EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux MAT 1105 F Integración numérica

MAT 1105 F

Integración numérica EJERCICIOS RESUELTOS

11.

Obtenga:

a) Integrando por el método del trapecio. Se utilizan las siguientes formulas:

4

Donde:

Ecuación lineal 2 Área del trapecio

Luego, -1

1

2

3

-1

Reemplazando en la formula:

b) Integrando por el método de Simpson 1/3. Se utilizan las siguientes formulas:

EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 1

Donde:

4

Se debe notar que para el método de Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.

Ecuación cuadrática 2

Luego,

Área

-1

1

1.5

2

3

-1


c) Integrando por el método de Simpson 3/8. Se utilizan las siguientes formulas:

Donde:

Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valor de n es igual a 3.


Pagina 2

Luego,

4

Ecuación cúbica 2 Área

-1

1

4/3 5/3 2

3

-1

Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:

0 1

1 0.333333

0.5 1.100092

2

0.666667

2.020793

3

2

3.313708


Comparando con el valor obtenido analíticamente: exactitud de cada respuesta obtenida:

, se puede determinar la

Método

Resultado

Error

Trapecio Simpson 1/3 Simpson 3/8

1.906854 1.646970 1.647045

0.26 7.54·10-5 4.00·10-7

Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.


Pagina 3

22.

Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos.

a) Integrando por el método del trapecio compuesto. Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos. Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de intervalo (h):

El valor de “n” es el número de intervalos, o sea trapecio “n” puede tener cualquier valor.

Es importante notar que para el método del

0

-1

-1

1 2

-2/3 -1/3

-0.666667 -0.333333

3

0

0

4

1/3

0.333333

5

2/3

0.666667

6

1

1

La integral dividida en los intervalos sería:

Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:

Factorizando:


Pagina 4

Que se puede sintetizar en la siguiente formula:

Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0

1/3

2/3

1

1.5

- 0.1

Para hallar los valores de tabla:

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente

0

-1

0.241971

1

-0.666667

0.319448

2

-0.333333

0.377383

3

0

0.398942

4

0.333333

0.377383

5

0.666667

0.319448

6

1

0.241971


b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto. Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 5

Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0

1/3

2/3

1

1.5

- 0.1

Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo:

Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:

Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:

Primero, se calculará el tamaño del intervalo:

Para hallar los valores de

0 1 2 3 4 5 6

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:

-1 -0.666667 -0.333333 0 0.333333 0.666667 1


0.241971 0.319448 0.377383 0.398942 0.377383 0.319448 0.241971 Pagina 6


c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto. Se utilizan las siguientes formulas:

Con Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”, solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc. Graficando el método se puede ver esto. Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0

1/3

2/3

1

1.5

- 0.1


Pagina 7

Primero, se calculará el tamaño del intervalo:


Para hallar los valores de siguiente tabla:

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la

0 1 2

-1 -0.666667 -0.333333

0.241971 0.319448 0.377383

3

0

0.398942

4

0.333333

0.377383

5

0.666667

0.319448

6

1

0.241971


]


Pagina 8

33.

Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados:

Puntos

0

1

2

3

4

5

0 1

0.1 7

0.2 4

0.3 3

0.4 5

0.5 2

a) Integrando por el método del trapecio. En primer lugar se debe verificar que el intervalo entre los puntos valor de , sea constante.

0

0.1

0.2

0.3

sea constante, o sea, que

0.4

0.5

h

h

h

h

h

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)

Luego aplicando la fórmula, si sabemos que

el

:

Primero, se tiene el tamaño del intervalo:



b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto. En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), no es múltiplo de 2, por lo que no se podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos. Simpson 1/3

0

0.1

Tra_ pecio

Simpson 1/3

0.2

0.3

0.4

0.5

h

h

h

h

h

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)


Pagina 9

Luego la formula sería:

Reemplazando la tabla de datos:

Puntos

0

1

2

3

4

5

0 1

0.1 7

0.2 4

0.3 3

0.4 5

0.5 2

c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto. En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), tampoco es múltiplo de 3, por lo que no se podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos. Simpson 3/8

0

0.1

Simpson 1/3

0.2

0.3

0.4

0.5

h

h

h

h

h

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)

(0.1)

Luego la formula sería:

Reemplazando la tabla de datos:

Puntos

0

1

2

3

4

5

0 1

0.1 7

0.2 4

0.3 3

0.4 5

0.5 2


Pagina 10

44.

Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre. Con dos, tres y cuatro puntos.

Al aplicar el método de cuadratura de Gauss, se realiza un cambio de variable y de límites de integración. Con la siguiente fórmula:

Luego cambiando la variable y el diferencial:

También se deben cambiar los límites de integración

Para que la integral quede:

Que se puede resolver numéricamente con la formula:

Donde los coeficientes ya están determinados para cualquier función siguiente tabla:

, y se muestran en la

Puntos 2

w1 = w2 = 1.0

-z1 = z2 = 0.577350269

3

w2 = 0.888888888 w1 = w3 = 0.555555555

-z1 = z3 = 0. 774593669 z2 = 0.0


Pagina 11

4

w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155

-z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044

5

w1 = w5 = 0.236926885 w2 = w4 = 0.478628671 w3 = 0.568888888

-z1 = z5 = 0.906179846 -z2 = z4 = 0.538469310 z3 = 0.0

6

w1 = w6 = 0.171324492 w2 = w5 = 0.360761573 w3 = w4 = 0.467913935

-z1 = z6 = 0.932469514 -z2 = z5 = 0.661209386 -z3 = z4 = 0.238619186

a) Para dos puntos.

Luego cambiando la variable y el diferencial:

Aplicando en la formula:

Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para dos puntos: Puntos 2

Evaluando los coeficientes

w1 = w2 = 1.0

-z1 = z2 = 0.577350269

:


Pagina 12


b) Para tres puntos. Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para tres puntos: Puntos 3


w2 = 0.888888888 w1 = w3 = 0.555555555

-z1 = z3 = 0. 774593669 z2 = 0.0

:



Pagina 13

c) Para cuatro puntos. Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para cuatro puntos: Puntos 4


w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155

-z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044

:



Pagina 14

55.

Evalúe la siguiente integral doble, con 4 intervalos:

a) Analíticamente

b) Resolviendo por el método de trapecio compuesto Primero se aplica la formula del trapecio compuesto en la integral interna para , con la variable como constante:

Donde:

Los puntos

se muestran en la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 Desarrollando la sumatoria.


Pagina 15

Luego se evalúan los puntos en la función

:


Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la formula de trapecio compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:

Donde:

Los puntos se muestran en la siguiente tabla:

0

-2

-90

1

-1

2

2

0

22

3

1

18

4

2

38


Pagina 16


Respuesta La integral doble resuelta numéricamente es:

c) Resolviendo por el método de Simpson 1/3 compuesto Primero se aplica la formula de Simpson 1/3 compuesto en la integral interna para variable como constante:

, con la

Donde:

Desarrollando la sumatoria.

Luego se evalúan los puntos en la función


:

Pagina 17


Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la formula de Simpson 1/3 compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:

Donde:

Los puntos se muestran en la siguiente tabla:

0

-2

-90.666667

1

-1

1.333333

2

0

21.333333

3

1

17.333333

4

2

37.333333


Respuesta La integral doble es igual a:

Comparando con el resultado analítico, se tiene una respuesta completamente exacta.


Pagina 18

66.

Evalúe la integral triple:

a) Analíticamente

Analíticamente la integral triple es igual a:

b) Resolviendo por integración numérica Primera integral Resolviendo la primera integral por el método del trapecio, con . Sabiendo que las variables “y” y “z” se consideran constantes en esta primera integral en función de “x”.

Luego la tabla de los valores

y evaluados en la función

.

. 0 1 2 3 4


Pagina 19

5 6 7 8


De esta forma se tiene una integral doble. Que se definirá como

.

Segunda integral Resolviendo la segunda integral por el método de Simpson 3/8, con variable “z” se considera constante en esta segunda integral en función de “y”.

. Sabiendo que la

Se puede evitar el uso de sumatorias dividiendo la integral y sumando los resultados:

El intervalo para esta variable es:




. Pagina 20

. 0 1 2 3 4 5 6 Reemplazando en las formulas

Sumando las dos partes:

De esta forma se tiene una integral simple. Que se definirá como

.

Tercera integral Resolviendo la tercera integral por el método de Simpson 1/3, con


.

Pagina 21



0

-4

699

1

-3

555

2

-2

411

3

-1

267

4

0

123

5

1

-21

6

2

-165

7

3

-309

8

4

-453

.


Respuesta La integral triple resuelta por integración numérica es:

c) Determinar el error relativo entre los dos resultados previos

Respuesta

Viendo el resultado del error relativo se concluye que el resultado es satisfactorio. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 22

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