EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 4.pdf

Control Estadístico

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

EJERCICIOS DEL CAPITULO 4 EJERCICIO 13: En un problema similar al del ejercicio 11 es necesario garantizar que la resistencia minima que tienen un envase de plástico en posición vertical sea de 20kg. Para evaluar esto se obtuvieron los siguientes datos mediante pruebas destructivas: 28.3 25.2 27.6 29.7 27.6

26.8 30.4 27.3 26.8 25.5

26.6 27.7 26.2 29.5 28.3

26.5 27.0 27.7 28.4 27.4

28.1 26.1 27.2 26.3 28.8

24.8 28.1 25.9 28.1 25.0

27.4 26.9 26.5 28.7 25.3

26.2 28.0 28.3 27.0 27.7

29.4 27.6 26.5 25.5 25.2

28.6 25.6 29.1 26.9 28.6

24.9 29.5 23.7 27.2 27.9

a) Análisis exploratorio (histograma y las estadísticas descriptivas, diagrama de caja) b) Estime un intervalo intervalo de confianza para la media al 95% c) Un estudio suponía que la µ=25. Dada la evidencia evidencia de los datos , ¿tal supuesto es correcto d) Estime un intervalo intervalo de confianza para la desviación estándar al 95% SOLUCION X: RESISTENCIA ENVASE PLASTICO (KG) Del análisis exploratorio podemos concluir lo siguiente: Los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior (20Kg) se cumple con la calidad exigida Media y mediana están alrededor de 27 kg, además su desviación es 1,43kg Coef Var= 5,25% Los límites reales se encuentra el 97,3% entre 22,93 y 31,51Kg El diagrama de caja nos señala cierta simetría de la información y que se encuentra los bigotes alejados de la especificación inferior. Estadísticas descriptivas: resistencia(kg) Variable resistencia(kg)

Conteo total 55

Media 27,220

Desv.Est. 1,430

Variable resistencia(kg)

Q3 28,300

Máximo 30,400

Rango 6,700

CoefVar 5,25

IQR 2,100

Mínimo 23,700

Q1 26,200

Mediana 27,300

Modo 26,5. 27,6. 27,7. 28,1

N para moda 3


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Variable resistencia(kg)

Sesgo -0,12

Kurtosis -0,32

Gráfica de caja de resistencia(kg) 30

28 27,3

) g k ( 26 a i c n e t s i s 24 e r

22

20

20

Histograma de resistencia(kg) Especificación Inferior 20

Normal 22,93

31,51 14

Lim. Real Inferior

14 12

Lim. Real Superior

11

10 a i c n e u c e r F

8

8

7 6

6

4

4

3

2 0

1

20,8

22,4

24,0 25,6 27,2 resistencia(kg)

1

28,8

30,4

Media Desv.Est. N

27,22 1,430 55



Ho: µ=25 kg Ha: µ≠25 kg Como no se conoce la desviación estándar poblacional y el parámetro a probar es la Media Poblacional µ entonces se escoge la distribución 1 T b y c) T de una muestra: resistencia(kg) Prueba de mu = 25 vs. no = 25


N 55

Media 27,220


P 0,000

Media del Error estándar 0,193

Desv.Est. 1,430

IC de 95% (26,833. 27,607)

T 11,52

Valor p < Alfa (0,05) entonces se rechaza ho la media es diferente de 25 El intervalo de confianza: “Con una confianza del 95% se puede afirmar que la media verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 26,833 y 27,607 Kg ” d) Determinar el intervalo de confianza para la desviación estándar para lo cual primero hay que saber si los datos siguen distribución normal o no Gráfica de probabili dad de resistencia(kg) 99

Media D esv .E st. N KS Valor P

HO: los datos siguen una distrb, normal Ha: los datos no siguen una distrb, normal

95 90 80

27,22 1,430 55 0,059 >0,150

ALFA=0.05

e 70 j a t 60 n e 50 c 40 r o P 30

valorp > alfa Se acepta Ho Los datos son normales

20 10 5

1

23

24

25

26 27 28 resistencia(kg)

29

30

31


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Los datos son normales

Prueba e IC para una desviación estándar: resistencia(kg) Método El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas Variable resistencia(kg)

N 55

Desv.Est. 1,43

Varianza 2,04

Intervalos de confianza de 95%


Método Estándar Ajustado

IC para Desv.Est. (1,20. 1,76) (1,22. 1,73)

IC para varianza (1,45. 3,10) (1,49. 2,99)

El intervalo de confianza: “Con una confianza del 95% se puede afirmar que la desviación estándar verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 1,20 y 1,76 Kg”

EJERCICIO 16:



En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Por experiencia se sabe que la densidad minima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32,40 y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cuál da un total de 35 lecturas, de las cuales solo se usa la mínima. A continuación se presente una muestra histórica de 18 densidades mínimas. TABLA DE DENSIDADES 1.81

1.97

1.93

1.97

1.85

1.99

1.95

1.93

1.85

1.87

1.98

1.93

1.96

2.02

2.07

1.92

1.99

1.93

a) Argumente en términos estadísticos si las densidades mínimas individuales cumplen con la especificación de 1.5 micras. Sugerencia aplique la regla empírica. b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima. c) Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interprete los resultados.

Solución: X: densidad mínima (grosor) micras Variable Aleatoria Continua (MEDICION) Especificación Inferior: Ei= 1,5 micras Regla Empírica: µ ± 3 σ ( Es lo mismo que los limites reales)

El proceso es capaz ya que los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior tanto así aplicando 6 sigma se obtiene un limite µ±6σ de 1.5522 es decir que de 1 millón de CD existen “0” que no cumple esa calidad.

Como se puede apreciar en el siguiente gráfico:


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Especificación Inferior

Histograma de Densidad Normal

1.5

1.5522

1.746

2.1338 7

7

Lim. Real Superior

Lim. Real Inferior

6

1.94 0.06463 18

5

5 a i c n 4 e u c e r 3 F

3 2

2 1

1 0

Media Desv.Est. N

1.56

1.68

1.80 Densidad

1.92

2.04

De acuerd o a lo s resultados los datos cu mple con la especificación mínima dado el 99.7% de los datos es superior 1.75 micras

b) Para hallar el intervalo de confianza de la “µ” Como la varianza poblacional es desconocida se aplica “1T”

Utilizando el Minitab: T de una muestra: Densidad

Variable Densidad

N 18

Media 1.9400

Desv.Est. 0.0646

Media del Error estándar 0.0152

IC de 99% (1.8959, 1.9841)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la media verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 1.8959 y 1.9841 micras”

C) Para hallar el in tervalo de confianza de la “σ”, para lo cual es necesario determinar si los datos siguen o no una distribución NORMAL para lo cual utilizamos la prueba o TEST de NORMALIDAD prueba de KOLMOGOROV como se observa a continuación:



99

Ho: Los datos son normales Ha: Los datos no siguen distribución normal

Media Desv.Est. N KS Valor P

95

Valor p > Alfa

90 80 e 70 j a t 60 n 50 e c r 40 o P 30

1.94 0.06463 18 0.161 >0.150

Acepta Ho Los datos son normales

20 10 5

1

1.80

1.85

1.90

1.95 Densidad

2.00

2.05

2.10

Se concluye que los datos siguen una DISTRIBUCIÓN NORMAL Hallando el intervalo de confianza para la σ se obtiene

Prueba e IC para una desviación estándar: Densidad Método El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas Variable Densidad

N 18

Desv.Est. 0.0646

Varianza 0.00418

Intervalos de confianza de 99%

Variable Densidad

Método Estándar Ajustado

IC para Desv.Est. (0.0446, 0.1116) (0.0441, 0.1144)

IC para varianza (0.00199, 0.01246) (0.00194, 0.01310)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la σ verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 0.0446 y 0.1116 micras”



D) Diagrama de CAJAS o BOXPLOT Se observa que el 50% de los datos es superior o Inferior a 1.94 micras, los datos se encuentran muy por encima de la Especificación Inferior.

Gráfica de caja de Densidad 2.1

2.0 1.94

1.9 d a d i 1.8 s n e D

1.7

1.6

1.5

1.5

EJERCICIO 23: Bajo condiciones controladas, en un laboratorio se evaluó en 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes: MUJER

HOMBRE

75

74

77

72

78

77

79

76

77

76

73

73

78

75

79

73


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial 78

74

80

75

a) ¿Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio? b) ¿Las muestras son dependientes o independientes? c) ¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres? SOLUCIÓN X: Las temperaturas Mujeres (°F) Y: Las temperaturas Hombres (°F) Son poblaciones independientes PRIMER PASO SI SON NORMALES O NO APLICANDO KOLMOGOROV SE CONCLUYE QUE SON NORMALES COMO SE OBSERVA EN LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y VALORES P Gráfica de probabilidad de HOMBRE Normal 99

Media Desv .Est. N KS Valor P

95 90 80 e 70 j a t 60 n e 50 c 40 r o P 30

20 10 5

1

70

71

72

73

74 75 HOMBRE

76

77

78

79

74.5 1.581 10 0.129 >0.150



Gráfica de probabilidad de MUJER Normal 99

Media Desv .Est. N KS Valor P

95 90 80 e 70 j a t 60 n e 50 c 40 r o P 30

20 10 5

1

72

74

76

78 MUJER

80

82

LOS DATOS HOMBRES Y MUJERES SON NORMALES PASO 2 PROBAR SI LAS VAR IANZAS SON IGUALES HO: VAR 1 = VAR 2

HA: VAR 1 ≠ VAR2

Prueba de igualdad de varianzas para MUJER, HOMBRE

Ho: Varianza 1= Varianza2 Ha: Varianza 1 diferente Varianza2

Prueba F E stad ístic a d e p ru eb a Valor P

MUJER Como son Normales Valor p > alfa 0.438 > 0.05 Ac epto Ho Es decir las varianzas son iguales Ad emas se intersectan sus intervalos de con fianza

HOMBRE

Prueba de Levene E stad ístic a d e p ru eb a Valor P

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para Desv.Est.

MUJER

HOMBRE

72

74

76 Datos

78

1.71 0.438

80

0.03 0.860

77.4 2.066 10 0.223 >0.150



Prueba de varianzas iguales: MUJER, HOMBRE Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para desviaciones estándares

MUJER HOMBRE

N 10 10

Inferior 1.35115 1.03426

Desv.Est. 2.06559 1.58114

Superior 4.15938 3.18387

Prueba F (distribución normal) Estadística de prueba = 1.71, valor p = 0.438

Prueba de Levene (cualquier distribución continua) Estadística de prueba = 0.03, valor p = 0.860

Como son NORMALES se selecciona la PRUEBA F Valor p (0.438 ) > alfa Acepto HO LAS VARIANZAS SON IGUALES Ho: µX=µY Ha: µX≠µY Realizando la prueba 2T porque son independientes Prueba T e IC de dos muestras: MUJER, HOMBRE T de dos muestras para MUJER vs. HOMBRE

MUJER HOMBRE

N 10 10

Media 77.40 74.50

Desv.Est. 2.07 1.58

Media del Error estándar 0.65 0.50

Diferencia = mu (MUJER) - mu (HOMBRE) Estimado de la diferencia: 2.900

IC de 95% para la diferencia: Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T

(1.172, 4.628) = 3.53 Valor P = 0.002

GL = 18 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 1.8394

Conclusión: Valor p < alfa SE RECHAZA HO es decir las medias de las temperaturas de los hombres y las mujeres es diferente.



Además se puede afirmar que la media de las mujeres es mayor ya que el intervalo de confianza para la diferencia de las medias es positivo.

EJERCICIO 24: Se prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 10. Los resultados fueron los siguientes TEMPERATURA BAJA 17.2 17.5 18.6 15.9 16.4 17.3 16.8 18.4 16.7 17.6

TEMPERATURA ALTA 21.4 20.9 19.8 20.4 20.6 21 20.8 19.9 21.1 20.3

Descriptive Statistics: T. Baja; T. Baja Descriptive Statistics: T. Baja; T. Alta Variable T. Baja T. Alta

N 10 10

N* 0 0

Mean 17,240 20,620

Variable T. Baja T. Alta

Median Q3 17,250 17,800 20,700 21,025

SE Mean 0,266 0,165

StDev 0,842 0,520

Variance 0,709 0,271

Maximum Range IQR 18,600 2,700 1,175 21,400 1,600 0,825

CoefVar 4,89 2,52

Mode * *

N for Mode 0 0

Minimum 15,900 19,800

Q1 16,625 20,200

Kurtosis -0, 39 -0,81

Two-Sample T-Test and CI Sample 1 2

N Mean StDev 10 17,240 0,842 10 20,620 0,520

SE Mean 0, 27 0, 16

Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -3,380 95% CI for difference: (-4,037; -2,723) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -10,80 Both use Pooled StDev = 0,6998

P-Value = 0,000

DF = 18



Retrieving project from file: 'C: \DOCUMENTS AND SETTINGS\PC1ESCRITORIO \ EJERCICIO 24 CAP 4.MPJ' Box Plot Of. T. Baja; T. Alta

Boxplot of T. Baja; T. Alta T. Baja

21.6

T. Alta

18.5 21.2

18.0

17.5

20.8

17.0 20.4 16.5 20.0 16.0

EJERCICIO 25: Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar 5 chóferes de un grupo de 10 y se asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos fueron: RUTA A B

18 22

TIEMPO DE VIAJE 24 30 31 29 34 25

32 35

a) ¿Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes? b) En caso de rechazar la hipótesis del inciso a), dibuje los diagramas de cajas simultáneos para determinar cuál ruta es mejor. Descriptive Statistics: A; B


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Variable N * A 5 B 5

0 0

Mean SE Mean StDev Minimum 27,00 2,65 5,92 18,00 29,00 2,51 5,61 22,00

Q1 Median 21,00 30,00 23,50 29,00

Q3 Maximum 31,50 32,00 34,50 35,00

Two-Sample T-Test and CI * NOTE * Graphs cannot be made with summarized data.

Sample N Mean StDev SE Mean 1 5 27, 00 2, 65 1, 2 2 5 29, 00 2, 51 1, 1

Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -2,00 95% CI for difference: (-5,86; 1,86) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -1,23

P-Value = 0,260

DF = 7

EJERCICIO 26: Se tiene dos proveedores de una pieza metálica cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación: PROVEEDOR 1

2

DIAMETROS DE LAS PIEZAS DE CADA PROVEEDOR 21.38 20.13 19.12 19.85 20.54 18 22.24 21.94 19.07 18.6 21.89 22.6 18.1 19.25 21.51 22.22 21.49 21.91 21.52 22.06 21.51 21.29 22.71 22.65 21.63 22.22 21.92 20.82

a) Prueba la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuánto a sus medias. b) Prueba la hipótesis de igualdad de varianza. c) Si las especificaciones para el diámetro son 20.25 mm +/- 2.25 mm, ¿Cuál proveedor produce menos piezas defectuosas? d) Con cuál proveedor se quedaría usted

PROVEEDOR 1 PROVEEDOR 2 VAR S1 VAR S2 21.38 21.51 2.507 * 18 22.06 0.276 * 21.89 21.63 *



20.13 22.4 22.60 19.12 21.94 18.01 19.85 19.07 19.25 20.54 18.6

22.22 21.51 22.22 21.49 21.92 21.91 22.71 20.82 21.52 22.65

0.36980 * * * * * 3.05045 * * *

Descriptive Statistics: Proveedor 1; Proveedor 2 Variable Proveedor 1 Proveedor 2

N 14 14

N* 0 0

Mean 20,194 21,819

SE Mean 0,423 0,140

StDev 1,583 0,525

Variance 2,507 0,276

CoefVar 7,84 2,41

Variable Proveedor 1 Proveedor 2

Median 19,990 21,770

Q3 21,903 22,220

Maximum 22,600 22,710

IQR 2,950 0,715

Mode * 21,51; 22,22

Minimum 18,000 20,820

N for Mode 0 2

Q1 18,953 21,505

Kurtosis -1,44 -0,18


N 14 14

Mean 20,19 21,819

StDev 1,58 0,525

SE Mean 0,42 0,14

Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -1,625 95% CI for difference: (-2,541; -0,709) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -3,65 Both use Pooled StDev = 1,1793

P-Value = 0,001

DF = 26

Test for Equal Variances

Test for Equal Variances F-Test

95%

for

Test S tatistic P-Value

1

9.08 0.000

Bonferroni confidence intervals standard deviations Sample Lower StDev Upper

2

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

3.0

N



Test for Equal Variances for Proveedor 1

2 r o d e e v o r

P

F-Test

20,82 21,29 21,49 21,51 21,52 21,63 21,91 21,92 22,06 22,22 22,65 22,71

Test S tatistic P-Value

0

2 r o d e e v o r P

20 40 60 80 100 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

0.12 0.427

120

20,82 21,29 21,49 21,51 21,52 21,63 21,91 21,92 22,06 22,22 22,65 22,71

18

19

20 21 Proveedor 1

22

23

EJERCICIO 27: En Kocaoz, S. Samaranayake, V.A. Nanni A. (2005), se presenta una investigación donde se estudian dos tipos de barra de polímero, cuya tensión se refuerza con Fibra de vidrio(FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero son utilizadas para reforzar concreto por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barra se muestran a continuación: TIPO DE BARRA A

RESISTENCIA 939

976

1025

1034

1015

1015

1022

815



B

1025

938

1015

983

843

1053

1038

a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para demostrar la hipótesis c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Para rechazar o no la hipótesis apóyese tanto ene l criterio de valor-p como en el valo0r crítico de tablas d) Explique como se obtiene el valor-p de inciso anterior e) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos f) ¿Existe algún tratamiento mejor?

Descriptive Statistics: A; B Variable A B

N 8 8

N* 0 0

Variable A B

Q3 1024,3 1034,8

Mean 980,1 979,1

SE Mean 26,1 24,7

Maximum 1034,0 1053,0

IQR 76,0 96,8

StDev 73,8 69,9

Mode 1015 938

Variance 5439,6 4891,8 N for Mode 2 2

Minimum 815,0 843,0

Kurtosis 3,96 0,79

Q1 948,3 938,0

Median 1015,0 999,0

MSSD 3365,0 6317,6


N 8 8

Mean 980,1 979,1

StDev 73,8 69,9

SE Mean 26 25

Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 1,0 95% CI for difference: (-76,1; 78,1) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 0,03 Both use Pooled StDev = 71,8765

P-Value = 0,978

Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample 1 2

N 8 8

Lower 46,1412 43,7562

StDev 73,7536 69,9414

Upper 168,931 160,200

F-Test (Normal Distribution) Test statistic = 1,11; p-value = 0,892

DF = 14

938


Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Test for Equal Variances

Test for Equal Variances F-Test Test S tatistic P-Value

1

2

50 75 100 125 150 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

175

1.11 0.892

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