorema Teorema de Stokes-Am Stokes-Ampere, pere, en este caso la normal normal a la supercicie supercicie Γ3 = ∂ Ω z = 0 es N 3 = (0, (0 , 0, 1). 1). Por tanto, rot( rot(X ), N 3 = 2. Teniendo en cuenta que Γ3 es la unión de cuatro cuadrados de lado b a obtenemos,
∩{
}
C (∂ Γ3, X ) =
−
X, T 3 dl =
∂ Γ3
Γ3
− rot( rot(X ), N 3 dS = −2
−
Γ3
dS =
−8(b 8(b − a)2 .
