EJERCICIOS RESUELTOS DE PRINCIPIO DEL PALOMAR
Hoy os pr Hoy pres esen ento to el qu que e po posib sible leme ment nte e se sea a el teorema má más s ev evid iden ente te en ma mate temá máti tica cas s y a la ve vez z increíblemente útil: el principio del palomar. El enunciado es muy sencillo, si tenemos una cantidad de n palomas guardadas en m palomares con m
!Hace falta que lo demuestre" #reo que no, cualquiera tiene que ver que evidentemente es cierto. $e puede pue de gen genera eraliz lizar ar un poc poco o más y dec decir ir que de ec eco o en alg algún ún pal palom omar ar por lo men menos os %m& %m&n' n' pal palom omas as donde don de %m& %m&n' n' rep repre resen senta ta el núm númer ero o nat natura urall que ay (us (usto to por enc encima ima de m&n m&n.. $e cr cree ee que el prim primer er enunciado de este principio se debe a)iriclet a)iriclet en en *+-, aunque bueno, yo estoy seguro de que alguien se tuvo que dar cuenta antes de esto, !no creis" /ero )iriclet es del primero que se tiene constancia, al menos de forma rigurosa. $upongo que nadie dudará que el mismo principio sería válido si cambiamos palomas por cualquier otra cosa y palomares por otro tipo de recipiente. 0amos a ver aora unos cuantos e(emplos e(em plos de c1mo aplicar este princi principio pio tan senc sencillo illo para obte obtener ner resultados resultados que apar aparenteme entemente nte no parecen triviales:
Ejemplo 1: En una festa con 100 personas, algunos invitados se dan la mano y otros no, pero puedo estar seguro de que al menos dos han saludado al mismo número de gente. ¿Por qué?.
levando el ra!onamiento a la festa" los invitados son palomas y sus saludos, palomares. #l ser un gesto rec$proco, solo hay %% saludos posi&les para 100 invitados, con lo que dos se estru'ar(n en el mismo palomar numérico. #reo que el periodista resumi1 un poco la respuesta del entrevistado ya que en un principio abría *22 saludos posibles 3cada invitado puede saludar de 2 personas a 445 por lo que abría *22 palomares, tantos como palomas. /ero ciertamente al ser un gesto recíproco, solo ay 44 saludos puesto que si alguien a dado 44 apretones de manos, no abrá nadie que no le aya apretado la mano a l por lo que la e6istencia del palomar 7447 aría que no e6istiese el 727 así que aora podemos aplicar el principio y deducir que 8 personas an saludado al mismo número de personas.
Ejemplo 2:
¿Puede contener un tri(ngulo equil(tero de ) cent$metros de lado * puntos de +orma que no hayan ) a distancia menor o igual que 1?
/ode odemo mos s div dividi idirr el tri triáng ángulo ulo equ equilá iláter tero o ini inicia ciall en - tri triáng ángulo ulos s men menor ores es de lad lado o * 3imitando precisamente el símbolo de la trifuerza de la saga 9elda5:
a tenemos nuestros - palomares 3los triángulos dorados y el triángulo blanco central5 y nuestras ; a palomas 3los ; puntos5, así que por fuerza al menos 8 puntos caerían sobre el mismo triángulo. esos dos puntos contenidos en el mismo triángulo, obligatoriamente estarán a una distancia menor que uno. =u bonito>> ?ezclando matemáticas con video(uegos>>
Ejemplo 3:
-ay ) persona en el mundo que tienen eactamente el mismo número de pelos en la ca&e!a// Es m(s, seguro que podemos encontrar muchas m(s de 1000 personas con el mismo número de pelos en la ca&e!a//
@ora las palomas van a ser la umanidad y los palomares el número de pelos de la cabeza. /ero !cuántos pelos puede tener una persona en la cabeza" $i nos vamos a la AiBipedia, un adulto puede tener alrededor de un mill1n en la cabeza, pero contando barba, nariz, ore(as, pelusillas casi invisibles y tal. $i nos quedamos con el cuero cabelludo, ay entre *22.222 y *;2.222. Cueno, para no quedarnos cortos, por si ubiese alguien superDpeludo vamos a considerar que las personas pueden tener asta un mill1n de pelos en el cuero cabelludo. El número de pelos podría variar de 2 a un mill1n, y en estos palomares tenemos que meter los apro6imadamente .222 millones de abitantes actuales de la tierra 3vaya, emos crecido, según google vamos ya por .FF;.8;.F-*5. @plicando el principio del palomar tendríamos que de eco deben de aber al menos unas .FF; personas con e6actamente el mismo número de pelos>>>
Cueno, algunos podrán decir que esto era obvio porque ay mucos calvos... sin ningún pelo en la cabeza. Cueno, puesto que el número de calvos totales en el mundo no debe de ser muy alto, podríamos aber eco el mismo razonamiento considerando solo gente que tenga pelo y abríamos llegado tambin a una conclusi1n similar para gente con pelo
Ejemplo 4:
o'amos números del 1 al 10. Entre los escogidos, seguro que hay ) que sumen 11. En esta ocasi1n, los números a escoger son las palomas y los palomares son los pares de números entre * y *2 que suman **, es decir los ; pares *D*2, 8D4, D+, -DF, ;D. #omo tenemos ; pares y tenemos que elegir números, seguro que 8 números pertenecen al mismo par y por lo tanto suman **.
Ejemplo 5:
2enemos 100 monedas de oro que tenemos que repartir entre 13 tra&a'adores. omo no hay ) que hayan tra&a'ado eactamente lo mismo, las 13 pagas resultantes de&er$an de ser todas distintas. ¿Es esto posi&le sin necesidad de partir alguna moneda? Gm, este último podría ser uno de los típicos (uegos de ingenio que pongo por el blog. @l que los vaya siguiendo, le recomiendo que intente sacarlo sin leer la soluci1n.
@ora tenemos *- personas a las que pagar y *22 monedas. o, no tenemos que aplicar el principio del palomar directamente, solo nos serviría para decir que al menos uno cobraría al menos + monedas y no es eso lo que buscamos. En este caso las palomas van a ser los traba(adores y los palomares el número de monedas a cobrar y vamos a dar un pequeIo rodeo ya que en un principio abrían más palomares que palomas. 0amos a ver que es imposible acer el reparto: $i ubisemos conseguido el reparto deseado, lo que está claro es que el que más a cobrado debería de cobrar al menos *- monedas, ya que si cobra menos, tendríamos solo * posible pagas 3de * a * monedas5 por lo que por el principio del palomar, 8 traba(adores 3palomas5 abrían cobrado lo mismo
3caerían en el mismo palomar5. @sí que para que todas las pagas sean distintas, el que más cobra cobrará al menos *- monedas. #onsideremos los * restantes traba(adores y pensemos en cuánto cobrará el que más cobre de ellos. )e nuevo debería de cobrar al menos * monedas, ya que si cobrase menos tendríamos *8 pagas 3de * a *8 monedas5 y * palomas y esto no podría ser porque por el principio del palomar abrían 8 que cobrasen lo mismo.
si seguimos así, el siguiente traba(ador que más cobre debería de cobrar *8 monedas por lo menos, el siguiente **, el siguiente *2 y así. /ero claro, si sumamos el número de monedas que irían cobrando cada uno como mínimo nos saldría que cobrarían en total de por lo menos *-J*J*8J**J*2J4J+JFJJ;J-JJ8J*K*2; monedas lo que es imposible porque solo tenemos *22. /or lo tanto no podemos acer el reparto que queremos sin partir ninguna moneda
Ejemplo 6:
4i elegimos 100 números naturales al a!ar, siempre ha&r( ) de ellos cuya di+erencia sea múltiplo de %%.
@ntes de seguir leyendo pensad un poco a ver si sabis c1mo aplicar aquí el principio del palomar. $i no se os ocurre, pensad en el mismo problema pero con *2* números y que la diferencia sea múltiplo de *22...
El caso de *2* números y diferencia múltiplo de *22 es más fácil de ver ya que la diferencia de 8 números será un múltiplo de *22 si las dos últimas cifras de uno de los dos números coincide con las dos últimas del otro. /or e(emplo *;8 y *8 terminan en 8 y su diferencia es *-22 que es múltiplo de *22. Lendríamos *2* números y *22 posibles terminaciones de 8 cifras así que por el principio del palomar, 8 números tendrían la misma terminaci1n. Mbservad que *;8 y *8 terminan en 8 porque son de la forma *226nJ8 con n un número natural.
/ara el caso de *22 números, tengamos primero en cuenta que todo número natural m se puede escribir de la forma mK446nJr con n un número natural y r un número natural menor que 44. !No tenis claro" $i no, dividir m entre 44 como se acía en el colegio, es decir, calculando cociente y resto. $i os acordáis de qu signiOca dividir, el resto es lo que le sobra a m cuando multiplicamos 44 por el cociente. )ico de otra forma, mK446cocienteJresto.
/ues bien, tenemos *22 números y 44 posibles restos 3de 2 a 4+5 así que por el principio del palomar, de los *22 números tendremos 8 con el mismo resto, es decir, abrá un número a de la forma a5%%p6r y un número & de la forma &5%%q6r . $i restamos estos dos números tenemos que a7&5%%8p7q9 que es un múltiplo de 44, como queríamos. $iguiendo el mismo razonamiento podemos demostrar en general que si cogemos n números naturales ym:n, de entre los números escogidos siempre abrán 8 cuya diferencia sea un múltiplo de m.
Ejemplo 7: ;n hom&re se toma durante el mes de a&ril todos los d$as 8<0 en total9 por lo menos una aspirina. # lo largo del mes se ha tomado en total 3* aspirinas. -a&r( alguna sucesi=n de d$as consecutivos en los que en total se ha&r( tomado 13 aspirinas. /ara ver que esto es así, para cada día del mes vamos a considerar el número de aspirinas que se a tomado al llegar a ese día. /ara cada día nos saldrá un número entre el * y el -; y todos los números serán distintos 3de un día para otro siempre se a tomado alguna más5. Lenemos así 2 palomas.
Mbservad que si vemos que de estos 2 números, ay 8 números a y & con a:& que se diferencian e6actamente en *-, eso quiere decir que el ombre se abía tomado al llegar cierto día a aspirinas y que unos cuantos días despus se abía tomado & aspirinas, es decir *- aspirinas más. @sí que desde el día posterior al día de a aspirinas asta el día que lleg1 a & aspirinas, se tom1 e6actamente *-. MB, pues nuestro problema se reduce a ver que de los 2 números, ay 8 cuya resta es *-. !=uines van a ser nuestros palomares aora" /ues serán los pares de números que se de la forma nD3nJ*-5, es decir *P*;,8P*,P*F,-P*+,;P*4,Q,84P-,2P--,*P-;. ecesitamos ver que de los 2 números ay 8 en el mismo par> /ero tenemos * palomares, más que palomas..., no nos sirve...Cueno, pero tengamos en cuenta una cosa, cada número pertenecerá a algún par, aunque puede pasar que de eco que pertenezca a varios pares 3por e(emplo * pertenece al par 8D * y al par *D25. Esto nos va a permitir eliminar 8 palomares, el par *;D84 y el *D2 ya que los números que pertenecen a estos pares, están tambin en otros pares 3el *; en el *D*;, el * en el 8D*, el 84 en el 84D- y el 2 en el 2D--5. os quedamos entonces con 2 números 3palomas5 y 84 pares 3palomares5 de forma que cada número pertenece al menos a uno de los 84 pares. $i un número pertenece a 8 pares distintos, le asignamos por e(emplo el par más pequeIo 3si tuvisemos el *F, lo metemos en el palomar D*F y no en el *FD*5. a emos metido 2 palomas en 84 palomares. @ora sí, algún palomar debe de tener al menos 8 palomas y esto es (usto lo que necesitábamos.
Ejemplo 8
!Hay dos iguales" 2 personas están comparando sus m1viles 3cada persona tiene e6actamente un m1vil5. Hay m1viles de - fabricantes distintos, y cada fabricante produce ; modelos distintos. @demás, cada modelo puede tener cámara y bluetoot, tener s1lo bluetoot, o no tener ni bluetoot ni cámara. !/odemos garantizar que ay dos m1viles iguales" ! si en vez de 2 personas son *" Hay - posibilidades para fabricante, ; para modelo, y para complementos, para un total de 2 posibles tipos distintos de m1viles. $i ay e6actamente 2 m1viles, pueden ser cada uno de un tipo, y no podemos garantizar que ay dos iguales. $i ay * m1viles, tiene que aber necesariamente dos iguales, pues si fueran todos distintos, abría * tipos de m1vil, pero s1lo ay 2. Ejemplo !#uántos iguales ay" $upongamos aora que, con los mismos tipos de m1viles que en el caso anterior, ay 8224 personas. Cuscamos el tipo del que más m1viles ay iguales. !#uál es el má6imo número de m1viles de dico tipo que podemos garantizar que aya"
#onseguiremos que aya un número mínimo de m1viles en cada tipo cuando distribuyamos los m1viles de la forma más equilibrada posible entre los 2 tipos distintos. @sí, como 8224K2RJ84, podemos en principio tomar m1viles de un mismo tipo, para 2 tipos distintos, y - m1viles de un mismo tipo, para otros 2 tipos distintos, para un total de -R 84 J R*K 4+ J*28 K 8224 m1viles. o podemos entonces garantizar que aya más de - m1viles iguales de cualquier tipo. $í podemos garantizar que va a aber más de m1viles de cada tipo, pues como 2RK*4+2, en cuanto tengamos más de *4+2 m1viles, tiene que aber al menos un tipo del que aya más de m1viles, pues si no abría más de 2 tipos. Mtros e(emplos *. En un ca(1n, ay calcetines negros, ro(os, azules y blancos. !#uál es el menor número de calcetines que ay que sacar para estar seguros de que ay al menos dos del mismo color" 8. En #ercedilla ay un bosque con * mill1n de pinos. $abemos que ningún pino tiene más de 22222 agu(as. )emuestra que ay dos pinos que tienen e6actamente el mismo número de agu(as. . /ensemos en seis números naturales.!/odemos asegurar que siempre podremos elegir dos de ellos cuya diferencia sea múltiplo de cinco"
-. En una frutería ay 8; ca(as de manzanas. $on de tres tipos, y cada ca(a tiene manzanas de un mismo tipo. )emuestra que ay al menos nueve ca(as que tienen el mismo tipo de manzanas. ;. El pasado On de semana, en el partido Seal ?adridD@tletico de ?adrid, abía +2222 espectadores. !#uántos de ellos, como mínimo, an nacido el mismo día de la semana" . ?atelandia tiene s1lo un aeropuerto, pero tiene *; equipos de fútbol, con ** (ugadores cada uno. Lodos ellos tienen que via(ar oy a ?adrid, donde se celebra un campeonato, y no an eco sus reservas . $alen diez vuelos de ?atelandia a ?adrid, y cada uno de ellos tiene *; plazas libres. El (ugador Somariov decide que via(ará en su elic1ptero particular. )emuestra que al menos uno de los equipos podrá llegar completo a ?adrid para la competici1n. F. 0arios equipos de fútbol participan en un torneo, en el cual cada uno de ellos debe (ugar con cada uno de los restantes e6actamente un partido. /rueba que siempre, durante el torneo, ay dos equipos que, en ese momento, an (ugado el mismo número de partidos. +. )emuestra que ningún triángulo equilátero puede cubrirse con dos triángulos equiláteros más pequeIos. 4. !#uál es el mayor número de reyes que podemos colocar en un tablero de a(edrez de modo que no aya dos en posici1n de mate" *2. @ una comida asisten doce personas, que se sientan en una mesa redonda. )elante de cada plato, ay un cartel con el nombre del comensal, pero ninguno de ellos se sienta en el lugar que le corresponde. )emuestra que se puede girar la mesa de modo que al menos dos personas estn en su sitio.
