9 Momentos y funciones generatrices de Momentos ‐
Edgar Acuna
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9.1 Momentos Sea X una variable aleatoria se define su k esimo momento con respecto al origen como μk=E[Xk], siempre que ‐
∑ | x |
k
p ( x k )
<∞
x
en el caso discreto y que ∞
∫ | x |
k
f X ( x ) dx
<∞
−∞
en el caso continuo. Obviamente, μ=μ1..Tambien, se puede definir el k esimo con respecto a la media por μ’k=E[(X μ)k]. Claramente, σ2=μ’2. Mientras mas momentos se conoce de una variable aleatoria X mas se conoce acerca de una distribucion. Otros parametros son el coeficiente de asimetria y el coeficiente de curtosis (aplanamiento), definidos por μ 3' E ( X − μ ) 3 γ 1 = 3 = 3 ‐
‐
σ
γ 2
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=
μ 4' σ 4
σ
=
E ( X
−
σ 4
μ ) 4
−3
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Ejemplo 9.1 Los momentos de una distribucion no siempre existen. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria con una funcion de densidad Cauchy entonces probar que E(X) no existe Solucion: si X tiene una distribucion Cauchy entonces su funcion de densidad esta dada por f ( x) =
1
π (1+ x2 )
−∞ < x < ∞
Luego, ∞
E ( X ) =
x
1
∫ π (1 + x ) dx = 2π Ln(1 + x ) | 2
2
∞ −∞
= ∞−∞
−∞
Que es una forma indeterminada por lo tanto E(X) no existe. La densidad Cauchy no tiene momentos de ningun orden.
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Teorema Si E(Xk) existe entonces E(XJ) con j
E (| X | ) = j
∫ | x | f ( x)dx < ∞ j
−∞
E (| X | ) = j
∫ | x | f ( x)dx + ∫ | x | f ( x)dx j
j
| X |≤1
≤
∫
| X | ≤1
f ( x)dx +
| X | >1
∫ | x |
k
f ( x)dx ≤ 1 + ∞ < ∞
| X | >1
El calculo del k esimo momento podria ser tedioso muchas veces y para simplificarlo se introduce la funcion generatriz de momentos. ‐
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9.2. Funcion generatriz de momentos Sea X una variable aleatoria se define su funcion generatriz de momentos (fgm) por MX (t)=E(eXt), Siempre que el valor esperado exista, para el numero real t.
Ejemplo 9.2 Calcular la fgm de una variable aleatoria binomial X con parametros n y p. Solucion: M X (t ) = E (e ) = Xt
n
∑
x = 0
xt
e
n ⎛ n ⎞ x ⎛ n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p) n − x = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟(et p) x (1 − p) n − x = ( p et + 1 − p) n x = 0 ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
La ultima igualdad es simplemente una aplicacion del teorerma del binomio de Newton.
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Mas ejemplos Ejemplo 9.3. Si X es una variable Poisson con parametro λ, hallar su funcion generatiz de momentos. −λ x t x Solucion: ∞ ∞ t t (e λ ) −λ Xt xt e λ M X (t ) = E (e ) = e =e = e−λ ee λ = e−λ +e λ x! x! x=0 x=0
∑
∑
Ejemplo 9.4. Si X es exponencial con parametro λ, hallar su funcion generatriz de momentos. Solucion: ∞
∫
∞ −λ x
∫
−(λ −t ) x
M X (t ) = E (e ) = e λ e dx = λ e Xt
−∞
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xt
dx =
−∞
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λ
∞
∫
−(λ −t ) x
(λ − t )e
λ − t −∞
dx =
λ
, si
λ − t
t < λ
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Mas ejemplos (cont) Ejemplo 9.5. Si X es una normal estandar N(0,1) , hallar su funcion generatriz de momentos. Solucion ∞ xt − x 2 / 2 ∞ − ( x 2 −2 xt ) / 2 ∞ − ( x −t ) 2 / 2+t 2 / 2 e e e e M X (t ) = E (e Xt ) = dx = dx = dx π π π 2 2 2 −∞ −∞ −∞
∫
∞ 2
M X (t ) = et
/ 2
e
∫
−∞
−( x −t ) 2 / 2
2π
∫
2
dx = et
∫
/ 2
La ultima integral da 1, porque es la integral de una densidad Normal(t,1). Para hallar la densidad de una Normal general necesitamos la siguiente propiedad. Propiedad 9.1: Si X tiene funcion generatriz MX(t) entonces la fgm MY(t) de Y=aX+b esta dada por ebtMX(at). Prueba: MY(t)=E(eYt)=E[e(aX+b)t]=E[ebt+X(at)]=ebtE[eX(at)]=ebtMX(at) Ejemplo 9.6. Si X es N(μ,σ2), hallar su fgm. Solucion: Estandarizando Z=(X μ)/σ. Luego, X=μ+σZ , asi usando a= σ y b=μ se llega a que MX(t)=eμtMZ(σt)=eμteσ2t2/2=eμt+σ2t2/2 ‐
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Propiedades de la fgm Teorema: Si X tiene fgm MX(t) entonces
M X ( k ) (0) = E ( X k ) Prueba: M X (t ) = E (e ) = E [ Xt
∞
∑
( Xt )
k =0
k
k !
]=
∞
∑ k =0
t k E ( X k ) k !
Por otro lado, la serie de Taylor de MX(t) alrededor de t=0 esta dada por M X (t ) =
∞
∑
( )
M X k (0)t k
k =0
k !
Luego igualando los coeficientes de tk en las dos series anteriores se tiene
M X ( k ) (0) = E ( X k ) ESMA 4001
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Ejemplo 9.7 Si X es una exponencial con parametro λ a) Hallar E(Xk) b) Hallar los coeficientes de simetria y de kurtosis Solucion: a) Del ejemplo 9.4 se tiene que MX(t)=λ/(λ t). Una alternativa es derivar varias veces la fgm MX(t) y por inspeccion encontrar una expresion para la k esima derivada . La segunda alternativa seria usar series de potencia de MX(t). Asi, ‐
‐
t k ∞ k !t M X (t ) = = ( ) = k 1−(t / λ ) k =0 λ k =0 λ k ! 1
∞
∑
∑
k
Luego, E(Xk) =MX(k) (0)=k!/λk. Asi, E(X)=1/λ, E(X2)=2/λ2, E(X3)=6/λ3, E(X4)=24/λ4. En consecuencia, Var(X)=σ2=E(X2) [E(X) ]2= 1/λ2. Tambien, γ1=E(X μ)3/σ3=(E(X3) 3 μ E(X2)+3 μ3 μ3)λ3=[6/λ3 6/λ3+ 2/λ3] λ3=2 y γ2=E(X μ)4/σ4=(E(X4) 4 μ E(X3)+ 6μ2E(X2) 4 μ4+μ4)λ4 3=[12/λ4 72/λ4] λ4 3= 57 ‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
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Ejemplo 9.8 Si X es una Poisson con parametro λ. Hallar sus tres primeros momentos y su coeficiente de asimetria. Solucion: Si X es Poisson(λ) entonces su fgm es M X(t)=e λ+λet Luego, M’X(t)=λete λ+λet , M’X(0)= λ=E(X), M’’X(t)= λete λ+λet+ λ2e2te λ+λet M”X(0)=λ(1+λ) =E(X2), M”’X(t)= λete λ+λet+ 3λ2e2te λ+λet+ λ3e3te λ+λet M’’’X(0)= λ(1+3λ+λ2)=E(X3). Por lo tanto, ‐
‐
‐
‐
γ 1 =
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E ( X − λ ) 3
σ
3
=
‐
‐
‐
λ (1 + 3λ + λ 2 ) − 3λ 2 (1 + λ ) + 2λ 3 ( λ )
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3
=
λ 3 / 2
λ
= 1/
λ
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Ejemplo 9.9 Si X es N(0,1) hallar el k esimo momento de X con respecto al origen. Solucion: Si X es N(0,1) entonces por el ejemplo 9.5 ‐
M X (t ) = e
t 2 / 2
∞
=∑ k = 0
2
(t / 2)
k !
k
∞
=∑ k = 0
2 k
t
k
2 k !
∞
=∑ k = 0
2 k
(2k )!t k
2 k !(2k )!
Obervando los coeficientes de tJ se concluye que E(XJ)=0 si j=2k+1, para k=0,1,2,3,.. y que E(X2k)=(2k)!/2kk!. O sea que, todos los momentos impares de una normal son 0. Luego, el coeficiente de asimetria γ1 debe ser cero y como E(X2)=1 y E(X4)=3, entonces el coeficiente de kurtosis γ2 tambien da cero
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes Propiedad 9.2. Si X y Y son dos variabkes aleatorias independientes entonces MX+Y(t)=MX(t)MY(t) Prueba: MX+Y(t)=E(e(X+Y)t]=E[eXteYt]=E[eXt]E[eYt], por independencia y en consecuencia
MX+Y(t)=MX(t)MY(t) La propiedad anterior se puede aplicar a una secuencia de n variables aleatorias independientes. Esto es, M X 1 +... X n (t ) = M X 1 (t )..... M X n (t ) =
n
∏ M i =1
X i
(t )
Si ademas, las variables Xi’s son igualmente distribuidas con fgm MX(t) . Entonces, M X 1 + ... X n (t )
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= [ M X (t )] n
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont) Propiedad 9.3 : Sean X y Y dos variables aleatorias tales que MX(t)=MY(t) entonces X y Y son identicamente distribuidas. Ejemplo 9.10. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria Poisson con parametro λi. Considerando Independencia de las Xi’s , probar que X1+X2….+Xn es tambien una Poisson. Solucion: Por el ejemplo 9.3 se tiene que −λ i +λ iet
M X i (t ) = e
Aplicando la propiedad 9.2 se tendria
n
−λ 1 +λ 1et
M X 1 +... X n (t ) = e
−λ n +λ ne
.....e
t
=e
n
∑= λ +(∑= λ )e
−
t
i
i 1
i
i 1
Luego, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una Poissson con parametro λ1+λ2….+λn
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont) Ejemplo 9.11. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria Normal con media μI y varianza σi2 . Considerando independencia de las Xi’s probar que X1+X2….+Xn se distribuye tambien en forma Normal. Solucion: Por el ejemplo 9.6 se tiene que M X i (t ) = e
μ it +σ i2t 2 / 2
Aplicando la propiedad 9.2 se tendria μ 1t +
M X +... X n (t ) = e 1
n
σ 12t 2 / 2
μ nt +σ n t / 2
.....e
2 2
(
=e
n
∑= μ )t +(∑= σ )t / 2 2
i
i 1
2
i
i 1
Luego, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una Normal con media n
n
∑ μ
i
i =1
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y varianza
∑ σ
2 i
i =1
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont) Ejemplo 9.12. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria distrbuida como una χ2 con ni grados de libertad. . Considerando independencia de las Xi’s probar que X1+X2….+Xn se distribuye tambien como una χ2. Solucion: Una χ2 con n grados de libertad es un caso particular de una Gamma con parametros α=n/2 y β=2. Luego, su funcion de densidad esta dada por / 2−1
f ( x) =
x n
e
− x / 2
Γ(n / 2)2n / 2
,
x > 0
Luego, su fgm. esta dada por ∞
M X (t ) = E [e ] = Xt
e xt xn / 2−1e− x / 2
∫ Γ(n / 2)2
n / 2
0
∞
xn / 2−1e− x(1 / 2−t )
∫ Γ(n / 2)2
dx=
0
n / 2
dx=
1
∞
xn / 2−1e− x(1 / 2−t )
1 dx = n / 2 n / 2 n / 2 (1−2t ) 0 Γ(n / 2)[2 /(1−2t )] (1−2t )
∫
Siempre que t<1/2. La ultima integral vale 1, porque es la integral de una densidad Gamma(n/2,2/(1 2t)). ‐
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont) Ejemplo 9.12 (cont). Luego, M X
.... X n 1 +
(t ) =
1 (1 − 2t )
n1 / 2
.......... ..
1 (1 − 2t )
n n / 2
1
=
n
∑= n / 2
(1 − 2t ) i 1
i
n
Por lo tanto, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una
χ2
con
∑n
i
i =1
grados de libertad
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