Teorema de Pitágoras En esta página resolvemos problemas aplicando el Teorema de Pitágoras. Este teorema establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa:
Recordad que un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto (90 grados) y que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. r ecto.
Problema 1 En el siguiente triángulo, ¿cuál de los lados es la hipotenusa y cuál es el ángulo recto?
Calcular cuánto mide la hipotenusa. Solución Los catetos son los lados a y b. La hipotenusa hipotenusa es el lado h . El ángulo recto es el ángulo que forman ambos catetos. Para calcular la longitud de la hipotenusa, aplicamos aplicamos Pitágoras. Los catetos miden a=2 y b=4 , con lo que
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:
Simplificamos el resultado escribiendo el radicando como un producto y aplicando la propiedad de que la raíz de una producto es el producto de las raíces de sus factores:
Si aproximamos, h 4,47 . ≃
Problema 2
Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable? Solución El cable coincide con la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a=25m y b=50m . Calculamos la longitud del cable (es la hipotenusa h ):
Como 2.125=252 5 , podemos simplificar: ⋅
El cable debe medir h=25√ 5 metros, es decir, aproximadamente 55.9 metros.
Problema 3 Una parcela de terreno cuadrado dispone de un camino de longitud 2√ 2 kilómetros (segmento discontinuo) discontinuo) que la atraviesa según se muestra en la siguiente imagen:
Calcular el área total de la parcela. Solución Observando la figura, el camino coincide con una de las diagonales del cuadrado, así que divide a éste en dos triángulos iguales. Además, los dos triángulos son rectángulos y los catetos miden lo mismo. Si llamamos x a la medida de los catetos, aplicando Pitágoras,
Hemos usado que el cuadrado de un producto es el producto de los cuadrados. Para calcular x , pasamos el 2 dividiendo al otro lado de la igualdad y hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, los cuatro lados de la parcela miden 2 kilómetros y, por consiguiente, su área es 4 kilómetros cuadrados.
Problema 4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 metros y sus catetos miden x y x+2 :
¿Cuánto miden los catetos? Solución Por Pitágoras, h2=a2+b2 , con lo que No olvidemos la fórmula del cuadrado de un binomio: Sustituyendo, Simplificamos la ecuación: Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Como x representa una longitud, la solución debe ser positiva: x=6
. Los catetos miden 6 y 8 metros.
Problema 5 Se desea pintar una cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R=3cm como se muestra en la figura:
Calcular el área del cuadrado. Solución
Problema 6 Calcular cuánto mide el cateto b de un triángulo rectángulo si su otro cateto, a, y su hipotenusa, h , miden a=3√ 2 2m h=√ 1946m Solución Por Pitágoras, sustituyendo a y h ,
Aplicamos las propiedades de las potencias para calcular los cuadrados:
Calculamos b :
Aplicamos las propiedades de las raíces para simplificar:
Por tanto, el cateto b mide 2√ 2 3m .
Problema 7
Hallar las medidas de los lados de una vela con forma de triángulo rectángulo si se quiere que tenga un área de 30 metros al cuadrado y que uno de sus catetos mida 5 metros para que se pueda colocar en el mástil. Solución Llamamos a ,byh a la altura, base e hipotenusa de la vela. Por un lado, como el área de un triángulo es base por altura, tenemos
De donde tenemos que la base debe medir 12 metros. Por otro lado, como la vela tiene forma de triángulo rectángulo, podemos calcular la hipotenusa por Pitágoras:
Por tanto, los lados de la vela deben medir 5, 12 y 13 metros.
Problema 8 Si el cateto de un triángulo rectángulo mide x y el otro mide el doble, obtener una fórmula para calcular la longitud de la hipotenusa en función del cateto menor, x . Utilizar la fórmula obtenida para calcular la hipotenusa cuando x=√ 5 y x=2 √ 5 . Solución Supongamos que uno de los catetos mide x , entonces el otro debe medir 2x. Para calcular la hipotenusa, h , aplicamos Pitágoras: ⋅
Aplicamos la fórmula para x=√ 5 :
Aplicamos la fórmula para x=2 √ 5 : ⋅
Problema 9 Se tiene un rectángulo cuya base mide el doble que su altura y su área es 12 centímetros cuadrados. Calcular el perímetro del rectángulo y su diagonal. Solución Llamamos a y b a la altura y la base del rectángulo, respectivamente. Como la base es el doble que la altura, b=2a . El área de un rectángulo es base por altura, así que
La altura del rectángulo mide √ 6cm y la base mide 2√ 6 cm. El perímetro del rectángulo es 6√ 6cm . Como la diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos y sabemos cuánto miden los catetos, aplicamos Pitágoras para calcular la diagonal, d :
La diagonal del rectángulo mide √ 30 centímetros.
Problema 10
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son A=(1,3) , B=(3,−1) y C=(4,2) . Solución Observad la siguiente figura:
Podemos calcular el lado h y el lado b aplicando dos veces Pitágoras ayudándonos de los segmentos de color rojo, que forman triángulos rectángulos. Los catetos del triángulo cuya hipotenusa es h
miden 2 y 4 unidades. Por tanto,
Los catetos del triángulo cuya hipotenusa es b miden 1 y 3 unidades. Por tanto,
Conocemos la hipotenusa, h , y la base, b, del triángulo del problema. Aplicamos Pitágoras para calcular la altura a :
Calculamos el área del triángulo (base por altura entre 2):
El área del triángulo es 5 unidades al cuadrado.
Introducción Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,
Recordemos que: el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes. la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b. El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado. La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta sección. Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial, análisis funcional...).
2. 12 Problemas Resueltos Problema 1 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm. Ver solución Los lados son a=3cm , b=4cm Aplicando el teorema de Pitágoras,
Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.
Problema 2
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado? Ver solución
Problema 3 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y . Ver solución Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto). Sabemos que Por el teorema de Pitágoras, sabemos que Sustituimos en la ecuación los valores conocidos ( a y b), obteniendo: Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,
Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.
Problema 4 (dificultad muy alta) Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden
,
y su base 3.
Ver solución
Problema 5 Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
Ver solución Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos (determinados por sus diagonales):
Recordamos que en los rombos todos los lados miden lo mismo, con lo que podemos trabajar con cualquiera de los triángulos obtenidos (todos son iguales). Además, como hemos realizado una división simétrica, sabemos que los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo. Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras:
Por tanto, cada lado del rombo (o sea, cada hipotenusa) mide 10. El perímetro es la suma de todos los lados. Como éstos son iguales, sólo tenemos que multiplicar por 4: Perímetro = 4·10 = 40
Problema 6 Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Ver solución Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas. Podemos escribirlas todas en metros, así que 70 cm = 7 dm = 0.7 m
El triángulo que tenemos es
La altura es uno de los catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla:
Por tanto, Pero como a es la altura, debe ser positiva. Por tanto, la altura será, aproximadamente
Problema 7
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol? Ver solución
Problema 8 La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros:
Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor? Ver solución Para calcular las pulgadas que caben en el hueco, debemos calcular cuánto mide su diagonal y escribir el resultado en pulgadas. Como la diagonal del hueco es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras:
Por tanto, la diagonal mide unos 124,32cm. Nota: hemos redondeado la raíz cuadrada a la baja para que el televisor quepa en el hueco. Pasamos de centímetros a pulgadas aplicando una regla de tres:
Luego 124,32 centímetros son 51,8 pulgadas:
Por tanto, el televisor que debe comprar David no puede exceder las 48,94 pulgadas.
Problema 9 Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud.
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)? Ver solución Según el diagrama, la profundidad de la piscina es de 2,4 metros. Calculamos su longitud: Tenemos un rectángulo de altura 2,4m y cuya diagonal mide 8,8m. Por Pitágoras, su base b es
Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma, la longitud de la piscina es 9,46 metros. Para calcular la altura a de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:
Por tanto, la altura de la plataforma es de casi 6 metros por encima del nivel del agua.
Problema 10 Un aparcamiento con forma rectangular de dimensiones 35x98 metros es controlado por cuatro cámaras de vigilancia.
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4. Calcular el porcentaje del área del aparcamiento que no es vigilada por ninguna cámara. Ver solución Las cuatro regiones tienen forma de triángulo rectángulo y podemos calcular sus áreas ya que conocemos sus hipotenusas y uno de sus catetos (es la altura del aparcamiento). Como conocemos las dimensiones del aparcamiento, también podemos calcular el área total del mismo. Así, el área que no está controlada es el área total menos el de las regiones. Calculamos el área de las regiones:
Región 1: La hipotenusa mide 50m y uno de los catetos mide 35m (altura del aparcamiento). Calculamos el otro cateto, a , por Pitágoras:
Luego el área de la región es (base por altura dividido entre 2)
Repetimos este procedimiento para las otras regiones.
Región 2: La hipotenusa mide 70m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, b , por Pitágoras:
Luego el área de la región es
Región 3: La hipotenusa mide 64m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, c , por Pitágoras:
Luego el área de la región es
Región 4: La hipotenusa mide 55m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, d , por Pitágoras:
Luego el área de la región es
La suma de las áreas cubiertas por las cámaras es
El área total del aparcamiento es
Por tanto, el área no cubierta por las cámaras es
Luego el porcentaje de área no cubierta por las cámaras de vigilancia es aproximadamente el 1,9%:
Problema 11 Un parque de diversiones quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte desde la base superior de una columna con forma cilíndrica. Si el radio de la columna es R=2m metros y el área de su lateral es de 120 metros cuadrados, calcular la longitud del cable de la tirolesa para que alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.
Ver solución Tenemos un triángulo rectángulo de base 40m cuya hipotenusa coincide con la tirolesa. La altura de la columna, h , la podemos calcular a partir de su área lateral y su radio, R . El área lateral del cilindro es la del rectángulo de altura h y cuya base es el diámetro de la base del cilindro, es decir, dos veces el radio. Por tanto, el área del lateral de la columna es Sustituimos el área (A=120m2 ) y el radio (R=2m ) y resolvemos la ecuación:
Luego la altura de la columna es de 30 metros. Finalmente, calculamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:
Nota: hemos llamado L a la hipotenusa para no confundirla con la altura h de la columna. El cable de la tirolesa debe medir 50 metros de longitud.
Problema 12 (dificultad alta)
Distancias Sol-Tierra-Luna. Supongamos que la luna está en la fase de su primer cuarto, lo que significa que desde la Tierra la vemos del siguiente modo
siendo la mitad clara la que vemos, es decir, la iluminada por el Sol. Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384100km y de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros. Se desea calcular la distancia de la Luna al Sol en esta fase (considerar las distancias desde los centros). Plantear el problema, pero no es necesario calcular el resultado. Ver solución La situación es la siguiente
La recta Sol-Luna y la recta Tierra-Luna forman un ángulo de 90 grados ya que si no, no veríamos la luna en su primer cuarto. La recta Tierra-Sol es la hipotenusa. Por tanto, como conocemos la distancia Tierra-Luna (a) y la distancia Tierra-Sol (h), podemos calcular la distancia Sol-Luna (b) aplicando el teorema de Pitágoras:
No calculamos el valor de b porque como la distancia Tierra-Sol es muchísimo más grande que la distancia Tierra-Luna, al aproximar, obtendremos una distancia cercana a la de la Tierra-Sol. Pero sabemos que la distancia Luna-Sol será menor que la distancia Tierra-Sol (porque esta última es la hipotenusa). Dicho en otras palabras, sabemos que Como a es mucho más pequeño que b, lo cual se expresa mediante Entonces
Y por tanto
1. Introducción Triángulo rectángulo Recordamos que un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π/2 radianes. De los tres lados del triángulo, se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados se denominan catetos:
Si conocemos dos lados del triángulo, podemos calcular el otro aplicando el teorema de Pitágoras. Sin embargo, en ocasiones no conocemos dos lados, pero sí conocemos uno de los otros dos ángulos no rectos. En estos casos es cuando utilizamos el seno y el coseno .
TRIGONOMETRÍA Seno y coseno
El coseno de un ángulo α se define como el cociente del lado contiguo al ángulo α y la hipotenusa. De forma análoga, el seno de α se define como el cociente del lado opuesto al ángulo α y la hipotenusa. Nota: si cambiamos de ángulo, cambian los numeradores:
Normalmente, para referirnos al seno de α podemos escribir sin(α), sen(α) ó seno(α). Y para el coseno, cos(α) ó coseno(α) . Nosotros utilizaremos sin(α) y cos(α) . Regla mnemotécnica: el COseno es el lado COntiguo entre la hipotenusa y el senO es el lado Opuesto entre la hipotenusa.
Tangente La tangente del ángulo α es el cociente del seno y del coseno de dicho ángulo:
La tangente es el cociente del lado opuesto y del lado contiguo. La tangente del ángulo α puede escribirse como tan(α) y como tg(α) , entre otras.
No utilizaremos la tangente en esta página.
Arcoseno y arcocoseno Si conocemos el seno (o coseno) de un ángulo α , podemos conocer el ángulo α mediante la función arcoseno (o arcocoseno). En esta página sólo utilizaremos estas funciones en la calculadora con las teclas sin−1 (arcoseno) y cos−1 (arcocoseno). Nota: hay que tener cuidado con las funciones arcoseno y arcocoseno ya que hay ángulos que tienen el mismo seno o coseno. Por ejemplo, el seno de 45º es el mismo que el de 135º:
2. Problemas resueltos Nota previa: para simplificar los cálculos, aproximaremos las razones trigonométricas con dos o tres decimales por redondeo o por truncamiento. Como consecuencia, los resultados pueden ser no exactos.
Problema 1 Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º.
Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$. Solución Como conocemos el lado opuesto, a=20m , utilizamos el seno para calcular la hipotenusa del triángulo:
Sustituimos el ángulo y el lado:
Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$:
Problema 2
Calcular la altura, a , de un árbol sabiendo que, si nos situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36.87º. Solución Como la altura a es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el seno:
Pero como necesitamos calcular la hipotenusa h del triángulo, utilizamos el coseno:
Sustituimos los datos:
La hipotenusa mide
Por tanto, la altura del árbol es
Problema 3
Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son de 60 grados) cuyos lados miden 12cm. Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a éste. Solución La mediana forma un triángulo rectángulo:
Del triángulo conocemos tres ángulos: uno mide 60º, otro 30º y el otro 90º. También conocemos su hipotenusa h=12cm
. Utilizamos el seno para calcular la mediana m :
Sustituimos los datos:
Luego la mediana mide 10,392 centímetros.
Problema 4 Escribir una fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo equilátero de lado d . Ayuda: la fórmula se puede obtener rápidamente a partir del problema anterior. Solución Como los lados del triángulo miden d en lugar de 12cm, sólo tenemos que cambiar 12 por d en el problema anterior ya que los ángulos son iguales. La fórmula es O bien, si aproximamos el seno,
Problema 5 Del siguiente triángulo rectángulo se conocen sus dos catetos: uno mide 4m y el otro mide 3m:
Calcular la hipotenusa y los ángulos α y β . Solución Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
La hipotenusa mide 5 metros. Para calcular los ángulos podemos utilizar, por ejemplo, el seno:
Como conocemos los catetos y la hipotenusa, podemos calcular el seno de los ángulos:
Finalmente, para calcular los ángulos sólo debemos utilizar la función arcoseno:
Problema 6 Calcular el radio de la circunferencia que se obtiene al utilizar un compás cuyos brazos miden 10cm si éstos forman un ángulo de 50º.
Solución El compás junto con el radio R forma un triángulo isósceles. Lo que significa que los ángulos α y β son iguales. Como la suma de los ángulos (interiores) de un triángulo es siempre 180º, podemos calcular α :
Al representar la altura h , tenemos un triángulo rectángulo:
Si llamamos b
a la mitad del radio y aplicamos el coseno, tenemos
Por tanto, el radio de la circunferencia mide 8,46cm:
Problema 7
Calcular la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe que su sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 30º. Solución Llamamos a a la altura y h a la hipotenusa. Por el seno:
Despejamos la altura: Necesitamos calcular la hipotenusa. Por el coseno tenemos
Despejamos la hipotenusa:
Sustituimos la hipotenusa:
Por tanto, la altura de la torre es de unos 156,46 metros.
Problema 8 Las ciudades A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo:
Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C si la ciudad B se encuentra a 100km de la ciudad A y la carretera que una A con B forma un ángulo de 35º con la carretera que une A con C. Solución Por el seno y por el coseno tenemos las siguientes relaciones:
Calculamos la hipotenusa a partir del coseno:
Conociendo la hipotenusa, calculamos a a partir del seno:
Por tanto, la distancia entre las ciudades A y C es de 122,1 kilómetros y la distancia entre las ciudades B y C es de 70,08 kilómetros.
Problema 9
Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situados a 100 metros el uno del otro. Como tiene acceso al edificio más alto, observa que desde la azotea de dicho edificio se avista la azotea del otro bajo un ángulo de α=73,3 . Desde la base del mismo edificio, se ve la azotea del otro edificio bajo un ángulo de β=19,29 . ¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los tres datos con los que cuenta? En caso afirmativo, ¿cuál es la altura de cada uno? ∘
∘
Solución Sí es posible calcular la altura de ambos edificios. El ángulo β forma parte de un triángulo rectángulo. Representamos el segmento d para formar un triángulo rectángulo con el ángulo α :
Obsérvese que el segmento d mide 100 metros, que la altura del edificio más alto es la suma de los catetos x e y y la altura del otro edificio es y . Por el seno y el coseno, tenemos las sigu ientes relaciones para el ángulo α :
Como conocemos α y d, podemos calcular x . Primero, calculamos a :
Ahora, calculamos x :
Por el seno y el coseno, tenemos las siguientes relaciones para el ángulo α :
Como conocemos β y d, podemos calcular y . Primero, calculamos b :
Ahora, calculamos y :
Por tanto, la altura del edificio alto es
Y la altura del otro edificio es 34,96 metros.
Problema 10 (dificultad alta) Desde una determinada distancia, una bandera situada en la parte superior de un torreón se observa con un ángulo de 47º. Si nos acercamos 17,8 metros al torreón, la bandera se observa con un ángulo de 75º.
Calcular la altura a la que se encuentra la bandera. Nota: para simplificar los cálculos podemos escribir tan(α) (tangente de α) en lugar de sin(α)/cos(α) . Solución Las relaciones que tenemos son
Escribimos la tangente de α :
De donde podemos despejar x :
Escribimos la tangente de β :
De donde despejamos la altura h : En la ecuación obtenida, sustituimos x por la expresión obtenida anteriormente:
Resolvemos la ecuación:
Sustituimos los datos:
Por tanto, la bandera se encuentra a unos 26,78 metros de altura.
DEL DINERO QUE TENÍA
DOS POSTES
BOLETOS NIÑOS
CUATRO HERMANOS
LA VIDA DE DIOFANTO
TRES VACAS
NÚMEROS CONSECUTIVOS
TANQUE EN EL APTO En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. En un día se consumió medio tanque de agua; al día siguiente, la cuarta parte de lo que quedaba; el tercer día se consumieron 15 litros de agua, es decir, la tercera parte de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del tanque de agua? A. 15 litros B. 30 litros C. 60 litros D. 120 litros
SOLUCIÓN Este problema se empieza desde el final. Si el tercer día se consumieron 15 litros, es decir la tercera parte de lo que quedaba, entonces al empezar el tercer día había 45 litros.
Al segundo día se consumió la cuarta parte o sea que quedaron 3/4 que son 45 litros y si 45 son las 3/4 entonces al empezar el día había 60 litros (60/4=15 y 15x3 = 45 o sea que 45 es 3/4 de 60). El primer día se consumió la mitad y quedaron 60, entonces al empezar el día había 120 litros y la respuesta es la D.
UNA VARILLA DE 84
Una varilla de 84 cm. de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm. menor que la parte negra. La parte negra mide: A. 38 B. 26 C. 40 D. 44 SOLUCIÓN R= Rojo Y N = Negro N = R + 4 (porque “La parte roja es 4 cm. menor que la parte negra”) N + R = 84 Como me piden el valor de la parte negra (N), entonces despejo R en la primera ecuación, quedando: R = N – 4 Reemplazo R en la segunda ecuación; N + (N-4) = 84 2N – 4 = 84 2N = 84 +4 = 88 N=88/2 = 44, entonces la respuesta es la D.
LOS 3/4 DE UN TANQUE
Los 3 / 4 de un tanque, con capacidad de 1200 cm3, permanecen llenos durante el invierno, pero el volumen de agua disminuye 2/ 3 durante el ver ano. Si se espera que el tanque recupere la ocupación que tuvo en el invierno, en 30 días, cada dí a deberá llenarse A. 33 cm3 B. 20 cm3 C. 16 cm3 D. 10 cm3 SOLUCIÓN El volumen constante en el invierno es 3 / 4 de 1200 cm3 o sea 900 cm3 (Porque 1200 x 3 = 3600 y 3600/4 = 900) El agua disminuye 2/3 (de 900) durante el verano, de manera que disminuye 600 cm (900 x 2 = 1800 y 1800/3 = 600) y para recuperar 600 cm3 en 30 días divido 600/30 = 20, por lo que la respuesta es la B.
EL LARGO DEL PUENTE El largo del puente A es 3 veces el largo del puente B. Si las longitudes de ambos puentes suman 120 metros, la longitud del puente más largo es de: A. 30 m. B. 40 m. C. 80 m. D. 90 m. SOLUCIÓN Si A = 3B y A + B = 120, me piden el valor de A que es el más largo. Primero despejo B en la primera ecuación y queda B = A/3 Reemplazo B en la segunda ecuación. A + A/3 = 120 (4 A)/3 = 120 4 A = 120 x3 = 360
LOS 3/5 DE LA MITAD Los 3/5 de la mitad de mi edad son 12 años. Entonces, tengo A. 20 años. B. 40 años. C. 60 años. D. 80 años. SOLUCIÓN Cuando decimos los 3/5 de la mitad de algo, nos referimos al producto de 3/5 x 1/2 0 sea 3/10 ( el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores) (3x1) / (5x2). Por lo tanto estaremos diciendo que los 3/10 de mi edad son 12 años . 3/10 (Edad) = 12 El 10 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y el 3 que está multiplicando pasa a dividir y queda: Edad = (12x10)/ 3 = 120/3 = 40 y la respuesta es la B.
COLONIA DE BACTERIAS Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es. a) 5.000 33 bacterias b) 5.000 34 bacterias c) 5.000 39 bacterias d) 5.000 360 bacterias e) 5.000 3180 bacterias SOLUCIÓN Si cada 20 minutos se triplica el número de bacterias, significa que se multiplica por 3, y en 3 horas hay 9 ciclos de 20 minutos, por lo que quedaría 5.000 x3x3x3 (primera hora) x3x3x3 (segunda hora) x3x3x3 (tercera hora) Luego esto es: 5000 x 39 y la respuesta es la C.
GOLOSINAS FIESTA
En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 SOLUCIÓN 237/31 = 7.64 Si les diéramos de a 7 a cada uno, (7 X 31 = 217) sobran 20, por lo tanto, para darles 8 a cada uno, faltan 11, entonces la respuesta es la A
Regla de tres compuesta mixta
JUAN Y MARÍA SON HERMANOS Juan y María son hermanos, Juan tiene tantos hermanos como hermanas, pero María tiene el doble de hermanos que de hermanas, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en la familia? Respuesta Si Juan tiene tantos hermanos como hermanas, entonces hay un chico más que las chicas.
Y si María tiene el doble de hermanos que de hermanas, entonces chicos igual a dos veces chicas menos uno.(chicas menos María). Chicos = O chicas = A O=A+1 O=2(A-1) Entonces A+1 = 2 A – 2 1 + 2 = 2 A – A = A 3=A Entonces O=4 Por lo tanto hay 4 niños y 3 niñas.
APTITUD NUMÉRICA EL TRIPLE DE LA SUMA El triple de la suma de dos números es 63, y el número mayor es 6 veces el menor. Entonces, el número mayor es A. 9 B. 18 C. 27 D. 42 Número mayor K Número menor L 3(K+L) = 63 (El triple de la suma de dos números es 63) K + L = 63/3 = 21 K + L = 21 K = 6L
(el número mayor es 6 veces el menor)
Reemplazo 6L + L = 21 7L = 21 L=3 Entonces K = 18 y la respuesta es la B
APTITUD NUMÉRICA CIUDADES Carlos conoce el triple de ciudades que Jairo, y le ha gustado la cuarta parte de ellas. A Jairo le agrada la mitad de ciudades que le gustan a Carlos, esto es 3. Por lo tanto, Jairo conoce:
