Ejercicio 1. Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes pagarés: a) Datos: Valor nominal: $ 3.000 Fecha inicial: 20 de mayo Plazo. 2 meses Tasa: 7% Desarrollo: La fecha de vencimiento 2 meses después del 20 de mayo (fecha inicial) sería el 20 de julio. El monto al vencimiento se obtiene calculando el valor futuro: Valor futuro = 3000 * (1 + (0,07/360)*61) = $ 3035,58 b) Datos: Valor nominal: $ 5.000 Fecha inicial: 5 de abril Plazo: 60 días Tasa: 8% Desarrollo: La fecha de vencimiento 60 días después del 5 de abril (fecha inicial) sería el 4 de junio. El monto al vencimiento se obtiene calculando el valor futuro: Valor futuro = 5000 * (1 + (0,08/360)*60) = $ 5066,67 c) Datos: Valor nominal: $ 2.000 Fecha inicial: 3 de mayo Plazo. 3 meses Tasa: 6% Desarrollo: La fecha de vencimiento 3 meses después del 3 de mayo (fecha inicial) sería el 3 de agosto. El monto al vencimiento se obtiene calculando el valor futuro: Valor futuro = 2000 * (1 + (0,06/360)*92) = $ 2030,67 d) Datos:
Valor nominal: $ 4.000 Fecha inicial: 28 de noviembre Plazo: 120 días Tasa: 8% Desarrollo: La fecha de vencimiento 120 días después del 28 de noviembre (fecha inicial) sería el 28 de marzo. El monto al vencimiento se obtiene calculando el valor futuro: Valor futuro = 4000 * (1 + (0,08/360)*120) = $ 4106,67 Ejercicio 2. Calcular el interés simple comercial de. a) Datos: Capital = $ 2500 Tiempo = 8 meses Tasa = 8% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 2500 * (0,08/12) * 8 = $ 133,33 b) Datos: Capital = $ 60000 Tiempo = 63 días Tasa = 9% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 60000 * (0,08/360) * 63 = $ 840 c) Datos: Capital = $ 12000 Tiempo = 3 meses Tasa = 81/2% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 12000 * (0,085/12) * 3 = $ 240 d) Datos: Capital = $ 15000
Tiempo = 167 días (tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año). Tasa = 9% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 15000 * (0,09/360) * 167 = $ 626,25 Ejercicio 3. Calcular el interés simple comercial de. a) Datos: Capital = $ 2000 Tiempo = 3 meses Tasa = 0,75% mensual Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 2000 * 0,0075 * 3 = $ 45 b) Datos: Capital = $ 4000 Tiempo = 2 años 3 meses Tasa = 0,5% mensual Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 4000 * 0,005 * 27 = $ 540 c) Datos: Capital = $ 10000 Tiempo = 4 años Tasa = 5% semestral Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 10000 * 0,05 * 8 = $ 4000 d) Datos: Capital = $ 25000 Tiempo = 1 año 3 meses Tasa = 6% semestral Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 25000 * 0,06 * 2 = $ 3000
Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 25000 * (0,06 / 6) * 3 = 750 El interés total alcanza a $ 3750. Ejercicio 4. Calcular el interés simple comercial de. a) Datos: Capital = $ 5000 Tiempo = 3 años 2 meses 20 días Tasa = 0,75% mensual Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 5000 * 0,0075 * 38 = $ 1425 5000 * (0,0075 / 30) * 20 = 25 El interés total alcanza a $ 1450. b) Datos: Capital = $ 8000 Tiempo = 7 meses 15 días Tasa = 1,5% mensual Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 8000 * 0,015 * 7 = $ 840 8000 * (0,015 / 30) * 15 = 60 El interés total alcanza a $ 900. Ejercicio 5. Calcular el interés exacto de: a) Del problema 2 a) Datos: Capital = $ 2500 Tiempo = 8 meses = 240 días Tasa = 8% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 2500 * (0,08 / 365) * 240 = $ 131,51 b) Datos: Capital = $ 7000 Tiempo = 105 días
Tasa = 8% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 7000 * (0,08 / 365) * 105 = $ 540 c) Datos: Capital = $ 4000 Tiempo = 123 días (entre el 16 de julio y el 16 de noviembre del mismo año) Tasa = No se específica Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 4000 * 0 * 123 = $ 0 d) Datos: Capital = $ 6000 Tiempo = 4 meses Tasa = 9% Desarrollo: Interés = Capital * Tasa * Tiempo = 6000 * (0,09 / 365) * 120 = $ 177,5 Ejercicio 6. Un señor pagó $ 2500,2 por un pagaré de $ 2400, firmado el 10 de abril de 1996 con un 4 1/2 % de interés. ¿En qué fecha lo pagó? Desarrollo: Se debe calcular el tiempo (cantidad de días) que debe transcurrir para que un depósito de $ 2400 se transforme en $ 2500 con una tasa de interés del 4 ½ % de interés. Para ello se utiliza la fórmula del tiempo: Interés t=
$ 100,2 =
Capital * tasa de interés
= 334 días $ 2400 * (0,045 / 360)
Determinados los días que se requieren para que un depósito de $ 2400 se transformen el $ 2500,2 a la tasa del 4 ½ %, es posible determinar en qué fecha se hizo la transacción. Para ello se debe ir 334 días adelante en el tiempo a partir del 10 de abril de 1996. La fecha final de la transacción fue el 10 de marzo de 1997. Ejercicio 7. El propietario de una casa recibe el 15 de mayo de 1996 las tres ofertas que se detallan a continuación. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9%? a) $ 60000 al contado y un pagaré al 10 de septiembre de 1996 por $ 32600 b) $ 30000 a 120 días y $ 63500 a 180 días c) $ 20000 al contado y un pagaré con intereses del 8% por $ 71000 a 120 días.
Desarrollo: Se debe calcular el valor total de cada una de las ofertas estableciendo para ello una fecha focal. Si se establece como fecha focal el período 0, el valor presente de las tres ofertas es: $ 32600 a) $ 60.000 +
= $ 91665,86 (1 + (0,09/360) * 118)
$ 30000
$ 63500
b)
+ (1 + (0,09/360) * 120)
= $ 89.891,76 (1 + (0,09 / 360) * 180)
{71000 * (1 + (0,08/360) * 120)} b) $ 20000 +
= $ 90770,23 (1 + (0,09/360) * 120)
Determinado el valor presente de las tres alternativas, se debe optar por la opción a) dado que es la mejor oferta puesto que tiene el mayor valor presente. Ejercicio 8. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $ 120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10% ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? Desarrollo: A partir del 15 de julio el vencimiento del pagaré en 150 días correspondería al día 12 de diciembre del mismo año. En esa fecha el valor del pagaré se podría obtener con la fórmula de monto con interés simple: M = C * (1 + i*t) Reemplazando los datos, el monto del pagaré a su vencimiento estipulado para el 12 de diciembre (150 días corridos a partir del 15 de julio) sería: 150 M = 120.000 * (1 + 0,08 * 360
) = $ 124.000
Si este documento que promete a su portador la cantidad de $ 124.000 que pueden ser obtenidos el día 12 de diciembre se vende antes de la fecha de vencimiento, en este caso, el día 20 de octubre, el valor del documento en esa fecha será equivalente al valor presente del flujo futuro que promete el documento. En interés simple el valor presente o capital se obtiene con la siguiente fórmula: Monto Capital = Valor presente = (1 + i * t)
Según los datos del ejercicio, el valor del documento el día 20 de octubre sería: $ 124.000 Capital = Valor presente =
= $ 122.200,9 53
(1 + 0,1 *
) 360
Cabe señalar que la cantidad de días existentes con tiempo exacto entre el 20 de octubre y el 15 de diciembre del mismo año alcanza a 53 días. Ejercicio 9. Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con intereses del 9% sobre saldo, que ha tenido el siguiente movimiento: 1 de enero saldo débito 10 de febrero abono 20 de febrero cargo 18 de marzo abono 30 de abril cargo 20 de mayo cargo 6 de junio abono
$ 15.000 $ 12.000 $ 8.000 $ 20.000 $ 10.000 $ 8.000 $ 3.000
Desarrollo: Según los movimientos señalados, el monto acumualdo al 10 de febrero en función del saldo de $ 15.000 disponible al 1 de enero se obtiene utilizando la fórmula de monto con interés simple: Monto = Capital * (1 + i * t) Monto al 10 de febrero: 40 Monto = 15.000 * (1 + 0,09 * 360
) = $ 15.150
El día 10 de febrero se produce un abono en la cuenta, razón por la cual, el saldo disponible, después de realizado el movimiento sería: Saldo al 10 de febrero = Monto acumulado hasta el 10 de febrero + abono realizado Saldo al 10 de febrero = $ 15.150 - 12.000 = $ 3.150 El día 20 de febrero se realiza un cargo de $ 8.000, lo cual hará aumentar el saldo en la cuenta, por lo cual el nuevo saldo se obtendrá con los intereses generados por el saldo existente en la cuenta al 10 de febrero más los intereses ganados entre el 10 de febrero y el 20 de febrero sumados con el cargo realizado el día 20 de febrero, es decir, el nuevo saldo al día 20 de febrero sería:
10 Saldo al 20 de febrero = 3.150 * (1 + 0,09 * 360
) + 8000 = $ 11.157,875
El día 18 de marzo se realiza un abono de $ 20.000, lo cual hará disminuir el saldo en la cuenta, por lo cual el nuevo saldo se obtendrá con los intereses generados por el saldo existente en la cuenta al 20 de febrero más los intereses ganados entre el 20 de febrero y el 18 de marzo restados con el abono realizado el día 18 de marzo, es decir, el nuevo saldo al día 18 de marzo sería: 26 Saldo al 18 de marzo = 11.157,875 * (1 + 0,09 * 360
) – 20.000 = $ (8.769,6)
Es decir, después del abono de $ 20.000 realizado el 18 de marzo, la cuenta queda con un saldo negativo (crédito) por $ 8.769,6. El día 30 de abril se realiza un cargo de $ 10.000, lo cual hará aumentar el saldo en la cuenta, por lo cual el nuevo saldo se obtendrá con los intereses generados por el saldo existente en la cuenta al 18 de marzo más los intereses generados por el crédito entre el 18 de marzo y el 30 de abril sumados con el cargo realizado el día 30 de abril, es decir, el nuevo saldo al día 30 de abril sería: 41 Saldo al 30 de abril = (8.769,6) * (1 + 0,09 * 360
) + 10.000 = $ 1.140,5
El día 20 de mayo se realiza un cargo de $ 8.000, lo cual hará aumentar el saldo en la cuenta, por lo cual el nuevo saldo se obtendrá con los intereses generados por el saldo existente en la cuenta al 30 de abril más los intereses generados entre el 30 de abril y el 20 de mayo sumados con el cargo realizado el día 20 de mayo, es decir, el nuevo saldo al día 20 de mayo sería: 20 Saldo al 20 de mayo = $ 1.140,5 * (1 + 0,09 * 360
) + 8.000 = $ 9.146,2
El día 6 de junio se realiza un abono de $ 3.000, lo cual hará disminuir el saldo en la cuenta, por lo cual el nuevo saldo se obtendrá con los intereses generados por el saldo existente en la cuenta al 20 de mayo más los intereses generados entre el 20 de mayo y el 06 de junio restados con el abono realizado el día 06 de junio, es decir, el nuevo saldo al día 06 de junio sería: 17 Saldo al 06 de junio = $ 9.146,2 * (1 + 0,09 * 360
) - 3.000 = $ 6.185,1
El saldo al 6 de junio, acumulará intereses por la cantidad de días existentes entre el 6 y el 30 de junio.
El nuevo saldo al 30 de junio sería: 24 Saldo al 30 de junio = $ 6.185,1 * (1 + 0,09 *
) = $ 6.222,2 360
Con esto para cerrar la cuenta el día 30 de junio habría que abonar (retirar) en la cuenta el saldo existente de $ 6.222,2; con lo cual el saldo de la cuenta quedará en $ 0.Ejercicio 10. Una persona debe cancelar $ 14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda el plazo fijado, ¿qué cantidad paga el deudor 70 días después del vencimiento? Desarrollo: Al vencimiento en 3 meses el total a pagar por la deuda se determina con la fórmula de monto: M = Capital * (1 + i * t) Con los datos del ejercicio el valor a cancelar al vencimiento en 3 meses sería: 3 Monto = $ 14.000 * (1 + 0,08 * 12
) = $ 14.280.-
Posteriormente si el deudor se excede en 70 días en el pago respecto de la fecha de vencimiento y por este motivo se le cobra una mayor tasa de interés, el nuevo valor a pagar en el plazo excedido de 70 días será: 70 Monto = $ 14.280 * (1 + 0,1 *
) = $ 14.558.360
Ejercicio 11. En el problema anterior, calcular el total de intereses pagados y la tasa de interés cancelada por el deudor en toda la operación. Desarrollo: En el problema anterior el total de intereses pagados corresponde a la diferencia entre el monto final pagado 70 días después de la fecha de vencimiento y el capital solicitado en préstamo. Intereses = Monto final pagado – Capital = $ 14.558 – 14.000 = $ 558.Por otro lado, la tasa de interés cancelada por el deudor en toda la operación, se obtiene con la fórmula:
Monto – Capital Tasa de interés (i) =
$ 14.558 – 14.000 =
Capital * tiempo
= 0,0896 = 8,96% 14.000 * (160 / 360)
Ejercicio 12. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe sólo $ 19.559,9. ¿A qué tasa de descuento se descontó el pagaré? Desarrollo: La tasa de descuento corresponde al cálculo de la tasa de interés, la cual se determina con la siguiente fórmula: Monto - Capital Tasa de interés (i) = Capital * tiempo En el caso del ejercicio los datos son: Capital Monto Tiempo
: $ 19.559,9 : $ 20.000 : entre el 15 de mayo y el 13 de agosto, existen 90 días.
Reemplazando los datos en la fórmula, la tasa de descuento a la que se descontó el pagaré es: $ 20.000 – 19.559,9 Tasa de interés (i) =
= 0,09 = 9% anual $ 19.559,9 * (90 / 360)
Ejercicio 13. Una persona firma los siguientes pagarés con el 8% de rendimiento: $ 10.000 a 120 días, $ 12.000 a 90 días y $ 8.000 a 180 días. Transcurridos 30 días, propone efectuar un pago de $ 10.000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de rendimiento; determinar el valor de este pago único. Desarrollo: El valor de los tres pagarés cada uno en su respectiva fecha de vencimiento, se determina con la fórmula del monto: 120 M = 10.000 * (1 + 0,08 *
) = $ 10.266,6 360 90
M = 12.000 * (1 + 0,08 *
) = $ 12.240.360
180 M = 8.000 * (1 + 0,08 *
) = $ 8.320.360
En una línea de tiempo, se pueden observar las deudas iniciales y la repactación propuesta de $ 10.000 al contado y el saldo a 180 días: $ 12.240 $ 10.266,6 0 30 $ 10.000
60
90
120
$ 8.320 150
180 X
210
Para calcular el valor de X que corresponde al pago que hay que realizar 180 días después del abono de $ 10.000, hay que establecer una ecuación de valor, para lo cual se debe fijar una fecha focal que sirva como referencia para valorizar la deuda y la repactación. De esta forma: La deuda de $ 12.240 que vencía en 90 días valorada en la fecha focal al 9% es equivalente a: 120 Monto = $ 12.240 * (1 + 0,09 * 360
) = $ 12.607,2
La deuda de $ 10.266,6 que vencía en 120 días valorada en la fecha focal al 9% es equivalente a: 90 Monto = $ 10.266,6 * (1 + 0,09 * ) = $ 10.498 360 La deuda de $ 8.320 que vencía en 180 días valorada en la fecha focal al 9% es equivalente a: 30 Monto = $ 8.320 * (1 + 0,09 * ) = $ 8.382,4 360 Las tres deudas valorizadas en la fecha focal, suman una deuda total de $ 31.487,6. Del mismo modo, el valor del abono de $ 10.000 valorizado en la fecha focal es: 180 Monto = $ 10.000 * (1 + 0,09 * 360
) = $ 10.450
Por lo tanto, el valor del pago único denominado X que hay que desembolsar 180 días después de realizado el abono de $ 10.000 para saldar la deuda es equivalente al valor de la deuda valorizada en la fecha focal menos el valor del abono valorizado también en la fecha focal, lo cual equivale a: $ 31.487,6 – 10.450 = $ 21.037,6.
Ejercicio 14. Una persona debe $ 20.000 con vencimiento en 3 meses y $ 16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagarés al 8% de rendimiento (Tómese como fecha focal el vencimiento dentro de un año). Desarrollo: En una línea de tiempo se pueden observar las deudas iniciales y las dos cuotas de la repactación propuesta. $ 20.000 0
$ 16.000
3
6
8
9
12
X
X
Si la fecha focal es el vencimiento dentro de un año, la ecuación de valor para la solución del ejercicio es la siguiente: 9 = 20.000 * (1 + 0,08 * 12
4 ) + 16.000 * (1 + 0,08 * 12
6 ) = X * (1 + 0,08 * 12
)+X
Desarrollando la ecuación y despejando el valor de X se tiene: = $ 21.200 + 16.427 = 1,04X + X = $ 37.627 = 2,04X $ 37.627 »
X=
= $ 18.445 2,04
Ejercicio 15. Una persona debe los siguientes pagarés con el 8%: $ 6.000 exigibles dentro de 3 meses, firmado a 6 meses plazo; $ 8.000 exigible dentro de 6 meses y firmado a un año plazo; y otro de $ 5.000 sin intereses, exigibles dentro de 9 meses. Su acreedor acepta recibir tres pagos iguales con el 9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obligaciones, así: el primero pago al contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un año plazo. Determinar el valor de estos pagos iguales (determínese la fecha focal). Desarrollo: La deuda de $ 6.000 firmada a 6 meses y exigible dentro de tres meses, es por un valor total de:
6 Monto = 6.000 * (1 + 0,08 *
) = $ 6.240.12
La deuda de $ 8.000 firmada a un plazo y exigible dentro de 6 meses, es por un valor total de: 12 Monto = 8.000 * (1 + 0,08 *
) = $ 8.640.12
Estas deudas más la de $ 5.000 exigible dentro de 9 meses sin intereses, se pueden representar en una línea de tiempo, junto a las 3 cuotas con las que es posible repactarlas:
0
$ 6.240
$ 8.640
3
6
X
$ 5.000 9
X
12 X
Si se establece como fecha focal el venciomiento dentro de un año y considerando para la repactación una tasa de interés del 9%, es posible calcular el valor total de la deuda valorada en la fecha focal, de esta manera: 9 $ 6.240 * (1 + 0,09 * 12
6 ) + 8.640 * (1 + 0,09 * 12
3 ) + 5.000 * (1 + 0,09 * 12
)=
$ 6.661,2 + 9.028,8 + 5.112,5 = $ 20.802,5 De la misma manera, es posible calcular el valor total de la repactación valorada en la fecha focal: 6 $ X * (1 + 0,09 * 1) + X * (1 + 0,09 * 12
) + X = 1,09X + 1,045X + X = 3,135X
Igualando el total de la deuda, con el total de la repactación en la fecha focal, es posible obtener el valor de X que representa el valor de cada uno de los pagos (cuotas) con los cuales es posible repactar la deuda: $ 20.802,5 = 3,135X $ 20.802,5 X=
= $ 6.635,5 ~ $ 6.636.3,135
Ejercicio 16. Una persona obtiene un préstamo de $ 24.000 el cual debe pagar más los intereses en 6 cuotas mensuales a partir del tercer mes, a una tasa del 19,5%. Calcular el valor de cada una de las cuotas. Desarrollo: La situación puede ser descrita a través de la siguiente línea de tiempo: $ 24.000 0
1
2
X
X
X
X
X
X
3
4
5
6
7
8
Si se establece como fecha focal, la más lejana en el tiempo, en este caso el vencimiento en el mes 8, la ecuación de valor que resuelve el ejercicio sería: 8 $ 24.000 * (1 + 0,195 * 12 3 X * (1 + 0,195 * 12
5 ) = X * (1 + 0,195 * 12
2 ) + X * (1 + 0,195 * 12
4 ) + X * (1 + 0,195 * 12
1 ) + X * (1 + 0,195 * 12
)+X
Lo cual es equivalente a: $ 27.120 = 1,08125X + 1,065X + 1,04875X + 1,0325X + 1,01625X + X Despejando X se obtiene el valor de la cuota mensual: $ 27.120 = 6,24375X $ 27.120 X=
= $ 4.343,5 ~ $ 4.344 6,24375
)+…
