Ejercicios 3 y 6 Ecuaciones

3 Para ara enco encont ntra rarr la solu soluci ción ón de una una ecua ecuaci ción ón homo homogé géne nea a asoc asocia iada da difer diferenc encial ial de segund segundo o orden orden con coeci coecient entes es variab variables les se proc procede ede m '  m− 1 m− 2 sustituir  y = x , y =m x y luego luego se encuent encuentran ran las las , y ' ' =m ( m−1 ) x raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: m n  y h= c1 x + c 2 x , sim es dis disti tint nto o den  y h= c1 x

m

+ c 2 x

m

lnx lnx , sim =n

 y h= x ( c1 cos ( βlnx ) + c 2 sen ( βlnx ) ) , sim y n soncompl soncomplejo ejoss de form forma a ∞ + iβ . ∝

on base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x 2 y’’ + xy’ xy’ +y=2x es: !eg"n lo anterior los par#metros para reali$ar la ecuación homogénea son:  y 1= x y 2 = x ln ( x )  Por lo tanto

 y 1=1  y 2= x

() 1  x

} - {xy} ^ {´} +y=2x 2 ¿  x  y

} - left ({1} over {x} right ) y´+ {y} over {{x} ^ {2}} =2/x ¿  y Yh=

( x )  x )  y 2∫ y 1 g  x − y1 ∫ y 2 g ( x + w ( y 1, y 2) dx

 x lnx ) − y1 ∫ ( x Yh=

 xdx

Yh=− y 1

w ( y 1, y 2 ) dx

( )+ 2  x

∫

 y 2  x

() 2  x

 xdx

∫ ( x2 ) ( lnx ) dx + y ∫ ( x2 ) dx 2

( x ) ) + y 2 ( 2 ln ( x Yh=− y 1 ( ln  x  x )) 2

Yh=− x ( ln ( x ) ) + xln ( x  x ) ( 2 ln ( x )) 2

Yh=− x ln ( x ) + 2 x ln ( x ) ( 2 ln ( x ) ) 2

2

Yh=c 1 cos ( lnx )− c2 Sen ( lnx )

%.

y h= c1 cos ( lnx )+ c 2 sen ( lnx ) .

+ ln

( x  x )=1 + ln ( x  x )

&. . '.

y h= c1 x −c 2 lnx y h= c1 + c 2 lnx −1

y h= c1 x+ c2 x

(. )na ecuación lineal de orden n es de la forma: n

an  y ( x ) + a n− 1 y

n−1

 x ( x ) +… + a1  y ´ ( x ) +a0  y  ( x )= f  ¿

*sto es, todos los coecientes son solamente funciones de + y adem#s, la variable y y todas sus derivadas est#n a la primera potencia. Por otro lado, si la e+presión    -  -  /     0 *s su respectivo 1perador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma  2   4 2 

Por lo anterior, de la ecuación diferencial 5y66  7y 4sen+ se puede armar que: . *s lineal de segundo orden con coecientes variables 5. *l operador diferencial que anula a g2+ es 2  5  25  5  7  4 0 3. *l operador diferencial que anula a g2+ es 2  - 2  5  7  4 0 8. *s lineal de segundo orden con coecientes constantes !olución:  y (x)= sin (x)/2-5y(x)/2 2  y (x)+5y(x)=1/2i {e} ^ {-ix} -1/2i {e} ^ {-ix}

 y ( x )= c 2 sin

(√ ) 5  x 2

+ c 1 cos

(√ ) 5 x 2

+

sin ( x ) 