Asignatura: Calculo I
Ejercicios Resueltos
Determine el valor de A, B IR , de modo que la función f sea continua en x Asen(3 x) B 5 x f ( x) 3 5 x A(e 1) B 2 x
Se debe verificar que
⇒ ⇒
x 0 x 0 x 0
Asen(3 x)
Luego
5 x
0.
Asen(3 x) 5 x
B =
3 A + 5 B = 15.
B = 3 =
Asen(3 x) 3 x
A(e 5 x 1) 2 x
B
B = A + B = 3
Por otro lado
A(e 5 x 1) 2 x
B
=
(e 5 x
1)
5 x
-B=3
, se tiene
A =
B
=
5A - 2B = 6
Resolviendo el sistema 3 A + 5 B = 15. 5A - 2B = 6
y
B =
Determine y ' para: i) y e x
x 2
2
y ’ = 2x
x
·
x 2 x
+
[ ] ·
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y ’ = 2x
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x 2
·
x
+
[ ] ·
ii) xy 2 x ln( y ) 8 y 3 0 Derivando la función implícita se tiene
⇒ ⇒ ⇒ 2xy 24 y ⇒ +
y² + 2xy· y’ + 2xy· y’ +
· y’ - 24 y² · y’ = 0
· y’ - 24 y² · y’ = -y² -
= -y² -
y’
y’
=
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y x cos(xy) 1en el punto (0,1) Desarrollo: Para determinar pendiente de la recta pedida derivamos la función implícita.
’ ⇒ y ’ 1·cosxy x sexy· y x y’ = 0 ⇒ y ’ cosxy y’ sexy = 0 ⇒ y’1 ⇒ y’ = y x cos(xy) 1
-
-xysen(xy)· - x 2
-x²sen(xy)) = -cos(xy)+ xy sen(xy)
Evaluando en (0,1) se obtiene m= -1 Luego la ecuación de la recta pedida es y = -x +1 Para y ln 2 ( x) , verifique si se cumple que
Como y ln ( x) 2
⇒ y’ =
e
y’’=
1 x
y' y' '
2 x
2
0
· = Ejercicios Resueltos - Calculo I - Pág.: 2
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1
Luego
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y ' y ' '
x
=
= =
2 x
2
2
+
-
+
-
= 0
5) Determine y y luego simplifique:
a)
2 x 3
y
2a 4 x
2
, a constante
b) x y 2 x cos( y ) 8 y 3 3
Solución:
a) y
y
2 2a 4x 2 2x 3
1
2a 4x 8x
2 2a 4x 2
2(a 3x)
2a 4x 2 (a 2x 2 )
2 2a 4x
1 2 2
2
8x 2 12x
2a 4x
2a 4x
2
2
2 (a 3x) (a 2 x )
2 3
b) x 2y y y 2 x sen( y) y cos(y) 24 y 2 y 0
y 2xy xseny 24 y 2 y 2 cos y
y 2 cos y y 2xy xseny 24y 2 6) determine el valor del número a IR de modo que la función f sea continua en x 1 , donde
ax 5 x 1 8 f ( x) x 1 x 1 3 x 1 Ejercicios Resueltos - Calculo I - Pág.: 3
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Como f es continua en x 1 se cumple que lím f (x) lím f (x) , es decir lím x 1
a 5 8
3 2
x 1
ax 5
x 1
8
lím 3 x 1
x 1 x 1
a 7
7) Considere la función , definida como: 2 2 -1 ; si x 0 ln ( 1-a x )+ ln ( 1+ax) f(x)= 2 ; si x 0 x -a
Determine el valor de a∈IR , si existe, de modo que sea continua en x=0
Para encontrar el valor de a debemos verificar las condiciones de continuidad. Claramente en los puntos distintos de 0 la fun ón es continua, por tanto, debemos analizar la continuidad en x=0 i) Existe f(0)=-a ii)Existe . En este caso debemos usar límites laterales.
lim lim f ( x)
x 0
lim (ln(1 a 2 x 2 ) ln(1 ax ) 1 ) x 0
lim [ln((1 ax )(1 ax )) ln(1 ax )] x 0
lim ln(1 ax) x 0
0 lim ( x a) a 2
x 0
Entonces, para que el límite exista, y además sea igual a f(0); obtenemos: a=0. 3
2
8) Muestre que la recta tangente a la curva (x-2y )ln(x ) – y = 0 en el punto P(1, 0) y la recta 3-x
normal a f(x) = xe
en el punto de abscisa x = 3 se intersectan intersectan en el punto
Q(73 ,
8 3
).
3 2 Para determinar la recta tangente a (x-2y )ln(x ) – y y = 0 en P(1, 0), derivamos implícitamente, despejamos y’ y luego evaluamos en P: 2
2
(
3
(1 - 6y y ' ) ln( x ) + x - 2y
)
2 x 2
x
3
- y ' = 0
⇔
2
ln( x ) +
2 x - 2y x 2
ln( x ) +
Recta tangente:
y T - 0 = 2( x - 1)
2
3
2 x - 2y
)
x 6y ln( x ) + 1
⇔
y ' =
⇒
y ' (1,0) =
⇔
(
2
= 6y y ' ln( x ) + y '
2
0+2
0+1 y T = 2 x - 2
2
=2
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Para determinar la recta normal a f(x) = xe f(3)): f ' ( x) e 3- x - xe 3- x e 3- x (1 - x ) Recta normal : y N - f (3)
1 2
en x = 3, obtenemos f’(x) y luego evaluamos en (3,
f ' (3) e 0 (-2) -2
( x - 3)
1
y N - 3 x y N
Calculamos la intersección de ambas rectas:
Verificando así que el punto de intersección es
y T = y N
7 3
,
9) Analice la continuidad de la siguiente función:
4 5
4 13 = √ 413 21 45
8 3
3
2 2 x 3 2 2
⇔
2 x - 2 =
x
+
3
⇔
2 2 4 x - 4 = x + 3
⇔
3 x = 7
⇔
x =
7 3
, y T ( 73 ) =
8 3
.
1 1 4 4 2 2
Notamos que las funciones que componen cada parte de la función en los distintos intervalos son continuas. Veamos ahora si f es continua en los puntos donde cambia de definición, es decir, en x=-1/4 y en x=2 En x=-1/4: i. ii.
f(-1/4)=4/3
: (Límites laterales)
Por la derecha:
Por la izquierda:
4 13 = = √ 413 2 =43 = 45= 3164 Ejercicios Resueltos - Calculo I - Pág.: 5
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∴
no existe. Luego f no es continua en x=-1/4.
En x=2: i. ii.
f(2)=2/3.
(límites laterales)
Por la derecha:
= = √ 2 4= √ 2 √ √ 413 4 13 4 = 2√ 413 = √ 413 =23 4 13 4 13 ∴ = = ==232 =23
Por la izquierda:
iii.
2 = 45 1 =23 413 4 13 413 4 13 413 4 13
Entonces f es continua en x=2.
10) Analice la continuidad de la siguiente función. Repárela si fuese necesario.
ℝ
2 2 = 2
Notemos que Dom(f)= -{0}. Claramente f presenta una discontinuidad en x=0.
Verifiquemos si la discontinuidad es reparable. Para esto. Debemos verificar si el límite de f tendiendo a 0 existe:
2 2 2 2 = 22(1 ) 21cos1cos =1 = 2 2 4 1cos 1cos = 2 222 1cos 1cos= = 12 102=0
Aplicando factorización, álgebra de límites y límites especiales obtenemos el valor del límite igual a 0, por lo tanto, la función si se puede reparar, y es de la siguiente forma:
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2 2 2 2 ̃ = 0 2 =00
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