Ejercicios de Energía Cantidad de Movimiento

Universidad Central del Ecuador Facultad Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica

TALLER TALLER DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 1. A una esfera colocada en A se imrime una !elocidad inicial "acia a#a$o Vo % oscila en un c&rculo !er'ical de radio l % cen'ro O( de'ermine la Vo Vo m)s #a$a ara la cual la esfera alcan*ar&a el un'o + cuando ,ire al en'orno en el un'o Oa AO es una una cue cuerd rda a b) AO es una !arilla de del,ada con masa insi,ni/can'e B

l Δθ A

O

V0

a" Cuando AO es una cuerda cuerda #oluci$n%

f = =0 N , el sistea es conservativo E M =cte.

E M A = E M B . 1

2

2

Epg + Eca= Epg , mgl + m Vo =mg 2 l , 2 gl + Vo =4 gl , 2

Vo = 2 g l , v 0=√ 2 gl 2

# Cuando AO es una !arilla del,ada con masa insi,ni/can'e E M =cte.

E M A = E M B . 1

2

1

2

Epg + Eca + EcRa = Epg ,mgl + m Vo + I ω =mg 2 l , 2

2

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica 2

v0 v0 1 1 2 2 I =m l , ω= ,mgl + mVo + (ml )( ) =mg 2 l , l l 2 2 2

2 gl + Vo 2 Vo

2

2

+( v 0 )2=4 gl

=2 gl

Vo = g l , v 0= √ gl 2

0. n #lo2ue de 3(4l# descansa so#re la ar'e suerior de un #lo2ue de 3(5l# soor'ado or( ero no unido a( un resor'e cu%a cons'an'e es 6l#7f'. El #lo2ue suerior se re'ira de manera reen'ina( de'erminea La !elocidad m)8ima alcan*ada or el #lo2ue de 3(5l#. # La al'ura m)8ima alcan*ada or el #lo2ue de 3(5l#

El resor'e 'iene ener,&a o'encial el)s'ica de#ido a la comresi9n de los #lo2ues( al re'irar el #lo2ue suerior la ener,&a el)s'ica se 'ransforma en o'encial ,ra!i'acional. &a constante el!stica se trans'ora a la unidad 12 ∈¿=

k =

9 lb

3 4

lb /¿ 9 lb

= ¿ ft

Calculaos la de'oraci$n del resorte%

( 0,5 + 0,7 ) lb P F k = P = k ∆ y , ∆ y = , ∆ y = , ∆ Y =1,6 ∈ . 3 k llb /¿ 4

lb /¿

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica

E M =cte. E M A = E M B . 1,6

¿ ¿ ¿2 3 4

¿ 2

k∆ y =Y max , Y max =¿ Ek = E g, k ∆ y = mgY max, 2 2 mg 1

2

Y max =1,92 ∈¿

&a velocidad es !(ia cuando el )lo*ue in'erior a)andona el resorte% Ek = Eg + E c ,

1 2

1

2

2

k ∆ y =mg ∆ y + m v max , 2

2

k ∆ y −2 mg ∆ y = v 2max k ∆ y − 2 mg ∆ y = mv max , m 2

2

√

√

2 ( 0,75 ) ( 1,6 ) −2 ( 0,5 )( 1,6 ) k ∆ y −2 mg ∆ y v max = , v max = 0,5 m

v max =

√

( 1,92−1,6 ) 32,2 0,5

2

32,2

, v max =√ 2 ( 1,92 −1,6 ) 32,2 , v max= √ 20,608

v max = 4,54 ∈¿ s

:. n collar&n A de ;<, uede desli*ase a lo lar,o de una !arilla !er'ical % se suel'a desde el reoso en la osici9n mos'rada en la /,ura( los resor'es es')n sin deformar. =i la cons'an'e de cada resor'e es de :33N7m( de'ermina la !elocidad del collar&n desu>s de 2ue se "a mo!ido- a 133mm( # 163mm.


Como f ? 3( el sis'ema es conser!a'i!o E M?c'e. La ener,&a mec)nica en la ar'e al'a @a es i,ual a la ener,&a en la ar'e #a$a @# 1

2

1

2

1

2

E Ma= E Mb ,mgY a= m v + k x a + k x b 2

1

2

2

1

2

2

1

2

E Ma= E Mb ,mgY a= m v + k x a + k x b 2

2 mgY a =m v

2

2

2

+ k x 2a + k x 2b

x 2 mgY a −k

(¿¿ a2 + x 2b ) ¿

m

=v 2

x (¿¿ a2 + x 2b ) 2 mgY a −k , Y a=0,1 m m v =√ ¿

a" Calculo de la de'oraci$n de los resortes +ara el caso%

Deformaci9n del resor'e suerior-

Y a= 0,1 m

x a=√ ( 0,6 + 0,1 ) + 0,452 − √ 0,62 + 0,452 , 2

x a=0,082 m

Deformaci9n del resor'e inferior x a=0,07 m

x a= √ 0,6 + 0,45 −√ ( 0,6 − 0,1 ) + 0,45 , 2

2

2

2


Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidadv=

√

2 ( 4 ) g 0,1−300 ( 0,08

2

+ 0,072 )

4

, v =1,055 m / s

Calculo de la de'oraci$n de los resortes +ara el caso%

Y a= 0,19 m

x a=√ ( 0,6 + 0,19 ) + 0,45 −√ 0,6 + 0,45 , 2

Deformaci9n del resor'e suerior-

2

2

2

x a=0,159 m

x a= √ 0,62 + 0,452 −√ ( 0,6 − 0,19 ) + 0,45 2 , 2

Deformaci9n del resor'e inferior x a=0,141 m

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidadv=

√

2 ( 4 ) g 0,19 − 300 (0,159

2

+0,141 2 )

4

, v = 0,58 m / s

;. n collar&n de 533, uede desli*arse sin fricci9n a lo lar,a de una !arilla semicircular +CD. El resor'e 'iene una cons'an'e de :03N7m % su lon,i'ud sin deformar mide 033mm. =i el collar&n se suel'a desde el reoso( de'ermina- a su !elocidad cuando asa or C( # la fuer*a 2ue e$erce la !arilla so#re el collar&n en C(

Como se 'ra'a de un sis'ema conser!a'i!o( 'an'o en la osici9n al'a como en la osicion #a$a el resor'e es') deformado( e8is'iendo ener,&a elas'ica en las dos osiciones1

2

1

2

1

2

E Ma= E Mb ,mgY a + k x a= m v + k x c 2

2

2

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica 1

2

1

1

2

2

mgY a+ k x a − k x c = m v c . Y a=0,15 m 2

2

2

x x 2

2

( ¿ ¿ a − x c )

2 mgY a + k

= v 2c

m (¿¿ a − x c )= mv 2c . ¿ 2 mg Y a + k ¿ 2

2

x

( ¿¿ a2− x 2c )

2 mgY a + k

m

2

v c =√ ¿ a" Calculo de la de'oraci$n de los resortes en la +osici$n A

x a=√ ( 0, 3 ) + 0,152 + 0,0752−l , x a=0,34 −0,2 2

Deformaci9n del resor'e suerior x a=0,14 m

Deformaci9n del resor'e inferior-

2 2 2 2 x c =√ 0,3 +0,075 −l, x c =√ 0,3 + 0,075 −0,2

x a=0,11 m

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es % de Ya en la ecuaci9n de la !elocidad2

v c=

√

2 ( 0,5 ) g ( 0,15 ) + 320 ( 0,14

2

− 0,112)

0,5

v c = √ 7,74 , v c =2,78 m / s 2

La fuer*a 2ue e$erce la !arilla so#re el collar&n en C-

∑

2

( )

v c 7,74 F  = m acc , F c = m . F c =0,5 , F  = 25,8 "N 0,15 ! ⃗

5. n collar&n de 13l# es') unido a un resor'e % se desli*a sin fricci9n a lo lar,o de una !arilla /$a 2ue se encuen'ra en un lano !er'ical. El resor'e


'iene una lon,i'ud no deformada de 1;in % cons'an'e < ? ;l#7in. =i el collar&n se suel'a desde el reoso en la osici9n mos'rada en la /,ura( de'ermine su !elocidad en- a en el un'o A( # el un'o +.

1

1

2

2

1

2

E M 0 = E Ma= E Mb=,mgY 0 + k x 0= m v a + k x a+ mgY a , Y 0= Y a 2

1 2

2

√

2

1

2

2

2

1

k ( Y 0 −Y a )= mv a 2

2

2

2

2

m

va=

1

2

2

k ( Y 0−Y a ) 2

1

k x 0= m v a + k x a ,

2

=v 2a

k ( Y 0− Y a ) 2

m

2

va=

√

k ( Y 0−Y a ) 2

2

m

Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n

Deformaci9n

del

resor'e

suerior

en

la

osici9n

O-

x 0=√ ( 28 ) + 142−l , x a=14 √ 5− 14 2

x a=17,30 ∈¿

Deformaci9n del resor'e en la osici9n A-

2 2 x c =√ 14 + 14 −l, x c =14 √ 2−14

x a=5,80 ∈¿

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidad-

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica va=

√

k ( Y 0− Y a ) 2

2

m

, va=

√

4 ( 17,3

2

−5,82 )

10

, v a= √ 3421,57

32,2

v c =58,49 ∈¿ s

ara la !elocidad en el osici9n +( 'enemos1

2

1

2

1

2

E M 0 = E Mc ,mgY 0+ k x 0= mv c + k x a ,Y 0=14 ∈¿ 2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

mgY 0+ k x 0− k x a = m v c , 2 mgY 0 + k ( x 0− x a)= m v c 2

v c=

√

2

2

2

2

2 mg Y 0 + k ( x0 − x a)

m

= v 2c

2

2 mgY 0 + k ( x 0− x a)

m

Deformaci9n del resor'e en la osici9n +-

x b=28 −l , x b= 14 ∈¿

x b=14 ∈¿

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidadv c=

v c=

√

√

2

2

2 mgY 0 + k ( x 0− x a)

m

2

10 32,2

2

2

g ( 14 )+ 4 ( 17,3 −14 ) 10 32,2

v c = √ 1604,78 , v c = 40,06 ∈¿ s

B. n collar&n de Bl# uede desli*arse sin fricci9n or una !arilla !er'ical % descansa en e2uili#rio so#re un resor'e. El collar&n es emu$ado "acia a#a$o( comrimiendo el resol'e en Bin( % en'onces se suel'a. =i la cons'an'e del resor'e es < ? 15l#7in( de'ermine- a la al'ura m)8ima  2ue alcan*a el collar&n so#re su osici9n de e2uili#rio( # la !elocidad m)8ima del collari&n.


=OLCIN-

En la osici9n mas #a$a @3 el sis'ema 'iene ener,&a o'encial el)s'ica % en la osici9n al'a @a 'iene ener,&a o'encial ,ra!i'acional( el sis'ema es conser!a'i!o-

E M 0 = E Ma ,

1 2

2

k x 0=mg Y a ,Y a=#

2

k x0 =# , # = 2 mg

2

15 ( 6 ) 2

6 32,2

, #= 45 ∈¿

32,2

El collar&n ad2uiere la m)8ima !elocidad en el ins'an'e 2ue a#andona el resor'e( en es'a osici9n el sis'ema 'iene ener,&a cin>'ica % o'encial ,ra!i'acional E M 0 = E M , E k 0 = E c + E g ,

1 2

2

1

2

k x 0= m v max + mgy,Y =6 ∈¿ 2

2

k x 0−2 mgy =v 2max k x 0−2 mgy = m v max , m 2

2

√

2

√

√

2

2 k x0 −2 mgy 15 ( 6 ) −2 ( 6 )( 6 ) 13 ( 6 ) ( 32,2 ) v max = , v max= , v max = , 6 6 m

32,2

v max = √ 2511,6 , v max= 50,12 ∈¿ s

4. n collar&n de 453, uede desli*arse a lo lar,o de la !arilla "ori*on'al mos'rada en la /,ura. El collar&n es') unido a una cuerda el)s'ica cu%a lon,i'ud sin deformnar mide :33mm % su cons'an'e de resor'e es de


153N7m. si el collar&n se suel'a desde el reoso en A( % no se 'oma en cuen'a la friccoi9n( de'ermine la !elocidad del collar&n en a +( # E

El sisema 'iene mo!imien'o en el lano ( or 'an'o no e8is'e ener,&a o'encial ,ra!i'acional en las osiciones indicadas( adem)s el sis'ema es conser!a'i!o E M A = E M B = E M E ,

1 2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

k x A = m v B + k x B= m v E + k x E ,Y A= Y B=Y E= 0 2

2

2

2

Consideramos las osiciones @A % @+ 1 2

2

1

2

1

2

k x A = m v B + k x B 2

2

x (¿¿ A − x2B) 2 = vB , k m 2 2 2 2 2 2 k x A= mv B + k x B , k x A − k x B = m v B , ¿ 2

x (¿¿ A 2− x2B) k , m v B =√ ¿ Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n

Deformaci9n del resor'e suerior en la osici9n A x A= √ ( 0,5 ) + 0,352 + 0,4 2−l , x a =0,73− 0,3 2

x a=0,43 m

Deformaci9n del resor'e en la osici9n +-

x B= √ ( 0,4 ) + 0,35 −l , x B=0,53 −0,3 2

2

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica x B= 0,23 m

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidadv B=

√

150 ( 0,43

2

−0,23 2)

0,75

, v B= √ 26.4 , v B=5,14 m / s

Consideramos las osiciones @A % @E 1 2

2

1

2

1

2

k x A = m v E + k x E 2

2

x (¿¿ A − x E2 ) 2 =v E , k m 2 2 2 2 2 2 k x A= mv E + k x E ,k x A −k x E =m v E , ¿ 2

x (¿¿ A 2− x E2 ) k , m v E=√ ¿ Calculo de la de'oraci$n de los resortes en cada +osici$n

Deformaci9n del resor'e suerior en la osici9n A2 x A= √ ( 0,5 ) + 0,352 + 0,4 2−l , x a =0,73− 0,3 x a=0,43 m

Deformaci9n del resor'e en la osici9n E-

x B= √ ( 0,5 ) + 0,35 −l , x B =0,61−0,3 2

2

x B= 0,31 m

Reemla*ando los !alores de las deformaciones de los resor'es en la ecuaci9n de la !elocidad x (¿¿ A 2− x E2 ) k , m v E=√ ¿


v E=

√

150 ( 0,43

2

− 0,312)

0,75

, v E =√ 17,76 , v E = 4 , 2 14 m / s

F. n collar&n C de eso m se desli*a sin fricci9n en una !arilla "ori*on'al en're los resor'es A % +. si el collar&n se emu$a "acia la i*2uierda "as'a comrimir al resor'e A en 3(1m % desu>s se suel'a( de'erminar la dis'ancia 2ue recorre % su ma8ima !elocidad alcan*ada si a m ? 1<,( # m ? 0(5<,.

=OLCINEl sisema 'iene mo!imien'o en el e$e ( or 'an'o no e8is'e ener,&a o'encial ,ra!i'acional en las osiciones indicadas( adem)s el sis'ema es conser!a'i!o E MA= E MB ,

4 ( 0,1 ) 7

1 2

2

2

,2 B

1

2

2

2

k A x A = k B x B , Y A= Y B , 1600 ( 0,1 ) =2800 x B ,

= x , x B=

2

√

4 ( 0,1 ) 7

2

, x B =0,076 m,

La dis'ancia 'o'al en're la comresi9n del resor'e A % la comresi9n del resor'e + es$ = x A + 0,5 + x B , $ =0,1 + 0,5 + 0,076=0,676 m

Dis'ancia recorrida or el cilindro ser) i,ual a la dis'ancia 'o'al menos el 'amao del cilindro %  =$ −$  , %  =( 0,676 −0,15 ) m


%  =0,526 m

La !elocidad del cilindro es m)8ima cuando a#andona el resor'e2

k A x A = v 2max , E MA= E M , k A x A= m v max , m 2 2 1

v max =

√

1

2

2

k A x A m

, v max=

√

2

2

1600 ( 0,1 )

m

ara el caso de m ? 1<, v max =

√

2

1600 ( 0,1)

, v max =4 m / s

1

ara el caso de m ? 0(5<, v ma x =

√

2

1600 ( 0,1) 2,5

, v max = 2,53 m / s

6. el >ndulo mos'rado en la /,ura se suel'a desde el reoso en A % oscila 63H an'es de 2ue la cuerda 'o2ue la cla!i$a /$a +. de'erminar el !alor m&nimo de a ara el cual la esfera del >ndulo descri#e una circunferencia alrededor de la cla!i$a.

=OLCINEl sis'em es conser!a'i!o or 'an'o E M =cte % E MA= E Mb = E Ma =cte

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Mate!tica &a energía en la +arte -A" es +otencial gravitacional y en la +arta as )a.a -)" es cin/tica% 1

2

2

mgl = m v b & 2 gl = v b 2

Considerando la +osici$n )a.a -)" y la +osici$n alta -a" alrededor de la clavi.a se tiene% 1

1

2

2

2

2

2

E Mb= E Ma , m v b= 2 mg ( l −a )+ m v a , v b =4 g ( l − a ) + v a , 2 gl = v b 2

2

2 gl = 4 g ( l −a )+ v a 2

Coo se tratra de un oviiento circun'erenciao de la es'era del +/ndulo, en la +osici$n alta -a" la tesi$n del ca)le es nula +ara, e(istiendo aceleraci$n centrí+eta% 2

v − P =m ( −a c ) , mg= m a , v 2a= g (l −a ) l −a 2 gl= 4 g ( l −a )+ v a ree+laaos el valor de 2

En la ecuaci$n

2

v a = g ( l − a)

2 gl = 4 g ( l −a )+ g ( l −a ) 2 l = 4 l −4 a + l − a

3 l = 5 a , a=

3l 5

13. n a2ue'e se emu$a sua!emen'e desde la ar'e al'a de un muro en el un'o A % oscila en un lano !er'ical( unido al e8'remo de una cuerda de lon,i'ud L. De'ermine el )n,ulo  ara el cual la cuerda se romer)( si se uede soor'ar una 'ensi9n m)8ima i,ual a dos !eces el eso del a2ue'e. =OLCION-

L DCL


{

´ + m ´g= ma mgcos( =ma ( 1 ) ' ' . mgse)(=ma ( 2 ) at = gcos( $v = gcos( $t $v $( . = gcos( $( $t

$v . v = gcos( $( t v

(

0

0

∫ v$v =∫ glcos( 1

?

2

2

v = glse)(

F =mgse)( + ma

v =* 2 glse)(

mgse)( + m

v mgse)( + ( 2 gse)( )= 3 mgse)( l ?

'max=2 mg=3 mgse)(!ot+!a 2 3 (¿)= 41.81 −1

(!ot+!a= sin ¿

11. En el sis'ema de la /,ura en 'odas las suer/cies en con'ac'o e8is'e un coe/cien'e de ro*amien'o  . De'erminar el !alor de la aceleraci9n cuando se alica una fuer*a J en el #lo2ue m 0.


0 -  - 1= N

∑ Fmov =m. a

ss

−f 1 + ' −' −f 2−f 1 + F =( m1 + m2 ) a F − 2 f 1−f 2 m1+ m2

=a

f 1 =  N 1 N = m1 g

f 2 =  N 2

V = at 1 2

f 1 =  m1 g  ( m1 g ) −  ( m1+ m2) g

¿ F −2 ¿ a=¿

F −2  ( m1 g ) −  m1 g−  m 2 g a= ( m1 + m 2 )

F −3  m1 g −  m2 g a= ( m1 + m2 )

Bloque 1

2

∆ x = a t

N =( m1+ m2 ) g

Bloque 2

f 1 −' =m1 . a

−f 1 −f 2+ F −' =m2 . a

' =f + m

' =−f − f + F − m . a


10. na esa de F<, se suel'a desde el reoso en la osici9n 2ue se indica en la /,ura % se de'iene or medio de dos resor'es anidados. La cons'an'e el)s'ica del resor'e e8'erior es <1?:
m=8 kg V o=

0m

k 1=

3 kN

s

m

Solución:

f =0 N / Em =cte E m o= E m 1= E m 2= E m 3=cte 00

E g o= E g1 + E c 1= E g2 + E c 2 + E k 2= E k 3 1

mg ( 0,15 + # )= k 1 y e + k 2 y 1 2

2

0,15

¿ ¿

0,06

¿ ¿

8 ( 9,8 ) ( 0,15 + # ) =

# =510 mm

1 2

( 3000 )¿

2

=3000

N m


Ejercicios de Energía Cantidad de Movimiento

Recommend Documents