EJERCICIOS RESUELTOS, TEORIA DE CARTERAS DE INVERSIÓN (N Activos) Profesor: José Tomás Arias Moya. Fecha: 1° Semestre 2010
Por los posibles errores y faltas de ortografía les pido disculpas 1. ABCO es conglomerado que tiene cuatro millardos de dólares en acciones ordinarias. Su capital esta invertido en cuatro subsidiarias: entretenimiento (NET), productos de consumo (CON), productos farmacéuticos (PHA) y seguros (INS). Se espera que las cuatro subsidiarias tengan un desempeño diferente según la coyuntura económica: Inversiones Mala Buena en millones situación Situación situación de US$ económica Promedio económica NET CON PHA INS
1200 800 1400 600
20% 15% -10% -10%
-5% 10% -5% 10%
-8% -20% 27% 10%
Suponiendo que los tres estados económicos (1) tienen la misma probabilidad de ocurrencia, y (2) que la buena situación económica tiene el doble de probabilidades de tener lugar que las otras dos: a) Calcule las rentabilidades esperadas de cada subsidiaria. Solución:(Asumiendo cada estado igualmente probable) Sea E ( Ri) el vector columna de retornos esperados:
E ( Ri ) 4 ,1
E ( R NET ) 2,33% E ( RCON ) 1,67% = E ( R ) = 4% PHA E ( R ) 3,33% INS
b) Calcule los pesos implícitos en la cartera de cada subsidiaria y la rentabilidad
esperada y la varianza de las acciones del conglomerado ABCO. Solución:
Sea W el vector fila de ponderaciones del portafolio de acciones de ABCO y sean:
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w11
=
% Invertido en NET
w22
=
% Invertido en CON
w13
=
% Invertido en PHA
w14
=
% Invertido en INS
Tenemos que W 1, 4
=
30%; 20%; 35%; 15%
Por definición sabemos que E ( R P ) = W * E ( Ri ) , entonces el retorno esperado del conglomerado de ABCO es igual a:
E ( Rp ) =
2,33% 30%; 20%; 35%; 15% 1, 4 * 1,67% 4% 3,33% 4,1
=
2,93%
Finalmente, aplicando la formula de varianza para activos individuales, tenemos que: 2
σ NET =
0,01576;
2
σ CON =
0,02386;
2
σ PHA =
0,02687;
2
σ INS =
0,00889
c) Asuma que ABCO también tiene un fondo de pensiones, que posee un valor de
activos netos de 5 millardos de dólares, lo que implica que la acción de ABCO realmente vale 9 millardos de dólares en lugar de 4 millones de millardos. Los 5 millardos de dólares del fondo de pensión están invertidos en títulos del gobierno de corto plazo que rinden un 5% anual. Recalcule las partes a y b para reflejar lo anterior. Solución: Al incorporar los 5 millardos de dólares del fondo de pensiones (FPEN) invertidos en títulos del gobierno, tenemos que:
E ( Ri ) 5,1
Por W 1,5
=
E ( R NET ) 2,33% E ( RCON ) 1,67% = 4% = E ( R PHA ) E ( R INS ) 3,33% E ( RFPEN ) 5%
otro lado el nuevo vector de ponderaciones 13,33%; 8,89%; 15,56%; 6,67%; 55,56% , considerando
queda como que el total
invertido ahora es de 9.000 dólares. Ahora el retorno esperado del portafolio de acciones de ABCO es igual a E ( R p ) = 4,08% . La varianza del fondo de pensiones es igual a cero, ya que los retornos de los títulos de gobierno los asumimos libres de riesgo.
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2. Suponga que las covarianzas entra las rentabilidades de Niké, Cisco y GE están suministradas en las matrices de abajo: Nike Cisco GE
Nike
Cisco
GE
0,001 0 0,001
0 0,001 0,003
0,001 0,003 0,002
Calcule la cartera de mínima varianza de estas tres acciones. Para determinar las ponderaciones del portafolio de mínima varianza para el caso de más de dos activos (N activos), tenemos dos caminos utilizando para ello herramientas de algebra matricial: El primer camino es un poco más engorroso e implica desarrollar los siguientes pasos para su solución: Primero: Encontrar la matriz de varianzas y covarianzas (VARCOV) para los N activos Segundo: Encontrar la matriz inversa de la matriz VARCOV (VARCOV 1 ) −
Tercero: Una vez determinada la matriz
1
−
VARCOV , se debe multiplicar esta matriz por
un vector columna unitario, y de esta manera manera se encuentra un nuevo vector columna al cual denominaremos vector Z. 1 Z = [VARCOV ] N , N * [ 1 ] N ,1 −
Cuarto: Finalmente se debe estandarizar el vector Z para encontrar el vector de ponderaciones que componen el portafolio de mínima varianza. Los cálculos anteriores pueden ser simplificados utilizando para ello una planilla de Excel. El segundo camino implica solucionar el sistema de ecuaciones dado por la matriz VARCOV igualando a 1 cada ecuación. La solución de este sistema de ecuaciones implica utilizar operaciones elementales en la solución de la matriz. Las soluciones encontradas ( xi ) representan el valor a invertir en cada activo no el porcentaje de inversión de cada activo del portafolio, por lo que se deben transformar a porcentajes. En efecto, el ejercicio 17 lo resolveremos primero encontrando las soluciones del sistema de ecuaciones y posteriormente utilizando matrices: Definiendo las siguientes variables como: x1 = NIKE ; x 2 = CISCO; x3 = GE El sistema de ecuaciones nos queda como: (1) : 0,001 x1 + 0,001 x3 (2) : 0,001 x 2
+
1 − 0,001 x1
1
0,003 x3 = 1
(3) : 0,001 x1 + 0,003 x 2 De (1) tenemos que: x3
=
+
0,002 x3
=
= 1000 − x1 0,001 Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: x 2 = −2000 + 3 x1 =
1
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Reemplazando x 3 y x 2 en la ecuación 3 obtenemos que x1 Finalmente de la ecuación (1) obtenemos que x 3
=
=
625
375 y de la ecuación (2) tenemos que
125 Para terminar tenemos que el vector fila de ponderaciones del punto de mínima varianza es igual a: W PMV = (71,43%; −14,29%; 42,86%)
x 2
= −
Donde: w1 : % Invertido en Nike w2 : % Invertido en CISCO w3 : % Invertido en GE
Alternativamente utilizando matrices tenemos que:
Paso 1:
VARCOV=
NIKE 0,001 0 0,001
NIKE CISCO GE
CISCO 0 0,001 0,003
GE 0,001 0,003 0,002
Paso 2: VARCOV.INV.=
NIKE CISCO GE
NIKE 875 -375 125
CISCO -375 -125 375
GE 125 375 -125
Paso 3: Z VarcovInv.*M.Unit=
625 -125 375 875
Paso 4: W PMV
=
(71,43%;
14,29%; 42,86%)
−
3. Una cartera consiste en las tres acciones siguientes, cuyo desempeño depende del contexto económico: Acción 1 Acción 2 Acción 3
Inversiones US$
Bueno
Malo
500 1250 250
13% 6% -7%
-20% 3% 2%
Suponiendo que el escenario bueno es dos veces más probable que el escenario malo, calcule la rentabilidad esperada y la varianza de la cartera.
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¿Qué pasa si agregamos a la cartera US$1000 de la acción 4, la cual tiene una rentabilidad media del 4%, una varianza del 0,02 y no esta correlacionada con la cartera precedente? ¿Cómo cambiara la rentabilidad esperada y la varianza de la inversión total? Solución: Sea la probabilidad del escenario bueno igual a un 66,7 por ciento y la probabilidad del escenario malo igual a 33,3%. Debemos determinar primero tanto la rentabilidad esperada como la varianza de cada una de las tres acciones igual a: E ( Racción1 ) = 2%; E ( Racción 2 ) = 5%; E ( Racción 3 ) = −4% 2
σ acción = 1
0,0242;
2
σ acción = 2
0,0002;
2
σ acción = 3
0,0018
Luego podemos determinar las covarianzas entre cada par de activos: σ 1, 2 = 0,0022; σ 1,3 = −0,0066; σ 2 , 3 = −0,0006 Por ultimo el vector de ponderaciones es igual a: W 1,3 = ( waccion1 ; wacción 2 ; wacción 3 ) = ( 25%; 62,5%; 12,5%) Ahora podemos determinar tanto la rentabilidad esperada como la varianza del portafolio, en efecto tenemos que:
2% E ( Rp ) = ( 25%; 62,5%; 12,5%) * 5% = 3,125% − 4% Ahora, confeccionando la matriz VARCOV podemos determinar la varianza del portafolio:
2
σ RP
0,0242; 0,0022; −0,0006 25% * 62,5% = 0,0018 = ( 25%; 62,5%; 12,5%) * 0,0022; 0,0002; −0,0006 − 0,0066; −0,0006; 0,0018 12,5%
A continuación si se invierten US$1.000 en una cuarta acción, la cual tiene una rentabilidad esperada igual a un 4 por ciento, varianza igual a 0,02 y no esta correlacionada con el portafolio anterior, tenemos que el nuevo vector de ponderaciones del portafolio compuesto por el portafolio anterior y la acción 4 es igual a: W 1, 2 = (66,7%; 33,3%) Ahora la rentabilidad esperada del nuevo portafolio es igual a: E ( Rp ) = 66,7% * 3,125% + 33,3% * 4% = 3,42% Como la correlación entre estos dos activo (acción 4 y el portafolio inicial) es igual a cero tenemos que la varianza del portafolio es igual a: 2 2 2 σ RP = 0,667 * 0,0018 + 0,333 * 0,02 = 0,003022 Como conclusión tenemos que al ser la correlación menor que 1, se pueden obtener beneficios de la diversificación, es decir se puede disminuir el riesgo del portafolio y simultáneamente aumentar la rentabilidad esperada del portafolio. Esto se corrobora con los datos anteriores, donde al incorporar la cuarta acción el riesgo del portafolio disminuye y el retorno esperado para el portafolio aumenta.
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4. En julio de 1995, Ameritrade, una firma de gestión de carteras de California, estimó la covarianza entre las rentabilidades de 4 carteras: una cartera popular de acciones de USA (Activo 1), de acciones de Japón (Activo 2), de acciones del Reino Unido (Activo 3) y de acciones Canadiense (Activo 4). Las covarianzas fueron respectivamente: σ 11 =
0,0220,
σ 12 =
0,0093,
σ 22 =
0,0517,
σ 23 =
0,0120,
σ 34 =
0,0204,
σ 44 =
0,0290
σ 13 =
0,0191,
σ 24 =
0,0096,
σ 14 =
0,0181
σ 33 =
0,0342
Calcule la varianza de la cartera (de las cuatro carteras anteriores) con los pesos: x1
=
1 / 6, x 2
=
1 / 3, x3
=
1 / 4,
x4
=
1 / 4
Solución: Por definición sabemos que para el caso de N activos la varianza de un portafolio es igual a VAR( Rp) = W * VARCOV * W T , donde W T es la transpuesta del vector fila de ponderaciones o vector columna de ponderaciones. Por lo tanto primero debemos determinar la matriz VARCOV con los datos que se disponibles en el ejercicio: 0,0220 0,0093 0,0191 0,0181
0 , 0093 0 , 0517 0 , 0120 0 , 0096 VARCOV = 0 , 0191 0 , 0120 0 , 0342 0 , 0204 0,0181 0,0096 0,0204 0,0290
Sea W = (16,7%; 33,3%; 25%; 25%) , la varianza del portafolio es igual a:
0,0220 0,0093 VAR ( Rp ) = (16,7%; 33,3%; 25%; 25%) * 0,0191 0,0181
0,0093 0,0191 0,0181 16,7% 0,0517 0,0120 0,0096 33,3% * 0,0120 0,0342 0,0204 25%
25% 0,0096 0,0204 0,0290
VAR ( Rp ) = 0,02003889 ⇒ Desv. St . = 14,1558%
5. Haciendo uso de la información siguiente sobre las rentabilidades medias y las covarianzas de las tres acciones Covarianza con Rentabilidad Acciones
AOL Microsoft Intel
AOL 0,002 0,001 0
Microsoft 0,001 0,002 0,001
Intel 0 0,001 0,002
Media
15% 12% 10%
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Calcule los pesos de la cartera tangente asumiendo un activo libre de riesgo que rinde un 5%, así como su rentabilidad esperada. Al igual que en el caso del punto de mínima varianza, las ponderaciones del portafolio tangente las podemos encontrar a través de un desarrollo matricial o resolviendo el sistema de ecuaciones utilizando para ello operaciones elementales si el caso así lo amerita. Las ponderaciones del portafolio tangente las podemos encontrar a través de la estandarización de un vector Z, el cual lo encontramos de la siguiente multiplicación de matrices: 1
−
Z = VARCOV * [ P] , donde [ P] es la matriz de premios (vector columna) dada por
diferencia entre el retorno de cada activo y el retorno del activo libre de riesgo. Finalmente estandarizando este vector encontraremos las ponderaciones del portafolio tangente. Alternativamente, las ponderaciones del portafolio tangente las podemos encontrar solucionando el sistema de ecuaciones dado por la matriz VARCOV, aunque en este caso a diferencia del punto de mínima varianza no igualamos a uno sino que al exceso de retorno de cada activo por sobre el retorno del activo libre de riesgo. Finalmente las soluciones encontradas al sistema nos darán las ponderaciones de cada activo que componen el portafolio tangente. Ahora solucionaremos el ejercicio anterior utilizando un sistema de ecuaciones. Este viene dado por: (1) : 0,002 x1 + 0,001 x 2 (2) : 0,001 x1 + 0,002 x 2 (3) : 0 x3
+
0,001 x 2
+
+ +
0 x3
=
15% − 5%
0,001 x3
0,002 x3
=
=
12% − 5%
10% − 5%
De la ecuación (1) tenemos que: x1
50 − 0,5 x 2 De la ecuación (3) tenemos que: x3 = 25 − 0,5 x 2 =
Reemplazando x1 y x3 en la ecuación (2) obtenemos que x 2
5
= −
Reemplazando x 2 en la ecuación (1) tenemos que x1 = 52,5 y de la ecuación (3) tenemos que x 3 = 27,5 Finalmente el vector fila de ponderaciones del portafolio tangente es igual a: W 1,3 = (70%; −6,67%; 36,67%) Por consiguiente tanto el retorno esperado como la varianza del portafolio tangente son iguales a:
15% E ( Rp ) = (70%; −6,67%; 36,67%) * 12% = 13,37% 10%
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2
σ RP
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0,002; 0,001; 0 70% = (70%; −6,67%; 36,67%) * 0,001; 0,002; 0,001 * − 6,67% = 0,00111556 0 ; 0,001; 0,002 36,67%
Los cálculos se pueden corroborar utilizando una planilla de Excel para realizar los cálculos correspondientes con matrices.
6. Calcule la cartera de mínima varianza y las carteras tangentes para el universo de tres acciones descritas abajo. Asuma que la rentabilidad libre de riesgo es 5%. Se proveen datos hipotéticos necesarios para estos cálculos en la tabla de abajo: Correlación Correlación Desviación Rentabilidad con Bell con Acciones Típica Media South Caterpillar Apple 0,2 0,2 0,8 -0,1 Bell South 0,3 0,1 1,0 0,2 Caterpillar 0,3 0,1 0,2 1,0 Primero debemos determinar las covarianzas entre cada par de activos así como la varianzas de cada activo individual: 2 2 2 σ A = 0,04; σ B = 0,09; σ C = 0,09 σ A , B =
0,048;
0,006;
σ A ,C = −
σ B ,C =
0,018
Ahora debemos proceder a determinar la matriz VARCOV:
0,04 ; 0,048 ; −0,006 VARCOV = 0,048 ; 0,09 ; 0,018 − 0,006; 0,018; 0,09 Determinaremos las ponderaciones tanto el punto de mínima varianza como del portafolio tangente resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. En efecto tenemos que las soluciones al sistema de ecuaciones son las siguientes: x1 = 52,7577; x 2 = −20,7833 ; x3 = 18,7849 Por lo que el vector de ponderaciones del portafolio de mínima varianza es igual a: W 1,3 = (103,94% ; −40,94% ; 37,01%) Resolviendo el sistema de ecuaciones con la finalidad de encontrar las ponderaciones del portafolio tangente, tenemos que las soluciones al sistema son: x1 = 11,2709 ; x2 = −5,9552 ; x3 = 2,498 W 1,3
=
(144,25% ;
76,21 ; 31,97)
−
7. Un analista de valores predice que existe igual probabilidad para la ocurrencia de (1) un boom, (2) crecimiento controlado, y (3) una severa recesión, durante el próximo año. Bajo estos tres estados de la economía, él proyecta los retornos para. el portafolio de mercado (M) y los bonos de la Tesorería General de la República., como se muestra en la tabla siguiente:
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Probabilidad del estado Retorno del portafolio mercado Retorno de los bonos Tesorería
Optimista
Normal
Pesimista
(Boom)
(Crecimiento controlado)
(Recesión)
de
1/3 20%
1/3 15%
1/3 -5%
de
7%
7%
7%
Además usted sabe que existen dos títulos financieros, acciones de Endesa y ColoColo, cuyos retornos accionarios se encuentran correlacionados en forma perfecta y negativa. a) ¿Cuál es la ecuación para la línea de mercado de capitales? La definición dada por W. Sharpe (1966) para la Línea del mercado de Capitales (LMC), establece que la rentabilidad a exigir a un activo se debe ponderar por el nivel de riesgo total del activo, es decir: σ Rp [10% − 7%] * σ Rp LMC = Rf + [ E ( Rm) − Rf ] * ⇒ LMC = 7% + σ 10 , 8 % Rm Lo anterior considerando como Rf a los bonos de tesorería, una rentabilidad esperada para el mercado de un 10 por ciento y un riesgo total de mercado (Desviación Estándar) igual a 10,8 por ciento
b) ¿Cuál sería el retorno esperado y la desviación estándar para el portfolio en el cual 50% sea invertido en bonos de la Tesorería y 50% en el portfolio de mercado? E ( Rp ) = 50% * Rf + 50% * E ( Rm) = 0,5 * 0,07 + 0,5 * 0,1 = 8,5%
Por definición sabemos que la varianza de un portafolio compuesto por un activo libre de riesgo y un activo riesgoso es igual: 2 2 2 2 σ Rp = a * σ Rm = 0,5 * 0,01166 = 0,002916 ⇒ D.S = 5,4%
c) ¿Cuál es el retorno esperado y la desviación estándar si se pide prestado un equivalente al 20% de la riqueza para invertir todos los fondos más el préstamo en el portfolio de mercado? Solicitando prestado a la tasa libre de riesgo igual a un 7 por ciento, tenemos que: E ( Rp ) = −20% * 7% + 120% * 10% = 10,6% 2
σ Rp =
2 (1 − a ) 2 * σ Rm
=
1,2 2 * 0,01166 = 0,0168 ⇒ D.S = 12,96%
d) ¿Es eficiente vender corto el portafolio de mercado y depositar los recursos a la tasa libre de riesgo? ¿Por qué? No es eficiente ya que se lograra una rentabilidad esperada del portafolio menor a la tasa libre de riesgo y con una desviación estándar mayor a cero. Debemos recordar que los portafolios eficientes comienzan desde donde se invierte como máximo el total de la riqueza en el activo libre de riesgo hasta invertir más del 100 por ciento de la riqueza en el portafolio de mercado. Ejemplo: Invertimos 120 por ciento en el activo libre de riesgo y venta corta de -20 por ciento del portafolio de mercado “M”:
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E ( Rp ) = 6,4% σ Rp =
2,16%
e) ¿En qué consiste el principio de separación de dos fondos? Explique y grafique. Consiste en que los inversionista pueden invertir parte de su riqueza en el porfolio de mercado y otra parte en el activo libre de riesgo dependiendo de su grado de aversión al riesgo. Los inversionistas más adversos al riesgo se ubicaran a la izquierda del porfolio del mercado, los menos adversos al riesgos se ubicaran a la derecha del porfolio de mercado, es decir pedirán prestado a la tasa libre de riesgo para invertir más del 100 por ciento de su riqueza en el porfolio de mercado.
