Universidad Central del Ecuador Facultad Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
TALLER TALLER DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 1. A una esfera colocada en A se imrime una !elocidad inicial "acia a#a$o Vo % oscila en un c&rculo !er'ical de radio l % cen'ro O( de'ermine la Vo Vo m)s #a$a ara la cual la esfera alcan*ar&a el un'o + cuando ,ire al en'orno en el un'o Oa AO es una una cue cuerd rda a b) AO es una !arilla de del,ada con masa insi,ni/can'e B
l Δθ A
O
V0
a" Cuando AO es una cuerda cuerda #oluci$n%
f = =0 N , el sistea es conservativo E M =cte.
E M A = E M B . 1
2
2
Epg + Eca= Epg , mgl + m Vo =mg 2 l , 2 gl + Vo =4 gl , 2
Vo = 2 g l , v 0=√ 2 gl 2
# Cuando AO es una !arilla del,ada con masa insi,ni/can'e E M =cte.
E M A = E M B . 1
2
1
2
Epg + Eca + EcRa = Epg ,mgl + m Vo + I ω =mg 2 l , 2
2
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica 2
v0 v0 1 1 2 2 I =m l , ω= ,mgl + mVo + (ml )( ) =mg 2 l , l l 2 2 2
2 gl + Vo 2 Vo
2
2
+( v 0 )2=4 gl
=2 gl
Vo = g l , v 0= √ gl 2
0. n #lo2ue de 3(4l# descansa so#re la ar'e suerior de un #lo2ue de 3(5l# soor'ado or( ero no unido a( un resor'e cu%a cons'an'e es 6l#7f'. El #lo2ue suerior se re'ira de manera reen'ina( de'erminea La !elocidad m)8ima alcan*ada or el #lo2ue de 3(5l#. # La al'ura m)8ima alcan*ada or el #lo2ue de 3(5l#
El resor'e 'iene ener,&a o'encial el)s'ica de#ido a la comresi9n de los #lo2ues( al re'irar el #lo2ue suerior la ener,&a el)s'ica se 'ransforma en o'encial ,ra!i'acional. &a constante el!stica se trans'ora a la unidad 12 ∈¿=
k =
9 lb
3 4
lb /¿ 9 lb
= ¿ ft
Calculaos la de'oraci$n del resorte%
( 0,5 + 0,7 ) lb P F k = P = k ∆ y , ∆ y = , ∆ y = , ∆ Y =1,6 ∈ . 3 k llb /¿ 4
lb /¿
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
E M =cte. E M A = E M B . 1,6
¿ ¿ ¿2 3 4
¿ 2
k∆ y =Y max , Y max =¿ Ek = E g, k ∆ y = mgY max, 2 2 mg 1
2
Y max =1,92 ∈¿
&a velocidad es !(ia cuando el )lo*ue in'erior a)andona el resorte% Ek = Eg + E c ,
1 2
1
2
2
k ∆ y =mg ∆ y + m v max , 2
2
k ∆ y −2 mg ∆ y = v 2max k ∆ y − 2 mg ∆ y = mv max , m 2
2
√
√
2 ( 0,75 ) ( 1,6 ) −2 ( 0,5 )( 1,6 ) k ∆ y −2 mg ∆ y v max = , v max = 0,5 m
v max =
√
( 1,92−1,6 ) 32,2 0,5
2
32,2
, v max =√ 2 ( 1,92 −1,6 ) 32,2 , v max= √ 20,608
v max = 4,54 ∈¿ s
:. n collar&n A de ;<, uede desli*ase a lo lar,o de una !arilla !er'ical % se suel'a desde el reoso en la osici9n mos'rada en la /,ura( los resor'es es')n sin deformar. =i la cons'an'e de cada resor'e es de :33N7m( de'ermina la !elocidad del collar&n desu>s de 2ue se "a mo!ido- a 133mm( # 163mm.
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
Como f ? 3( el sis'ema es conser!a'i!o E M?c'e. La ener,&a mec)nica en la ar'e al'a @a es i,ual a la ener,&a en la ar'e #a$a @# 1
2
1
2
1
2
E Ma= E Mb ,mgY a= m v + k x a + k x b 2
1
2
2
1
2
2
1
2
E Ma= E Mb ,mgY a= m v + k x a + k x b 2
2 mgY a =m v
2
2
2
+ k x 2a + k x 2b
x 2 mgY a −k
(¿¿ a2 + x 2b ) ¿
m
=v 2
x (¿¿ a2 + x 2b ) 2 mgY a −k , Y a=0,1 m m v =√ ¿
a" Calculo de la de'oraci$n de los resortes +ara el caso%
Deformaci9n del resor'e suerior-
Y a= 0,1 m
x a=√ ( 0,6 + 0,1 ) + 0,452 − √ 0,62 + 0,452 , 2
x a=0,082 m
Deformaci9n del resor'e inferior x a=0,07 m
x a= √ 0,6 + 0,45 −√ ( 0,6 − 0,1 ) + 0,45 , 2
2
2
2
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidadv=
√
2 ( 4 ) g 0,1−300 ( 0,08
2
+ 0,072 )
4
, v =1,055 m / s
Calculo de la de'oraci$n de los resortes +ara el caso%
Y a= 0,19 m
x a=√ ( 0,6 + 0,19 ) + 0,45 −√ 0,6 + 0,45 , 2
Deformaci9n del resor'e suerior-
2
2
2
x a=0,159 m
x a= √ 0,62 + 0,452 −√ ( 0,6 − 0,19 ) + 0,45 2 , 2
Deformaci9n del resor'e inferior x a=0,141 m
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidadv=
√
2 ( 4 ) g 0,19 − 300 (0,159
2
+0,141 2 )
4
, v = 0,58 m / s
;. n collar&n de 533, uede desli*arse sin fricci9n a lo lar,a de una !arilla semicircular +CD. El resor'e 'iene una cons'an'e de :03N7m % su lon,i'ud sin deformar mide 033mm. =i el collar&n se suel'a desde el reoso( de'ermina- a su !elocidad cuando asa or C( # la fuer*a 2ue e$erce la !arilla so#re el collar&n en C(
Como se 'ra'a de un sis'ema conser!a'i!o( 'an'o en la osici9n al'a como en la osicion #a$a el resor'e es') deformado( e8is'iendo ener,&a elas'ica en las dos osiciones1
2
1
2
1
2
E Ma= E Mb ,mgY a + k x a= m v + k x c 2
2
2
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica 1
2
1
1
2
2
mgY a+ k x a − k x c = m v c . Y a=0,15 m 2
2
2
x x 2
2
( ¿ ¿ a − x c )
2 mgY a + k
= v 2c
m (¿¿ a − x c )= mv 2c . ¿ 2 mg Y a + k ¿ 2
2
x
( ¿¿ a2− x 2c )
2 mgY a + k
m
2
v c =√ ¿ a" Calculo de la de'oraci$n de los resortes en la +osici$n A
x a=√ ( 0, 3 ) + 0,152 + 0,0752−l , x a=0,34 −0,2 2
Deformaci9n del resor'e suerior x a=0,14 m
Deformaci9n del resor'e inferior-
2 2 2 2 x c =√ 0,3 +0,075 −l, x c =√ 0,3 + 0,075 −0,2
x a=0,11 m
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidad2
v c=
√
2 ( 0,5 ) g ( 0,15 ) + 320 ( 0,14
2
− 0,112)
0,5
v c = √ 7,74 , v c =2,78 m / s 2
La fuer*a 2ue e$erce la !arilla so#re el collar&n en C-
∑
2
( )
v c 7,74 F = m acc , F c = m . F c =0,5 , F = 25,8 "N 0,15 ! ⃗
5. n collar&n de 13l# es') unido a un resor'e % se desli*a sin fricci9n a lo lar,o de una !arilla /$a 2ue se encuen'ra en un lano !er'ical. El resor'e
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
'iene una lon,i'ud no deformada de 1;in % cons'an'e < ? ;l#7in. =i el collar&n se suel'a desde el reoso en la osici9n mos'rada en la /,ura( de'ermine su !elocidad en- a en el un'o A( # el un'o +.
1
1
2
2
1
2
E M 0 = E Ma= E Mb=,mgY 0 + k x 0= m v a + k x a+ mgY a , Y 0= Y a 2
1 2
2
√
2
1
2
2
2
1
k ( Y 0 −Y a )= mv a 2
2
2
2
2
m
va=
1
2
2
k ( Y 0−Y a ) 2
1
k x 0= m v a + k x a ,
2
=v 2a
k ( Y 0− Y a ) 2
m
2
va=
√
k ( Y 0−Y a ) 2
2
m
Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n
Deformaci9n
del
resor'e
suerior
en
la
osici9n
O-
x 0=√ ( 28 ) + 142−l , x a=14 √ 5− 14 2
x a=17,30 ∈¿
Deformaci9n del resor'e en la osici9n A-
2 2 x c =√ 14 + 14 −l, x c =14 √ 2−14
x a=5,80 ∈¿
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidad-
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica va=
√
k ( Y 0− Y a ) 2
2
m
, va=
√
4 ( 17,3
2
−5,82 )
10
, v a= √ 3421,57
32,2
v c =58,49 ∈¿ s
ara la !elocidad en el osici9n +( 'enemos1
2
1
2
1
2
E M 0 = E Mc ,mgY 0+ k x 0= mv c + k x a ,Y 0=14 ∈¿ 2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
mgY 0+ k x 0− k x a = m v c , 2 mgY 0 + k ( x 0− x a)= m v c 2
v c=
√
2
2
2
2
2 mg Y 0 + k ( x0 − x a)
m
= v 2c
2
2 mgY 0 + k ( x 0− x a)
m
Deformaci9n del resor'e en la osici9n +-
x b=28 −l , x b= 14 ∈¿
x b=14 ∈¿
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidadv c=
v c=
√
√
2
2
2 mgY 0 + k ( x 0− x a)
m
2
10 32,2
2
2
g ( 14 )+ 4 ( 17,3 −14 ) 10 32,2
v c = √ 1604,78 , v c = 40,06 ∈¿ s
B. n collar&n de Bl# uede desli*arse sin fricci9n or una !arilla !er'ical % descansa en e2uili#rio so#re un resor'e. El collar&n es emu$ado "acia a#a$o( comrimiendo el resol'e en Bin( % en'onces se suel'a. =i la cons'an'e del resor'e es < ? 15l#7in( de'ermine- a la al'ura m)8ima 2ue alcan*a el collar&n so#re su osici9n de e2uili#rio( # la !elocidad m)8ima del collari&n.
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
=OLCIN-
En la osici9n mas #a$a @3 el sis'ema 'iene ener,&a o'encial el)s'ica % en la osici9n al'a @a 'iene ener,&a o'encial ,ra!i'acional( el sis'ema es conser!a'i!o-
E M 0 = E Ma ,
1 2
2
k x 0=mg Y a ,Y a=#
2
k x0 =# , # = 2 mg
2
15 ( 6 ) 2
6 32,2
, #= 45 ∈¿
32,2
El collar&n ad2uiere la m)8ima !elocidad en el ins'an'e 2ue a#andona el resor'e( en es'a osici9n el sis'ema 'iene ener,&a cin>'ica % o'encial ,ra!i'acional E M 0 = E M , E k 0 = E c + E g ,
1 2
2
1
2
k x 0= m v max + mgy,Y =6 ∈¿ 2
2
k x 0−2 mgy =v 2max k x 0−2 mgy = m v max , m 2
2
√
2
√
√
2
2 k x0 −2 mgy 15 ( 6 ) −2 ( 6 )( 6 ) 13 ( 6 ) ( 32,2 ) v max = , v max= , v max = , 6 6 m
32,2
v max = √ 2511,6 , v max= 50,12 ∈¿ s
4. n collar&n de 453, uede desli*arse a lo lar,o de la !arilla "ori*on'al mos'rada en la /,ura. El collar&n es') unido a una cuerda el)s'ica cu%a lon,i'ud sin deformnar mide :33mm % su cons'an'e de resor'e es de
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
153N7m. si el collar&n se suel'a desde el reoso en A( % no se 'oma en cuen'a la friccoi9n( de'ermine la !elocidad del collar&n en a +( # E
El sisema 'iene mo!imien'o en el lano ( or 'an'o no e8is'e ener,&a o'encial ,ra!i'acional en las osiciones indicadas( adem)s el sis'ema es conser!a'i!o E M A = E M B = E M E ,
1 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
k x A = m v B + k x B= m v E + k x E ,Y A= Y B=Y E= 0 2
2
2
2
Consideramos las osiciones @A % @+ 1 2
2
1
2
1
2
k x A = m v B + k x B 2
2
x (¿¿ A − x2B) 2 = vB , k m 2 2 2 2 2 2 k x A= mv B + k x B , k x A − k x B = m v B , ¿ 2
x (¿¿ A 2− x2B) k , m v B =√ ¿ Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n
Deformaci9n del resor'e suerior en la osici9n A x A= √ ( 0,5 ) + 0,352 + 0,4 2−l , x a =0,73− 0,3 2
x a=0,43 m
Deformaci9n del resor'e en la osici9n +-
x B= √ ( 0,4 ) + 0,35 −l , x B=0,53 −0,3 2
2
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica x B= 0,23 m
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidadv B=
√
150 ( 0,43
2
−0,23 2)
0,75
, v B= √ 26.4 , v B=5,14 m / s
Consideramos las osiciones @A % @E 1 2
2
1
2
1
2
k x A = m v E + k x E 2
2
x (¿¿ A − x E2 ) 2 =v E , k m 2 2 2 2 2 2 k x A= mv E + k x E ,k x A −k x E =m v E , ¿ 2
x (¿¿ A 2− x E2 ) k , m v E=√ ¿ Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n
Deformaci9n del resor'e suerior en la osici9n A2 x A= √ ( 0,5 ) + 0,352 + 0,4 2−l , x a =0,73− 0,3 x a=0,43 m
Deformaci9n del resor'e en la osici9n E-
x B= √ ( 0,5 ) + 0,35 −l , x B =0,61−0,3 2
2
x B= 0,31 m
Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidad x (¿¿ A 2− x E2 ) k , m v E=√ ¿
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
v E=
√
150 ( 0,43
2
− 0,312)
0,75
, v E =√ 17,76 , v E = 4 , 2 14 m / s
F. n collar&n C de eso m se desli*a sin fricci9n en una !arilla "ori*on'al en're los resor'es A % +. si el collar&n se emu$a "acia la i*2uierda "as'a comrimir al resor'e A en 3(1m % desu>s se suel'a( de'erminar la dis'ancia 2ue recorre % su ma8ima !elocidad alcan*ada si a m ? 1<,( # m ? 0(5<,.
=OLCINEl sisema 'iene mo!imien'o en el e$e ( or 'an'o no e8is'e ener,&a o'encial ,ra!i'acional en las osiciones indicadas( adem)s el sis'ema es conser!a'i!o E MA= E MB ,
4 ( 0,1 ) 7
1 2
2
2
,2 B
1
2
2
2
k A x A = k B x B , Y A= Y B , 1600 ( 0,1 ) =2800 x B ,
= x , x B=
2
√
4 ( 0,1 ) 7
2
, x B =0,076 m,
La dis'ancia 'o'al en're la comresi9n del resor'e A % la comresi9n del resor'e + es$ = x A + 0,5 + x B , $ =0,1 + 0,5 + 0,076=0,676 m
Dis'ancia recorrida or el cilindro ser) i,ual a la dis'ancia 'o'al menos el 'amao del cilindro % =$ −$ , % =( 0,676 −0,15 ) m
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
% =0,526 m
La !elocidad del cilindro es m)8ima cuando a#andona el resor'e2
k A x A = v 2max , E MA= E M , k A x A= m v max , m 2 2 1
v max =
√
1
2
2
k A x A m
, v max=
√
2
2
1600 ( 0,1 )
m
ara el caso de m ? 1<, v max =
√
2
1600 ( 0,1)
, v max =4 m / s
1
ara el caso de m ? 0(5<, v ma x =
√
2
1600 ( 0,1) 2,5
, v max = 2,53 m / s
6. el >ndulo mos'rado en la /,ura se suel'a desde el reoso en A % oscila 63H an'es de 2ue la cuerda 'o2ue la cla!i$a /$a +. de'erminar el !alor m&nimo de a ara el cual la esfera del >ndulo descri#e una circunferencia alrededor de la cla!i$a.
=OLCINEl sis'em es conser!a'i!o or 'an'o E M =cte % E MA= E Mb = E Ma =cte
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica &a energía en la +arte -A" es +otencial gravitacional y en la +arta as )a.a -)" es cin/tica% 1
2
2
mgl = m v b & 2 gl = v b 2
Considerando la +osici$n )a.a -)" y la +osici$n alta -a" alrededor de la clavi.a se tiene% 1
1
2
2
2
2
2
E Mb= E Ma , m v b= 2 mg ( l −a )+ m v a , v b =4 g ( l − a ) + v a , 2 gl = v b 2
2
2 gl = 4 g ( l −a )+ v a 2
Coo se tratra de un oviiento circun'erenciao de la es'era del +/ndulo, en la +osici$n alta -a" la tesi$n del ca)le es nula +ara, e(istiendo aceleraci$n centrí+eta% 2
v − P =m ( −a c ) , mg= m a , v 2a= g (l −a ) l −a 2 gl= 4 g ( l −a )+ v a ree+laaos el valor de 2
En la ecuaci$n
2
v a = g ( l − a)
2 gl = 4 g ( l −a )+ g ( l −a ) 2 l = 4 l −4 a + l − a
3 l = 5 a , a=
3l 5
13. n a2ue'e se emu$a sua!emen'e desde la ar'e al'a de un muro en el un'o A % oscila en un lano !er'ical( unido al e8'remo de una cuerda de lon,i'ud L. De'ermine el )n,ulo ara el cual la cuerda se romer)( si se uede soor'ar una 'ensi9n m)8ima i,ual a dos !eces el eso del a2ue'e. =OLCION-
L DCL
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
{
´ + m ´g= ma mgcos( =ma ( 1 ) ' ' . mgse)(=ma ( 2 ) at = gcos( $v = gcos( $t $v $( . = gcos( $( $t
$v . v = gcos( $( t v
(
0
0
∫ v$v =∫ glcos( 1
?
2
2
v = glse)(
F =mgse)( + ma
v =* 2 glse)(
mgse)( + m
v mgse)( + ( 2 gse)( )= 3 mgse)( l ?
'max=2 mg=3 mgse)(!ot+!a 2 3 (¿)= 41.81 −1
(!ot+!a= sin ¿
11. En el sis'ema de la /,ura en 'odas las suer/cies en con'ac'o e8is'e un coe/cien'e de ro*amien'o . De'erminar el !alor de la aceleraci9n cuando se alica una fuer*a J en el #lo2ue m 0.
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
0 - - 1= N
∑ Fmov =m. a
ss
−f 1 + ' −' −f 2−f 1 + F =( m1 + m2 ) a F − 2 f 1−f 2 m1+ m2
=a
f 1 = N 1 N = m1 g
f 2 = N 2
V = at 1 2
f 1 = m1 g ( m1 g ) − ( m1+ m2) g
¿ F −2 ¿ a=¿
F −2 ( m1 g ) − m1 g− m 2 g a= ( m1 + m 2 )
F −3 m1 g − m2 g a= ( m1 + m2 )
Bloque 1
2
∆ x = a t
N =( m1+ m2 ) g
Bloque 2
f 1 −' =m1 . a
−f 1 −f 2+ F −' =m2 . a
' =f + m
' =−f − f + F − m . a
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica
10. na esa de F<, se suel'a desde el reoso en la osici9n 2ue se indica en la /,ura % se de'iene or medio de dos resor'es anidados. La cons'an'e el)s'ica del resor'e e8'erior es <1?:
m=8 kg V o=
0m
k 1=
3 kN
s
m
Solución:
f =0 N / Em =cte E m o= E m 1= E m 2= E m 3=cte 00
E g o= E g1 + E c 1= E g2 + E c 2 + E k 2= E k 3 1
mg ( 0,15 + # )= k 1 y e + k 2 y 1 2
2
0,15
¿ ¿
0,06
¿ ¿
8 ( 9,8 ) ( 0,15 + # ) =
# =510 mm
1 2
( 3000 )¿
2
=3000
N m
Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica