Matemáticas TEOREMA DE STOKES Ejercicios Resueltos ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave suave a trozos, trozo s, cerrada y simp simple, le, cuya orientación orientación es posit positiva iva.. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R 3 que contiene a S. Entonces:
∫ F ⋅ dr = ∫∫ rot F ⋅ dS = ∫∫ ∇ × F ⋅ dS C
S
S
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Verificación del Teorema de Stokes . erificar el teorema de Sto!es para el campo x #y # z z ) $ 3y i % & z vectorial F" x j ' j ' ( x y la parte de la superficie paraboloidal z $ $ ' * * x ' y ubicada sobre el plano xy y y orientada +acia arriba. S-/02
z
Cálculo como integral de línea: -a curva C es es en este
9
caso una circunferencia de radio 3 centrada en el orig or igen en sobre sobre el plano plano xy. odemos parametrizarla como:
x = 3 cosθ y = 3 sen θ z = 0
,
0
S
≤ θ ≤ 2π
/on esta parametrización tenemos:
3
F"θ ) $ senθ i % 4 j − 15cosθ
3
r6"θ ) $ −3senθ i % 3cosθ j % j % 4 4
x
C
r6"θ ) $ −*7sen*θ 2π
∫ F ⋅ dr = ∫ 0
C
F (θ ) ⋅ r ′(θ )d θ
2 2 1 − cos 2θ = ∫ 0 − 27 sen 2 θ d θ = ∫ 0 − 27 θ d θ = 2 π
π
2π
=−
27 2
θ − sen 2θ = −27π 2 0
Cálculo como integral de superficie : rimero evaluamos el rotacional.
y
i rot F = ∂
j
∂
∂ x
3 y
k
∂
∂ y
∂ z
= 4i + 6 j − 3k
− 6 x
4 z
8+ora parametrizamos la superficie del paraboloide. ara eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un c9rculo de radio 3 con centro en el origen. arece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cil9ndricas:
x = r cosθ r (r ;θ ) y = r sen θ z = 9 − r 2
0 ≤ r ≤ 3
,
0 ≤ θ
≤ 2π
El producto vectorial fundamental ser: rr
i
j
cos θ
sen θ
− r sen θ
r cos θ
×r = θ
k
− 2r = 2r 2 cos θ i + 2r 2 sen θ j + r k 0
emos que la componente z de este vector es positiva. or lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva. sando entonces esta parametrización, tenemos:
∫∫ rot F ⋅ dS = ∫∫ rot F ⋅ (r
r
S
2π
∫ 0
D
−
3r 2 2
×r
θ
)drd θ
=∫
2π
0
3
∫ (8r 0
2
cos θ
+ 12 r
2
sen θ
− 3r ) drd θ =
3
= −27π 0
-legamos al mismo valor que cuando lo +icimos como integral de l9nea, verificando de esa manera el teorema de Sto!es. ν
*) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. tilice el teorema de Sto!es para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F" x # y # z ) $ xyz i % xy j % x *yz sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales "pero no el fondo) del cubo con v;rtices "±1# ±1# ±1), orientado +acia afuera. SOLUCI!N -a geometr9a descrita en el enunciado est representada en la figura. Se requiere calcular el flu
1 1 1
y
O
x
∫∫ (∇ × F) ⋅ dS = ∫ F ⋅ dr , S
z
C
lo cual en s9 no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flu
∫∫ (∇ × F) ⋅ dS = ∫ F ⋅ dr = ∫∫ (∇ × F) ⋅ dS S
S '
C
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. arametrizando esta >ltima tenemos, pues: T" x # y ) $ " x " x # y )# y " x # y )# z " x # y )) $ " x # y # '1), '1 ≤ x ≤ 1, '1
≤
y ≤ 1
"1)
y su producto vectorial fundamental es: N
= T x × T y =
i
j
k
1
0
0
0
1
0
= k
2otemos que esta normal apunta +acia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derec+a. or otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:
i
∇×F =
j
∂ ∂ x
∂ ∂ y
xyz
xy
k
∂ = x 2 z i + ( xy − 2 xyz ) j + ( y − xz )k ∂ z
reemp. por la param. (1) ↓
=
x
2
i + (− xy) j + ( y − x)k
2
x yz
or lo tanto la integral que buscamos ser: 1
1
∫∫ ∇ × F ⋅ dS = ∫∫ ∇ × F ⋅ NdS = ∫∫ ( x 2 i − xy j + ( y − x)k ) ⋅ k dS = ∫−1 ∫ −1 ( y − x)dxdy = 0 S '
S '
S '
En este problema vemos que el teorema de Sto!es permite no sólo transformar una integral de superficie en una de l9nea, sino tambi;n convertirla en otra integral de superficie de clculo ms sencillo. -a selección de una u otra de estas opciones depender del problema particular. ν
3) !plicación al concepto de circulación de un campo. /alcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F" x #y # z ) $ "tan '1" x *)# 3 x # e3 z tan z ) a lo largo de la intersección de la esfera x * % y * % z * $ & con el cilindro x * % y * $1, con z ? 4. SOLUCI!N -a circulación de un campo es su integral a lo largo de una l9nea cerrada. @ecordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el rea de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 4# si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto l9mite no rotar.
z 2
1
2
x
"rima facie vemos que el campo
y
vectorial F tiene una ley bastante comple
∂
j
∂
∂ x
tg −1 ( x 2 )
k
∂
∂ y
3 x
e
3 z
= 0i + 0 j + 3k
∂ z tg z
En efecto, se simplifican enormemente los clculos al resultar el rotacional una función vectorial constante. or el teorema de Sto!es, podemos calcular la integral de l9nea de F sobre la curva dada como el flultima: x = r cosθ 0 ≤ r ≤ 1 r (r ;θ ) y = r sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π z = 4 − r 2
A +allando el producto vectorial fundamental:
rr × rθ =
i
j
cosθ
senθ
− r senθ
r cosθ
k r
−
=
4 − r 0
2
r
4 − r
2
cosθ i +
r
4 − r
2
senθ j + r k
emos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular a+ora:
∫∫
rot F ⋅ dS
S
= ∫∫ rot F ⋅ (rr × r
θ
D
)drd θ
2π
= ∫0
1
∫ 3rdrd 0
θ
=3π
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