Mecánica Racional
CUERPOS RIGIDOS-SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZAS/MOMENTO 3.1. 3.1. En la la figura figura,, la masa masa de la la clava clavadis dista ta en de 80 kg kg y la masa masa del tram trampol polín ín es de 45 kg. (a (a !i"u !i"u#e #e el diag diagram ramaa de de cue cuerp rpo o li" li"re re del del tram trampo polí lín. n. (" (" !ete !eterm rmin inee las las 5 rea reacc ccio ione ness en los los sop soport ortes es $ y %. %.
&!
& p
1.'m '.4m 4.m
Solución: Efectuando el diagrama de cuerpo li"re.
(a $y
$)
& p
$1
&!
1.'m '.4m
4.m
(" !atos $dicionales
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111 111
Mecánica Racional
$plicando momento de una fuer*a con respecto al punto $ &+ 80-g &! 45-g $plicando momento de una fuer*a con respecto al punto $ 0
%y(1.' / & !('.4 / &+(4. 0 % 45('.4 80(4. 1.'
%y 32.-g ....(1
y 0 6$y / &! / &+ %y 0 $y 32. / (8045
$y %y / (&p & ! $y '1.-g
...('
$plicando sumatoria de fuer*as con respecto a sus e#es ), y )
0
$) 0
$) 0-g
$y '1.-g %y 32.-g
3.3.
En la figura, el peso total de la carretilla y su carga es & 100 l". (a ("
i 0, 7u9 valor tienen las reacciones verticales en $ y %: 7u9 fuer*a es necesaria para levantar del suelo el soporte en $:
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11'
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&
$
40pulg
%
1'pulg
14pulg
Solución: Efectuando
(a
+or momento en el punto %; o"tenemos la reacci
%
0
100(14 / $(' 0
$ 53.8l"
y
0
("
+or momento en el punto %; o"tenemos la fuer*a=
%
0
$ % 100 53.8 % 100
100(14 / ( 0
% 4.'>"
'1.'l"
3.5. ?onsidere la viga del pro"lema mostrada. !etermine el intervalo de valores de la distancia ) para la cual la viga puede estar en e@uili"rio en la posici
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113
Mecánica Racional
' pie $
%
45C
45C 100 l"
)
8 pie
Solución: Efectuando Aaciendo un diagrama de cuerpo li"re. B
'
$en45C
%en45C )
s45C %
100l" $?os45C
$
y
0
%
)
0
0
0
%?os45C
'B / )(100 8(%?os45C 0
(1
$ ?os 45C B / 100 %?os45C 0
('
6100(8 6 ) B8$?os45C0
(3
$sen45C 6 %en 45C 0
$%
>uego de (1 y (3 'B / )(100 6800 100) B
6'00) 6800 4B
) 4 / BD50 >uego BF puede ser ' ≤ B en distancia y B 100 l" y B 0 l" G 4 / 100D50
G'
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114
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G 4 / 0D50
=. ' H ) H 4
G4
3.4. El operador ro"os pesos de los "ra*os $% y %? actJan en sus puntos medios. >os cosenos directores de la línea central del "ra*o $% son= cos) 0,500; cosy 0.8; cos* 0, y los cosenos directores de la línea central del "ra*o %? son= cos) 0,0; cosy 0.12; cos* 0,34'. El soporte en $ se comporta como un empotramiento. 7u9 valor tienen las reacciones en $: Solución: Efectuando el diagrama de cuerpo li"re.
y % 10K
y *
'00K
$ )
) y
)
0
$) 0
y
0
$y / '00 / 10
$ 0
$y 30K
$% (0.15i 0.'52#K
%? (0.'1'i 0.18 / 0.103k $ r $% ) '00 r $?)10 K) y * 0 0 (0.15i 0.'52# y)(6'00# (0.'1'i 0.18 / 0.103k)(610 30k 1.4i 0# 33.23k ) y * 0 )$ 61.41K.m
y$ 0
*$ 63.2K6m *
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3.5. El ca"le ?! de la grJa de la figura estI unido a un cuerpo en reposo !. >a guía esta soportada por co#inetes E y y el ca"le Aori*ontal $%. >a tensi
*
E
'm
'm
! 3m
Solución:
Mallamos las coordenadas= ?(3,,0; !(,0,63 i sa"emos=
B$% 68000i; B?+ B?+((3i6#63kD.348
i * (o.kk 0
/TCD/ = !"!#$%&N
3.10. +ara la ig. mostrada= (a !i"u#e el diagrama de cuerpo li"re de la placa de 50 l" y e)pli@ue por@ue es estIticamente indeterminada. (" !etermine tantas reacciones en $ y % como sea posi"le.
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y
$ 1'pulg
8pulg
) % 50l"
Solución: Efectuando
y
$) 1'pulg
$y
8pulg
)
%) 50l" %y
N O ) 0
N O y 0
$) %) N O $ 0
$y %y / 50 l" 0 %)('0 / 50 ('0 0
%) 50 l"
$y %y 50 l" . .. $) 6 %)
$) 6 50 l"
3.. Pn ingeniero determina el @ue le comportamiento fallarI si la magnitud de la fuer*a total e#ercida so"re 9l e)cede de 1000 l" a si la magnitud del par e#ercido co"re 9l e)cede de 3000 l"6pie. ?on "ase en estos criterios, 7cuIl es la fuer*a mI)ima @ue se puede aplicar:
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N e tiene @ue = Q 1000 >" 3000
∑
M A
y
O $
= 3000 F sen 45C (5 F
=
= 3000
00 sen 45C
F = &%$ L'
3.13. >a placa rectangular mostrada se mantiene en e@uili"rio por medio de la fuer*a Aori*ontal . El peso & actJa en el punto medio de la placa. !emuestre @ue estI dada por la ecuaci
F
= ( b . cos α − h . sen α ) W '( h . cos α + b sen α )
O$ 0 & sen R (AD' ("D' cos R (A sen R (" 0 (A cos R " sen R b cos α − h sen α ' b cos α − h sen α F = ×w − ' ( h cos α b sen α
/ S cos R &
3.15. !os co#inetes de "olas lisos, cada uno de un peso w y un radio r se colocan en un cilindro a"ierto en am"os e)tremos. El con#unto descansa en una superficie Aori*ontal, como se ve en la figura. i el cilindro tiene un peso & y un radio TH'r, calcule=
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118
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(a >a fuer*a e#ercida por cada cuerda so"re el cilindro. (" El valor mínimo de & @ue evitarI @ue el cilindro no se vuel@ue. (c 7+odría volcarse el cilindro si estuviera cerrado en el fondo:
R
)' ('r' / ('T / 'r ' ) 4r − 4r + 8 Rr − 4r ) 8 Rr − 4r
reacciones internas
'
'
'
'
O)
0 Oy 0
O$
0
(=
'
' Rr − ' R
'
1 3 '& '
6& ('T 6 'r 3 ( ' ' Rr − R ' 0 W ( ' R − ' r ' 3 ' ' Rr − R W ( R − r
F" = F) =
' Rr − R '
3.1. >a "arra $%, de peso desprecia"le, estI "a#o el efecto de una fuer*a vertical de 300 kg de una Aori*ontal de 150 kg, aplicadas como se ve en la figura. Encontrar el Ingulo U para el cual Aay e@uili"rio. upongo @ue las superficies de los planos son lisas.
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Oy
0 O) 0
(1
y (' =
K1 cos 3.43C 6 300 K' cos 45C 0 VVVVVVV(1 K1 sen 3.43C 150 / K' sen 45C 0 VVVVVVV('
0.44 N + 0.0 N = 300 N 0.824 − 0.0 N = − 150 1.341 N =150 1
'
1
'
1
N) = )))#& *+ N, = "!"# *+
O%
0
6300 ) 1.' cos U 150) '.4 sen U K ' ) 3. sen (45 6 U 0 630 cos U 30 sen U 353.0 ) 3. sen (45 / U 0 30 (sen U / cos U 1''.2 sen (45 / U 0 30 (sen U / cos U 1''.2 (sen 45 ) cos U / cos 45 ) sen U
0 30 sen U / 30 cos U 200 cos U / 200 sen U 0 540 cos U 540 sen U sen θ
cos θ
1
tg 1 U arctg (1
. = %!
3.12. En el "alancín de la figura, el momento de con respecto a W e@uili"ra el de + tam"i9n con respecto a W. Encontrar .
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1'0
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Bg R X R arctg (1D'
Y U ) 20C )
206(3C
3C R '.5 C O
o 0
) 1C 6(+ cos 1C (1'.5 cos R (15 0
(1'5 cos 1 C (1' .5 15 cos ' .5 C
( P cos 1 C (1' .5
15 cos α
F = )), *+
3.'1. !etermine las reacciones en los soportes de la viga.
Solución: h
8
=
5 1'
h
= 10 m 3
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1'1
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∑
M A
=0
100 − 800 − ( 500) (4 + + ( R )( 8) = 0 2 = (41.( N R ∑ F = 0 8 + R = 0 ( (41.( )( 8) − ( 500 ) (4 + 100 2 = 180.13 N R ∑ F = 0 10 − R = 0 3 ( 500) 10 (4 + 2 = 12'.31 N R BY
BY
Y
AY
AY
X
AX
AX
3.''. !etermine las reacciones en el perno $ y la fuer*a so"re el cilindro AidrIulico del cami
Solución: ΣM A = 0 5000(3cos20) – R BY (4cos20) –R BX (4sen20) = 0 5000(3cos20) = R B (sen30) (cos20) + R B (cos30) (4sen20) R B = 4600.06 lb. ΣF X = 0 R AX + R BX =0 R A = 4!00"0!cos30 = 3983.72 lb. ΣF Y = 0 R Ay = 2700 lb. R B sen30 + R A# – 5000 =0
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1''
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3.'4. !etermine las reacciones so"re la tu"ería uniforme en $, % y ?.
Solución: ΣM A = 0 R B (0"2cos!0) $00($"%5cos30) + R & (3) = 0 R B + 30R & = '4'%"05"""""$ ΣF X = 0 R A R& cos!0 = 0 R& = 2 R A"""""""""""""""2 R B – $00 + R & sen!0 = 0 R B = '0 – 0"'!!R & """"""3 ΣF y = 0 Re!ue"#: R$ = 2%7.67 & RA = %'%.3% & RB = 7%6.8% &
3.'2. !etermine las reacciones en el rodamiento %, la cuZa ?, y donde la viga Aace contacto con el plano liso en $. no tome en cuenta el peso de la viga.
Solución: ΣM A = 0 $2R& – '00(!) sen!0 + 4R B – 500(4) = 0 ΣF X = 0 R A = 666.67 & R A sen – '00cos!0 = 0 ΣF y = 0 R Acos – 500 – '00sen!0 + R & + R B =0 Reul"#)o: R B = 2'9.6'& R $ = 439.87&
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R B ( 3R$ = '%39.23
R& + R B = !5"4'
1'3
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3.40. !etermine las reacciones so"re la viga en $ y %.
Solución: ΣM A = 0 20(3)20(!)20()20($2)4($"%$%3)($5) + R B() = %'0X R B = 78.2' *&. ΣF X = 0 A X – '&*!0 = 0 A X = 4 *&. ΣF Y = 0 R B – 20 – 20 – 20 – 20 – '($"%$%3) + A Y = 0
AY = '%.64 *&.
3.4. El ancla#e soporta las dos cargas verticales. !esprecie el tamaZo de los collarines en ! y % y el espesor del ancla#e, y calcule las componentes vertical y Aori*ontal de las fuer*as en el punto a y la fuer*a en el ca"le ?!. i#e el valor de 1 800K y ' 350K.
Solución: ΣM A = 0 ,sen ( '.5 cos 30 ) + , cos θ ( '.5 sen30 ) − 350( '.5 cos 30 ) − 800(1.5 cos 30 ) = 0 + = 78'.63 & ΣF X = 0 R X = 62%.3' & R X – ,cos = 0 ΣF Y = 0 RY = 68'.02 & RY – '00 – 350 + ,sen = 0
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1'4
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3.4. e espera @ue el ancla#e soporte las dos cargas verticales 1 '. si el ca"le ?% puede sostener una carga mI)ima de 1500 li"ras antes de @ue se rompa, determine las cargas críticas si 1 ''. Bam"i9n 7cuIl es la magnitud de la reacci
Solución: ΣM A = 0 2F 2 (1.5 cos 30) F 2 = 724.49 & ΣF X = 0 ΣF Y = 0
− '.5 F
'
cos 30
+ (1500 senθ )( '.5 cos 30) = 1500 cosθ ( '.5sen30)
=0
F ' = '448.98 &
4 = 0 R X = '200 & 5 3 RY = '997.94 & RY + $500 – 2(%24"4) – $44'"' = 0 5 R X – $500
3.5'. El lindero tiene un peso de 15 li"ras, centro de masa en [, y estI parado en la posici
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1'5
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Solución: ΣM A = 0 ΣF X = 0 ΣF Y = 0
R A = '0'.04 lb. 3 ( cos 30)( R A ) = $%5 ( 3 sen30 ) R BX = '0'.04 lb. R BX + $04"04 = 0 2 R BY = '7% R B = 202.07 lb. R B = R BX 2 + R BY 2
3.5. !etermine la distancia - donde se de"erI u"icar la carga P para el e@uili"rio de la "arra lisa en la posici
Solución:
. R 0 cosθ
0MA =
( − P- cosθ ) +
0F1 =
Rcos = P
!espe#ando T e igualando=
P cos θ
'
=
P- cos θ .
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d
. 3
cos θ
1'