UNIDAD 2 ÍNDICES DE CAPACIDAD PROGRAMA: MAESTRÍA EN ESTADÍSTICA ASIGNATURA: CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD Y SEIS SIGMA Profesor: Guillermo Paucar C. 1) Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final final del turno un inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas. 199.2
199.7
201.8
202
201
201.5
200
199.8
200.7
201.4
200.4
201.7
201.4
201.4
200.8
202.1
200.7
200.9
201
201.5
201.2
201.3
200.9
200.7
200.5
201.2
201.7
201.2
201.2
200.5
200.1
201.4
200.2
201
201.4
201.4
201.1
201.2
201
200.6
202
201
201.5
201.6
200.6
200.1
201.3
200.6
200.7
201.8
200.5
200.5
200.8
200.3
200.7
199.5
198.6
200.3
198.5
198.2
199.6
198.2
198.4
199
199.7
199.7
199
198.4
199.1
198.8
198.3
198.9
199.6
199
198.7
200.5
198.4
199.2
198.8
198.5
198.9
198.8
198.7
199.2
199.3
199.7
197.8
199.9
199
199
198.7
199.1
200.3
200.5
198.1
198.3
199.6
199
199.7
198.9
199.2
197.9
200.3
199.6
199.4
198.7
198.5
198.7
198.6
198.5
a) Construya una gráfica de capacidad de e ste proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
c)
,
y K e interprételos con detalle.
Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones.
2) En un área de servicio dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos obtenidos se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cue stionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. 78
78
82
85
81
86
80
68
75
84
78
76
76
82
70
77
87
82
84
48
49
35
34
42
44
49
34
30
41
45
42
42
35
38
39
73
85
39
43
42
84
91
78
80
43
34
29
39
31
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
c)
,
y K e interprételos con detalle.
Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de e specificaciones.
3) En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de la calidad es el grosor de las láminas. Para cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de 5 mm y tiene una discrepancia tolerable de 0.8 mm, ya que si la lámina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgada y no reunirá las condiciones de resistencia exigidas por el cliente. Sí la lámina tiene un grosor mayor que 5.8 mm, entonces se gastará demasiado material para su elaboración y elevarán los costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las láminas con el grosor óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo con los registros de las mediciones realizadas en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, el grosor medio es 4.7, y la desviación estándar
4.75, la mediana
4.75 .
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. 4) En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma. Varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora y estandarización de los procedimientos de operación del proceso, considerando el grosor ideal es de 4.1 cm, con una tolerancia de ± 0.15 cm. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación: 4.8
4.3
4.8
5.1
4.9
4.6
4.7
5.7
4.5
5.3
4.4
5.1
4.7
4.1
5.1
5
5
4.9
4.9
4.8
4.7
5.1
5.1
5.3
4.7
5
5
5.3
5.1
5.1
4.6
5
4.6
4.8
4.7
4.9
4.2
4.5
5.3
5.1
4.8
4.4
5
5
4.9
5.2
5.6
5.1
5.3
4.9
5
4.4
4.9
4.7
4.4
5
4.5
5
5.2
4.7
5
4.9
4.8
4.5
4.6
4.9
4.2
4.6
5.3
5.2
4.9
4.6
5.2
4.8
4.7
5.1
4.9
4.6
5.3
5
5.1
5.2
5
5.1
4.1
5.1
4.9
4.9
5.2
4.5
5.3
5.3
4.4
5
4.5
4.4
5.1
4.7
4.7
4.8
5.3
4.7
4.6
5.2
4.9
5
4.5
5.2
4.8
4.7
4.6
5.1
5.3
4.6
5.6
5
5
4.5
5.3
5
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. 5)
En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para c ierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5 g. A continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable. 27.72
28.39
28.21
28.19
28.02
27.93
27.89
27.88
28.06
27.91
27.97
27.95
27.96
27.94
28.04
28.05
27.81
27.74
27.95
27.91
27.93
28.07
28.13
27.98
27.87
27.87
27.82
28.23
27.9
27.91
28.16
27.94
27.86
27.84
27.7
27.98
28.02
28
27.99
28.13
28.26
28.1
27.94
28.07
27.84
27.9
27.88
27.76
27.95
27.94
27.81
27.76
27.96
27.84
27.85
27.93
28.22
27.96
27.88
28.08
28.04
28.19
27.89
28.08
28.09
28.02
27.85
28.27
27.75
27.98
27.75
27.82
28.13
27.88
28.11
28.05
28.14
28.11
28.08
28.16
28.05
28.05
27.75
27.89
27.94
28.19
28.1
27.78
27.63
27.93
27.74
28.1
28.14
27.91
27.84
28.21
27.85
27.84
28.12
28.01
27.97
27.88
28
28.1
28.16
28.16
28.01
28.13
27.97
27.9
27.87
27.94
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. 6) Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuánta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 ± 0.8 kg. LOTE 1
2
PESO DE COSTALES DE LA MUESTRA 18.6
19.2
19.5
19.2
18.9
19.4
19
10
19.3
20
19.1
18.6
19.4
18.7
21
19.8
19
19.6
19.6
19
19.6
19.4
19.8
19.1
20
20.4
18.8
19.3
19.1
19.1
18.6
19.9
18.8
18.4
19
20.1
19.7
19.3
20.7
19.6
19.5
19.1
18.5
19.6
19.4
19.6
20.3
18.8
19.2
20.6
3
20
18.4
18.9
19.7
17.8
19.4
18.9
18.4
19
19.7
20.1
20.2
21
19.7
20.1
20
19.1
20.4
19.6
20.6
20
19.7
20.8
19.7
19.7
20. 4
19.8
20.5
20
20
20.2
19.7
20
19.6
19.7
19.8
19.9
20.3
20.4
20.2
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
y K e interprételos con detalle.
,
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. 7) En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) por envase esté entre 2.5 y 3.0. Los siguientes datos fueron obtenidos del monitoreo del proceso: 2.61
2.62
2.65
2.56
2.68
2.51
2.53
2.62
2.53
2.67
2.66
2.63
2.67
2.58
2.61
2.64
2.49
2.58
2.51
2.57
2.55
2.57
2.56
2.52
2.52
2.61
2.55
2.55
2.73
2.51
2.64
2.56
2.6
2.57
2.48
2.6
2.64
2.67
2.62
2.63
2.57
2.6
2.61
2.6
2.52
2.62
2.56
2.55
2.53
2.53
2.57
2.66
2.52
2.66
2.64
2.59
2.57
2.58
2.61
2.69
2.71
2.64
2.59
2.6
2.58
2.56
2.55
2.66
2.69
2.56
2.61
2.61
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. d) Con la evidencia obtenida, ¿cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso referido? 8) Los siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80 ±10 cps. 84
81
77
80
81
78
83
84
82
80
83
84
86
85
79
86
83
82
84
86
87
84
83
82
78
83
83
80
87
81
78
81
80
82
86
82
79
81
82
84
80
82
78
83
85
84
82
84
82
78
83
81
83
82
84
82
81
82
81
82
81
84
84
81
86
83
82
86
82
84
83
79
80
83
82
76
85
87
88
90
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad. b) Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como parámetros poblacionales estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
c) Con base a la tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de especificaciones. 9) La longitud de una pieza metálica debe ser de 8 cm ± 40 mm. Para evaluar la capacidad del proceso se toma una muestra aleatoria sistemática de 48 piezas y las mediciones obtenidas se reportan como las micras que se desvían del valor nominal: (los datos son desviaciones en micras del valor nominal).
-10
-16
0
0
8
-2
-14
5
-2
8
-45
-5
-19
-10
-5
7
4
-2
-13
5
-2
20
-4
4
-31
-7
3
-21
-7
-7
-2
8
-5
2
-12
12
3
-14
-10
12
18
5
14
-9
5
-4
1
17
a) Considerando que las especificaciones son 0 ±40, obtenga una gráfica de capacidad (histograma con tolerancia) y haga una evaluación preliminar de la capacidad del proceso. b) Estime, con intervalos de confianza de 95%, los índices C p C pk C pm e interprételos con ,
,
detalle. 10) Considere las siguientes 80 mediciones de tiempo de ciclo de un proceso en días. Las especificaciones son EI=0 y ES=50, siendo en realidad ésta última la que preocupa: a) Dibuje un histograma y verifique si los datos cumplen el supuesto de normalidad. Aplique alguna prueba de normalidad utilizando un paquete estadístico. b) Haga el análisis de capacidad suponiendo normalidad. c) Usando un paquete estadístico encuentre una distribución que se ajuste razonablemente a los datos. Luego estime los Clementes.
índices P p P pi P ps y P pk ,
,
con el método de percentiles de
d) Estime los índices del inciso anterior tr ansformando previamente los datos a normalidad con el método de Box-Cox. e) Compare los resultados obtenidos. ¿Cuál será la mejor estimación? Argumente.
30
22
18
42
19
28
10
33
13
8
14
27
12
16
13
13
16
6
34
28
38
39
14
36
15
43
15
33
12
20
11
13
15
10
22
30
12
5
16
23
26
9
8
2
40
15
13
13
16
10
22
39
30
34
22
5
23
20
17
10
7
8
8
10
20
15
9
23
19
15
12
14
19
23
25
9
16
34
8
21
11) Si una característica de calidad debe estar entre dadas por
29.3 y
30 ±2, y se sabe que su media y desviación estándar
0.5 , calcule e interprete a detalle los siguientes índices:
C p C pk C pm y K ,
,
12) Si una característica de calidad tiene una especificación de 35±1, y de acuerdo con datos históricos se tiene que
35.1 , y una desviación estándar de corto plazo igual a 0.31, y de largo plazo igual a 0.40, resuelva
lo siguiente: a) Obtenga Z C y Z L , y diga por qué difieren de manera importante. b) ¿cuál es el nivel de sigmas del proceso? c)
Obtenga los índices P p P pk e interprete. ,
d) Obtenga los índices C p C pk e interprete. ,
e) ¿Con que PPM trabaja este proceso? 13) De 2000 tarjetas electrónicas producidas se detectaron 1000 defectos. Cada tarjeta tiene 50 componentes. a) Calcule los índices DPU y DPMO e interprete . b) Estime el nivel de sigmas de este proceso.
14) Se examinaron cuatro características críticas en una muestra de 500 órdenes de compra. En 25 de las órdenes fueron encontrados 50 errores de diferentes tipos. a) Calcule los índices DPU y DPMO e interprete . b) Estime el nivel de sigmas de este proceso. 15) Un proceso tiene cinco defectos codificados con las letras
A, B, C, D y E. Los siguientes datos fueron
colectados en cierto periodo, registrando (D) defectos, unidades (U) y oportunidades (O). a) Con base en los datos de la tabla, obtenga el DPU, el DPO y el DPMO para cada tipo de defecto, así como para el total. b) Considere todos los defectos y determine cuál es el nivel de sigmas del proceso. 16) Se tiene llantas para automóvil, donde se tiene que la longitud de la capa debe ser de 550mm, con una tolerancia de ±8mm. La longitud de la capa es el resultado de un proceso de corte de una tira de hule, el cual debe garantizar que la longitud esté entre la especificación inferior EI= 542 y la superior
ES= 558,
con un valor ideal o nominal de N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación, y en general para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada hora se toman cinco capas y se miden. Los datos obtenidos en los últimos cuatro días se muestra en la tabla siguiente: MUESTRA
MEDICIONES
O
DE
SUBGRUPO
LONGITUD
1
556
552
552
551
552
2
556
555
553
552
554
3
556
554
552
553
552
4
552
554
554
554
549
5
551
556
551
551
552
6
552
553
554
550
549
7
551
550
551
552
551
8
550
550
553
555
552
9
556
553
555
552
550
10
554
552
553
552
555
11
551
553
554
549
553
12
556
551
553
551
554
13
553
553
554
548
551
14
550
553
548
556
553
15
554
552
553
555
549
16
556
552
554
553
553
17
553
552
555
55
552
18
550
550
553
550
549
19
556
557
551
550
551
20
552
554
552
550
553
21
550
553
552
555
553
22
554
554
553
552
552
23
549
551
558
551
555
24
551
551
552
551
554
25
552
548
551
552
553
26
551
553
551
554
548
27
551
550
555
552
554
28
551
556
553
552
555
29
552
554
557
553
553
30
551
552
554
553
550
31
557
551
552
554
555
32
550
554
554
554
556
33
552
552
553
552
553
34
552
556
554
552
554
35
552
550
553
552
553
36
553
553
549
551
552
a) Dibuje un histograma y verifique si los datos cumplen el supuesto de normalidad. Aplique alguna prueba de normalidad utilizando un paquete estadístico. b) Haga el análisis de capacidad suponiendo normalidad. c) Usando un paquete estadístico encuentre una distribución que se ajuste razonablemente a los datos. Luego estime los
índices P p P pi P ps y P pk ,
con el método de percentiles de
,
Clementes. d) Estime los índices del inciso anterior transformando previamente los datos a normalidad con el método de Box-Cox. e) Compare los resultados obtenidos. ¿Cuál será la mejor estimación? Argumente. 17) Van den Heuvel y Lon (2003) consideran la fuerza para separar dos componentes previamente ensamblados. Las especificaciones para la fuerza 1.5N y 12.5N. se obtuvieron 100 valores de fuerza con los siguientes resultados:
7.5
6.44
6.78
7.7
6.94
7.54
7.22
7.52
7.85
7.1
9.54
8.22
7.92
7.13
10.01
8.57
7.52
6.8
7.84
8.41
8.13
7.84
6.6
7.56
11.16
5.87
6.84
6.69
10.14
7.34
6.59
6.83
7.67
7.56
7.34
7.47
8.24
8.21
6.9
6.62
7.99
6.95
6.46
6.85
10.08
5.62
27.52
6.61
5.25
7.08
6.43
6.69
6.42
9.16
7.42
7.63
7.3
7.8
5.93
6.66
7.58
8.81
9.86
8.1
8.86
7.23
5.98
6.91
7.21
7.31
6.35
7.5
7.65
9.46
5.93
6.32
7.84
7.05
6.28
8.75
7.73
7.74
7.89
6.95
8.15
6.46
7.13
6.47
9.49
6.61
6.8
7.96
6.07
7.35
7.13
6.39
7.75
6.39
5.87
5.81
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso b) Suponiendo normalidad. Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como índices C p C pk C pm
parámetros poblacionales estime los
,
,
y K e interprételos con
detalle. c) Con el método de percentiles de Clements encontrando un aproximación con la distribución de lognormal, estime los índices C p C pk C pm ,
,
y K e interprételos con detalle.
