ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECANICA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS I EJERCICIOS REPASO RESISTENCIA DE MATERIALES Docente: Ing. Javier Orna
Nombre: Henry Toro Código: 6647 CARGA AXIAL −6
2
1. Una barra de acero de 0.5 m de longitud y 200 x 10 m ,
de área está −6
600 x 10 m
unida a una barra de latón de 0.8 m de longitud y
2
, de área,
como se muestra en la figura. Para una carga aplicada P= 18 kN, determinar: a) El esfuerzo unitario en cada barra b) El alargamiento total en el sistema c) La deformación unitaria en cada barra.
Lacero =0.5 m A acero =200 x 10−6 m2 Eacero =200 GPa Llaton=0.8 m −6
A laton=600 x 10 m
2
Elaton=105 GPa P=18 kN
18 000 N 200 x 10−6 m2
→
σ Acero =90 MPa
18 000 N 600 x 10−6 m2
→
σ Acero =30 MPa
σ Acero=
σ laton=
δ Acero=
P L Acero 18 000 N (0.5 m) = E acero Aacero ( 200GPa ) 200 x 10−6 m2
→
δ Acero =0.225 mm
P Llaton 18 000 N ( 0.8 m) = E laton Alaton ( 105GPa ) 600 x 10−6 m2
δ laton=
→
δ laton=0.228 mm
δ Total =δ acero +δ laton δ Total =0.225 mm+0.228 mm δ Total =0.453 mm
δ Acero 2.25 X 10−4 m = L 0.5 m
→
ε Acero =4.5 X 10
δ laton 2.28 X 10−4 m = L 0.8 m
→
ε laton=2.85 X 10−4
ε Acero=
ε laton=
2.La carga de
800 lb
−4
está soportada por los cuatro alambres de acero
inoxidable 304 que están conectados a los elementos rígidos AB y DC. Determine el ángulo de inclinación de cada elemento después de aplicar la carga. Los elementos estaban en un principio en posición horizontal y cada cable tiene un área transversal de 0.05 pulg
Elemento AB
2
.
+¿ ∑ Fy=0 ↑¿
T AH −800lb +T BC =0 T AH +T BC =800 lb
+¿ ∑ M A=0↷ ¿ 12∈¿ ¿ 60∈¿=0 ( 800 lb ) ¿ T BC =160 lb T AH =640lb 54 ∈¿ ¿ (160 lb)¿ T BC . L BC δ B /C = =¿ A .E −3
δ B /C =6.35 x 10 ∈¿ 54∈¿ ¿ (640 lb) ¿ T .L δ A / H = AH AH =¿ ¿ A .E δ A / H =0.025∈¿ Elemento CD
+¿ ∑ Fy=0 ↑¿ T DE−640lb+T CF −160lb =0 T DE +T CF =800 lb
+¿ ∑ M D =0 ↷ ¿
24∈¿ ¿ 84∈¿=0 84∈¿−T CF ¿ ( 640 lb ) ¿ T CF =342.86lb T DE=457.14 lb 48∈¿ ¿ (342.86 lb) ¿ T CF . LCF δ C/ F = =¿ A .E
δ C/ F =0.012∈¿ 48∈¿ ¿ (457.14 lb) ¿ T .L δ D / E = DE DE =¿ ¿ A. E δ D / E =0.016∈¿
84∈¿ 0.016∈−0.012∈ ¿ ¿ δ D−δ C δ D / E −δC / F tgθ= = =¿ 7 ft 7 ft θ=0.003°
60∈¿ tg(0.003 °)=
δH ¿
δ H =3.14 x 10−3 ∈¿
60∈¿ 0.025∈+3.14 x 10−3 ∈−6.35 x 10−3∈ ¿ ¿ δ A −δ B δ A / H + δ H −δ B / C tgα= = =¿ 5 ft 5 ft α =1.25 °
3. Una barra rígida descansa sobre columnas de aluminio y acero, como se muestra en la figura. Determine la inclinación de la barra horizontal después de que ocurre una elevación de temperatura de 100ºC. Suponga que los coeficientes de expansión térmica del aluminio y el acero son, respectivamente, 23.2x10-6/ºC y 11.7x10-6/ºC. Dibuje con una escala aumentada la posición de la barra después de la elevación de la
temperatura. ¿Qué esfuerzos se desarrollaron en las columnas si sus partes superiores están impedidas de dilatarse? sean los módulos elásticos del aluminio y del acero, respectivamente, 75 GPa 200 GPa.
ρ=α ∆ TL
ρ A =α ∆TL ρ A =(23.2 ×10−6 )(100 ℃)(200 mm) ρ A =0.464 mm
ρB =α ∆ TL ρB =(11.7 ×10−6 )(100 ℃)(300 mm) ρB =0.351 mm
tgα=
ρ A −ρB L
tgα=
0.464−0.351 400 −4
α =0.01618 °=2.824 × 10 rad
σ =εE=
σ 1=
ρ E L
0.464 mm ×75 GPa 200 mm
σ 1=174 MPa
σ 2=
0.651 mm × 200GPa 300 mm
σ 2=234 MPa
4. Una barra rígida está soportada por un pasador en A y dos alambres linealmente elásticos en B y C, como se muestra en la figura. El área del alambre en B es de 80 mm 2 y el área del alambre en C es de 100 mm 2. Determine las reacciones en A, B y C causadas por la fuerza aplicada P = 6 kN.
∑ F y =0 −R A−T B +T C =6 KN ( 1 )
∑ F y =0 500 T B+ 1000T C −1500∗6 KN =0 T B +2T C =18 KN ( 2 )
2 δ B=δ C 2 T B LB T C LC = AB E AC E 2 L B=LC
2 T B LB T C 2 L B = AB E AC E T B TC = AB AC T B=
AB 80 T C= T AC 100 C
T B=0.8 T C (3 )
T B=5.14 KN T C =6.42 KN R A =−4.71 KN
5. El tubo AB fabricado de una aleación de magnesio AM1004-T61 está cubierto con una placa rígida E. El espaciamiento entre E y el extremo C de la barra circular sólida CD, fabricada de una aleación de aluminio 6061-T6, es de 0.2 mm cuando se tiene una temperatura de 30°C. Determine la temperatura más alta que se puede alcanzar sin causar la cedencia, ya sea en el tubo o la barra. No tome en cuenta el espesor de la tapa rígida.
σ CD =
F 107 442.47 = =218.88 MPa ACD π ( 0.025 )2 4
( δ T ) AB =α Mg ∆ T L AB=26 x 10−6 ( T −30 )( 300 ) =7.8 x 10−6 (T −30 )
( δ T )CD =α Al ∆ T LCD =24 x 10−6 ( T −30 ) ( 450 )=0.0108 ( T −30 ) δ=[ ( δ T ) AB−( δ F ) AB ] + [ ( δT )CD −( δ F )CD ]
[
0.2= 7.8 x 10−6 (T −30 )−
]
107 442.47(300) 107 442.47(450) +[0.0108 ( T −30 ) − ] 2 2 9 π 2 9 π ( 0.025 −0.02 ) 44.7 x 10 ( 0.025 ) 68.9 x 10 4
T =172° C
6. Una viga con una fuerza de 500 kN en un extremo está soportada por un cable apuntalado como se muestra en la figura. Encuentre la componente horizontal y vertical de las reacciones en A, B y D. Si el esfuerzo permisible de tensión es de 140 MPa y el permisible de compresión es de 100 MPa. ¿Cuál es el área transversal requerida de los miembros AC, BC y CE?
tan β=
9 12
β=36.8699 ° tan α =
12 21−12
α =53.1301°
A
T CA β
T CA θ γ T CE α
B
Elemento DEF
D
T CE
Fy=¿ 0+↑ ∑¿
Dy+T CE sen α−500=0 Dy=500−T CE sen α Fx=¿ 0+→ ∑¿ Dx−T CE cos α =0 Dx=T CE cos α M D =¿ 0+↺ ∑¿ T CE sen α (15 )=500 ( 24 ) T CE =1000 kN Dy=−300 kN
Dx=600 kN ELEMENTO BC
Fy=¿ 0+↑ ∑¿
By +T CA sen β−T CE sen α =0 By=−T CA sen β+T CE sen α Fx=¿ 0+→ ∑¿ Bx−T CA cos β+T CE cos α=0 Bx=T CA cos β−T CE cos α
AC =√ 122 +92=15 mm 15 21 = sen 45 sen θ θ=81.8699°
BC =√ 122+ 122=16.9707 mm 16.9707 21 = sen 53.1301 sen γ γ =81.8661 °
M B=¿ 0+↻ ∑¿ −T CA sen θ+T CE sen γ =0 T CA sen θ=T CE sen γ Como:
θ=γ
T CA =T CE =1000 kN By=200 kN Bx=200 kN PUNTO A
Fx=¿ 0+→ ∑¿ Ax−T CA cos β=0 Ax=T CA cos β=800 kN Fy=¿ 0+↑ ∑¿
Ay −T CA sen β=0 Ay =T CA sen β=600 kN Elemento EC (Tracción)
A=
F 1000 = =7.1429∗10−3 m2 σ 140∗103
Elemento AC (Tracción)
A=
F 1000 −3 2 = =7.1429∗10 m σ 140∗103
Elemento BC (Compresión)
A=
F 282.9739 −3 2 = =2.8297∗10 m 3 σ 140∗10
7. Una plataforma rígida descansa sobre dos barras de aluminio (E=107 psi), cada una de 10 000 in de longitud. Una tercera barra de acero (E=30 x 106 psi) situada entre las 2 anteriores tiene 9.995 in de longitud. a) ¿Cuál será el esfuerzo en la barra de acero si una fuerza P de 100 kips se aplica sobre la plataforma? b) ¿Cuánto se acortan las barras de aluminio?
∑ Fv=0 2 F Al + F Ac −100=0 ρ Al =ρ Ac +0.005 F Al∗L Al F Ac∗L Ac = +0.005 E Al∗A Al E Ac∗A Ac
¿ +0.005 30000 ksi∗4 ¿2 ¿ F Al∗10∈ =¿ 2 10000 ksi∗2 ¿ ¿
F Ac∗9.995∈
5 x 10−4 F Al=8.33 x 10−5 F Ac + 0.005 100−2 F −5 8.33 x 10 (¿¿ Al)+0.005 −4 5 x 10 F Al=¿
F Al=20 kips F Ac =60 kips 20 kips∗10∈
¿ =0.01∈¿ 10000 ksi∗2 ¿2 ρ Al=¿
60 kips∗9.995∈
¿ =0.005∈¿ 30000 ksi∗24 ρ Al=¿
TORSION 1. El eje mostrado en la figura es macizo desde A hasta B y tiene un diámetro de 80 mm y es hueco desde B hasta C, con un diámetro exterior de 80 mm y un diámetro interior de 40 mm. EL esfuerzo cortante admisible es de 70 MPa. Determine el valor admisible de T. Macizo A-B
∅=80 mm
Hueco B-C
∅ext =80 mm
∫ ¿=40 mm ∅¿ τ =70 MPa
Tramo AB
T AB =1.5T
τ max =
T=
16 T AB π ∅3
=
3
16 ( 1.5T ) π ∅3
T=
π ( 0.08 m )3 (70 x 106 Pa) 24
Tramo BC
π ∅ τ max 24
T =4691.45 Nm
T Bc =T
4
∅∫ ¿ ∅ ext 4−¿ ¿ ∅∫4 ¿ ∅ ext 4−¿ ¿ π¿ π¿ 16 T Bc ∅ext τ max = ¿ 4
∅∫ ¿ 4
∅ext −¿ ¿ π τ max ¿ T =¿
T =6597,34 Nm T admisible=4691.45 Nm
2. A)
Determinar el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión por
metro de longitud para una flecha maciza de acero de diámetro, que transmite
200 kW
de potencia a
Datos:
τ máx =? ∅L=1 m=? D=100 mm=0.1 m
de
50 Hz .
B) Diseñe una flecha maciza de acero para transmitir
20 Hz . El esfuerzo cortante admisible es de
100 mm
50 kW
60 MPa .
de potencia a
P=200 kW =200000 W
f =50 Hz ω=2 πf =2 π (50 Hz)
ω=314.1592rad /s P=T .ω
P 200000 W T= = ω 314.1592rad / s T =636.62 N . m τ máx =
16 T máx πD
3
=
16 (636.62 N . m) π (0.1 m)3
τ máx =3.24 MPa ∅=
T máx . L 32T máx . L (636.62 N . m)(1 m) = = 4 9 4 G. J πG . D π (80 x 10 Pa)(0.1 m)
∅=8.11 x 10−4 rad
P=50 kW =50000 W f =20 Hz
τ máx =60 MPa=60 x 106 Pa D=? ω=2 πf =2 π (20 Hz)
ω=125.66 rad /s P=T .ω
P 50000W T= = ω 125.66 rad /s T =397.9 N . m
τ máx =
√
D= 3
16 T máx π D3
√
16(397.9 N . m) 16 T =3 π . τ máx π (60 x 106 Pa)
D=0.03232 m D=32.32 mm 3. Un motor entrega 100 Hp a un eje de 3 pulgadas que gira a 210 rpm. Las poleas toman 50 hp, 30 hp y 20 hp en B, C, y D, respectivamente. Determinar los esfuerzos cortantes en las tres flechas y el ángulo de torsión del extremo D con respecto a A, en la figura.
ω=210 rpm=22 rad /s ∅=3 inch=0.0762 P A =100 Hp=74571.22 W PB =50 Hp=37285.61W PC =30 Hp=22371.36 W PD =20 Hp=14914.24 W
Pot=ω T
T=
Pot ω
T A=
74571.22W 22rad /s
T A =3389.6 Nm
T B=
37285.61W 22 rad / s
T B=1694.8 Nm
T A=
22371.36 W 22 rad /s
T C =1016.88 Nm
T A=
14914.24 W 22 rad /s
T D =677.92 Nm
τ máx =
16 Tmax π ∅3
τ máx AB=
16 ( 3389.6 Nm ) π ( 0.0762 m)3
τ máx AB=39.02 MPa
τ máx BC =
16 ( 1694.8 Nm ) π ( 0.0762 m)3
τ máx BC =19.51 MPa
τ máx CD =
16 ( 1016.88 Nm ) 3 π ( 0.0762 m )
τ máx AB=11.7 MPa
Angulo de Torsión
θ=
T LT 32 T LT = GJ πGθ 4
9
G=80 x 10 Pa
4.8768∈¿ ¿ 32 ( 3389.6 Nm ) ¿ θ=¿ θ=0,062rad
τ máx =3.24 MPa
4. Los ejes son de acero A-36 y tienen el mismo damero de 4 in. Si se aplica un par de torsión de 15 kip ft sobre el engrane B, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en el eje, determine el Angulo de giro de dicho engrane.
∑ MA=0 TA−15+ TC=0 TA−15+ 0.5 F=0
TA=15+ 0.5 F
∑ ME=0 −TE+ TD=0 TE=TD =F
Sc=Sd ∅ c rc=∅ d rd
( ∅ ab+∅ bc ) rc=∅ de rd
( TabGJ× Lab + TbcGJ× Lbc ) rd=( TdeGJ× Lde )rc ( ( Tab × Lab )+ ( Tbc × Lbc ) ) rd=( Tde × Lde ) rc
[ ( 15−0.5 F )( 2.5 )−0.5 F ( 2.5 ) ] 0.5=F (3 )( 1 ) 18.75−1.25 F=3 F F=4.412 kips
TA=12.794 kips ft TB=2.205 kips ft
τ max =
16 T π D3
4 ∈¿ ¿ ¿3 ¿ ¿ π¿ 16 ( 12.794 kips ft ) τ max = ¿
τ max =12.21 ksi 12∈¿ ¿ ¿2 ¿ 4∈¿ ¿ ¿ ¿ ( 12.794 kips ft ) ×25 ft × ¿ Tab × Lab ∅ b= =¿ GJ ∅ b=0.0166 rad =0.9511 °
5. El eje de acero A-36 está formado por 2 segmentos: AC tiene un diámetro de 0.5 plg y CB tiene un diámetro de 1 plg. Si el eje está fijo en sus extremos A y B y se somete a un par de torsión de 60 lb. plg/plg uniformemente distribuida a lo largo del segmento CB, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto en el eje.
T A +T B−60
lb. plg (20 plg )=0 plg
T A +T B=1200 lb. plg ∅C/ B =∅C/ A 0.5∈¿ ¿ ¿4 (11 x 106 Psi) ¿ π ¿ 2 (T B−60 x)dx ¿ 20 T (x) dx ∅C/ B =∫ =∫ ¿ JG 0 −6
∅C/ B =18.52 x 10 T B −0.011112
5∈¿ ¿ 0.25∈¿ ¿ ¿ π ¿ 2 T A¿ ∅C / A =¿ −6
∅C/ A =74.08 x 10 T A 18.52 x 10−6 T B −0.011112=74.08 x 10−6 T A 18.52T B −74.08T A =11112 T A +T B=1200 lb. plg 18.52T B −74.08T A =11112 74.08T A +74.08 T B =88896 −74.08 T A +18.52 T B=11112 92.6 T B=100008
T B=1080 lb.∈¿ T A =120 lb .∈¿
120 lb .∈¿ ¿ 0.5∈¿ ¿ ¿ π¿ 16 ¿ 16T A τ max AC = =¿ 3 πD
τ max AC =4.89 Ksi
1080 lb .∈¿ ¿ 1∈¿ ¿ ¿ π¿ 16 ¿ 16 T B τ max BC = =¿ π D3
τ max BC =5.5 Ksi
6. Los cilindros sólidos AB y BC están unidos en B y se encuentran adheridos a soportes fijos en A y C. Si se sabe que el módulo de rigidez es
3.7 x 106 psi
para el aluminio y
5.6 x 106 psi
para el latón, determine el
esfuerzo cortante máximo a) en el cilindro AB, b) en el cilindro BC.
Datos: 6
G AB=3.7 x 10 psi GBC =5.6 x 106 psi L AB=12∈¿ LBC =18∈¿ D AB=1.5∈¿ DBC =2∈¿
+¿ ∑ M =0 ↻ ¿ T A −12 kip .∈+T C =0 T A +T C =12 kip.∈¿
∅B / A +∅B /C =0 T A . L AB −T B . LBC + =0 G AB . J AB GBC . J BC
1.5∈¿ ¿ 18∈¿ ¿ 2∈¿ ¿ ¿4 ¿ 12∈¿(5.6 x 106 psi)¿ ¿ ¿ (3.7 x 106 psi)¿ G . J .T . L T A = AB AB B BC =¿ L AB . G BC . J BC T A =0.3136 T C
T A +T C =12 kip.∈¿ 0.3136 T C +T C =12 kip .∈¿ T C =9.52 kip.∈¿ T A =2.98 kip .∈¿
2.98 kip .∈¿ ¿ 1.5∈¿ ¿ ¿ π¿ 16 ¿ 16 T A τ AB = =¿ π D AB2 τ AB =4.5 ksi 9.52kip .∈¿ ¿ 2∈¿ ¿ ¿ π¿ 16 ¿ 16 T C τ BC = =¿ π DBC 2
τ BC =6.06 ksi
7. Los ejes A y B están hechos del mismo material y tienen la misma área de sección transversal, pero A tiene una sección transversal circular y B tiene una sección transversal cuadrada. Determine la relación de los pares máximos TA y TB que pueden aplicarse con seguridad en A y B, respectivamente.
Considerando como c al radio de la sección circular y b el lado del cuadrado: 2
π∗c =b c=
2
b √π
Para la sección cuadrada:
a a=b ; =1 b Con el factor a/b se obtiene el valor de la constante c1 y c2 que en este caso:
c 1=0.208 c 2=0.1406 Entonces:
τ B=
TB 2
c 1∗a b
=
TB 0.208∗b3
T B=0.208 b 3 τ B Para la sección circular:
τ A=
T AC∗c T 2T = AC = AC3 J π ∗C2 π∗c 2 π T A= c3 τ A 2 La relación será:
π b 3 π 3 ( ) τ c τA TA τ 2 √π A 2 = = =1.3562 A 3 3 T B 0.208 b τ B 0.208 b τ B τB
FLEXIÓN 1. La viga con voladizo se fabricó incluyendo en ella un brazo proyectado BD. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga ABC si soporta una carga de 800 lb.
∑ M C =0 3 4 800∗10− F DE∗4− F ∗2=0 5 5 DE F DE=2000 lb
∑ F Y =0 3 −800+ 2000−C Y =0 5 CY =400 LB
∑ F X =0 4 −C X + (2000)=0 5 C X =1600 lb
M (lb ft)
V (lb)
400 x (ft)
6
x (ft)
6
10
10 -1600
-800
-4800
2. Una viga de acero está sujeta a las cargas mostradas, determine: a) El diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores, además el punto donde ocurre el momento máximo. b) Determine el máximo esfuerzo de flexión en tensión y compresión y dónde ocurre? c) El esfuerzo tangencial máximo y dónde ocurre. 6000 lbF
16000 lbF
∑ M F =0 −10000 ( 14 )+ 10000+ R C ( 10 )−6000 ( 8 )−16000 ( 2 )=0 RC =
210000 =21000 lb F /¿ 10
∑ F Y =0 −10000−6000+21000−16000+ RF =0 RF =11000 lb F /¿ Diagrama de Fuerzas Cortantes
Diagrama de Momentos
∑ M A =0 lbF . ft ∑ M B =−10000 ( 2 ) =−20000 lbF . ft
∑ M C=−10000 ( 4 ) +10000=−30000 lbF . ft ∑ M D=−10000 ( 7 ) +10000+21000 ( 3 )−6000 ( 1 )=−3000 lbF . ft
∑ M E=−10000 (10 )∗10000+21000 ( 6 ) −6000 ( 4 )=12000 lbF . ft ∑ M F =−10000 ( 14 ) +10000+21000 ( 10 )−6000 ( 8 )−16000 ( 2 )=0 lbF . ft
Análisis Tramo EF
b
x
∑ F Y =0 −10000−6000+21000−4000(x−10)−V =0 −10000−6000+21000−4000(x−10)=V
45000−4000 x=V 45000−4000 x=0
x=11,25 ft
∑ M b=0 −10000 ( x ) +10000+21000 ( x −4 )−6000 ( x−6 )−
4000 ( x−10 )2 −M f =0 2
M f =−10000 ( x )+ 10000+ 21000 ( x −4 )−6000 ( x−6 ) − M f max=15125lb F . ft b)
σ=
Mc I
´y =
∑ A ´y = (50 x 50 x 25 x 2 ) + ( 50 x 200 x 100 ) ( 50 x 50 x 2 ) + ( 50 x 200 ) ∑A
´y =
1125000 =75 mm 15000
4000 ( x−10 )2 2
´y =200−75=125 /¿ ok ‼ Inercia
I EN =∑ I cg + ∑ A ´y 2 I cg=
(
150 x 503 200 x 1503 x2 + =53,125 x 106 mm4 12 12
)(
)
∑ A ´y 2=( 50 x 50 )( 2 ) ( 25 )2 + ( 50 x 200 ) ( 25 )2=9375000 mm 4 I EN =62,5 x 106 mm4 =7,241 x 10−3 ft 4 /¿ σ=
15125 lb F ft (125) ft lb =261,1 x 103 F2 /¿ maximo esfuerzo −3 4 7,241 x 10 ft ft
ocurre a una distancia de 11,25 ft /¿ c)
τ=
Q Sx I EN b
Q=11000 lb F S a=0 S b=150 ( 50 ) ( 50 )=375000 mm 4 S EN =375000+
50 (25)2 =390625 mm3 2
τ b 1=
lb 11000 (0,013243) =134,12 2f /¿ −3 7,24 x 10 (150) ft
τ b 2=
lb 11000 (0,013243) =370,44 2f /¿ Esfuerzo tangencial maximo −3 7,24 x 10 (50) ft
τ b 2=τ EN ocurre en el punto b
3. Determine el esfuerzo normal y tangencial máximo en la viga mostrada en la figura, además indique la Pdistancia y el punto dónde ocurren esos 1 esfuerzos máximos.
A
Ax
D
B Ay
P1=1.8∗145=261 kN Fy=¿ 0+↑ ∑¿ Ay −90−261+ Dy−90=0
Ay + Dy=441
C
E
Dy
M A=¿ 0+ ↻ ∑¿ 80 ( 0.6 ) +261 ( 1.5 )−Dy ( 3 ) + 90 ( 3.9 )=0 Dy=265.5 kN Ay =175.5 kN Mediante el cálculo de áreas:
−175.5
Cálculo del Momento de Inercia con respecto al eje neutro:
3
(
3
)
171(352) 82.05 ( 332.4 ) I= − 2=119263525.6 mm4 =1.1926 x 10−4 m4 12 12 Primer momento de área:
Sx a =0 Sx b =171 ( 9.8 )( 171.1 )=2.8673 x 10−4 m3 Sx en =2.8673 x 10−4 + (6.9 e−03 )( 166.2e-03 )( 83.1e-03 )=3.8203 x 10−4 m3 −4 3 Sx c =171 ( 9.8 ) ( 171.1 )=2.8673 x 10 m
σ MAX
Para el
σ MAX =
el momento flector debe ser el máximo:
Mfmax ´y 130,5097 kNm∗0.1662m = =181.8775 MPa I 1.1926 x 10−4 m4
Cuando se encuentra a 0.59 m a laderecha del punto B Para el
τ MAX
el cortante debe ser el máximo, el espesor mínimo y el primer momento de área máximo:
τ MAX =
Sx V 3.8203 x 10−4 m3∗175.5 kN = =81.4761 MPa I b 1.1926 x 10−4 m4∗6.9 x 10−3 m
Se produce en la fibra del eje neutro de los puntos A , B ,C Y D
4. Determine el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga mostrada en la figura. Además determine la deflexión máxima si se conoce E = 3500 ksi, I = 1450
in
4
Método de los Tres Momentos Tramo ABD
M A ( L AB ) +2 M B ( L AB + L BD ) + M D ( L BD )=−6 α BA −6 α BD 1.5 ( 2 )+ 2 M B ( 2+2 ) +2 M D =
3+8 M B +2 M D =
−6 1 ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 1 1.25 2 1.25 1 + 1+ + − 1+ 2 3 4 3 4 2 3 2 3
(
( )
−3 4
8 M B +2 M D =−3.75 Tramo BDF
1.62 ( 2.8 ) 1 (2.8) 4 ( 2.8 ) 5 6 ( 2.8 ) 1 1.25 1 1.25 2 4.85 ( 2.8 ) 1 1+ − + (2.8)− (¿) 3 2( 2) 2( 2) 3 2 ( 2.8 ) 3 2 ( 2.8 ) 3 2 M B +2 M D ( 2+2.8 )+ 2.8 M F=−6 ¿ 2.8−
( )
2 M B +9.6 M D =−32.3 M B=0.4 M D =−3.44 Tramo AB
∑ Fy=0 R A + R ' B−4=0
R A =2.95
( ))
∑ M A =0 4 (2 )−2 R ' B −1.5−0.4=0
R ' B =1.05
Tramo BD
∑ Fy=0 R ' 'B =3.17
∑ M A =0 2.5+0.4+ 3.44−2 R ' D =0
R ' D=3.17
Tramo DF
∑ Fy=0 R ' ' D−1.732−2.7+ R F=0
R ' ' D=3.532
∑ M A =0 2 2.7 1+ ( 2.8 ) −2.8 R F−3.44=0 3
(
)
Reacciones:
R A =2.95T ↑ RB =R ' B + R ' ' B =2.12T ↓ R D=R ' D + R ' ' D =6.7 T ↑ RF =0.9 T ↑
RF =0.9
EIy=0.13 ( X −3 )3 +1.3 ( X−5 )3−1.5 ( X−7.2 )3 −0.5 X 3−0.25 X 2+1.25 ( X −4 )2 +7.5 X−6.75 Ymax→ x=4
EIy=−12.62T .m3=−1696810 kip .i n3 Ymax=
−1696810 kip .i n3 =−0.334 ∈¿ (3500 ksi)(1450 i n4 )
5. Determine el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga mostrada en la figura. Además determine la deflexión máxima si se conoce E = 29000 ksi, I = 1870 ��4
∑ F y =0 R A −22−3−6+ Re =0 R A =17,445
∑ M A =0 22 (3,5 )+ 3 ( 3 )+ 6 ( 6 )−R e ( 9 )=0 Re =13,545
∑ F y =0 Re −4−12+ R f =0 R E=8
∑ M E=0
4 (3 )+ 12 ( 3 ) −RF ( 6 )=0 RF =8
∑ F y =0 −13,545+ R c −48+ R D −8=0 Rc =38,94
∑ M c =0
−13,545 ( 2 ) +48 ( 4 ) −R D ( 8 )+ 8 (10 )=0 R D=30,6
} =17,45 left (X-2 right ) -3 left (X-5 right ) -6 left (X-8 right ) - {{2X} ^ {2}} over {2} EI Y ¿
EI Y ' =17,45
( X −2)2 3 ( X−5 )2 6 ( X −8 )2 X 3 − − − +C 2 2 2 3 3
EIY =17,45
3
3
( X −2) 3 ( X −5 ) 6 ( X−8 ) X 4 − − − +CX + D 6 6 6 12
X =2 Y =0
AC 1+ D1=1,33 X =11 Y =Y B EIY B =765,1+11 C1 + D1
} =-13,5X+38,9 left (X-2 right ) +30,6 left (X-10 right ) - {{4X} ^ {2}} over {2} ¿ EI Y 3
X −10 ¿ ¿ 30,6 ¿ 2 2 −13,5 X 38,9 ( X−2) ' EI Y = + +¿ 2 2
X −10 ¿3 ¿ 30,6 ¿ 2 −13,5 X 3 38,9( X −2) EIY = + +¿ 6 6
X =2Y =0
2C 2 + D2=20,6 X =10Y =0 10 C2 + D2=597,2 X =0 Y =Y E EI X Y E =D2
} =8X-4 {X} over {2} - {{2X} ^ {2}} over {2} ¿ EIY
EIY ' =4 X 2− X 2−
EIY =
X3 +C 3
4 X3 X3 X4 − − +CX+ D 3 3 12
C2 =72,075 D2=−123,55 C1 =−98,8 D1=199,1 C3 =−4,925 D3=−78,45 X =0 Y =Y E EIY E=D3
X =6 Y =0
6 C3 + D3 =−108 X −2 ¿ ¿ ¿3 ¿ EI Y =17,45 ¿ X ¿ ¿ ¿3 ¿ EI Y =−13,5 ¿ 3
3
4
4X X X EI Y = − − −4,9 X−78,45 3 3 12 −3
Y 1=1,28 X 1 0 mm X=0 Y 2=−1,72 X 1 0−3 mm X=5 Y 3=−2,04 X 1 0−3 mm X=8 Y 8=−7,94 X 1 0−4 mm X =11 Y 4 =1,4 X 1 0−4 mm X=17 −4
Y 5=−4,68 X 1 0 mm X =26
6. La tabla cerca se coloca entre los tres postes lisos fijos. Si los postes permanecen sobre la misma línea, determine el esfuerzo flexionante máximo en la tabla. Ésta tiene una anchura de 6 plg y un grosor de 0.5 plg. E=1.6 x 103 ksi. Suponga que el desplazamiento de cada extremo de la tabla en relación con su centro es de 3 plg.
E=1,60 × 103
d=3 pulg
Mf =R ex −R B (x−4) 2
EIθ=R e
( x−4 ) x2 −R B +C 2 2
EIY =R e
( x−4 ) x3 −R B + Cx+ D 6 3
3
x=0
D=0
4 256 C= R B − R 3 3 C
x=8
400000−
16 96 RB − RC 3 3
RC =18750 lb
∑ M A =0 −R D∗4 + RC∗8=0 2 R C =R B RB =37500 lb M A=75000 lb ∈¿ σ=
75000∗0,25 0,0665
σ =300000 Psi
CORTE 1. Tres soleras de acero, cada una de ¼ plg x 2 plg están unidas mediante un solo perno de ¾ plg que ajusta estrechamente en los agujeros. El esfuerzo de tensión admisible en la barra es de 22000 lb/plg2, el esfuerzo cortante permisible en el perno es de 10000 lb/plg2 y el esfuerzo de aplastamiento admisible entre las placas y el perno es de 48500 lb/plg2. Determinar la carga máxima P que puede aplicarse
σ =22000
lb 2 ¿
τ =10000
lb 2 ¿
σaplast .=48500
lb 2 ¿
Mediante Esfuerzo Normal:
p=
σ∗5 22000∗5 = =6875 lb 16 16
Mediante Esfuerzo Cortante: 2
3 =6981.31 lb 4
()
p=τ∗2 A=10000∗π∗
Mediante Aplastamiento:
p=
τ aplast ∗3 18500∗3 = =9093.7516 lb 16 2
Como la carga menor se da en esfuerzo normal, la carga máxima segura que se puede soportar es:
pmax =6875 lb
σ=
Mc R =R C + R A I B
2. El eje y la polea usualmente se juntan por medio de una chaveta como se muestra en la figura. Considere que la polea transmite un momento de 1000 N.m por una chaveta de 1x1x8 cm al eje. EL diámetro del eje es de 5 cm. Determine el esfuerzo cortante en un plano horizontal a través de la chaveta.
2
−4
2
A corte=1∗8=8 cm =8 x 10 m M =1000 Nm
r=5 cm=0.05 m M =F∗r
F=
τ=
M 1000 = =20 000 N r 0.05
F 20000 N = =250 MPa A corte 8 x 10−4 m2
F’
F M 3. El pasador de acero B de la conexión mostrada en la figura tiene un área de su sección transversal de 500 x 10-6 m2. El esfuerzo cortante que se presenta en el pasador cuando la conexión está cargada axialmente a tensión es de 130 MPa. Encontrar la deformación unitaria en la barra de acero A. El área de la sección transversal es de 25 x 10-6 m2 y E = 200 GPa.
τ=
T 6A
6
−6
T =130 ×10 ×6 ×500 ×10 T =390 KN σ =εE
ε=
ε=
σ E
390 KN 25 × 10−6 × 200× 109 ε =0,078
4. Dos planchas de madera, cada una de ½∈¿ de espesor y
9∈¿
de
ancho, están unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura. Si se sabe que la junta fallará a lo largo de su grano cuando el esfuerzo cortante promedio en el pegamento alcance
1.2 ksi , determine la
magnitud P de la carga axial que causará una falla en la junta.
Datos:
1 e= ∈¿ 2 h=9∈¿
τ =1.2 ksi
P=? 5 ∈¿ 8 ¿ 1 ∈¿ 2 ¿ A=¿
τ=
F P = A corte 6 A
P=6 A . τ P=6
( 165 ¿ )( 1.2 ksi ) 2
P=2.25 kips
RECIPIENTES A PRESION 1. El tanque del compresor de aire está sometido a una presión interna de 90 psi. Si el diámetro interior del tanque es de 22 pulg y el grosor de su pared es de 0.25 pulg, determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto A. Dibuje un elemento de volumen del material en este punto y muestre los resultados sobre dicho elemento.
Datos:
Pi=90 psi
Di=22∈¿ t=0.25∈¿
σ x =? σ y =? Como:
0.25∈¿ ¿ 2¿ 22∈ ¿¿
r i Di = =¿ t 2t 22∈¿ ¿ 0.25∈¿ 4¿ (90 psi) ¿ P. D σ x= =¿ 4t σ x =1980 psi 22∈¿ ¿ 0.25∈¿ 2¿ (90 psi)¿ P. D σ y= =¿ 2t σ y =3960 psi
2. El tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilíndricas de pared delgada y dos corazas hemisféricas como se muestra en la figura. Si el tanque está diseñado para soportar una presión de 3 MPa, determine el grosor mínimo requerido de las corazas
semicilíndricas y hemisféricas, y el número mínimo requerido de pernos para cada tapa semiesférica. El tanque y los pernos de 25mm de diámetro están hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un diámetro interior de 4 m.
Datos: P= 3 MPa e=? N°perno = ? d=25 mm
σ T =150 MPa σ P=250 MPa D= 4m
σc=
P.D 4. t
150 MPa=
( 3 MPa ) .( 8 m) 4(t )
t=0,04 m=40 mm
σ p=
P. D 4.t
150 MPa=
( 3 MPa ) .(4 m) 4 (t )
t=0,02 m=20 mm
r 4 = =150 >10 t 0,02667
π 2 3 P=σ p . A p =( 250 MPa ) . (0,025 m) =122.72 x 10 N 4
F=P. AC =( 3 MPa ) . +
37,6991 x 106 N −
n s=
π 2 6 (4 m) =37,6991 x 10 N 4
ϵ Fx = 0
ns (122.72 x 103 N ) 2
37,6991 x 106 N 3 122.72 x 10 N
ns ( 122.72 x 103 N ) = 0 2
= 307,2 = 308 pernos.
3. El depósito de la figura está fabricado a partir de dos casquetes semiesféricos de acero S275 (Sy=275 MPa) de 8 m de diámetro interior y 20 mm de espesor, unidos mediante tornillos. El gas contenido en el depósito está a una presión de 2 MPa Se pide: a) Comprobar que no se alcanza el límite elástico en el depósito. b) Indicar el número necesario de tornillos para garantizar la unión si la resistencia a tracción de los tornillos es � = 176,4 kN.
Datos: Sy=275 MPa D=8m t= 20 mm P =2 MPa
σl =
P . D ( 2 MPa ) .(8 m) = =200 MPa 4.t 4 (0,02 m)
no alcanza el limite elástico
σ p=
P. D 4.t
200 MPa=
P=σ p . A p =( 2 MPa ) . +
( 2 MPa ) .(8 m) 4(t )
π (0,02 m)2=6283,18 N 4
ϵ Fx = 0
176,4 kN −
ns (6283,18 N) 2
−n s ( 6283,18 N ) = 0 2
3
n s=
176,4 x 10 N 6283,18 N
= = 28,07 = 29 pernos.
t=0,02 m=10 mm
