“Año de la consolidación del mar de Grau”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA SANITARIA
Problemas propuestos de básica ii Tercera practica calicada DOCENTE! "ulio Cesar Cabrera
estudia#tes! $% )% .% 1% 3%
Ramos Ar Are&alo Ed Edso# 'r 'r(a# Espi Espi#o #o*a *a Gira Girald lde* e* +a# a##( #( ,at,at-er eri# i# I#/a Pe0a Celit- Ross( 2orales "a "a& &e 2ateo Re#*o Uca0a# C-o4uemoroco Est-e5a#( 2aria
PROBLEMAS PROPUESTOS DE BÁSICA 2 1.La recta pasa por el punto (2, 1, 5) y además intersecta y es perpendicular a la recta: L1
:
x − 1 y + 2
=
3
4
=
z −3 2
Determine la ecuación L .
L1 " (1, -2, 3)+(3, !, 2)
L P
L1 & L
L" (2, 1, %)+&(, *, )
Po (2, ( 3,4,2) . ( a,b,c ) =0 3a+4b+2c =0
P€
L1 ,L
(1, -2, 3)+(3, !, 2)" (2, 1, %)+&(, *, ) (1+3, -2+!, 3+2)"(2+&, 1+&*, %+&) 3-&"1(1) P: (1, -2, 3) +1929(3, !, 2)" (#$29, 1#29, 12%29) L: Po +&(P- P0 ) L: (2, 1, %)+&(#$29-2, 1#29-2, 12%29-%) L: (2, 1, %)+ &(2#29, -1129, -2'29) L: (2, 1, %)+ &(2#, -11, -2')
2.Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(!, 2, "1) y #(2, 5, $) y es paralelo a la recta L p (2, 1, $)%t("!, "2, 1) N
AB" B-A" (2, %, ')-(3, 2, -1) AB"(-1, 3, 1)
P
P -A
N & AB B
N=ABxV
N & V / N=
|
N=Vx AB
i
j
−1 3 −3 − 2
N=( 5,2 ,1 1)
|
k 1 1
!.'a !.'allllar ar la ecuaci ecuación ón de la rect rectaa qu quee pa pasa sa po porr
1
(−3 ; 3 ; 8 ) , dista cinco √ 2
unidades del orien y cuya proyección sore el plano *y siue la dirección ( 1 ; 1 ; 0 ) (dos soluciones) L
5 ⃗ z n
1
B
D0 4:
(−3,3,8
√ 2
n ⃗1= n⃗ z x ( 1,1,0 )
%
n ⃗1=( 0,0,1 ) x ( 1,1,0 )
7 n´1
n ⃗1=(−1,1,0)
(1,1, 6
(,*, A L :
( √
−3 2
3
,
)
8
,
√ 2 √ 2
+ m( a +
3
√ 2
, b−
3
√ 2
,−
8
√ 2
)
Entonces : n ⃗1 es ⊥ a todarectadel plano plano que forma forma L y surespectiv surespectiva a proyec proyección ción : En este casose caso se toma larecta la recta AB
(
n ⃗1 a +
3
√ 2
(
, b−
(−1,1,0 ) a +
−a−
3
√ 2
3
√ 2
3
√ 2
+b−
,−
, b−
3
√ 2
=0
8
√ 2 3
√ 2
)= ,−
0
8
√ 2
)=
0
a =b
L:
8
( √
−3
3
,
2
8
,
√ 2
√ 2
)
3
+ m( a +
√ 2
, a−
3
√ 2
,−
8
√ 2
)
La distaciadel distacia del eje de coordenadas coordenadas ala recta recta es 5 ,entonces :
| ]=
( ( 0,0,0 )−(
d [ ( 0,0,0 ) , L
−3
,
3
3
√ 2
|¿ x ( a +
5=
|
|
2
3
a
√ 2
a,
√ 2 3
, a−
, a−
−8
√ 2
, a−
2
,
√ 2
3
√ 2
| √ = | + √ 8
−3 −8
3
a+
5
,
√ 2
a, 3
√ 2
3
√ 2
)) x ( a +
, a−
3
√ 2
3
√ 2
,−
8
, a−
3
√ 2
|
√ 2
)
√ 2
3
8
√ 2 √ 2 √ 2 a+
(
,
,−
,−
6
√ 2 ,−
8
√ 2
8
√ 2
)|
|
|
a
8
√ 2
|
2
25=
82 a 2a
a =!
L :
5 4
( √
−3 2
( √
−3
L :
,
+ 41
√
2
( √
,
−3 2
41 2
3
,
)
8
√ 2 √ 2
a=
S:
L :
2
√
5 4
3
,
3
√ 2
3
√ 2
, a−
3
√ 2
,−
8
√ 2
)
41 2
8
√ 2 √ 2
,
+ m( a +
,
)
+ m(
5 4
√
+ ( √ ) √ 8
2
41 2
+
3 5 , √ 2 4
√
41 2
−
3
√ 2
,−
8
√ 2
41 + 12 ; 5 √ 41 41− 12 ;−32 ) t 5 41
)
,−
8
√ 2
|
)
L :
( √
−3 2
,
3
8
,
√ 2 √ 2
)
+ m(
5 4
√
41 2
+
3 5 , √ 2 4
√
41 2
−
3
√ 2
,−
8
√ 2
)
cambiamos cambiamosde de variable variable m = 4 √ 2 t
S:
L :
−5 = −3
( √
,
2
41 3
8
,
√ 2 √ 2
)
+ m(
√
−5
41
4
2
+
3
√ 2
,−
5 4
√
41 2
−
3
√ 2
,−
8
√ 2
)
cambiamos cambiamosde de variable variable m = 4 √ 2 t
L :
( √
−3 2
,
3
,
8
√ 2 √ 2
)+ (− √ t
5 41 41 + 12 ; −5 √ 41 41− 12 ; −32)
+.'allar la ecuación del plano que pasa por el punto (+, "2, 1) y es perpendicular a cada uno de los planos *"!y%+"-$ y 2*%2y"%11$ 2*%2y"%11$ P
P
P1: ;-3<+!=-9"' 1"(1, -3, !)
N -
N
-
-
A (!, -2,
P2: 2;+2<-=+11"' 2"(2, 2, -1) 1;2" >" (-%, 9, #) P" (P-P)> ((;, <, =)-(!, -2, 1)(-%, 9, #) (;-!, <+2, =-1)(-%, 9, #)"' -%;+2'+9<+1#+#=-#"' -%;+9<+#="-3'
5.e tiene las rectas L1 ("1, !, !)%r($, "1, 1) y
L2
("1, !, 1)%t(1, "1, 1).
/na recta L corta perpendicular a las rectas L1 y L2 . Las rectas L1 y L determinan el plano P1 y las rectas L2 y L determinan el plano 'allar el ánulo 0ormado por los planos P1 y P2
P2
.
SOLUCI?N L P2
P1 B
( 0,−´ 1, L1
(0,−´ 1,1
A
(1,−1,1
L2
D0 4: n ⃗ ∥ ( 0, −1,1) x ( 1,−1,1 )
n ⃗ ∥ ( 0,1,1 ) n ⃗ =m ( 0,1,1 ) ;sim=1 ; n ⃗ = ( 0,1,1 )
@ P1 P1: (-1,3,3) + (',-1,1) + (',1,1)
( x , y , z ) =(−1,3,3 ) + m ( 0,−1,1 ) + n (0,1,1) E 0& 0 > P1 0 >0 ( 0,−1,1 ) x ( 0,1,1 ) E&0 n⃗1=(−2,0,0) @ P2 P2: (-1,3,1) + (1,-1,1) + (',1,1)
( x , y , z ) =(−1,3,1 ) +r ( 1,−1,1 ) + s ( 0,1,1) E 0& 0 > P2 0 >0 ( 1,−1,1 ) x ( 0,1,1 ) E&0 n⃗2=(−2,−1,1 )
∴ el ∡ entre entre los
cos ( " )=
planos planos P 1 y P 2 es elmismo elmismo que el ∡ que foman foman los vector vectoresnormale esnormaless respectiv espectivos os :
( −2,0,0 ) (−2,−1,1 ) 2 = |n⃗1||n⃗2| |−2,0,0||(−2,−1,1 )| √ 6 n ⃗1 n⃗2
=
" =35.26 #
." or el m3todo de 4eton apro*imar las ra6ces reales de la ecuación: *!%*2%1+*%2$$, con una apro*imación menor que o iual a $.$$$1. 7L/894: ea (*) *!%*2%1+*%2$ Aplicando el m3todo de Descartes: ;a6ces positi
neati
1
1
1
=iene =iene ! ra6ces
(! > 2)? =iene =iene 1 ra6 neati
Aplicando
intermedio
el
4;A98E %
4;A98E "
$
!
$
$
1 (*)
2
"+
"+
"!
5
"2
F
$
m3todo del @alor @alor
∃
1
∈
Aplicando el m3todo de 4eton 4eton
n%1 n " (*) B C(*) Aplicando la primera apro*imación: En "+?"!
o a.() > .(a) "+.("!) > ("!).("+) ("+)(5) > ("!)("+) "!2 "!.5555 () > (a) ("!) > ("+) (5) > ("+) -
n
(n)
C(n)
(n)BC(n)
n%1
"!.5555
1.12+G-
-.25-!
$.121+F
"!.GG$+
"!.GG$+
"$.$G$-
1$.+!G!-
"$.$$GG
!.G$2G
"!.G$2G
"$.$$$2
1$.!-+1
"$.$$$$25
"!.G$2+5
;u00ini Aplicando el m3todo de ;u00ini (*) (*%!.G$2+5)(H(*)) 'allando H(*) 1
1
"!.G$2+5 2.!2-G55
"!.G$2+5
1+
2$
"F.55$GG1+ "2$.$$$$$!1+ 5.++-22F! "$.$$$$$!1+ El error es menor a $.$$$1
(*) (* % !.G$2+5)(*2 % 2.!2-G55* % 5.++-22F!) El polinomio presenta ra6ces compleIas pues su discriminante es menor que 2
% =2.329755 − 4 x 5.44922836 x 1 =−16.36915508
Lueoo el polinomio Lue polinomio presenta presenta 1 ra6 neati
ea (*) * "
4 3
!
* "
1 3
4
2
* "
4
*"
3
3
Aplicando el m3todo de Descartes: ;a6ces positi
;a6ces neati
ra6ces neati
4 3
*! " 1
1 3
4
*2 %
3
*"
4 3
=iene !
1
=iene 1 ra6 neati
intermedio
el
4;A98E " (*)
$
1
"1
! 2
$
1
$
1"1.!!
2
1
"!.!!
2
$
m3todo del @alor @alor
∃
2 ∈ -1 '
1 E H= Aplicando el m3todo de 4eton 4eton
n%1 n " (*) B C(*) Aplicando la primera apro*imación: En "1?$
o a.() > .(a) "1.($) > ($).("1) ("1)("+B!) > ($)(2) "2 "$.+ () > (a) ($) > ("1) ("+B!) > (2) 5
n
(n)
C(n)
(n)BC(n)
n%1
"$.+
"$.G+2+
"1.-2G
$.!GF2
"$.GGF2
"$.GGF2
$.+-GF2
"5.122GF
"$.$-G1GF
"$.F1$F2
"$.F1$F2
$.$5
"!.--F51
"$.$1+155
"$.5!2 -0.666668
"$.5!2
"$.$$$51-
"!.F5$5
$.$$$1!+F
−
;u00ini Aplicando el m3todo de ;u00ini (*) (*"2)(*"2B!)(H(*)) 'allando H(*) 1
"+B!
"1B!
"+B!
"+B!
1
2 2B!
+B! 1
2 2B!
+B! $
1
"2B! $
$ 1
"2B! $
2 "2B!
(*) (* > 2 )(* % 2B!)(* 2 % 1) El polinomio presenta ra6ces compleIas ues su discriminante es menor ue $
2 3
2
% =0 − 4 x 1 x 1 =−4
Lueo el polinomio presenta 1 ra6 positi
'allar llar las ec ecua uaci cioones de los los pla plano noss pa parale ralelo loss a 2* 2*%! %!yy%2 %2$$ y qu quee se se
encuentran a una distancia iual a + unidades del punto (!? +? $) 7L/8974: /tiliando la 0órmula de distancia de un punto a un plano: 8omo es paralelo: los planos tienen la 0orma: 2*%!y%%d$ 2 2 2 14 n √ 2 + 1 + 3 √ 14
d [ ( 3,4,0 ) , P 1 ] =
|2 x 3 +3 x 4 + d| |n|
14 "1F d2 "+ √ 14 14 "1F , Jay 2
Kd, para los 2 planos paralelos al plano dado. 14 "1F $ Ecuación de los planos planos : 1: 2*%!y%%+ √ 14
"1F $
14 2: 2*%!y% "+ √ 14
