Geometría analítica Ejercicios Resueltos Mat 3 Zill

Geometría analítica Ejercicios

a) 

b) + 

c) − 

d)[   + ]

e)|   − |

1.- =2+ =−+ a) 3=3(2+)

=+

b) += <2+(−1),+4 +>

 + =+  

c) −=21−(−)+−4 

 − =

2.- a= (1,1) b= (2,3) a) 3a; 3(1,1)

b) a+b; a= (1,1) b= (2,3)

c) a-b; a= (1,1) b= (2,3)

3a= 3,3

a+b= (1+2), (3+1)

a-b= (1-2), (3-1)

a+b= 3,4

a-b= -1,2

d) |a+b|; a+b= 3,4

e) |a+b|; a-b= -1,2

|a+b|=√(3)2+(4)2 = √9+16 = √

|a+b|=√(−1)2−(2)2 = √1−4 = √−

3. =<4,0>,=<0,−5> ) 3=3<4,0>=<12,0> ) +=<4+0,0+(−5)>=<4,−5> ) −=<4−0,0−(−5)>=<4,5>  )⌈+⌉=|<4,−5>|=√16+25=√4 1 +|=|<4,5>|=√16+25=√4 1

4. a= (1/6i  1/6!) b= (1/2i +5/6!) a) 3(1/6i  1/6!) = 1/2i  1/2! b) (1/6i  1/6!) + (1/2i (1/2i + 5/6!) = 2/3i + 2/3! c) (1/6i  1/6!) - (1/2i + 5/6!) = 1/6i  1/6! - 1/2i - 5/6! = -1/3i  ! d) (1/6i  1/6!) + (1/2i + 5/6!) = |2/3i + 2/3! | e) (1/6i  1/6!) - (1/2i + 5/6!) = 1/6i  1/6! - 1/2i - 5/6! = -1/3i  ! = |1/3i + !| 5.- a = - 3i + 2!, b= "! a) 3a

b) a + b

c) a  b

3a = 3 ( -3i + 2!)

a + b = <- 3i, 2! +"! >

a  b = < -3i, 2!  "! >

3a = -9i + 6!

a + b = -3i + 9!

a  b = - 3i  5!

d) #a + b #

e) #a  b #

#a + b #= √3$ + 9$ = √9+%1 =√100 = 10

#a  b #= √3$ - 5$ = √9 + 25 = √34

6. a= <1,3>, b= -5a a) 3(1,3) = (3,9) &= (3,9) b) a+b <1,3> + (-5(1,3))

<1,3> + (-5,-15) <1,3> (-5,-15) (-4,-12) &= (-4,-12) c ) <1,3> - (-5(1,3)) <1,3> - (-5,-15) <1,3> (5,15) (6,1%) &= (6,1%) d) |<1,3> + (-5(1,3))| |<1,3> +(-5,-15)| |<1,3> (-5,-15)| |-4,-12| &= |-4,-12| e) |<1,3> - (-5(1,3))| |<1,3>- (-5,-15)| |<1,3> (5+15)| |6,1%| &=|6,1%| ".  , = − −   a) 3 =− =3 ( +2  ,+9   ) 3 =6  + 2"   b) 2+( −2 )+9+(−9 )=0 c) 2 +9  −( −2 +9   ) 2 +9  +2 +9   −=4 +1%   ') | 2 +9  +( −2 −9   )| | 2 +9  −2 −9   | | 2 −2 +9  −9   | | + |=0 ) | 2 −9  −( −2 −9   )| | 2 +9  +2 +9   | | 4 +1%   | | − |=4 +1%   %.- a =",10* b=1,2* a) 3",10* = 21,30* b) ",10*+1,2* = %,12*

c) ",10*-1,2* = 6,%*

d) #",10*+1,2*# = %,12* e)# ",10*-1,2*# = 6,%* a) 4a – 2b y b) – 3a -5b

9. a = 1, -3 b =  -1, 1 a) 4(1, -3) = 4i  12!

b) -3(1, -3) = -3i+9!

-2(-1, 1) = 2i  2!

-5(-1,1) = 5i-5!

----------------------

---------------------

6i  14!

2i+4!

10.- = +  =3-2 a) 4.a = 4 ( i+!) = <4,4>= 4i+4! -2b = -2(3i-2!)= <-6,4> = -6i+4! 4a-2b = <4-(-6),4-4> = <10,0> = 10i-0! b) -3.a =-3 (i+!)=<-3,-3> -5.b= -5(3i-2!)= <-15,10>= -15i+10! -3a-5b= <-3-(-15),-3-10>= <12,-13> = 12i-13!

11. a= i - ! b=-3i + 4! a) a) 4(1, -1) = 4i  4!

b) -3(1, -1) = -3i + 3!

2(-3, 4) = -6i  %!

5(-3, 4) = -15i  20!

10i  12!

12i + 1"!

12. a=<2,0> b=<0,3> a) 4<2,0> = <%,0>

b) -3<2,0> = <-6, 0>

2<0,3> = <0, 6>

5<0,3> = <0, 15>

<%, -6>

<-6, -15>

13. =(4,10) =−2(1,3) a) 4=4(4,10)=⦑16,40⦒ 2=−2(1,3)=(−2.−6) 2(−2,−6)=⦑−4,−12⦒ 4−2=⦑16-(-4),40-(-12) ⦒=⦑20,52⦒ b) −3(4,10)=⦑−12,−30⦒ 5=−2(1,3)=(−2,−6) 5(−2,−6)=⦑−10,−30⦒ −3−5=⦑−1210),−3030⦒=⦑−2,0⦒ 14.- a=<3,1> + <-1,2>, b= <6,5> - <1-2> a) <2i + 3!> b) <5i + "!> a) 4(2i + 3!)  2(5i + "!)= %i + 12!  10i  14!= -2i - 2! b) -3(2i + 3!)  5(5i + "!) = -6i  9! -25i -35!= -31i  44! En los probleas 15-1! en"#en$re el %e"$or &1&2' ra*#e &1&2 y s# "orrespon*en$e %e"$or pos*"*n'

15. 1(3,2) 2(5,").

aa aca ec78 8ici: ace8 a i?@ie7e 8eaci:. A2- A1 = 2

2  1= 5

(5)-(3) = 2

(")-(2) = 5

B8 C@eda e e@7ad8 <2i, 5!>

V

16. c@e7e e ec78 ₁ ₂. ?aDiC@e ₁₂ E @ c8e8die7e ec78 8ici8. ₁ (-2, -1) ₂ (4, -5) F A₂ - A₁= 4  (-2)= 6

P₂

 Y 5 4 3 2 1 123456 X -6 -5-4-3  ₁-2   P-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

F ₂ - ₁= -1  (-5) = 4

&= < 6i, 4!>

   E @ c8e8die7e ec78 8ici:. 1". c@e7e e ec78 12  . GaDiC@e 12 6 5 4

2  19 (5, 5)  (3, 3)

1". 1 (3, 3) 2 (5, 5) 12   = <2i, 2!>

A1 = 3

1 = 3

A2 = 5

2 = 5

A2  A1 = 5  3 = 2i

2  1 = 5  3 = 2!

<2i, 2!>

1"#- P1 $ ! % 3 & % P2 $ 2 % ! &#

 P 1 ( 0 , 3 ) P 2 ( 2 , 0 )  X  2− X 1

2−0 =2

0 −3=−3 Y  2 −Y  1 ¿< 2 i , 3 j >¿

19. c@e7e e @78 Dia de ec78 12 = 4i + %! i @ @78 iicia e (-3,10). 4i + %!= ¿ P DH  –  (-3),  P DE −¿ 10 ¿ DH +¿ 3= 4 DE −¿ 10= % DH= 4 −¿ 3 DE= % +¿ 10 DH= 1 DE= 1% &= I12= (1,1%)

20. c@e7e e @78 iicia de ec78 12= (-5, -1) i @ @78 Dia e (4, "). 8de8 ecibi de ec78 12 c88 82 - 81 ied8 81 e ec78 8ici: de @78 1 @e?8J 81 = 82 - 12 = (4, ") - (-5, -1) = (9, %) (9, %) 8 a c88deada de @78 iicia. 21.- 'e7eie c@Ke de 8 ec78e 8 aae8 c8J a=4i+6!. a) -4i-6! c) 10i+15! e) %i+12! b) -i-3/2! d) 2(i-!)-3(1/2i-5/12!) D) (5i+!)-("i+4!) a)

4i+6! -4-6

b)

4i+6!

=

i ! L ! L 4i 6! 0L 6! 0L

= 0i+0!+0L - (0i+0!-24L)= 0*+0.-0/

-4i -6! 0L -6! 0L i ! L 4i 6! 0L

! 6!

L 0L

= -i-3/2! -i -3/2! 0L -3/2! 0L

= 0i +0!+0L - (0i-0!-6L)= 0*-0.-0/

c)

4i+6! 10i+15!

d)

=

4i+6!

i ! L 4i 6! 0L

! L 6! 0L

10i 15! 0L 15! 0L i ! L 4i 6! 0L

! 6!

L 0L

  = -i-3/2! -i -3/2! 0L -3/2 0L e)

i 4i

! 6!

L ! L 0L 6! 0L

4i+6!   = %i+12! %i 12! 0L 12! 0L

D)

4i+6! (5i+!)  ("i+4!)

=

i 4i

! L 6! 0L

= 0i+0!+0L - (0i+0!+60L)= 0*+0.+0/

= 0i+0!-0L - (0i-0L-6L)= 0*-0.+0/

= 0i+0!+0L + (0i+0!+4%L)= 0*+0.+0/

! 6!

L 0L

= "i+0!+0L + (0i+4!+11L) 5i+! "i+4! 0L "i+4! 0L = 0*+0.+0/

22.'e7eie @ ecaa c de aea C@e   = 3i + c  ! E  = -i + 9!. Mea aae8 8e8 88 8 c8eDicie7e de a c88deada   (3 + c)  (-1+ 9) aa C@e ea aae8 debe c@i c8 e7a D@ci: N (N1, N2) I (I1, I2) N I= N1 = N2 I1 = I2   (3 + c)  (-1+ 9) N (N1, N2) I (I1, I2) M@7i7@i8   = 3 = O -1 = 9 Pace8 a 8eaci: (dee!e)  O= 3 9 &MNQR'S '( 3 )

23. c@e7a a+(b+c) aa 8 ec78e dad8. a=( 5,1 ) ,b=( -2,4 ), "=( 3,10 )' =< 1,14 >

MSQNOSB (b+c) b=( -2,4 ), c=( 3,10 ). u b+c=( -2,4 ), c=( 3,10 ). b+c= < -2 + 3 >,< 10+4 > b+c= < -2 + 3 >,< 10+4 > b+c= < 1, 14 > u

 

a+(b+c) a=( -2,4 ), b+c=( 1,14 ). a+(b+c)=( 5,1 ), c=( 1,14 ). a+(b+c)= < 5+ 1 >,< 14+1 > a+(b+c)= < 6, 15 > (b+c) b=( -2,4 ), c=( 3,10 ). a+(b+cT=( -2,4 ), c=( 3,10 ). a(b+c)= < -2 + 3 >,< 10+4 > a(b+c)= < -2 + 3 >,< 10+4 > a(b+c)= < 1, 14 >

 e 8bea 24, ec@e7e a + (b + c) e e ec78 dad8. a) a= 1,1* b=  4,3 * c=  0,- 2 * &=  1,1 * + (  4, 3 * +  0, - 2 * ) =  4, 3 * +  0,- 2 * =  0,- 6 * 25.c@e7e e ec78 @i7ai8 a)  a ia diecci: de a b)  a diecci: 8@e7a a a) iiaii

√ (2 ) +( 2 ) 2

2

 μ

→ 1 = a  = llall llall

 μ

=(

2

,

2

√ 8 √ 8

* c88baci:

b) a <2,2>

¿

<2,2>

= √8



→ a

=

→  a

 μ

1

√8

=

  (2,2) → a

=

→ a

√8

( μ ) = √ 8 (2,2)



→    = √ (2 )2+( 2 )2 a  μ  =

→ a

1

llall

= √8 1

=

√8

 (2,2) = (

2

,

2

√ 8 √ 8

)

26. Uae7a e aeHae e7e 8bea e e c8e8 8 C@e e 8 ada8 8 Hce. 2". →

→

v

a =¿ o ,−5 > u =

→

⌊ v  ⌋

0¿

2

¿

5

−¿ ¿ ¿ ⌊ a ⌋ =√ ¿

→

u

¿

1

¿ 0,−5 >¿

5

b)

→

−1 ° u

¿

0

−5

5

5

¿ ,

¿< (−1 ) ( 0 ) , (−1 )(−1)>¿

→

−u =¿ 0,1 >¿

2%. =  a ia diecci: de aJ −√ 3 ¿2= √ 1 + 3 =√ 4 =2 ¿ 1,−√ 3 >¿ =a= √ 12+¿ 1 a √3 =( ,) 2 2 lal

b= e diecci: 8@e7a de aJ  a= ¿−1, √ 3 >¿

¿

¿< 0, −1>¿

√ 3 ¿

2

a= −1 ¿2 +¿ √¿ a= √ 4 a=2 29.- B8aice e ec78 a+b c@ad8 a=<2,%> E b=<3,4> a8 1 eaiVa a+b a+b= <2+3,%+4> a+b= <5,12> a8 2 8aiVa e e@7ad8 2,8 3 +4 |a+b|= ❑ 2 , 2 2 2 √ (5 ) +(12 ) √ (5) +( 12) &e@7ad8 |a+b|=

2,8

,

13

3+4 13

30. B8aice e ec78 2a-3b dad8 c@ad8 a=<2,%> E b=<3,4>. a =¿ 2,8 > b =¿ 3,4 >¿ 2 a=2 < 2,8 >¿< 4,16 > 3 b=3 < 3,4 ≥¿ 9,12 >¿ 2 a−3 b =¿ 4 − 9,16−12 ≥¿−5,4 >¿

|2 a− 3 b|=

4 −5 −5 41 4 41 , = √  , √  2 2 2 2 41 41 √ (−5 ) +( 4 ) √ (−5 ) +( 4 )

31.- e 8 8bea 31 E 32 ec@e7e e ec78 b C@e e aae8 a ec78 a dad8 E 7iee a a?i7@d idicada. =3+" 

||=2

=3 +" =3(2),"(2) =6,14 =6,14

32. a= W i  W ! ; |b| = 3 La=  K  2 − K  2 |b|=3 + =√ 9

√[( ) (  ) ] 2

2

 K 2 4

= 4.5

|b|=3

|b|=3

√[( ) ( ) ] √[( ) ( )] √ 18

2

+

2

9 2

+

9

−√ 18

2

2

=√ 9

 K 2=( 4.5 )( 4 )

 K = √ [ ( 4.5 ) ( 4 ) ]

=√ 9

2

 K = √ 18

33. -c@e7e @ ec78 e a diecci: 8@e7a de a=(4, 10) e8 c8 8?i7@d i?@a a3/4

u= u=

b (−3, −7.5) = b 65.25 65.25 65.25

( 3, −7.5)

= −

8@e7a a ec78 aJ

Mea b @ ec78 e diecci:

a = (4,10) Longitud = 3 4

3 4

(4,10) = (3, 7.5)

b = −a = (−3, −7.5) b = (32 ) + (7.52 ) =   65.25

Vector en ,ireccin o+esta al .ector /a ero con lonit+, ,e 34

u

b =

b

u ( =

anit+, ,el

( 3, 7.5) −

=

−

65.25

  65.25 65.25

)( 3, 7.5) −

−

Vector +nitario en la ,ireccin ,el .ector / 

34. 'ad8 C@e a= < 1,1 > E b= < -1,0 >, ec@e7e @ ec78 e a ia diecci: C@e a + b e8 cic8 ece @ 8?i7@d. 1. &eaiVa8 a 8eaci: a + b. a= < 1,1 > + b= < -1,0 > a + b = < 1+(-1), 1+0 > a + b = < 0,1> (ec78 aV@) 2. aa 8b7ee @ ec78 e a ia diecci: C@e a + b e8 cic8 ece @ 8?i7@d, @7iica8 e ec78 8 @ ecaa X, e e7e ca8 e ecaa eK 5. 5< 0,1> = < 0,5>

4".  7eia e ie de @a e8a ?8ea e @e8 c8 @a D@eVa  a @ a?@8 Ɵ dede a e7ica.  a Di?@a 11.20 e ec78  e dec88e e d8 c88e7e ec78iae  , C@e e Kaea a @e8, E n, C@e e eedic@a a @e8.aa C@e e ie 8 ebae , a D@eVa  debe e c8eada 8 a D@eVa 8@e7a  , de a Dicci8; e78 e  = -' a) N7iice e ec8 de C@e [  ] = Y| n | , d8de e ib88 Y e e c8eDicie7e de Dicci8 aa de87a C@e 7a = Y.  ie 8 ebaaa aa a?@8 e8e 8 i?@ae C@e  b)'ad8 C@e Y = 0.6 aa @ 7ac8 de @e C@e ?8ea @a acea de aDa78, ec@e7e e a?@8 de Z 8 ebaaie78

 ) \H = 0 =  - = \ c8 ( -  dea n = \e ( - -

n 2

n 2

)   = \e - Y n = 0

) = - \e (-

n 2

  ) = -\c8

78ce |  |= Y | n | |\e  |  |Y( - \c8  )| = 0 |\e  |  |Y \c8 | = 0 |\e  |  |Yc8 | = 0 e  = Y c8  Y = 7a  ) 0.6 = 7a  ->  ac7a = 30.96 4%.  F 1=256.3 lb  F 2=244.9 ≈ 245 W =−200 lb

W + F 1 + F 2 =0 20

| F 1|cos ¿  j + (| F 1|sin 20) j  F  1=¿  F 1=(|−200|cos20 ) j + (|−200|sin 20 ) j  F 2=(| F 2|cos15)  j + (| F 2|sin 15) i  F 2= (|−200|cos15 ) i+ (|−200|sin15 ) i 5!#- +n a.in arte ,e +n aero+erto +0ica,o en el orien  8 .+ela 15! mi en la ,ireccin 2!9 noreste a la ci+,a, :# ;e : el a.in .+ela 2!! mi en la ,ireccin 239noreste a la ci+,a, <# ;e < el a.in .+ela 24! mi en la ,ireccin 1!9 s+roeste a la ci+,a, '# e=rese la +0icacin ,e la ci+,a, ' como +n .ector r i+al al >+e se resenta en la ?+ra 1#123# ;etermine la ,istancia ,e  a '#  y =150 sin 20 +200cos23 −240 sin 10=¿

∑  y =−100.18

∑¿

 x =150 cos 20 + 200 sin 23 −240 cos 10=¿

∑ x =−309.4

∑¿

 R= √ (−100.18 )2 +(−309.4 )2  R= √ 10036.03 + 95728.36  R=325.21 ∑  y θ= tan −1 ❑ ∑  x θ= tan −

1

θ ≈ 18 º 

−100.18 −309.4