UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL Escuela de Formaci´ on on Profesional de Ingenier´ Ingenier´ıa de Sistemas
“Ejercicios Resueltos de Intervalos Intervalos de Confianza y M´ axima axima Verosimilitud” Curso:Estadistica II Sigla: ES-244 Docente: Romero Plasencia, Jackson Macoy Grupo: I Alumnos: - CONGACHE RODRIGUEZ, Edison - HUAMAN PINEDA, Isac - LOAYZA QUISPE, Jhony Crispin - RAMIRES QUISPE, Ruth - SANCHEZ QUISPE, Zoraida
Ayacucho - Per´ u 2015
´Indice 1. Intervalos de Confianza 1.1. Ejercicio 1 . . . . . . . 1.2. Ejercicio 2 . . . . . . . 1.3. Ejercicio 3 . . . . . . . 1.4. Ejercicio 4 . . . . . . . 1.5. Ejercicio 5 . . . . . . . 1.6. Ejercicio 6 . . . . . . . 1.7. Ejercicio 7 . . . . . . . 1.8. Ejercicio 8 . . . . . . . 1.9. Ejercicio 9 . . . . . . . 1.10. Ejercicio 10 . . . . . . 1.11. Ejercicio 11 . . . . . . 1.12. Ejercicio 12 . . . . . . 1.13. Ejercicio 13 . . . . . . 1.14. Ejercicio 14 . . . . . . 1.15. Ejercicio 15 . . . . . .
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2 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10
2. Estimacion Puntual de parametros : M´ etodo de M´ axima Verosimilitud 12 2.1. Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1.
Intervalos de Confianza
1.1.
Ejercicio 1
En una muestra aleatoria de 1000 viviendas en cierta ciudad se encuentra que 228 utilizan petr´ oleo como combustible para la calefacci´ on. Calcule intervalos de confianza del 99 % para la proporci´ on de viviendas en esta ciudad que utilizan petr´oleo con el fin mencionado.
Soluci´ on: n = 1000 x = 228 228 P = 1000 = 0,288 q = 1 − p q = 0,772 99 % de confianza 0.001 de error 0.005
Como no hay 0.005 en la tabla: −2,58−x (494−500)10−5 = (500−508)10−5 x−5,57
x = 2,575714 Z 0,005 ∼ = 2,575 P − Z α/2
(P )(q) n
⇒ 0,228 − 2,575
< P < P + Z α/2
(0,228)(0,772) 1000
(P )(q) n
< P < 0,228 + 2,575
(0,228)(0,772) 1000
0,194 < P < 0,262
1.2.
Ejercicio 2
Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los ni˜ nos ven television. Por estudios anteriores se sabe que la desviacion est´ andar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza de! 99 %. a) ¿Qu´e tama˜n o de muestra se deberfa elegir si el error de la estimacion puntual no es superior a media hora? b) ¿Qu´e costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si esta tiene un costo fijo de $5000 mas un costo variable de $2 por cada entrevista?
Soluci´ on:
2
X :Tiempo promedio por semana que los ni˜ nos ven tv. σ = 19
a) n =
α = 0,01 (2,5752 )(32 ) 0,52
= 238,7
b) C = 5000 + 2x
(0,5) = Z 1− α2 √ σn
1−
0,01 2
= 0,995
≈ 239 ($2 por c/entrevista)
µc = 5000 + 2(239) = 5478
µ = 500
1.3.
Ejercicio 3
Calcule intervalos de confi anza del 95 % para la proporci´ on de art´ıculos defectuosos que resultan de un proceso cuando se encuentra que una muestra de tama˜ no 100 produce 8 defectuosos.
Soluci´ on: n = 100 x = 8 8 P = 100 = 0,08 q = 1 − P q = 0,92
Donde: Z 0,025 = 1,96 P = 0,08 ± (1,96)
(0,08)(0,92) 100
0,027 < P < 0,134
1.4.
Ejercicio 4
Resolver: a) Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes en una ciudad y se encuentra que 114 apoyan un juicio de anexi´ on. Calcule el intervalo de confi anza del 96 % para la parte de la poblaci´on votante que est´ a a favor del juicio. b) ¿Qu´e podemos afirmar con 96 % de confianza acerca de la posible magnitud de nuestro error, si estimamos que la fracci´on de votantes que est´ a a favor del juicio de anexi´on es 0.57?
Soluci´ on: a)
3
n = 200 x = 114 P = 200/114 = 0,57 q = 0,43 Z 0,02 = 2,05 0,57 ± (2,05)
(0,57)(0,43) 200
0,498 < P < 0,642
b) Del error podremos afirmar: ERROR ≤ Z α/2
Pq n
(0,57)(0,43) n
ERROR ≤ 2,05 ERROR ≤ 0,072
1.5.
Ejercicio 5
Un fabricante de reproductores de MP3 utiliza un conjunto de pruebas exhaustivas para evaluar el funcionamiento el´ ectrico de su producto. Todos los reproductores de MP3 deben pasar todas las pruebas antes de ser puestos a la venta. De una muestra aleatoria de 500 reproductores, 15 no pasan una o m´as de las pruebas. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la proporci´ on de los reproductores de MP3 de la poblaci´ on que pasan todas las pruebas.
Soluci´ on: n = 500 x = 500 → a favor y 15 en contra P = x/n P = 0,97 q = 0,03 ⇒ Z 0,05 = 1,645
0,97 ± (1,645)
(0,97)(0,03) 500
= 0,97 ± 0,013
0,957 < P < 0,983
1.6.
Ejercicio 6
Se decide estimar la media x del nivel de ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la poblacion de los puntajes de la prueba para, medir la ansiedad se distribuye
4
normalmente con desviacion estandar igual a 10 puntos. a) Determinar el intervalo para Li con confianza del 95 %, si una muestra aleatoria de tamano 100 ha dado una media de 70 puntos. b) Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98 %, i,es el error de la estimacion puntual superior a 5 puntos? c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso, que action deberia tomar para que el intervalo de estimacion al 95 % sea mas preciso?.
Soluci´ on: X = niveldeinsideil x → N (µ, 102 )
Z 0,975 = 1,96
X : puntajes
a) α = 0,05
n = 100
x = 70
p(x − Z √ σn ≤ µ ≤ x + Z √ σn ) 1,96(10) 10
= 1,96 ⇒ (70 ± 1,96)
b) α = 0,02
Z 0,99
e = 2,33(10/10) = 2,33
NO
c) Si R → 0 ⇒ n → α
1.7.
Ejercicio 7
Se est´ a considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes peque˜ nos, de corto alcance. La probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso se representa con p = 0.8. Se toma una muestra de 40 lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y 34 resultan exitosos. a) Construya un intervalo de confi anza del 95 % para p. b) ¿Con base en sus resultados, concluir´ıa que el nuevo sistema es mejor?
Soluci´ on: a) n = 40 x = 34 P = 30/40 = 0,85 q = 0,15
5
Como el intervalo es a 95 % Z 0,025 = 1,96 0,85 ± (1,96)
(0,85)(0,15) 40
= 0,85 ± 0,111
0,739 < P < 0,961 b) Como P=0.8 y est´ a en el intervalo de confianza, entonces el nuevo sistema no es mejor.
1.8.
Ejercicio 8
Seg´ un estudios realizados por el doctor W. H. Bowen, del Instituto Nacional de Salud, y por el doctor J. Yudben, profesor de nutricion y dietetica de la Universidad de Londres, el consumo regular de cereales preendulzados contribuye al deterioro de los dientes, a las enfermedades cardiacas y a otras enfermedades degenerativas. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas similares del cereal Alpha-Bits, el contenido promedio de azucar era de 11.3 gramos con una desviacion estandar de 2.45 gramos. Suponga que el contenido de azucar esta distribuido normalmente y con base en esto construya un intervalo de coni anza de 90para el contenido medio de azucar de porciones sencillas de Alpha-Bits.
Soluci´ on: n = 20 X = 11,3 S = 2,45 γ = 0,95 = 1 − α α = 0,05 α/2 = 0,25 P (t(19) ≤ t) = 1 − α/2 P (t(19) ≤ t) = 0,975 t = 2,093 IC γ =0,954 IC γ =0,954
µ : X − t µ : 11,3 −
S √ ; X + √ S n t(n−1) n (n−1)
2,45 2,45 √ (2,093); 11,3 + √ (2,093) 20
20
IC γ =0,954 µ : [10,15; 12,45]
1.9.
Ejercicio 9
Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmacion se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que la poblaci´ on de los pesos es normal con una desviaci´ on estandar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza del 98 % para µ, i,se puede aceptar la afirmaci´ on del fabricante? 6
b) ¿Qu´e tama˜ no de muestra se debe escoger para estimar µ si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95 %?.
Soluci´ on: µ = 19
n = 20
α = 0,02
X → N (µ, 22 )
x = 18,5
Z 1−α/2 = 0,99 = 2,33
18,2 − 2,33( √ 220 ) ≤ µ ≤ 18,5 + 2,33( √ 220 ) n =
(1,962 )(22 ) 0,982
= 16
N = 16
1.10.
Ejercicio 10
Una empresa de taxis trata de decidir si comprara neumaticos de la marca A o de la marca B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas realiza un experimento utilizando 12 neumaticos de cada marca, los cuales utiliza hasta que se desgastan. Los resultados son: Marca A: X 1 = 36, 300 kilometros, S 1 = 5000 kilometros. Marca B: X 2 = 38, 100 kilometros, s2 = 6100 kilometros. Construya un intervalo de confianza del 90 % para σ2 /σ2
Soluci´ on: n1 = 12 X 1 = 36,300 S 1 = 5000 n2 = 12 X 1 = 38.|00 S 1 = 6100 γ = 0,9 = 1 − α α = 0,1 α/2 = 0,05 IC γ =0,90 IC γ =0,90
σ /σ : σ /σ : 2 1
2 2
2 1
2 2
S
( S1 )2 2
S
( S1 )2
;
2
F (n1 −1,n2 −1,1−α/2) F (n1 −1,n2 −1,α/2) ( 5000 )2 6100 F (n1 −1,n2
; −1,1−α/2) F (n
( 5000 )2 6100
1 −1,n2 −1,α/2)
7
IC γ =0,90 σ12 /σ22
:
0,67 0,67 ; 2,88 0,355
IC γ =0,90 σ12 /σ22 : [0,238; 1,893] ⇒ Como en el intervalo se encuentra el 1, se toma como σ12 /σ22 .
1.11.
Ejercicio 11
Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtuvo una media de X = 72 y una varianza de S = 16 en un examen universitario de colocacion en matematicas. 2
Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente y con base en esto construya un intervalo de confianza del 98 % para σ 2 .
Soluci´ on: n = 20 X = 72 S 2 = 16 γ = 0,98 = 1 − α α = 0,02 α/2 = 0,01 IC γ =0,98 IC γ =0,98 IC γ =0,98
σ : σ : σ : 2
(n−1)S 2 (n−1)S 2 ; 2 2 X (1−α/2,n−1) X (α/2,n−1)
2
(20−1)S 2 (20−1)S 2 ; 2 X (1−0,001,19) X 2 (0,01,19)
2
(19)(16) (19)(16) ; 7,63 36,2
IC γ =0,98 σ 2 : [8,398;39,843]
1.12.
Ejercicio 12
Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio es u gramos. Suponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion estandar 20 gramos.
a) Estime u de manera que el 99.38 % de las bolsas tengan pesos no superiores a 550 gramos. b) Estime u mediante un intervalo de confianza del 95 %, si una muestra aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos Soluci´ on: X → N (µ, 202 )
X : pesomedio
p(x − Z √ σn ≤ µ ≤ overlinex + Z √ σn ) = 0,95 N = 16
Z 0,975 = 1,95(5) = 9,8
8
(495 ± 9,8) p(x ≤ 550) = 0,9938 550−µ ) 20
p(Z ≤ = 550−µ 20
551−µ 20
= 0,9938
= 0,9938
= 2,5
µ = 500
1.13.
Ejercicio 13
Una muestra aleatoria de tama˜ no n1 = 25, tomada de una poblaci´ on normal con una desviaci´on estandar γ 1 = 5, tiene una media X 1 = 80. Una segunda m.a. de tama˜no n 2 = 36 que se toma de una poblaci´ on normal diferente con una desviaci´ on est´ andar γ 2 = 3, tiene una media X 2 = 75. Calcule un intervalo de confianza del 94 % para µ 1 − µ2 .
Soluci´ on: γ 1 = 5 n1 = 25 X 1 = 80 γ 2 = 3 n2 = 36 X 2 = 75
i) Estimaci´on puntual de µ 1 − mu2 : X 1 − X 2 = 80 − 75 = 5
ii) Error estandar de µ1 − µ2 : γ x1 −x2 =
γ 12 n1
+
γ 12 n2
= + 52 25
32 36
= 1,118
iii) Para el nivel de confianza del 94 % se encuentra: Z o = Z 1−α/2 = Z 1−0,03 = Z 0,97 ⇒ P [Z ≤ Z 0,97 ] = 0,97 Z 0,97 = 1,89 IC γ µ1 − µ2 : [(X 1 − X 2 ) ± Z oγ x1 −x2 ] IC γ µ1 − µ2 : [5 ± 1,89(1,118)]
9
IC γ µ1 − µ2 : [5 ± 2,113] ⇒ 2,90 < µ1 − µ2 < 7,1
1.14.
Ejercicio 14
El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal con una desviacion estandar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes delbanco resultando una media igual a 9 minutos: a) Hallar el nivel de confianza si la estimacion de Ji es el intervalo de 7 a 11 minutos. b) Si µ se estima por x, calcular la probabilidad de que la media de los tiempos de todas las muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.
Soluci´ on: X : tiempo en minutos
X → N (µ, 32 )
n = 9
x = 9
a) (7 ≤≤ 11) b) X − Z (1 − ( α2 )( √ σn )) = 7 9 − Z (1 − ( α2 )( 33 )) = 7 1−
α 2
= 0,9772
→ Z (1 − α2 ) = 2
→ α = 0,0456
→ 1 − α = 0,9544
(6,5 ≤ µ ≤ 11,5) → p(x − Z √ σn ≤ µ ≤ x + Z √ σn ) 9 − Z 1 ( α2 )( √ 39 ) = 6,5 ← Z 1 ( α2 ) = 2,5 1−
α 2
= 0,9938
α = 0,0124
1 − α = 0,9876
1.15.
Ejercicio 15
El Departamento de zoolog´ıa de Virginia Tech llev´ o a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortof´ osforo qu´ımico medido en dos estaciones diferentes del r´ıo James. El ortof´ osforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estaci´o n 1 y 12 muestras de la estaci´ on 2. Las 15 muestras de la estaci´on 1 tuvieron un contenido promedio de ortof´ osforo de 3.84 miligramos por litro y una desviaci´on est´ andar de 3.07 miligramos por litro; en tanto que las 12 muestras de la estaci´ on 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 miligramos por litro y una desviaci´on est´ andar de 0.80 miligramos por litro. Calcule un intervalo de confi anza de 95 % para la diferencia en el contenido promedio verdadero de ortof´ osforo en estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes.
10
Soluci´ on: Para la estaci´on 1: x1 = 3,84 s1 = 3,07 n1 = 15 Para la estaci´on 2: x2 = 1,49 s1 = 0,80 n1 = 11 γ = 0,95 = 1 − α para µ1 − µ2 Distribuci´on t con v grados de libertad: v =
(3,072 /15+0,802 /12)2 [(3,072 /15)2 /14]+[(0,802 /12)2 /11]
= 16,3 ≈ 16
x1 − x2 = 3,84 − 1,49 = 2,45 α = 0,05 t0−025 = 2,120 para v = 16 grados de libertad. 2,35 − 2,120
3,072 15
+
0,802 12
< µ1 − µ2 < 2,35 + 2,120
0,60 < µ1 − µ2 < 4,10
11
3,072 15
+
0,802 12
2.
Estimacion Puntual de parametros : M´ etodo de M´ axima Verosimilitud
2.1.
Ejercicio 1
Leyes de Bernoulli: El conjunto de los valores posibles es [0,1]. El par´ametro conocido es n p. Si (x1 , x2 ,...,xn ) ∈ [0, 1] es una muestra, la verosimilitud vale: L(x1 , x2 ,...,xn ; p) = p xi (1 − p)n− xi
x )log( p) + (n − x )log(1 − p)
i) log(L(x1 ,...,xn; p)) = ( ii) ∂log(x1∂p,...,xn; p) p =
2.2.
=
xi p
+
i
i
n− xi 1− p
xi n
Ejercicio 2
ametro desconocido es Leyes Geom´ etricas: El conjunto de valores posibles es N, el par´ p ∈]0, 1[.Si(x1 ,...,xn ) es una muestra entera, la verosimilitud vale:
L(x1 ,...,xn ; p) = p n (1 − p)
xi −n
i) Log(L(x1 ,...,xn; p)) = nlog( p) + ( 1 ,...,xn ; p)) ii) ∂log(L(x∂p
iii) p =
2.3.
=
n p
+
xi −n 1− p
x − n)log(1 − p) i
n xi
Ejercicio 3
- Sea x1 .x2 ,...,xn una muestra de tama˜ no n, de una distribuci´on binomial B(1, p) donde 0 < p < 1, obtener el estimador de m´axima verosimilitud P (1 − p).
Soluci´ on: P (x, p) = P (x1 ; p)P (x2 ; p)...P (xn; p) = ( pn (1 − p)1−x1 )...( pxn (1 − p)1−xn ) 1er paso para funci´ on de probabilidad: P (x; p) = p
xi
(1 − p)1−
xi
= L(x1,...,xn ; p)
2do paso para funci´ on de probabilidad: ln[L(x1 ,...,xn ; p)] = ln[ p
xi
(1 − p)1−
xi
]=
x ln(n − x ln(1 − p)) i
i
3er paso: ∂ [ln[L(x1 ,...,xn ; p)]] ∂p
=
∂ [ ∂p
x lnp] + i
∂ [n ∂p
−
12
x ln(1 − p)] − i
xi p
xi + −n+ 1− p
4to paso: ∂ [ln[L(x1 ,...,xn ; p)]] ∂p
xi r
=0
xi + −n+ =0 1− p
1− p+ p(−n+ xi ) p(1− p)
=0
x − pn = 0 x = pn i
i
pn = x
Donde: p(1 − p) = x(1 − x) Estimador pn = nxi
13
