Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación. Se dice que una función f es una solución de una ecuación diferencial si ésta se satisface cuando se sustituyen y=f(x) y sus derivadas en ella. uando se pide resolver una ecua ec uaci ción ón dife difere renc ncia ial! l! se espe espera ra que que "all "allemo emoss toda todass las soluc solucio iones nes posi posi#l #les es de la ecuación.
E$emplo% &emuestre &emuestre que todos los miem#ros miem#ros de la familia de funciones funciones solución de la ecuación diferencial Si
derivamos
la
son una
. función
y!
se
tiene%
'or otra parte%
. 'or lo tanto! para los valores de c! la función función dada es una solución solución de la ecuación diferencial.♦ eneralmente es necesario conocer una solución en particular y no toda la familia de soluciones! una solución que satisfaga una condición! conocida como condición inicial el pro#lema de "allar una solución de la ecuación diferencial que cumpla con la condición inicial se llama pro#lema con valor inicial. *E+,E-% (Existencia (Existencia y Unicidad). Sea f una función con derivadas continuas en U ⊆,/ a#ierto. 'or cada punto (x 0y0)∈U pasa una y sólo una curva que resuelve la ecuación. E$ercicios% 1. &emuestre &emuestre que /. omprue#e e#e que
es una solución solución de la ecuación ecuación diferencial% diferencial% es una soluc lución del pro#lema con valor inicia iciall
2. 3'ara 3'ara que valor valores es de 4 la funció función n satisf satisface ace la ecuaci ecuación ón difere diferenci ncial al y556y5 y556y577 8y=09 :. 3uá 3uáles les de las las func funcio ione ness sigu siguien iente tess son son solu soluci cion ones es de la ec ecua uaci ción ón difer diferen enci cial al
Ecuaciones diferenciales. 1
Una de las clases más sencillas de ecuaciones diferenciales es -(x)6;(y).y5=0! donde y ; son funciones continuas. Si y=f(x) es una solución! entonces% -(x) 6 ;(f(x)).f5(x)=0. Si f5(x) es continua! entonces la integral indecita de la ecuación diferencial y se dice que dic"a ecuación es separa#le porque las varia#les x e y se pueden separar. E$emplo%
,esolver la ecuación diferencial
.
Escri#iendo la ecuación de otra forma y separando las varia#les se tiene%
?ntegrando cada término tenemos% miem#ros por 8! la solución es de la forma%
multiplicando
am#os
! donde @=8. Si se
quiere explicitar y%
♦
E$ercicios 1. +#tenga la solución general de la ecuación diferencial. Encuentre la solución particular que satisface la condición y=/ cuando x=0.
/. &emuestre que y es una solución de la ecuación diferencial dada%
2. ,esuelva la ecuación diferencial.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Aas ecuaciones de este tipo aparecen muc"as veces en el estudio de fenómenos f>sicos. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma% y56'(x).y = B(x) donde ' y B son funciones continuas. Si B(x)=0! entonces se transformar>a en una ecuación diferencial de varia#les separa#les. oncretamente! se puede escri#ir% ó #ien
! siempre que yC0. 2
?ntegrando se o#tiene%
entonces
.
Auego de realiDar diversas operaciones se llega a% es una constante.
! donde @
*E+,E-% Aa ecuación diferencial lineal de primer orden y56'(x)y=B(x) se puede transformar en una ecuación diferencial separa#le multiplicando am#os lados de la ecuación por el factor de integración .
E$emplo% ,esolver la ecuación diferencial
.
Aa ecuación diferencial anterior tiene la forma de una ecuación diferencial lineal de primer orden! con '(x)=72x/ y B(x)=x/. 'or el *eorema anterior% es un factor integrativo. -ultiplicando am#os lados de la ecuación por este factor! o#tenemos% ?ntegrando am#os lados de la ecuación%
inalmente! multiplicando por%
♦
E$ercicios% ,esuelva la ecuación diferencial.
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma% ! donde f 1! f /!F f n y 4 son funciones de una varia#le que tienen el mismo dominio. Si 4(x)=0 para todo x! se dice que la ecuación es "omogénea! en caso contrario es no "omogénea. 'ara el caso de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coe
Aa ecuación auxiliar de una ecuación diferencial y55 6 #y5 6 cy = 0 es m / 6 #m 6 c = 0. *E+,E-% Si las ra>ces m 1 y m/ de la ecuación m/ 6 #m 6 c = 0 son reales y distintas! entonces la solución general de y55 6 #y5 6 cy = 0 es%
E$emplo% ,esolver la ecuación diferencial y55 H 2y5 H 10y = 0. Su ecuación auxiliar es% m/ H 2m H 10 = 0! de aqu> las ra>ces son m 1=I y m/=7/! por ser reales y distintas! resulta que la ecuación general es% ♦
*E+,E-% Si la ecuación m/ 6 #m 6 c = 0 tiene una ra>D do#le m real! entonces la solución general de y55 6 #y5 6 cy = 0 es%
E$emplo% ,esolver la ecuación diferencial y55 H 8y5 6 Jy = 0. Su ecuación auxiliar es% m/ H 8m 6 J = 0! de aqu> la ra>D do#le es m=2! resulta que la ecuación general es% ♦