Libro guía de ejercicios mate

GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA I – MATE21 Material realizado por: Aldo Ramírez Patricio Loyola Bernardita Pérez

CIENCIAS BÁSICAS ÁREAS TRANSVERSALES VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas

3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica. En cada uno de las siguientes situaciones identifica qué dato(s) falta(n) y es(son) necesario(s) para poder plantear y resolver el problema de manera adecuada. 1. En una tienda, un mouse vale lo mismo que un teclado. ¿Cuánto se debe pagar al comprar 3 mouse? 2. La edad de Juan es el triple que la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de Juan? 3. María fue a la playa y pagó $120.000 por el total de los días de alojamiento ¿Cuánto pagó por cada día de estadía? 4. Un jardinero debe plantar 9 flores en cada una de las jardineras de su patio. ¿Cuántas flores debería comprar? En cada uno de los siguientes problemas reconoce la incógnita y representa el problema mediante una expresión algebraica (ecuación). 5. Al final de año, un alumno debe tener 4 calificaciones. Raúl ha obtenido: 4,5, 3,8 y 5,0. ¿Qué nota debe obtener en la cuarta prueba para tener promedio 4.0? 6. En una peña folclórica, la señora María vendió 80 botellas de bebestibles. Cada botella de gaseosa la vendió en $600 y cada botella de jugo, en $400, recaudando $39.200. ¿Cuántas botellas de gaseosa vendió? 7. Si por cada 5 alumnos de un curso hay 4 computadores. ¿Cuántos computadores hay por cada curso de 42 alumnos? A continuación se muestran algunos enunciados de problemas y su respectivo planteamiento de ecuación. Identifica, en cada cado, qué parte del problema está siendo representado. 8. Lucía come cierta cantidad de lechugas por semana y otra cierta cantidad de duraznos, por semana. Entre lechugas y duraznos, ella come 15 unidades. Si se gasta $2500 semanales entre lechugas y duraznos, y cada lechuga cuesta $150 y cada durazno $200 ¿Cuántas lechugas y duraznos come a la semana? 150x + 200(15-x)=2500 ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada con rojo? 9. En un triángulo isósceles la base mide cinco unidades menos que el triple de la medida de los otros lados. Si el perímetro mide 50 cm. ¿Cuánto mide la base? 39

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunic Telecomunicaciones aciones Disciplinas Básicas: Matemáticas

Resolución de problemas en los números reales. Aprendizajes esperados Obtiene información numérica de gráficos y tablas relativas a situaciones de la especialidad. Resuelve situaciones situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad especialidad en el entorno numérico de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva. Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva.

Introducción: Todo ser humano nace con un gran potencial creativo, muchas personas utilizan muy poco este potencial y otros lo utilizan al máximo. máximo. La creatividad es un componente fundamental fundamental en la la resolución de problemas. Esta habilidad para generar nuevas ideas y solucionar diversos tipos de problemas y desafíos debe ser cultivada, practicada y en la búsqueda constante de la estrategia personal. “Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”

Proverbio árabe

2

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas x+x+3x-5=50 ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo? 10. La suma de las edades de dos hermanos es 45. Si el doble de la edad del mayor es igual a cuatro veces la edad del menor. ¿Cuál es la edad del menor? 2x=4(45-x) ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo? Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedades de las operaciones. 11. 4 – 2x = 6 12. 3(x+4)=90 13. 400x + 300(100-x) = 34000

14. -50 + 4x = -140 15. (x+1)/5 + 2x = 3 –x/2 16. 3x + 40 = -2x +60

Resuelva los siguientes problemas, comunicando sus resultados de manera efectiva. 17. Una persona tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Cuántos años tendrá en 5 años más? 18. Un bidón lleno de parafina pesa 38 kilos. Cuando está hasta la mitad, pesa 19,5 Kg. ¿Cuánto pesa el bidón vacío? En cada uno de los siguientes ejercicios, identifica las incógnitas y los datos, plantea el problema mediante una ecuación, resuélvela, analiza la pertinencia de las soluciones y comunica tus resultados. 19. Dos hermanas deciden ahorrar lo que han ganado en sus trabajos de verano. Al final de este período lograron reunir $75.000. Si la hermana mayor ahorró el cuádruple de lo que ahorró la menor- ¿Cuánto ahorró cada una? 20. Determina un número tal que el doble de la suma entre el número y su antecesor sea igual a cuatro veces el número aumentado en seis. 21. La edad de tres hermanos es talque: el mayor tiene el doble de la edad del menor y el menor, tiene cuatro años menos que el hermano del medio. ¿Cuáles son las edades si la suma de todas es 30? 22. La suma de las edades de un padre y su hijo es de 20 años. Si la edad del padre es tres veces la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del padre?

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Como te habrás dado cuenta, hay problemas que tienen solución, otros que no tienen y otros que tienen infinitas soluciones. Apoyándote en el ítem anterior: 23. Plantea un problema que no tenga solución, escribe la ecuación pertinente y trata de resolver el problema. Justifica por qué no tiene solución.

Analiza cada uno de los siguientes problemas y determina cuáles son los posibles errores en su redacción, los datos que faltan y realiza una propuesta de nuevo enunciado. Luego, resuélvelo. 24. En el campo de Francisco hay que hacer una huerta. Y para esto, cuenta con tomates, lechugas y acelgas. Si se planta la mitad del huerto con lechugas, un tercio de lo que queda con acelgas y 50 tomates, completamos todo el terreno. ¿Cuántas acelgas se necesitarán? 25. Coca y Clue se fueron de compras navideñas. Ambas tenían la misma cantidad de dinero para gastar. Sin embargo, a Coca le quedó la mitad de lo que le quedó a Clue. ¿Cuánto dinero tenían en un comienzo? Resuelve las ecuaciones de primer grado 26. 2  x  1  3x  1

2

33. ax   a  b   bx

27. 32  x   5 x  2  x  2

34.

28.  x  1 x  2  x  3  x 1  x  29. 30. 31. 32.

2  x  1 3

1 2

 1   x 2

 x  1  x  2

2 x  1

3 5

36. x

 

2

1

x

a

a

x 2 x  2

2 x  3 1

37. y

3

 1





8

x  4 x  4

4 x 3



16 x  9 2

3 y

5

4 x  x  6 2

35.

x

a



2 x 3



1 x  2

Resuelve las ecuaciones de segundo grado: 38. x 2  10  71

42. (2 x  6)(2x  6)  (2x  9)(3x  4)

39. x 2  23  167 40. 6 x2  27  5x 2  73

43. 4 x2  5x  6  0 44. x2  7x  12  0

41. (7  x)2  (7  x )2  130

45. ( x  3)2  8x  9  0 41

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 46.

47.

48.

49.

x  6y  27

  50. 5 4  y x   1  3 3 x  y x  y    1  3 3 51.  y  3 x   20  2 x

7 x  3y  9 x 

1

y  5 2 4 x  2y  7  0

6  x  4   5  y  1   9 5  x  4   6  y  1   2



y

3  y  2  2x 2  y  5  7x

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales x  1

52.

10 x  4 5

53.

54.

 

y  4

5 y  2 10

3  x  2  2  y  3  7 6  x  1  5 y  1  18

 x  y    9y  11x   2y  2x  x  y   6x  8y    10x  5y  3

Resuelve las siguientes situaciones 55. En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios: 1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas 2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas 3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul. A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final. Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas Inicio B A a+b 1º 42

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2º 3º 56. Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente. 4



 r 3

57. Sea V  3 el volumen de una esfera. Si el radio es es el volumen de la esfera?

58. En el  ABC rectángulo en C. El valor de c  el valor de c ?

r 

3 2

u

u :

unidades . ¿Cuál

a 2  b 2 , donde a  3 y b  1 . ¿Cuál es

59. Si x es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es “ a ” y d ígito de las decenas es “ b ” . ¿Cuál es el antecesor de x ? 60. La edad de Francisca hace 3 años era x  7 , mientras que la de Ignacia era y  3 . ¿Cuál es la expresión que indica la diferencia de años que actualmente tiene Francisca e Ignacia? 61. Un globo aerostático vuela con una rapidez de n  8 km/hr. A esta rapidez, ¿cuánto tiempo, en horas, le tomará volar ( n 2  5n  24 ) km?. 62. Si se reparten 3 x 2  2 x  1 hectáreas de terreno en partes iguales entre  x  1 personas. ¿Cuántas hectáreas le corresponden a cada una de ellas?

Plantea los siguientes problemas con una ecuación o sistema (lineal o cuadrática) y resuelve 63. Un grupo de turistas tiene que hacer una colecta para pagar una excursión. Si cada uno paga 75 dólares habrá un déficit de 440 dólares. Si cada una paga 80 dólares habrá un exceso de 440 dólares. ¿Cuántas personas toman parte de la excursión?

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 64. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 65. Sumando las edades de tres personas A,B,C se obtienen 52 años. La edad de C es el 10% de la edad de B y la de A es el 20% de la edad de B. ¿Qué edad tiene cada una? 66. Una compañía tiene $50.000.000 para invertir. Si invierte 18 millones al 2,5% y 13 millones al 3%, ¿A qué porcentaje debe invertir el resto para tener una ganancia de $1.353.000 por el total de sus inversiones? 67. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. 68. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que tenía Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años? 69. El puntaje de Juan en matemáticas, excede en 13 puntos al de Esteban, y el doble del puntaje de Esteban excede en 29 puntos al puntaje de Juan. Encuentra ambos puntajes 70. Dos hermanos fueron a una librería para comprar ciertos útiles. Pagaron entre los dos un total de $7600 y volvieron a casa con $2200. Si uno de los hermanos gastó dinero y el otro

3 4

4 5

de su

de lo que tenía. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al entrar al momento de

entrar a la librería? 71. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

3.4 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la solución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales y representa gráficamente esta solución. 1. 2.

5  2 x  1 4  7y  10  6y

3.

1 1 3  x  x  2 2 4

4.

 y  3 y  2  y  1 y  6 

5. 6.

2 x  1 4



3y  1 

3 2

4y  6 2

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Indica las desigualdades que representan las siguientes graficas 7.

8.

9.

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones, indicando su intervalo solución y gráfica. 10. 11. 12. 13. 14.

2 x  3  5 



4 x  6  2 y  2  1 



3y  1  1

4 x  3  1



2 x  1  3  y  4  1



1  y  0  1  2 x  3 



3  x  3

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Modelamiento mediante Funciones Reales Aprendizajes esperados Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio. Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática. Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos. Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función inversa y compuesta.

Introducción La palabra FUNCION se utiliza en matemáticas con un significado técnico muy preciso y referido a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y cotidiano y que se reflejan a través del comportamiento de dos variables “x” (variable independiente) e “y” (variable dependiente)

Situaciones que representan un modelo funcional. 1. La cantidad de kilómetros recorridos por un vehículo y el gasto en combustible 2. La cantidad de un determinado artículo y su precio

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4.1 Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio. 1. Señala cuál de los siguientes gráficos representa una función

2. Grafique y determine dominio y recorrido para las siguientes funciones: A. f ( x)  2 x  12 B. g ( x)  x  7 C.

h( x) 

5

x  3

48


3. El gráfico muestra la velocidad de un modem en los 15 primeros minutos de conexión. 100 s / B G n e n ó i x e n o c e d d a d i c o l e V

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Minutos

A. ¿Qué velocidad tenía a los 6 minutos? B. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada? C. Alrededor de cuantos GB/s tenía a los 13 minutos de comenzado la conexión. 4. En una máquina de parquímetro aparecen los siguientes costos:

Hasta 20 minutos Entre 20 y 30 minutos Entre 30 minutos y 1 hora Entre 1 hora y 1 hora y media 2 horas máximo

500 800 1.200 1.600 2.200

A. Realiza una gráfica que permita visualizar los tramos de cobros. B. ¿Puede existir algún tiempo para el cual existan dos cobros distintos? C. De acuerdo a lo anterior diga si la gráfica representa una función o no.

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4.2 Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática. 1. El gráfico muestra el costo de producir un protector de celular.

A. ¿Qué tipo de función es? B. ¿Cuál es costo aproximado de producir 40 protectores de celular? C. Si el costo de producir 0 protectores aumentara de 300 a 400, ¿Cuál es la variación del resto de los costos? 2. La siguiente tabla muestra la relación entre precio y cantidad de las ruedas de desplazamiento de mouse. Cantidad de ruedas de $ desplazamiento 2 1200 3 1800 4 2400 5 3000 A. Realiza un gráfico con los datos. B. Estima el valor de i. 1 rueda ii. 6 ruedas iii. 10 ruedas C. 50 ruedas D. Determina una expresión algebraica para el modelo. E. Si tengo $2000, ¿Cuántas ruedas puedo comprar? 3. Un alumno desea sacar 5 fotocopias para un trabajo de investigación, cada fotocopia tiene un precio de $18 A. ¿Cuánto paga por el total de fotocopias? B. Una persona desea sacar 50, 100 y 120 fotocopias. ¿De qué forma puedes obtener el valor a pagar? C. Escribe una fórmula que relacione el valor en función del número de fotocopias 50

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas D. Representa la relación anterior mediante un gráfico. E. ¿A qué modelo corresponde, la gráfica anterior? 4. Un taxista cobra $200 por "tarifa mínima" y luego $100 por cada 200 metros de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra $120 por cada 200 metros. A. Plantea la "función de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista. B. Determinar en cuál taxi me conviene viajar una distancia de 1.600 metros. C. ¿En qué distancia ambos taxistas cobran lo mismo? 5. La cuenta de la luz es tal que si un mes se gastan 5 Kw, se pagan $3750 y si otro mes se gastan 13Kw, entonces se pagan $9.750. Si la función que relaciona gasto de energía y pago es lineal, indica A. ¿Cuál es la función lineal que relaciona ambas variables? B. ¿Cuánto debe pagar una persona que gastó 23 Kw? C. ¿Cuántos Kw ocupó una persona que pagó $28.500 en su cuenta de luz? 6. El costo de franqueo de una correspondencia enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 10 gramos se cobra $200, con un valor fijo de partida de $50. A. Completa la tabla con los valores correspondientes y escribe el modelo funcional que representa esta situación X ( Gramos)

C(X) ( Costo en $)

10 20 30 40 …..

X B. Determina el costo del franqueo necesario para una carta cuya masa es de 75 gramos C. Si a Gabriel le cobraron $400 de franqueo por una carta. ¿De cuántos gramos era la carta que envío? 7. La siguiente gráfica representa el costo total y el ingreso obtenido en la producción y comercialización de ciertas unidades, de una fábrica de artículos tecnológicos. Se sabe que el costo fijo es de 2 UF y el costo variable por unidad es de 0,5 UF. Si cada unidad se vende en 1 UF. Determina: A. La función costo de producción B. La función de ingreso C. La función de ganancia D. Con cuantas unidades se obtiene el punto de equilibrio E. ¿Cuál es la ganancia obtenida en la venta de diez unidades? F. ¿Cuál es la perdida si solo se venden dos de estas unidades?

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8. Dada la función de costo C(x)  2x dólares e ingreso I(x)  3x  5 dólares, donde “x” representa las unidades fabricadas. Determina A. La utilidad obtenida por la producción y comercialización de veinte unidades B. El número de unidades para el cual se encuentra el equilibrio de esta operación comercial 9. Determina el nivel de ganancia de una fabrica que tiene que tiene un costo fijo de US$ 750, un costo variable de US$ 80 y un precio de venta de US$ 95, cuando venden sesenta artículos. Grafica ambas rectas. 10. Un estudio de mercado muestra que la venta de una empresa durante un periodo de 10 meses sigue un comportamiento lineal dado por la función: V  t   30 

20 3

t

Además el costo asociado a esta producción durante 10 meses, se modela por medio de la función: C  t   40 

10 3

t

Donde V(t) y C(t) se encuentran en millones de pesos y t es el tiempo en meses. Considerando la información anteriormente descrita, completa la siguiente tabla de precios de ventas y costos asociados.

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas t (meses) V(t) t (meses) C(t) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 Luego responda: A. ¿Cómo interpreta t = 2 en este problema? Justifica con argumentos de valores de venta y de precios de costo. B. La utilidad de una empresa se calcula como valor de las ventas menos el costo en un mes determinado. En el segundo mes de actividades, ¿la empresa tiene pérdidas o ganancias?, ¿cuánto es la pérdida o ganancia obtenida? C. En el octavo mes de actividades, ¿cambia la situación del segundo mes?. ¿Cuánto es la pérdida o la ganancia obtenida el octavo mes? D. ¿Durante los 2 primeros meses se tienen utilidades o pérdidas?, ¿cuál es el monto asociado a la utilidad o pérdida al segundo mes? E. ¿Durante los 7 primeros meses se tienen utilidades o pérdidas?, ¿cuál es el monto asociado a la utilidad o pérdida al séptimo mes? F. ¿A partir de qué mes se puede afirmar que se obtienen utilidades? G. Si la utilidad es de $9.000.000, ¿en qué mes se produce esta situación? H. Los estudios económicos realizados garantizan el mismo comportamiento del negocio durante los próximos 6 meses. Calcule cual es el monto de utilidad acumulada que se obtiene al finalizar los 16 meses. I. Con la información proporcionada, confecciona en un mismo gráfico las funciones: i. Función de ventas ii. Función de costos iii. Función de Utilidad. J. Explique gráficamente que sucede con las funciones de venta, costo y utilidad en el tercer mes? 11. La función que asigna subsidio, en donde es el valor de la vivienda en UF y el resultado es el valor del monto del subsidio en UF, se expresa por:

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; si 600  x  700 450 800  0,5 x ; si 700  x  1000  f  x    ; si 1000  x  2000 100 0 ; si 2000  x Calcule el monto de subsidio asignado para cada valor de vivienda: A.

f 785 

B.

f 920 

C.

f  632 

D.

f 1220  

E.

f 1000  

F.

f 1897   f 1375  

G. 12. Luego de realizar algunos estudios se decide definir una función por tramos, representada de la siguiente forma:

2.700+ 14.884x   x  28.930 f  x    78.930 0

A. B. C. D. E.

; si

0  x  46.225

; si 46.225  x  50.000 ; si 50.000  x  240.000 ; si x  240.000

Donde x es el ingreso potencial del hogar y f(x) es el Puntaje FPS. Considerando esto responde: Si tiene un ingreso potencial de $40.000, ¿Cuál es el puntaje FPS? Entre ¿qué valores de ingreso potencial se tiene siempre un puntaje FPS constante? Si se tiene un Puntaje FPS de 77.300, ¿cuál es el ingreso potencial del hogar? Esboza un gráfico de la función. Comenta con tus compañeros sobre la gráfica realizada en el ejercicio anterior, ¿cuál crees que es más viable de llevar a cabo?, ¿cuál representa mejor los datos de la realidad?

13. Dada la función de costo C( x)  x2  2 x  250 en dólares, que muestra el costo de fabricar “ x ”unidades de repuestos de computadores A. Realice un gráfico de la función B. ¿Cuál es el costo de fabricar cinco unidades? C. ¿Para cuantas unidades el costo es mínimo? 54

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas D. ¿Para cuantas unidades aproximadamente el costo será de 600 dólares? 14. Si la función U ( x)  1000 x  x2 representa las utilidades de una empresa en miles de dólares por “x” unidades vendidas. A. Determina el número de unidades para el cual la utilidad es máxima B. ¿Cuál es la máxima utilidad?

4.3 Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos. x

1. El crecimiento de un capital “y” está dado por la función exponencial y  1 5 0  1, 12 Donde “x” representa el tiempo expresado en años e “y” el capital expresado en UF.

A. B. C. D.

Calcula el capital inicial. Calcula el capital al cabo de 5 años. Indica la tasa de crecimiento anual. ¿Al cabo de cuántos años el capital se duplica? (Se debe aplicar logaritmo)

55

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2. Una empresa ha lanzado una campaña para aumentar la productividad de su empresa. El directorio estima que las semanas que demorarán en lograr el x% de su objetivo viene 10 x dada por la siguiente función s( x )  , con la información se pide: 150  x C. Las semanas que llevará lograr el 50% del objetivo. D. ¿Cuál será el objetivo alcanzado si han pasado seis semanas? E. Elabore la parte relevante de la gráfica. n

3. La depreciación de una máquina, después de " n " años se calcula como s  c 1  d  . Donde " s " valor de salvamento, " c " costo de la máquina y " d " porcentaje de depreciación. Si en tres años el porcentaje de depreciación es de un 9%. ¿Cuál es el costo de una máquina cuyo valor de salvamento será de $ 53.144? 4. La población de cierta nación desarrollada se sabe que está dada (en millones de habitantes) por la formula P  15e0,02t en donde t es el número de años transcurridos a partir del año 2002. Determine la población en 2012, suponiendo que la fórmula tiene validez hasta entonces. 5. Una compañía manufacturera encuentra que el costo de producir x unidades por hora, está dado por la fórmula C  x   5  10  log 1  2x  en dólares. Calcula: A. El costo de producir 5 unidades por hora. B. El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5 a 10 unidades por hora. 6. La población de cierta nación en desarrollo está dada en millones de habitantes por la fórmula P  15e0.02t donde t es el tiempo medido en años desde 1990. ¿Cuándo alcanzará la población los 25 millones, suponiendo que esta fórmula mantiene su validez?

4.4 Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función inversa y compuesta. 1. La función F(x) definida por

 

2 2

Determina las ventas totales, en millones de pesos, x semanas después, de un nuevo tipo de computador. A. Determine la función inversa de F(x) B. ¿Después de cuántas semanas aproximadamente se vendieron $1.500.000? C. ¿En qué semana se vendieron $5.000.000?

56

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2. El precio  de cierto software computacional esta dado por la relación con las unidades producidas, según el modelo :   2   , El ingreso  por las ventas se encuentra definido por el precio según el modelo :   2   A. Determine las funciones inversas en ambos casos (precio e ingresos) B. Si el precio del software computacional es de CLP$ 10.000, entonces ¿cuántas unidades producidas se lograron para definir este precio? C. El ingreso en cierto nivel de ventas fue de CLP$30000 ¿cuántas unidades producidas y qué precio se definió? 3. Una compañía electrónica encuentra que el costo de producir x unidades por hora de un determinado producto, está dado por la fórmula

C  x   15  100  ln  3 x  en miles de

dólares, donde x está en cientos. A. Determine la función inversa de C(x) B. Determine la cantidad de unidades producidas si el costo es de 35.000 dólares 4. El precio de venta (en miles de pesos) de un determinado producto en una empresa dedicada a la computación es modelado a través de la función V(x) = 2400x donde x son las unidades vendidas en cientos. A. Determine la función inversa de V(x) B. ¿cuántas unidades deben venderse para que las ventas sean $3.540.000?

Respuestas Unidad: resolución de problemas en los números reales. 1.1 Aprendizaje esperado: Obtiene información numérica de gráficos y tablas relativas a situaciones de la especialidad.

57

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

A. A Punta Arenas volaron 1.320 pasajeros. B. A Arica volaron 1.250 pasajeros. C. Sí, hubo más vuelos a Temuco que a Antofagasta, la diferencia fue de 5 vuelos. D. Al sur de Santiago volaron 3025 pasajeros. E. Es más visitado la zona norte de nuestro país, con 3335 pasajeros. Van 330 personas más a la zona norte que a la zona sur de nuestro país. F. Volaron 1.070 pasajeros más a Temuco que a La Serena. G. Sí, dos vuelos más. H. Ese día volaron en total 6.380 pasajeros. I. i. En 90 minutos más, es decir, a las 9:30 am. ii. Saldrán juntos 6 veces más, antes de las 6 de la tarde. A. Para apoyar la educación de sus hijos B. 1,2% C. 698 personas aproximadamente D. 1.505 personas aproximadamente E. 707 personas aproximadamente F. 4.181 personas aprox. A. El porcentaje de Pishing recibido a través de distintas entidades. B. 42% aproximadamente. C. A medida que es un sitio con mayor seguridad el que se visita es menor el pishing. A. 2.000 personas. B. El aumento entre esos años fue de 2.000 personas. C. Aproximadamente habrán 5.300 personas. A. 12 horas. B. No se desplazaron durante 7 horas. C. Habían recorrido 3 Km. D. 4 horas. E. 1 hora A. 6°C B. El día jueves. C. Sábado. A. A los 0,4 km (400 metros). Y 1,4 km. B. Aproximadamente a 160 Km/h C. Una posibilidad es que en las curvas se disminuye la velocidad por lo general. D. 150 km/h OBS: el objetivo con este gráfico es que los alumnos se den cuenta de algunos errores como, por ejemplo, la graduación del eje X. Los alumnos deben enfrentarse a estas situaciones. A. 1.751 clientes B. 26.414 clientes C. Hay más clientes con planes nuevos D. 3.097 clientes E. Se debe tener en cuenta al momento de graficar que la variable en estudio es la cantidad de clientes en cada plan, por lo tanto el gráfico puede ser de barra (no histograma, ya que las barras deben ser separadas al ser una variable cuantitativa discreta), como también un gráfico circular para mostrar los porcentajes de clientes en cada plan. A. Entre 201 (incluyendo este valor) y 301 (no incluyendo este valor). B. Plan E

58


10

C. Plan C D. Plan A E. menos que 101 clientes (sin incluir este valor 101) A. Tipo de Plan Estándar Premium HD Gold Total

B. i. Estándar, Premium, HD. ii. 6 clientes. C. i. Estándar: 9 ii. Gold: 9 iii. HD: 25 D. i. 12.000 más ii. 3.000 más

59

Número de Clientes 17 11 7 5 40

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 1.2 Aprendizaje esperado: Resuelve situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad en el entorno numérico de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29

Por cada memoria flash se paga $4.990 El valor por dos routers y una fuente de poder es de $45.880. Las dos CPU cuestan$ 81.780. En la cuenta de ahorros le queda un saldo de $1.717.500. El vuelto es de $3.950 El valor de la entrada para cada niño es de $5.000 La altura del avión es de 2.800 metros de altura. Hipatia nace el año 370, mientras que Arquímides nace el año 287 a.C. El buzo está a 69 metros bajo el nivel del mar. $1.333,3333… por día, aproximadamente $1.333 Fernanda obtuvo como ganancia $308.000 esa semana. La empresa obtuvo una ganancia de $8.469.800. Le favorecía el primer tipo de cambio ya que le daban más rads sudafricanos por la misma cantidad de dólares de Singapur. Gastó $6.000 en taxi todo el día. Tendrán que pasar 24 segundos. En 60 minutos más. Coincidirán 9 veces durante un día hasta las 18:30, considerando que las luces empiezan a prenderse a las 9 am. Volverán a coincidir a las 14:45. Demorará 16 días en marcar la hora exacta. El mayor recibirá 30 millones de pesos, el segundo 40 millones de pesos, el tercero 24 millones de pesos y el menor recibirá 26 millones de pesos. La pensión que recibe el hijo es $52.500 por sobre el promedio nacional. A. 1/10 B. 3/10 C. 50.000 usuarios presentan problemas. D. 35.000 usuarios reclaman. E. 7/50 A. 675 alumnos. B. 31/60 La temperatura de la máquina será de -8°C. El total de la cuenta fue de $24.000. Hay 6 mujeres. Tengo 14 cajas. El número 291 lo dice Esteban. Quedó sin dañar 1/5 del disco duro. A. 1/15 B. jefe de proyecto: $1.000.000, socios: $200.000 c/u y último colaborador:$ 100.000

60


Razonamiento matemático: 1. Se le olvidó la prioridad de operaciones. 2. Porque todo número entero puede ser expresado como racional de la forma de una fracción, mientras que al revés no ocurre. 3. 1,4 es un decimal exacto y el otro es periódico al transformar en fracción podemos observar que sus representantes irreductibles son distintas. 4. Observe que en este caso se pide mostrar y no demostrar, se pretende que el estudiante a través de un dibujo o argumento muestre y logre comprender que efectivamente 1 = 0,9 , por ejemplo: 0,33333….+0,33333….+0,33333….. = 0,99999999…., observe que al transformar 0,3 en fracción obtenemos 1/3, por lo tanto 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0,9 , pero sabemos que 1/3+1/3+1/3 es 1, por lo tanto 1 = 0,9 .

1.3 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva. 1 2

3 4 5 6

A. El perímetro es de 100 metros B. El valor de la hipotenusa es de 35,355 metros. A. Días Computadores contaminados Inicio 580.000 1 290.000 2 145.000 3 72.500 n N 580.000/2 B. 36.250 computadores contaminados habrán el cuarto día. C. En ni un día habrán exactos mil computadores contaminados, pero cercano a esa cifra será el día 9. D. Han sido limpiados 561. 875 computadores. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Demora 50 segundos. T1 demora 38,9 segundos aproximadamente y T2 demora 1,3 segundos aproximadamente. El jueves. Días Insectos Domingo 6561 Lunes 2187 Martes 729 Miércoles 243 Jueves 81

61

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 7 8 9 10

11

228 virus. 1 Son siempre los mismos tres lenguajes diferentes 3 . ii.

6 0,0000075 m = 7,5 10 m

3 iii. 0,0075 mm = 7,5 10 mm Si es un número de cuatro cifras la posibilidad de números es de 6.561, mientras que con la segunda condición la cantidad de números que pueden formar es de 625 números. 5 2 Km o sea 32 Kilómetros.

Razonamiento Matemático 1. El error es incorporar el signo al número que está siendo elevado. Uso del paréntesis

 2 6  (2) 6 . 2. n impar, n par 3. Es un número irracional ya que la multiplicación de un natural por un irracional da como resultado siempre un irracional.

62


Unidad: Variaciones proporcionales 2.1 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren razones y parte proporcional, estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera efectiva. 1 2

3

4 5 6 7 8 9

6,7minutos aproximadamente A. 248:335, esto significa que por cada 335 delitos informáticos, 248 son por sabotaje informático B. 8:55, esto significa que por cada 8 delitos de ultraje público se cometen 55 delitos por injurias. C. 2:1, esto significa que por cada 2 delitos de ultraje público se comete 1 por otro tipo de faltas a la ley. D. 4,6 aproximadamente, esto significa que la cantidad de delitos por sabotaje es 4,6 veces mayor que los delitos por acceso indebido. E. 0,74 aproximadamente. Esto significa que es menor la cantidad de delitos por sabotaje informático, ya que este número es menor que la unidad. F. 0,16 aproximadamente. Al comparar este valor con el anterior obtenemos que la cantidad de delitos informáticos es mayor respecto del total de delitos. La oferta 3, ya que cuestan $187 aproximadamente cada CD. Oferta 1: 30 paquetes de 3 CD c/u. Oferta 2: 23 paquetes de 5 CD c/u. Oferta 3: 20 paquetes de 8 CD c/u. Oferta 4: 15 paquetes de 10 CD c/u. En la comuna de Independencia hay 154.604 celulares. F. Significa que el 96% de la población tenía un celular. G. 16.410.504 celulares. Es mayor la tarifa de Arica ya que cuesta $60,8 el minuto, en cambio Puerto Montt cuesta $54,1 el minuto. Los números que completan la serie son 64 ; 8,5 ; 1,92 ; 1/12 5 centímetros en el mapa de la página web. i. titulares : fotografías ii. titulares / anuncios iii. fotografías es a texto

63

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2.2 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales, estructurando su estrategia de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva. 1

A.

2

B. Proporción directa, esto lo podemos observar en el gráfico al tener una recta que pasa por el origen del eje cartesiano, además si dividimos cada para de variables obtenemos un valor constante. C. La constante de proporcionalidad es 2,5 esto significa que en 1 segundo se descargan 2,5 GB. A.

B. Proporción Inversa, podemos observar en la gráfica su representación características, además al multiplicar cada par de variables se obtiene un valor constante. C. La constante de proporcionalidad es 36, esto significa que si tengo 36 aplicaciones abiertas la batería durará una hora (o que si tengo una aplicación abierta la batería durará 36 horas) 3 Esta tabla representa una proporción directa ya que al dividir las variables X e Y se obtiene siempre el mismo valor 20.

Esta tabla representa una proporción inversa ya que a l multiplicar las variables A y B se obtiene siempre el mismo valor 24.

En este caso pese a aumentar ambas variables en forma conjunta, no existe proporcionalidad ya que no hay un valor constante al dividir ambas variables.

64

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas En este caso al ordenar la tabla de valores, observamos que ambas variables aumentan en forma conjunta, sin embargo no existe proporcionalidad ya que no hay un valor constante al dividir ambas variables (falla 8 con 8/9). 4

Nota: algunos valores de las tablas han sido aproximados

Una proporción directa ya que a medida que una variable aumenta la otra también lo hace en forma constante. 5

6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

A. Javier podrá guardar 640 canciones en su mp3. B. La constante de proporcionalidad es 320. C. Esto significa que por cada GB se puede almacenar 320 canciones. A. Si hubiesen colaborado 18.000 personas tendrían que haber aportado $28.500. B. Deberían haber aportado 14.250 personas si el aporte hubiese sido de $36.000. C.

D. La constante de proporcionalidad es 513.000.000 (proporción inversa), esto significa que si sólo una persona aportase para el proyecto debería aportar 513 millones de pesos. Demorarían 8 horas. 24, 7 horas aproximadamente demora ENIAC en calcular las primeras 707 cifras. Si trabajan al mismo ritmo tardarán 84 días. Si voy a 60Km/h tardaré 16 horas, mientras que si voy a 100Km/h tardaré 9,6 horas. Deberá pagar $2.925. Marcela. Hay 144 computadores infectados con algún troyano. Los 68 teclados cuestan aproximadamente $126.933 La factura ascenderá a $96.000 por un pedido de 12 cajas. Se demorarán 57,6 minutos. Imprimirá 2.400 páginas. Programarán 900 líneas. Demorarán 12 días.

65

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2.3 Aprendizaje esperado: Interpreta la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestren el grado de dependencia de entre dos variables. 1

A.

2

B. El 2010 C. El año 2010, ya que exportó a un mayor precio. D. Comienza pagando cuotas mensuales de $67.500 y termina pagando el año 2010 cuotas mensuales de $ 57.500. A.

Número de Personas 10 12 15 20 30

Días Utilizados 60 50 40 30 20

B. Proporcionalidad Inversa. C. 100 trabajadores. 3

4

Nº de DVD Precio en $ 1 200 2 400 3 600 4 800 5 1.000 6 1.200 7 1.400 8 1.600 9 1.800 10 2.000 A. Proporcionalidad Directa. B. 200. C. 2.400 pesos A 240 Km de distancia.

66

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2.4 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentaje estructurando sus estrategias de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva. 1 2

El valor final cancelado es $228.368 Se regalaron 15 impresoras.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Tuvo 60 respuestas correctas. $275.000 $276.000 30 $777 $1.200 $14.400 El sueldo de Diego es de $340.000 y el de Daniela es de $723.400 $27.500 $392.000 20% 75% 9,375GB A. 1.617 millones de dólares entre los años 1990 y 2001, 2.605 millones de dólares entre los años 2002 y 2006. B. La diferencia es de 1.020 millones de dólares. C. 83,36 millones de dólares. D. Trasporte: 716,3 millones de dólares Agua y servicios de saneamiento: 176,32 millones de dólares Energía: 1.746,67 millones de dólares Telecomunicaciones: 2.870,71 millones de dólares 75% A. 50% B. 10% C.

17 18

De Acuerdo En Desacuerdo No Sabe Total 19 20

21

22

25 20 5 50

A. 40% B. Tiene 50 alumnos A. 68% B. 24% C. En contra 24% y a favor 76% A.17,5% B.17,5% C. Pop y romantic 35 personas cada uno, rock 70 personas y el hip-hop 60 personas. A. En micro son 6 personas, en auto 3 y a pie 1. B. En micro son 12 personas, en auto 6 y a pie 2. C. En micro son 30 personas, en auto 15 y a pie 5.

67


24

i.

iii.

ii.

A. 37,5% B. 33,33…% C. 66,666…%

25

26

D. 52% A. 40% B. 4% C. 1 persona D. 92% E. 8% F. No A. i. Verdadero ii. Falso, en el año 1930 aproximadamente sí hubo un aumento.. iii. Verdadero iv. Verdadero v. Verdadero B. i. 37% ii.41% iii. 36% iv. 35% v.30% vi. 28% C. i.30% ii.30% iii.25% iv. 16% v. 10% vi. 7% D. i. 1970. ii. 1995. iii. 1975. E. Países desarrollados: 969.306 abonados a telefonía fija aproximadamente. Países en vías de desarrollo: 323.102 abonados a telefonía fija aproximadamente.

68

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 27. 28. 29.

30. 31. 32. 33.

A. Les conviene la última propuesta. B. Si la idea es disminuir la brecha conviene el segundo arreglo. Debo quitar 50 computadores. A. 30.970 B. $164.875 C. El valor a pagar es de $409.836, el IVA que debe pagar es de $65.43 6. El total de alumnos son 450. A. El precio final es de $205.200 B. En un 28% de rebaja. 33,3% La respuesta correcta es la tercera semana bajó en un 0,16%

69


Unidad: Desarrollo Algebraico 3.1 Aprendizaje esperado: Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

x+4 x+12 x-7 5-x 75-x 50x x/3 2x x+1 x+2 2 x x+y 2 x-x x/2 -4 x+5=8 3m=320 x
70

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 36 37 38

D

20

G  R  

kS R

39

10  R

n 2

P N  Q   2  E  

3.2 Aprendizaje esperado: Desarrolla operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizado estrategias de simplificación y reducción. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

4,5 a 6x + (14/3)y 2 4m+5m 2 2 2q -p -7q-4p 2 2 2 5x -5x y-4xy . 2 2x + x . 2 2 3 m+n+4mn -2m n . 2x-42y -2x-2y 2 m + 6m + 9 2 49x + 14xy + 56x + 22y – 33 4 1 – 9x 8 6 3 8m +10n m 2m m+n 2n a +2a +a 2 2 3 5xy (1 + 2y – 6y ) 2 5a ( 2a – 1 + 3a ) 2 2 2 18my (mx + 2 – 3mx ) (a + b) (3 + x) (a + 1) (2x – y) (x + 2) (m + 1) (1 – y) (1 + y) 3 3 (15a – 9b) (15a + 9b) 2 (m – 2) (m + 2) (m + 4) 2 (x – 7) (a – 8) (a + 3) (x + 3) (x+ 2) (2x + 3) (x + 4) (a + 3) (3a – 2) (2x + 3) (2x – 1)

71


30 31 32 33 34

(x + 3) (x – 3x + 9) 2 (2m – 5) (4m + 10m + 25) 2 2 8 2 4 4 (m – x) (m + x) (m + x m + x )

35 36

0

37

2t  3 t  t  2 

38 39

0

40

m

41 42 43 44 45 46 47 48

1 27/(p-q) 1 1/a 2 2 (2 a +3 a-5)/( 2 a -5 a -9) ½ -4 (-b+18)/(6(b-3))

1 / x

2 x  1

 3x  5  x  1 x  1 x

2

 7x  1 2  x  1

3 x

2

 2mn  n2  n3 n  m  n  m  n  2

3.3 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica. 1 2 3 4 5 6

Se necesita saber cuánto vale un mouse o un teclado. Se necesita saber la edad de Pedro. Se necesita saber el total de días que estuvo en la playa. Falta la cantidad de jardineras que tiene. La incógnita es una nota y la ecuación es

4.5  3.8  5.0  x 4

 4.0

Las incógnitas son la cantidad de botellas de gaseosa y de jugo, el problema se representa: 600x+400(80-x)=39200

72

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20

21

22

La incógnita es la cantidad de computadores y la ecuación es

5 4



42 x

Representa el dinero gastado en durazno por semana. Representa el perímetro del triángulo Representa la edad del hermano mayor -1 26 40 -22,5 28/27 20 En cinco años más la persona tendrá 17 años. El bidón vacío pesa 1Kg. Incógnitas: Ahorros obtenidos por la hermana mayor(x) y ahorros obtenidos por la hermana menor (y) Datos: Entre las dos reunieron $75.000 y El ahorro de la hermana mayor es el cuádruple del de la menor. Ecuaciones. x+y=75.000 x=4y Solución: x=60.000 e y=15.000 La solución encontrada es factible y se cumplen las condiciones establecidas. Resultado: La hermana mayor ahorró$60.000 y la hermana menor ahorró $15.000. Incógnita: Valor del número (x) Datos: el doble de la suma entre el número y su antecesor es igual a cuatro veces el número aumentado en seis Ecuación: 2(x+x-1)=4(x+6) Solución: No existe. Respuesta: No existe un número entero que cumpla con los requerimientos planteados. Incógnitas: Edades del hermano mayor (x), hermano del medio (y) y hermano del medio (z) Datos: El hermano mayor tiene el doble de edad que el menor, el menor tiene cuatro años menos que el del medio y la suma de todas las edades es treinta. Ecuaciones. X=2z z=y-4 x+y+z=30 Solución: x=13, y=10,5, z=6,5 El resultado es factible y cumple con las características planteadas. El hermano mayor tiene 13 años, el del medio 10años y medio y el menor tiene 6 años y medio. Incógnita: Edades del padre(x) y del hijo (y) Datos: Las edades suman 20 años y el padre tiene 3 veces la edad del hijo. Ecuaciones: x+y=20 x=3y Solución: x=15, y=5 De a cuerdo al resultado obtenido el hijo tendría que haber nacido cuando el padre tenía 10 años (es decir fue concebido cuando el padre tenía poco más de 9 años). El resultado

73


23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

es sumamente improbable si hablamos de personas, pero sí sería factible si hablamos de animales o si el tiempo no estuviera medido en años terrestres. El objetivo es que los alumnos planteen una ecuación que tenga resultado, pero inserta dentro de un contexto no tiene sentido. La pregunta debería ser cuántas hectáreas están disponibles para las acelgas. La respuesta es 25 hectáreas. Debería decir la cantidad de dinero que le quedó a Coca y que Clue se gastó la mitad del dinero, supongamos que a Coca le quedó $3.000, entonces: Cada una tenía en un comienzo $12.000 1 2 1 -2 -5/11 3 3 a-b 2 a /3 0 1 ½ x  61

ó

x   61

x  12 x  100

x  4

x = 0 ó x = - 9,5 x = 3/4 ó x = - 2 x  8,4

ó x  1,4 x=2

x=0 ó x=3; y=4 No tiene solución x=8; y=2 x= 18/17; y=-22/17 x=15; y=12 x=83/12; y=3/2

74


53

54

75


Inicio 1º 2º 3º 56

57 58 59 60 61 62 63 64 65

66 67 68 69 70 71

Inicio 1º 2º 3º 9 V   u 3 2

Nº bolitas blancas B b-5 4(b-5) 4(b-5)+1 Nº bolitas blancas 5 0 0 1

Nº bolitas azules A a-3 2(a-3) 2(a-3)-1 Nº bolitas azules 8 5 10 9

Total bolitas a+b a+b-98 2a+4b-26 2a+4b-26 Total bolitas 13 5 10 10

2 10b+a-1 x-y+10 n-3 3x-1 176 personas toman parte de la excursión. Las dimensiones son 30 m y 25 m A tiene 8 años B tine 40 años C tiene 4 años Debe invertirlo al 2,7% 21 años Dentro de 5 años Fernando tendrá 15 años. El puntaje de Juan es 55 puntos, el de Esteban es 42 puntos. Uno de los hermanos tenía $5.000 y el otro tenía $4.800 12 y -7

3.4 Aprendizaje esperado: resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente. 1

x  3

76


2

3

y  6

x 

20 3

77


y>0

5

x<-5/2

6

y  4

7 8

y2 x3

78


x  12

10

-1
11 12

Vacío. No hay solución. x  -1

13

y5

14

vacío. No hay solución.

79


Unidad: Funciones reales 4.1 Aprendizaje esperado: Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio. 1

2

A. Sí B. Sí C. No D. Sí E. No F. No A. D= Reales; R=Reales.

B. D= [7, ∞[; R=[0, ∞[

C. D=[-∞,-3[]-3,∞[; R=[-∞,0[]0,∞[

80


3

4

A. 60 GB/s B. Aproximadamente 90 GB/s C. Aproximadamente 78 GB/s A.

B. No ya que eso mostraría que el modelo no es correcto ya que una persona al cancelar debe tener un único cobro. C. De acuerdo a lo anterior la gráfica sí representa una función.

81

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Indica las desigualdades que representan las siguientes graficas 7.

8.

9.

45

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 4.2 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática. 1.

2.

A. Función Afín. B. $700 C. $100 A.

B.

3.

i. $600 ii. $ 3.600 iii. $6.000 C.$30.000 D.f(x)=600x E. aproximadamente 3. A.$90 B. 18 x 50, 18 x 100 y 18 x 120. C. f(x)=18x D. 80 ) 60 $ ( o t 40 s o C 20

0 0

1

2

3

4

N° de Fotocopias

4.

5.

E. Gráfico lineal. A. Primer Taxista f(x)= 200+ 100( x/200) Segundo Taxista g(x)= 120(x/200) B. Me conviene el segundo taxista. C. A los 2.000 metros. A. f(x)=750x B. $17.250. C. 38Kw/h

82

5

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 6.

A.

X ( Gramos)

C(X) ( Costo en $) 250 450 650 850

10 20 30 40 …..

X

50+200(x/10)

9.

B.$1.550. C. 17,5 gramos. A. C(x)= 2+0,5x B. I(x)= x C. G(x)= I(x)- C(x) = 0,5x-2 D. x=4 E. G= 3 F. 1 A. 18 dólares B. en 2 unidades se alcanza el equilibrio Para 60 unidades hay una ganancia de 150 dólares

10.

A.

7.

8.

t (meses)

V(t) 1 2 3 4 5 6 7 8

t (meses) 36,67 43,33 50,00 56,67 63,33 70,00 76,67 83,33

C(t) 1 2 3 4 5 6 7 8

83

43,33 46,67 50,00 53,33 56,67 60,00 63,33 66,67

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 9 10

90,00 96,67

9 10

70,00 73,33

En t=2 los costos (46,67) son mayores a las ventas (43,33) Pérdidas por 3,33 millones de pesos Si cambia, hay ganancias por 16,67 millones de pesos Hay pérdidas acumuladas por 10 millones Tengo utilidades que corresponden a 2 3,33 millones A partir del cuarto mes Aproximadamente al sexto mes La utilidad acumulada es de 293,33 millones

B C D E F G H I J. 160,00 140,00 120,00 100,00

V(t)

80,00

C(t) 60,00

U(t)

40,00 20,00 0,00 -20,00 11.

12.

13.

0

5

10

15

K. Venta es igual al costo por lo tanto la utilidad es cero A. 407,5 UF B. 340 UF C. 450 UF D. 100 UF E. 300 UF F.100 UF G. 100 UF A. 27.100 B. Mayores a 50.000. C.$48.370 A. $265 B. 1 C. Aprox. 20

84

20

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 14.

D. aproximadamente 9 unidades A. 500 unidades. B. $250.000

4.3 Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos. 1.

2.

A. 150UF B. 234.35 UF C.12% anual D. Al cabo de 6,11 años. A. 5 semanas. B. 56,25% C. 25 20 s a 15 n a m e 10 S

5 0 0

20

40

60

Porcentaje de avance 3. 4. 5. 6.

El costo de la máquina es $70,52 18,32 millones de habitantes. A. $15,41 B. El costo extra es de $2,81 Es la misma que la pregunta anterior cambian los años

85

80

100

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 25. En una sala de clases habían 10 hombres más que mujeres. Si salen 2 hombres y entran 2 mujeres, queda el doble de hombres que de mujeres. ¿Cuántas mujeres hay ahora en la sala de clases? 26. Tengo un montón de CD y unas cuantas cajas. Si pongo 7 CD en cada caja sobran 10 CD, pero si pongo 9 CD en cada caja me sobran 2 cajas. ¿Cuántas cajas tengo? 27. Tres amigos se ubican en fila. El primero dice 3, el segundo dice 6, el tercero dice 9, el primero dice 12 y siguen contando de 3 en 3. Juan dice 27, Esteban el 75 y Ana el 42. ¿Quién dice el 291 si siguen contando el mismo orden? 28. Cierto virus computacional atacó el disco duro de un computador, el primer día destruyo dos terceras partes, el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte, finalmente el tercer día destruyo la quinta parte de lo que quedaba ¿Qué fracción del disco duro quedó sin dañar? 29. Cuatro amigos que participan en un proyecto han decidido repartirse las ganancias de la siguiente forma: el jefe de proyecto se lleva 2/3 del pago, los otros dos socios colaboradores a cargo de la ejecución se llevan 1/5 de lo cancelado al jefe de proyecto cada uno, y el último compañero que colabora en distintas instancias se llevan el resto. A. ¿Qué fracción de lo ganado se lleva el último colaborador? B. Si la suma total de lo cancelado por el proyecto es de $1.500.000 ¿cuánto dinero se lleva cada uno?

Razonamiento matemático

1. Arturo tiene un problema. Debe cancelar una cuenta por morosidad, de una vez que salió con su amigo Jaime. Por concepto de morosidad, paga 1.000 y las cuentas de cada uno, fueron 7.000. Sabe que debe pagar 15.000, pero al realizar los cálculos, obtiene lo siguiente: 1.000+7.0002 = 16.000 ¿Qué está haciendo mal Arturo? 2. Explique porqué todo número entero es un número racional, pero no todo racional es un entero. 3. Explique cuál es la diferencia entre 1,4 y 1,444444444…

4. Muestre que 0,99999999…… es efectivamente 1.

14


1.3 Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva. 1. Sobre la diagonal de un terreno rectangular que tiene 15 metros de ancho y 20 metros de largo, se proyecta un terreno cuadrado. A. ¿Cuál es el perímetro del terreno cuadrado? (Aplicar Teorema de Pitágoras para el cálculo de la diagonal) B. Calcula la medida de la diagonal del cuadrado ABCD con 3 decimales aproximados. 2. Cierto programa antivirus computacional, actúa reduciendo a la mitad cada día los computadores contaminados. Inicialmente hay 580.000 computadores contaminados. A. Diseña una tabla en donde se relacione el número de computadores contaminados por cada día transcurrido. B. ¿Cuántos computadores contaminados habrá al finalizar el cuarto día? C. ¿Cuántos días han transcurrido si en un momento dado hay 1.000 computadores contaminados? D. ¿Cuántos computadores contaminados han sido limpiados hasta el quinto día? 3. Las noticias llamativas y de la farandula se expanden rápidamente en una localidad de la costa. Cierta noticia llamativa es contada por una persona a otras tres, en 4 minutos, y estas a su vez la cuentan a otras tres personas, en los cuatro minutos siguientes, y así sucesivamente, ¿cuántas personas se enterarán de la noticia a una hora de ocurrido el hecho? 4. La velocidad de la luz aproximadamente es de 300.000 kilómetros por segundo. La distancia promedio de la Tierra al sol es de 150.000.000 kilómetros. ¿Cuánto tiempo demora la luz del sol en llegar a la Tierra? 5. Las líneas telefónicas que unen redes pueden ser de diferente velocidad y podemos encontrar líneas T1 (que envían 1,544 megabits por segundo) hasta las T3 (que envían 44,746 megabits por segundo), entonces ¿Cuánto demoran ambas líneas en enviar 60 megabits? 15

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 6. En cierta localidad del Sur de Chile un insecto la invadió y su población creció demasiado, aplicaron medidas de control y al siguiente año comenzó a decrecer en forma exponencial 

7.

8.

9.

10.

con factor de decrecimiento  cada día. Si el domingo hay 6561 insectos, ¿Qué día quedan solo 81 insectos? Construye un gráfico que muestre la situación antes explicada. Un virus de computadora infecta un PC cada 15 minutos. Si una computadora de una empresa de servicios de telecomunicaciones tenía un virus a las 9:00 a.m. ¿Cuál será la cantidad de computadoras infectadas por el virus de esa misma empresa a las 4 p.m.? Compré tres computadores que contienen tres programas cada uno. Si cada programa contiene tres archivos, y cada uno de ellos en tres lenguajes diferentes. ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad total de lenguajes diferentes? La empresa Hitachi ha desarrollado el Chip (RFID) más pequeño y delgado de radio frecuencia, este mide tan sólo 0,15 x 0,15 milímetros de tamaño y 7,5 micrómetros de espesor (micrómetro o micra= 1 millonésima parte de un metro) ii) ¿A cuántos metros equivale el espesor de este chip? Exprese esta cantidad en notación científica. iii) ¿A cuántos milímetros equivale el espesor del chip? Exprese esta cantidad en notación científica. Paulina y Matías practican un juego que consiste en que cada uno escribe un número de cuatro cifras con los dígitos del 1 al 9 (las cifras pueden repetirse) y cada uno trata de adivinar el número del otro, dándose pistas. Luego de jugar varias veces, deciden que el número será solo con los dígitos impares para que sea más fácil adivinarlo. ¿Cuántos números distintos pueden escribir cada participante con las condiciones que acordaron? Para responder esta pregunta, observa que si el número tiene 4 cifras y los dígitos que se pueden ocupar son el 1, 3, 5, 7, 9, significa que hay 5 números posibles para cada cifra, ya que estos pueden repetirse, es decir:

5 · 5 · 5 · 5 = 54 ¿Cuántos números distintos podían escribir inicialmente? 11. Un estudiante de la carrera “Analista Programador” realiza un programa que registra lo que corre cada día, lo prueba realizando un circuito en cinco días, el primer día recorrió 2 km., el segundo día recorre el doble de lo que recorrió el día anterior, el tercer realiza el doble del trayecto del segundo día y así sucesivamente durante este periodo. ¿Qué distancia recorrida debiese registrar el programa al final de los cinco días? Razonamiento matemático

1. Tu amigo sigue obteniendo 64 cuando calcula -26. ¿Cuál es el error que comete? 2. ¿Para qué número natural n se tiene que (-1) n=-1? ¿Para qué número natural n se tiene que (-1)n=1? 2. ¿3 2 es un número racional o irracional? Argumente su respuesta. 16


Variaciones Proporcionales. Aprendizajes esperados Resuelve problemas que involucren razones y reparto proporcional. Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales. Interpretan la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestran el grado de dependencia entre dos variables. Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentajes.

17


2.1 Resuelve problemas que involucren razones y reparto proporcional, estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera efectiva. 1. Un usuario se demora 30 minutos en bajar una película de distribución gratuita de 200 MB de la red. ¿Cuánto tiempo se demora por cada MB descargado? 2. En el informe del año 2010 de la policía de investigaciones publicado por el INE (Instituto nacional de Estadísticas) se muestran las siguientes cantidades de delitos informáticos referidos a algunas regiones de Chile: LEY 19.223 DELITOS INFORMÁTICOS Sabotaje informático Acceso indebido Injurias y calumnias por medio comunicación social Ultraje público a las buenas costumbres por medio de comunicación social Otras faltas y delitos de la Ley 19.733

Cantidad de delitos investigados 496 107 55 8 4

Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_sociales_culturales/policiales/inv estigaciones/pdf/policiade_investigaciones_2010.pdf Con los datos de la tabla responde: A. Escribe la razón entre la cantidad de sabotaje informático y el total de delitos informáticos. Interpreta lo obtenido. B. Escribe la razón entre la cantidad de Ultraje público e injurias. Interpreta lo obtenido. C. Escribe la razón entre la cantidad de Ultraje público y otras faltas. Interpreta lo obtenido. D. Determina el valor de la razón entre la cantidad de sabotaje informático y acceso indebido. Interpreta este número. E. Determina el valor de la razón entre la cantidad de sabotaje informático y el total de delitos informáticos. ¿Qué significa este número? ¿Al transformar a porcentaje como lo interpretarías? F. Realiza la pregunta anterior con la cantidad de delitos de acceso indebido y compara resultados.

18

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 3. En la tienda “super PC” tienen las siguientes ofertas de CD. Oferta 1: 3 CD por $999 A. ¿Qué oferta es más conveniente por CD? Oferta 2: 5 CD por $1.295 Oferta 3: 8 CD por $1.495 B. ¿Cuántos paquetes de CD de cada oferta puedo Oferta 4: 10 CD por $1.995 comprar con $30.000? 4. En la comuna de Independencia existe 1 celular cada 3 personas. Si en Independencia hay 463.812 habitantes ¿Cuántos celulares hay? 5. En el año 2010 la razón de celulares en Chile versus la razón de chilenos era de 24:25. A. ¿Qué significa esta razón porcentualmente? B. Si la población estimada por el INE el año 2010 era de 17.094.275 en Chile, calcule la cantidad de celulares. 6. Marcelo tiene un plan de larga distancia que cobra la misma cantidad por cada minuto de llamada, pero la tarifa depende del lugar donde llame. Una llamada de 12 minutos a Arica le cuesta $730 en cambio a Puerto Montt una llamada de 17 minutos le cuesta $920 ¿qué tarifa de larga distancia es mayor la de Arica o la de Puerto Montt? 7. En un juego de computadora se muestran las siguientes cartas cuyos números están en la misma razón ¿cuáles son los números que faltan para completar la serie?

1000

9

250

2,25

1/3

34 0,48

16

8. Se desea colocar en una página web del gobierno un mapa de chile cuya escala sea de 1: 10.000.000, entonces si la distancia entre 2 pueblos es de 500 km ¿cuál será la distancia de estos pueblos en el mapa de la página web? Nota: exprese esta distancia en una unidad comprensible 9. Andrés diseña una página web para un periódico nacional, para lo cual ha dividido la página principal como se muestra en la figura: Titulares: Fotografías: Texto: Anuncios:

Describe algo en el diseño de la página web que tenga la razón dada en cada caso: i) 1 : 3 ii) 1/4 iii) 3 es a 4

19


2.2 Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales, estructurando su estrategia de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva. 1. Al tener una conexión del tipo OC48 de internet una persona se demora 1 segundo en bajar 2,5 GB, considerando que la velocidad de bajada es contante complete la tabla: Tiempo (segundos)

1

4

GB

2,5

10

6

4,8 7,4

0,02

A. Grafica lo obtenido en un plano cartesiano. B. ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta entre el tiempo y las GB? Justifique C. ¿Cuál es la contante de proporcionalidad? ¿Qué significa esto? 2. En un celular cuanto mayor es la cantidad de aplicaciones abierta menor es la cantidad de horas que dura la batería. Suponiendo que las aplicaciones consumen igual cantidad de la batería complete la tabla: Cantidad de aplicaciones abierta Tiempo de duración de la batería en horas

3

10

12

12 9

5 6

A. Grafica lo obtenido en un plano cartesiano. B. ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta entre la cantidad de aplicaciones y el tiempo de duración de la batería? Justifique C. ¿Cuál es la contante de proporcionalidad? ¿Qué significa esto? 3. De las siguientes tablas de valores diga si los datos se relacionan en forma directamente proporcional, inversamente proporcional, o ninguna. Justifique en cada caso.

4.

Complete la tabla con las equivalencias:

¿Qué tipo de proporcionalidad está en juego al momento de transformar de una unidad de medida a otra? Justifique.

20

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 5. A Javier y a Celia les han regalado dos reproductores de mp3. Celia almacena 240 canciones que ocupan un total de 750 MB (observe: unidad de medida sistema Internacional). A. ¿Cuántas canciones podrá guardar Javier si utiliza los 2 GB de que dispone su reproductor? B. Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. C. ¿Qué significado tiene esta constante? 6. A través de las redes sociales un estudiante de INACAP del área de informática y telecomunicaciones ha coordinado un proyecto para comprar computadores para colegios cuyos estudiantes son catalogados en riesgo social, el cual se ha financiado gracias a la colaboración de 9.500 personas. El promedio de la cantidad que ha aportado cada una de estas personas ha sido de $54.000 A. Si hubiesen colaborado 17.500 personas, ¿cuánto dinero tendría que aportar cada una de promedio para desarrollar el mismo proyecto? B. Si el promedio de la aportación personal para el mismo proyecto fuese de 35.000, ¿cuántas personas habrían colaborado? C. Representa todos los resultados en una tabla y grafica la relación. D. Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene? 7. Dos estudiantes tardan 12 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer estudiante ¿cuánto tiempo tardarían en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo? 8. William Shanks pasó 20 años calculando los primeros 707 decimales de π. Pero en 1945, la computadora ENIAC descubrió que había cometido un error en el dígito 528 y en todos los siguientes. En 1949, ENIAC invirtió 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras del número π ¿Cuánto habrá demorado ENIAC en calcular las primeras 707

9. 10. 11. 12. 13.

14.

cifras que tanto trabajo le dieron a Shanks? Considere que el tiempo que demora en calcular cada cifra es constante. Para realizar el cableado de la conexión de red de un mall, se necesitan 28 técnicos que demoran 60 días. Si se contratasen sólo 20 técnicos, ¿Cuántos días se demorarían? Si demoro 12 horas en llegar a la ciudad Matecity viajando a 80 km/h, ¿Cuánto demoraré si voy a 60 km/h? ¿a 100 km/h? En un Cibercafé el uso de un computador cuesta $450 la media hora. ¿Cuánto debe pagar una persona que utiliza un computador por 3 horas y 15 minutos? Marcela y Patricia reciben sus notas de matemáticas. Si la razón entre ellas es de 3:2 ¿Quién obtuvo más alta calificación? El técnico de una empresa encargado de la mantención de los computadores ha detectado que de los 480 computadores que tienen 3 de cada 10 están infectados con algún virus troyano ¿Cuántos computadores en total están infectados? Se desea renovar algunos accesorios de computación en una oficina, si 3 teclados cuestan $5.600 ¿cuál es el valor de 68 teclados? 21

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 15. El administrador del departamento de informática abona una factura de 120.000 por 15 cajas de hojas para imprimir documentos ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de 12 cajas? 16. Tres computadores son capaces de procesar 10.000 registros de datos en 12 minutos, ¿cuánto tardarán 5 computadores, de las mismas características y bajo las mismas condiciones, en procesar 80.000 registros de datos? 17. Un servicio de fotocopiado, con 6 impresoras imprime 800 páginas en 10 minutos ¿cuántas páginas imprime con 2 impresoras menos en 45 minutos? 18. Un analista programador, trabajando 8 horas diarias durante 5 días ha programado 1000 líneas en un programa X, si se tienen 3 analistas igualmente eficientes ¿cuántas líneas logran programar en 2 días trabajando 6 horas diarias? 19. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día?

22


2.3 Interpreta la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestren el grado de dependencia entre dos variables. 1. El cambio de moneda U.S. a pesos chilenos, en tres períodos distintos, se muestra en la siguiente tabla: Año 2008 2009 2010

1 Dólar $ 540 $ 500 $ 460

A. Realiza un gráfico en el plano cartesiano que muestre la relación entre la cantidad de dólares cambiados y la cantidad de pesos recibida. B. ¿En qué año el cambio de Dólar a pesos chilenos nos fue más favorable en adquirir artículos importados? C. Un empresario del área informática ha desarrollado un nuevo programa antivirus y ha realizado exportaciones de este por US $25.000 en el año 2008 y US $30.000 el 2010, ¿en qué año obtuvo mayor ingreso? Explica. D. Un importador de PC adquiere una deuda el año 2008, pagada en 36 cuotas de US $125 ¿Cuántos pesos chilenos comienza pagando? Y ¿Cuántos pesos t ermina pagando el 2010? 2. En una empresa de diseño web durante el verano los proyectos aumentan por lo que se contratan a personas de forma temporal. La siguiente tabla muestra la relación del número de personas contratadas y el tiempo utilizado en terminar los proyectos

A. Completa la tabla que relaciona las variables B. ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta en esta relación? C. Si se requiere terminar los proyectos en 6 días ¿Cuántas(os) Trabajadoras(es) serán necesarios contratar?

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 3. La siguiente tabla establece la relación entre la cantidad de DVD y el precio a pagar. Completa la tabla y representa gráficamente este tipo de relación proporcional.

A. ¿Qué tipo de proporcionalidad se establece entre las dos variables? B. ¿Cuál es valor constante de la relación de proporcionalidad? C. ¿Cuál es el valor proporcional a pagar por 12 DVD? 4. En el mapa que aparece en una página web, Santiago y Linares están separadas por 320 km y en el mapa del sitio web están a 12 cm. ¿A cuántos km queda Talca desde Santiago si en el mapa del sitio web están a 9 cm?

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunic Telecomunicaciones aciones Disciplinas Básicas: Matemáticas

2.4 Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentaje estructurando su estrategia de resolución y comunicando comunican do los resultados de manera efectiva. 1. Estefanía desea comprar un computador en una tienda comercial, el cual cuesta $326.240, pero al momento de pagar le dicen que tiene un 30% de descuento, ¿cuál es el valor final cancelado por el computador? 2. En una tienda de informática, el 40 % de los ordenadores que se vendieron el último mes eran portátiles. De estos, el 15 % se ofertaban con una impresora de regalo. Sabiendo que en total se vendieron 250 ordenadores, ¿cuántas impresoras se regalaron ese mes? 3. Alejandra obtuvo el 75% de respuestas correctas en su prueba. Si la prueba tenía 80 preguntas en total, ¿Cuántas respuestas correctas tuvo? 4. El año pasado le preste $250.000 a mi hermano, el prometió devolver el monto completo más 10%de intereses anuales al cabo de un año. ¿Cuánto dinero debe pagarme? 5. En el banco tengo $920.000. Si solo puedo girar 30% del total de la cuenta, ¿Cuánto es el máximo que puedo girar en un día? 6. De los computadores de la empresa, el 30% está con algún problema técnico. Si el total de los computadores sin problemas es 21, ¿Cuántos computadores hay en total? 7. Un litro de bencina cuesta $740. Si hay un alza del 5%, ¿qué valor tendrá la bencina ahora? 8. La Universidad, por medio de una una beca cubre el 40% del costo de mi almuerzo. Si mi almuerzo cuesta $2.000, ¿Cuánto tengo que pagar yo? 9. Al comprar por internet debo pagar 8% del valor del producto por costos de envió. Si yo quiero comprar un celular de $180.000, ¿Cuánto será el costo de envío? 10. Diego y Daniela contribuyeron con el 1% de su sueldo a obras de caridad. Si Diego aporta $3.450 y Daniela $7.234, ¿Cuáles son sus sueldos? 11. Luego de un descuento de 30%, mis zapatillas costaron $19.250, ¿Cuál es su precio original? 12. Javiera está feliz, su sueldo tendrá un aumento del 12%. Si su sueldo era $350.000, ¿Cuál es su nuevo sueldo? 13. Compre un auto en $2.400.000. Si lo vendí en $1.920.000, ¿Cuál fue mi porcentaje de perdida? 14. Si don Segundo realizo 9 de los 12 trabajos que tenía agendados, ¿Cuál fue el porcentaje de metas cumplidas de Don Segundo? 15. El disco duro de un Notebook tiene almacenado 50 GB en documentos, sistema operativo y programas de aplicación, en la razón 3:5:8, calcula el porcentaje del espacio ocupado ocupado por los documentos.

25

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunic Telecomunicaciones aciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 16. El siguiente gráfico corresponde a la distribución de la inversión privada por áreas de infraestructura en las principales economías de américa latina, publicado en Revista Cepal 101, Agosto 2010.

Suponga que la cantidad cantidad total de inversión privada entre los años 1990 y 2001 haya sido de 3.500 millones de dólares y la cantidad total de inversión entre los años 2002 y 2006 haya sido de 5.000 millones de dólares. Considerando esta información responde: A. ¿Cuál es la cantidad de dólares invertidos en el sector de telecomunicaciones entre los años 1990 y 2001? ¿y entre los años 2002 y 2006? B. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre lo invertido en telecomunicaciones y el sector de energía entre los años 2002 y 2006? C. Suponiendo que entre los años 2007-2012 aumenta en un 3,2% la inversión de privados en el área de telecomunicaciones respecto del último periodo (20022006) ¿en qué cantidad de dólares aumenta? D. Suponiendo que el total de inversiones de privados aumenta el año 2007 en un 10,2% respecto del periodo 2002-2006, y los porcentajes correspondientes a cada sector circular se mantienen iguales, calcula la cantidad de dólares invertidos en cada sector.

26

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunic Telecomunicaciones aciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Resuelve los problemas de análisis de gráficos del 17 al 23. Recuerda indicar el procedimiento, operaciones y respuestas. 17. La región coloreada en morado corresponde a la cantidad de PC fijos que hay en la municipalidad de Huechuraba. Aproximadamente, en base a la figura ¿Qué % equivale al número de Portátiles? 18. En un curso se realiza una votación para decidir si el trabajo final de una asignatura se realizará en grupo o en forma individual. Responde las preguntas de abajo, en base a la figura. a. ¿Qué % aproximadamente representa a los que están de acuerdo? b. ¿Qué % aproximadamente representa a los que no saben? c. Si en el curso son 50 alumnos en total, complete la siguiente tabla. De Acuerdo En Desacuerdo No Sabe Total

50

19. El siguiente grafico representa el nivel en el que se encuentran los alumnos de un perfeccionamiento de diseño web a. ¿Qué porcentaje de alumnos está en nivel avanzado? b. Si el curso tiene 16 alumnos en nivel medio, ¿Cuántos hay en total en el curso? 20. En las votaciones de la universidad para decidir si unirse al paro o no, hubo 3 tipos de respuestas. a. Aproximadamente ¿Qué porcentaje están a favor? b. Aproximadamente ¿Qué porcentaje están en contra? c. Si los nulos van a la mayoría, ¿cuáles serán los porcentajes finales de “En contra” y “ A Favor”?

27

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunic Telecomunicaciones aciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 21. En una encuesta de tipos de música. Los porcentajes respecto del Pop y de la música Romántica son iguales. a. ¿Qué porcentaje corresponde a música pop? b. ¿Qué porcentaje corresponde a música romántica? c. Si se encuesto a 200 personas, ¿Cuántas personas votaron por cada estilo? 22. Al contestar la pregunta, “¿cómo te vas al trabajo?”, los chilenos contestan:

a. Si 10 personas contestaron la encuesta, ¿Cuánta gente contesto en cada opción? b. Si 20 personas contestaron, ¿Cómo serían los resultados? c. Si 50 personas contestaron, ¿Cómo serían los resultados? 23. En las encuestas realizadas a través de un sitio de red social 8 se obtuvo la siguiente información: i.

de cada 10 personas creen en el amor a primera vista. Grafica el % que corresponde a esta afirmación.

ii.

7 de cada 20 personas cree que vivirá más de 100 años. Grafica el porcentaje de estas personas.

iii.

De cada 25 trabajadores, soló 20 completo la enseñanza media, 4 son universitarios y 1 es técnico profesional. Grafica el porcentaje estas personas según su nivel de educación.

28

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas En los problemas a continuación, se relaciona el concepto de área achurada y porcentaje. Resuelve indicando procedimiento, operación y respuesta al problema. 24. Estableciendo que cada figura está dividida en partes iguales, ¿qué porcentaje de las figuras están achuradas? a.

b.

c.

d.

29

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 25. En la encuesta de las películas más vistas por 50 jóvenes adultos entre los 20 y los 28 años, estos fueron algunos de los resultados.

Película

Cantidad de Votos

Star Wars (primera trilogía) 20 El Señor de los Anillos 12 Harry Potter 8 Volver al Futuro 4 Crónicas de Narnia 2 Basándose en esta información contesta las siguientes preguntas: a. ¿Qué porcentaje de los votantes prefirió StarWars (primera trilogía)? b. ¿Qué porcentaje obtuvo el menos votado? c. Si la película Jurassic Park solo obtuvo el 2% de la votación, ¿Cuántos jóvenes votaron por ella? d. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por estas 5 películas? e. ¿Cuál es el porcentaje de las personas que no aparecen aquí? f. Tomando en cuanta tu voto, calcula el porcentaje de votos para esa película. ¿Varía mucho el resultado? 26. El siguiente gráfico muestra los porcentajes de abonados a telefonía fija en países desarrollados y países en vías de desarrollo entre los años 1905 y 1995. %

Países desarrollados Países en vías de desarrollo

a. Considerando sólo la información que se presenta en la gráfica, diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: i. La tasa de abonados a telefonía fija en los países desarrollados siempre ha sido más alta que la de los países en vías de desarrollo. ii. La tasa de abonados a telefonía fija en los países en vías de desarrollo no ha sufrido aumentos desde 1905 en adelante. 30


b.

c.

d.

e.

f.

iii. Entre los años 1915 y 1930 aumentó la cantidad de abonados a telefonía fija en los países desarrollados. iv. La tasa de abonados a telefonía fija en los países en vías de desarrollo del año 1920 y la tasa de los países desarrollados del año 1980 son equivalentes. v. Aproximadamente desde el año 1945 en adelante la tasa de abonados a telefonía fija de los países en vías de desarrollo disminuye, sin aumentar nunca, hasta llegar a un 5% el año 1995. Estime en base al grafico la tasa de abonados a telefonía fija de los países desarrollados correspondiente a los años: i. 1907 ii. 1933 iii. 1950 iv. 1965 v. 1980 vi. 1992 Estime en base al grafico la tasa de los países en vías de desarrollo correspondiente a los años: i. 1907 ii. 1933 iii. 1950 iv. 1965 v. 1980 vi. 1992 Calcule aproximadamente el año al que corresponden las siguientes tasas de abonados a telefonía fija en los países desarrollados: i. 35% ii. 27,5% iii. 32,5% Suponga que en el año 1980 la cantidad total de abonados a nivel mundial era de 3.231.022 personas. Según la tasa de abonados en países desarrollados y en vías de desarrollo registrada, ¿cuántas abonados había en los países desarrollados y cuantos abonados había en los países en vías de desarrollo en el año 1980? Comente con sus compañeros las razones por las cuales cantidad de abonados a telefonía fija disminuye a medida que pasan los años.

31

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 27. Una empresa está en paro de actividades pues sus empleados quieren mejorar condiciones laborales, entre ellas está aumentar las remuneraciones para todo el personal. La paralización laboral se realiza durante los primeros meses del 2011, se sabe que el ingreso imponible promedio entre los 34 trabajadores durante el 2010 fue de $485.000. La empresa propone al personal tres posibles arreglos de negociación: Arreglo (1): Un aumento en el sueldo imponible de un 12,5% para cada uno de los trabajadores. Arreglo (2): Una bonificación trimestral de $181.200. Arreglo (3): Un beneficio anual de un 148,5% sobre el sueldo imponible de un mes. A. ¿Cuál de las alternativas propuestas les conviene a los trabajadores? Justifique su respuesta. B. Si el sueldo imponible del trabajador que recibe mayor remuneración es de $955.000 y el sueldo imponible del trabajador que recibe menor remuneración es de $197.500 entonces, ¿cuál de las alternativas de arreglo le conviene aceptar si una de las cláusulas de la negociación es que disminuya la brecha entre el sueldo máximo y el mínimo 28. En un laboratorio de computación hay 100 equipos entre computadores e impresoras. El 99% son computadores ¿Cuántos computadores debo retirar para que los computadores que queden representen el 98%?

32

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 29. La factura que se muestra a continuación describe la compra realizada por un cliente. Insumos Computacionales "El Bazar Tecnológico" Avda RAM 512 Señores : Dirección : Ciudad : Cantidad

R.U.T. 458.721.456-K Factura Nº : 222222

Empresa Cybernetica Virual y Cia. Las Tablet y Computadores 101010 Computilandia Descripción 3 RAM DDR3 2 HD 500 GB

Precio unitario Total 25000 75000 44000 88000

Total Neto 19% IVA Total a Pagar

__________, _________ de

_________ 2______

__________ Firma

A. Determina el valor del IVA a pagar en la factura: B. Si el cliente obtiene un 15% de descuento, ¿Cuál es el total a pagar? C. Si el cliente adquiere 8 RAM DDR3 y 5 HD 500GB, con un 18% de descuento, ¿Cuál es el valor a pagar? ¿cuánto debe pagar en I.V.A.? 30. En un grupo de estudiantes que utilizan Windows y/o Linux, se sabe que el 80% utiliza Windows, el 50% utiliza Linux y 135 estudiantes utilizan los dos sistemas operativos (Windows y Linux). Determina el total de personas. 31. Un computador costaba inicialmente $285.000. Lo ofrecen con una rebaja del 20% y luego en un remate final, sobre el precio que quedo, otra rebaja del 10%. A. ¿Cuál fue el precio final a pagar? B. ¿Con que porcentaje de rebaja, respecto al precio inicial, quedó finalmente el computador?

33

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 32. En el disco duro de un computador tenemos almacenado Software y Documentos, donde el espacio ocupado se encuentra en la razón 3:5, si los documentos almacenados aumentan en un 20%, entonces qué porcentaje representa el espacio ocupado por el Software en el disco duro. 33. En la primera semana de mayo la bencina subió de precio en un 4% y en la segunda semana bajó de precio en un 4%, el cual se mantuvo durante la tercera semana. Al comparar los precios de la tercera semana y de la primera: (seleccione la alternativa correcta) A. Son iguales B. El de la primera es un 1,6 % más alto. C. El de la tercera semana es un 1,6% más bajo. D. El de la tercera semana es un 0,16 % más bajo. E. El de la primera semana es un 0,16 % más alto.

34


Desarrollo Algebraico Aprendizajes esperados Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad. Desarrolla la operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizando estrategias de simplificación y reducción Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica. Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente.

La palabra ALGEBRA proviene de un matemático árabe del siglo IX, llamado Muhanmadn Ibs Musá Aljwarizmi, quien escribió el primer tratado de álgebra. Una de las características del algebra es que utiliza símbolos para representar números.

35


3.1 Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad. Traduce los siguientes enunciados a lenguaje algebraico 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

La suma de un número y 4. Un número aumentado en 12. Un número reducido en 7. Cinco menos que un número. Un número restado de 75. El producto de un número y 50. Un tercio de un número. El doble de un número. El sucesor de un número. Un número aumentado en dos. El cuadrado de un número. La suma de dos números distintos. La diferencia entre un número y su cuadrado. Cuatro menos que la mitad de un número. Un número aumentado en cinco es igual a 8. Tres manzanas cuestan $320. Un número es menor que otro número. Un número es el triple de otro. El doble de un número es mayor o igual que el sucesor de otro número. El área de un cuadrado es 46 cm2. El perímetro de un pentágono regular es 57 m. El doble de la edad de mi hermano es igual a la edad de mi papá, menos siete.

Para los siguientes problemas, responde las preguntas con expresiones algebraicas. 23. Luis tiene n años de edad. ¿Cuántos años tendrá en 20 años? 24. María tiene n años de edad. ¿Cuántos años tenía hace 3 años? 25. Pamela tiene t años de edad y su madre es 3 años menor que el doble de la edad de Pamela. ¿Cuál es la edad de la mamá de Pamela? 26. La suma de dos números es 65 y uno de los número es x. ¿Cuál es el otro número? 27. El cociente de dos números es 8 y el número más pequeño es y ¿Cuál es el otro número?

36

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Escribe un enunciado, en contexto de tu especialidad o de la vida cotidiana, que pueda representarse por las siguientes expresiones algebraicas. 28. 3x  1650 29. 3x+2y=1000 30. x +250 = 5x – 70

31. 1800 – x = 1200 1

1

2

4

32.  x 

y



990

Valoriza las siguientes expresiones algebraicas 33. 3x + 3y 34. x3+30y

para x=0; y=5. para x=-1; y=6.

35.

x  60  para x=-2; y=-1. 2y  1

Despeja en cada caso la variable pedida: 36. R  10  20D (despejar D) 37. G 



R n

38. S  * R k

39. P  Q

(despejar ω)

2E N

(despejar E)

(despejar n)

3.2 Desarrolla la operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizando estrategias de simplificación y reducción. Reduce las siguientes expresiones algebraicas 1. 2. 3. 4. 5.

2a + 3a – (1/2)a 2x – 3y + 4x +(5/3)y 2 2 – 2m + 4m – 3m + m + 9m 2 2 2 –p – q – p – p – q – 2p – 6q + 3q 5x2 + 4x2y – 4xy2 – 9x2y

6. 7. 8. 9.

Desarrolla las multiplicaciones o potencias: 10. 11. 12. 13. 14.

(m+3)2 (7x + 11) (7x + 2y – 3) (1+ 3x2) (1 – 3x2) (4m5 + 5n6) · 2m3 (am + an)2

37

x + (x2 – y2) + y – (x2 – y2)+x2 – (y – x) m2n3 + 5mn2 – 3m2n3 – (mn2 – (m + n)) 3(x+y) – [ – (4y – x) – 7(x – 7y + ( – x))] – ( – x + y – ( – x – y) – ( – x – y) + (x – y))

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Factoriza las siguientes expresiones 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

5xy2+10xy4 – 30xy5 = 10a2 – 5a + 15a3 = 18m2x2y2 + 36my2 – 54m2x2y2 = 3a + 3b + xa + xb = 2xa + 2x – ya – y = mx + 2m + x + 2 = 1 – y2 = 225a6 – 81b4 = m4 – 16 =

24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

x2 – 14x + 49 = a2 – 5a – 24 = x2 + 5x + 6 = 2x2 + 11x + 12 = 3a2 + 7a – 6 = 4x2 + 4x – 3 = x3 + 27 = 8m3 – 125 = m12 – x6 =

Desarrolla las sumas y restas de fracciones algebraicas y simplifica al máximo su resultado 33. 34. 35. 36.

x x  1 2 2

x x  2 x  1

x

  x

1 2 x  6

x

2

1

 



x

2

1 x 1

2x

2

x  1



 4x  6  2 x  x

1

1 t



1  t t

2

 2t



2 x

2

 2x



2 t  2



 2x  3  2 2 x  3x 2 x 2 x  1 3x  2  39. 2 x  2x  1 x  1 2 m n n 40.  2 2 2 mn  n m n 38.

2

3 x

 x 1



37.





x

2

Factoriza y simplifica las siguientes expresiones algebraicas 41.

2 x  4y 5 x  15y



6 x  12y

1   1   a   2   a   a 6   6   45.  a  1    a  3   2a  1   2a  1   1   a 4  1 46.        a4 a4  4 a  x  y x  y   x 2  xy  y 2   47.     1  x 2  y 2   x  y x  y   

44.  1 

15x  45y

  p3  q3   p  q  p2  pq  q2  p2  q2   42.  2 2 p  q 3p  3q  9   43.

 m2  3m  40  m9 m8   2  2 2  m  9m  20 m  8m  9  m  3m  4

48.

38

b

3b  9



b

2b  6



9 b 9 2


3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica. En cada uno de las siguientes situaciones identifica qué dato(s) falta(n) y es(son) necesario(s) para poder plantear y resolver el problema de manera adecuada. 1. En una tienda, un mouse vale lo mismo que un teclado. ¿Cuánto se debe pagar al comprar 3 mouse? 2. La edad de Juan es el triple que la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de Juan? 3. María fue a la playa y pagó $120.000 por el total de los días de alojamiento ¿Cuánto pagó por cada día de estadía? 4. Un jardinero debe plantar 9 flores en cada una de las jardineras de su patio. ¿Cuántas flores debería comprar? En cada uno de los siguientes problemas reconoce la incógnita y representa el problema mediante una expresión algebraica (ecuación). 5. Al final de año, un alumno debe tener 4 calificaciones. Raúl ha obtenido: 4,5, 3,8 y 5,0. ¿Qué nota debe obtener en la cuarta prueba para tener promedio 4.0? 6. En una peña folclórica, la señora María vendió 80 botellas de bebestibles. Cada botella de gaseosa la vendió en $600 y cada botella de jugo, en $400, recaudando $39.200. ¿Cuántas botellas de gaseosa vendió? 7. Si por cada 5 alumnos de un curso hay 4 computadores. ¿Cuántos computadores hay por cada curso de 42 alumnos? A continuación se muestran algunos enunciados de problemas y su respectivo planteamiento de ecuación. Identifica, en cada cado, qué parte del problema está siendo representado. 8. Lucía come cierta cantidad de lechugas por semana y otra cierta cantidad de duraznos, por semana. Entre lechugas y duraznos, ella come 15 unidades. Si se gasta $2500 semanales entre lechugas y duraznos, y cada lechuga cuesta $150 y cada durazno $200 ¿Cuántas lechugas y duraznos come a la semana? 150x + 200(15-x)=2500 ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada con rojo? 9. En un triángulo isósceles la base mide cinco unidades menos que el triple de la medida de los otros lados. Si el perímetro mide 50 cm. ¿Cuánto mide la base? 39

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas x+x+3x-5=50 ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo? 10. La suma de las edades de dos hermanos es 45. Si el doble de la edad del mayor es igual a cuatro veces la edad del menor. ¿Cuál es la edad del menor? 2x=4(45-x) ¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo? Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedades de las operaciones. 11. 4 – 2x = 6 12. 3(x+4)=90 13. 400x + 300(100-x) = 34000

14. -50 + 4x = -140 15. (x+1)/5 + 2x = 3 –x/2 16. 3x + 40 = -2x +60

Resuelva los siguientes problemas, comunicando sus resultados de manera efectiva. 17. Una persona tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Cuántos años tendrá en 5 años más? 18. Un bidón lleno de parafina pesa 38 kilos. Cuando está hasta la mitad, pesa 19,5 Kg. ¿Cuánto pesa el bidón vacío? En cada uno de los siguientes ejercicios, identifica las incógnitas y los datos, plantea el problema mediante una ecuación, resuélvela, analiza la pertinencia de las soluciones y comunica tus resultados. 19. Dos hermanas deciden ahorrar lo que han ganado en sus trabajos de verano. Al final de este período lograron reunir $75.000. Si la hermana mayor ahorró el cuádruple de lo que ahorró la menor- ¿Cuánto ahorró cada una? 20. Determina un número tal que el doble de la suma entre el número y su antecesor sea igual a cuatro veces el número aumentado en seis. 21. La edad de tres hermanos es talque: el mayor tiene el doble de la edad del menor y el menor, tiene cuatro años menos que el hermano del medio. ¿Cuáles son las edades si la suma de todas es 30? 22. La suma de las edades de un padre y su hijo es de 20 años. Si la edad del padre es tres veces la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del padre?

40

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Como te habrás dado cuenta, hay problemas que tienen solución, otros que no tienen y otros que tienen infinitas soluciones. Apoyándote en el ítem anterior: 23. Plantea un problema que no tenga solución, escribe la ecuación pertinente y trata de resolver el problema. Justifica por qué no tiene solución.

Analiza cada uno de los siguientes problemas y determina cuáles son los posibles errores en su redacción, los datos que faltan y realiza una propuesta de nuevo enunciado. Luego, resuélvelo. 24. En el campo de Francisco hay que hacer una huerta. Y para esto, cuenta con tomates, lechugas y acelgas. Si se planta la mitad del huerto con lechugas, un tercio de lo que queda con acelgas y 50 tomates, completamos todo el terreno. ¿Cuántas acelgas se necesitarán? 25. Coca y Clue se fueron de compras navideñas. Ambas tenían la misma cantidad de dinero para gastar. Sin embargo, a Coca le quedó la mitad de lo que le quedó a Clue. ¿Cuánto dinero tenían en un comienzo? Resuelve las ecuaciones de primer grado 26. 2  x  1  3x  1

2

33. ax   a  b   bx

27. 32  x   5 x  2  x  2

34.

28.  x  1 x  2  x  3  x 1  x  29. 30. 31. 32.

2  x  1 3

1 2

 1   x 2

 x  1  x  2

2 x  1

3 5

36. x

 

2

1

x

a

a

x 2 x  2

2 x  3 1

37. y

3

 1





8

x  4 x  4

4 x 3



16 x  9 2

3 y

5

4 x  x  6 2

35.

x

a



2 x 3



1 x  2

Resuelve las ecuaciones de segundo grado: 38. x 2  10  71

42. (2 x  6)(2x  6)  (2x  9)(3x  4)

39. x 2  23  167 40. 6 x2  27  5x 2  73

43. 4 x2  5x  6  0 44. x2  7x  12  0

41. (7  x)2  (7  x )2  130

45. ( x  3)2  8x  9  0 41

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 46.

47.

48.

49.

x  6y  27

  50. 5 4  y x   1  3 3 x  y x  y    1  3 3 51.  y  3 x   20  2 x

7 x  3y  9 x 

1

y  5 2 4 x  2y  7  0

6  x  4   5  y  1   9 5  x  4   6  y  1   2



y

3  y  2  2x 2  y  5  7x

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales x  1

52.

10 x  4 5

53.

54.

 

y  4

5 y  2 10

3  x  2  2  y  3  7 6  x  1  5 y  1  18

 x  y    9y  11x   2y  2x  x  y   6x  8y    10x  5y  3

Resuelve las siguientes situaciones 55. En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios: 1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas 2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas 3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul. A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final. Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas Inicio B A a+b 1º 42

Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 2º 3º 56. Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente. 4



 r 3

57. Sea V  3 el volumen de una esfera. Si el radio es es el volumen de la esfera?

58. En el  ABC rectángulo en C. El valor de c  el valor de c ?

r 

3 2

u

u :

unidades . ¿Cuál

a 2  b 2 , donde a  3 y b  1 . ¿Cuál es

59. Si x es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es “ a ” y d ígito de las decenas es “ b ” . ¿Cuál es el antecesor de x ? 60. La edad de Francisca hace 3 años era x  7 , mientras que la de Ignacia era y  3 . ¿Cuál es la expresión que indica la diferencia de años que actualmente tiene Francisca e Ignacia? 61. Un globo aerostático vuela con una rapidez de n  8 km/hr. A esta rapidez, ¿cuánto tiempo, en horas, le tomará volar ( n 2  5n  24 ) km?. 62. Si se reparten 3 x 2  2 x  1 hectáreas de terreno en partes iguales entre  x  1 personas. ¿Cuántas hectáreas le corresponden a cada una de ellas?

Plantea los siguientes problemas con una ecuación o sistema (lineal o cuadrática) y resuelve 63. Un grupo de turistas tiene que hacer una colecta para pagar una excursión. Si cada uno paga 75 dólares habrá un déficit de 440 dólares. Si cada una paga 80 dólares habrá un exceso de 440 dólares. ¿Cuántas personas toman parte de la excursión?

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas 64. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 65. Sumando las edades de tres personas A,B,C se obtienen 52 años. La edad de C es el 10% de la edad de B y la de A es el 20% de la edad de B. ¿Qué edad tiene cada una? 66. Una compañía tiene $50.000.000 para invertir. Si invierte 18 millones al 2,5% y 13 millones al 3%, ¿A qué porcentaje debe invertir el resto para tener una ganancia de $1.353.000 por el total de sus inversiones? 67. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. 68. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que tenía Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años? 69. El puntaje de Juan en matemáticas, excede en 13 puntos al de Esteban, y el doble del puntaje de Esteban excede en 29 puntos al puntaje de Juan. Encuentra ambos puntajes 70. Dos hermanos fueron a una librería para comprar ciertos útiles. Pagaron entre los dos un total de $7600 y volvieron a casa con $2200. Si uno de los hermanos gastó dinero y el otro

3 4

4 5

de su

de lo que tenía. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al entrar al momento de

entrar a la librería? 71. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

3.4 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la solución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales y representa gráficamente esta solución. 1. 2.

5  2 x  1 4  7y  10  6y

3.

1 1 3  x  x  2 2 4

4.

 y  3 y  2  y  1 y  6 

5. 6.

2 x  1 4



3y  1 

3 2

4y  6 2

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Guía ejercicios MATE21 Informática y Telecomunicaciones Disciplinas Básicas: Matemáticas Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones, indicando su intervalo solución y gráfica. 10. 11. 12. 13. 14.

2 x  3  5 



4 x  6  2 y  2  1 



3y  1  1

4 x  3  1



2 x  1  3  y  4  1



1  y  0  1  2 x  3 



3  x  3

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Modelamiento mediante Funciones Reales Aprendizajes esperados Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio. Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática. Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos. Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función inversa y compuesta.

Introducción La palabra FUNCION se utiliza en matemáticas con un significado técnico muy preciso y referido a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y cotidiano y que se reflejan a través del comportamiento de dos variables “x” (variable independiente) e “y” (variable dependiente)

Situaciones que representan un modelo funcional. 1. La cantidad de kilómetros recorridos por un vehículo y el gasto en combustible 2. La cantidad de un determinado artículo y su precio

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4.1 Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio. 1. Señala cuál de los siguientes gráficos representa una función

2. Grafique y determine dominio y recorrido para las siguientes funciones: A. f ( x)  2 x  12 B. g ( x)  x  7 C.

h( x) 

5

x  3

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3. El gráfico muestra la velocidad de un modem en los 15 primeros minutos de conexión. 100 s / B G n e n ó i x e n o c e d d a d i c o l e V

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Minutos

A. ¿Qué velocidad tenía a los 6 minutos? B. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada? C. Alrededor de cuantos GB/s tenía a los 13 minutos de comenzado la conexión. 4. En una máquina de parquímetro aparecen los siguientes costos:

Hasta 20 minutos Entre 20 y 30 minutos Entre 30 minutos y 1 hora Entre 1 hora y 1 hora y media 2 horas máximo

500 800 1.200 1.600 2.200

A. Realiza una gráfica que permita visualizar los tramos de cobros. B. ¿Puede existir algún tiempo para el cual existan dos cobros distintos? C. De acuerdo a lo anterior diga si la gráfica representa una función o no.

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4.2 Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática. 1. El gráfico muestra el costo de producir un protector de celular.

A. ¿Qué tipo de función es? B. ¿Cuál es costo aproximado de producir 40 protectores de celular? C. Si el costo de producir 0 protectores aumentara de 300 a 400, ¿Cuál es la variación del resto de los costos? 2. La siguiente tabla muestra la relación entre precio y cantidad de las ruedas de desplazamiento de mouse. Cantidad de ruedas de $ desplazamiento 2 1200 3 1800 4 2400 5 3000 A. Realiza un gráfico con los datos. B. Estima el valor de i. 1 rueda ii. 6 ruedas iii. 10 ruedas C. 50 ruedas D. Determina una expresión algebraica para el modelo. E. Si tengo $2000, ¿Cuántas ruedas puedo comprar? 3. Un alumno desea sacar 5 fotocopias para un trabajo de investigación, cada fotocopia tiene un precio de $18 A. ¿Cuánto paga por el total de fotocopias? B. Una persona desea sacar 50, 100 y 120 fotocopias. ¿De qué forma puedes obtener el valor a pagar? C. Escribe una fórmula que relacione el valor en función del número de fotocopias 50

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