ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS EJEMPLOS DE M-N-Q: EJEMPLO 1 CARGA DISTRIBUIDA 0.01P C
B A x 200
200
1.5P
0.5P Puntos característicos para determinar el corte Qy
Punto de corte nulo Punto de máximo momento 1.5P
0.5P
Puntos característicos para determinar el momento Mz
Corte negativo constante Mz lineal – pendiente negativa
Corte positivo lineal decreciente Mz parabólico – pendiente positiva decreciente
1) Diagrama de corte Qy:
P 2 1 1
P 0 0 1
No hay discontinuidad en el corte No hay quiebre en la pendiente Mmáx - Pendiente nula
El diagrama de corte se puede trazar fácilmente con los valores de las reacciones extremas: Entre C y B como q=0 entonces por dQ/dx =-q se deduce que Qy=cte y de valor 0.5P igual a la reacción Rc y con signo negativo por la convención adoptada. Entre A y C como q=cte entonces el corte es lineal, un valor de la línea ya se tiene que es el valor en B igual a Rc. El otro valor de la línea es el corte en A, igual a RA con signo positivo, de acuerdo a la convención.
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS
2) Diagrama de Momento Mz: Como el diagrama de corte pasa por 0, en correspondencia de dicho punto el momento flector Mz presenta un valor extremo (máximo o mínimo). En la parte en que el corte es lineal, el diagrama de Mz es parabólico. En la parte en que el corte es constante el diagrama de Mz es lineal. Como no hay saltos en el diagrama de corte, no puede haber discontinuidades en el diagrama de Mz. En el punto A el corte tiene su valor máximo positivo, por lo que la pendiente del diagrama de Mz es máxima positiva. La pendiente con la que llega al punto B es negativa y menor en módiulo que la anterior por ser el corte negativo y de menor valor. Para trazar el diagrama, basta calcular los valores de Mz en los dos puntos característicos señalados y tener en cuenta lo indicado en el párrafo anterior. Para hallar el valor del momento máximo hay que localizar el punto donde se anula el corte: Qy(x) = 1.50P-0.01Px
Qy(x) = 0
xo= 150
Mzmáx= +1.50Px150 – 0.01Px1502/2 = 112.5P (analizado desde la izquierda) El valor de Mz en la transición parabólica-lineal: Mz=+0.5Px200 = 100P (analizado desde la derecha) En la figura se indican todas las coincidencias que deben verificarse entre los diagramas entre sí y las cargas aplicadas.
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS EJEMPLO 2 EQUILIBRIO DE UN NUDO C
Rc 100
M=400P B D
RB
100
Y O1
RA A
100
O
1er Paso:
100
X
Cálculo de las reacciones: Se utiliza el sistema de referencia fijo X-Y
∑MO1: ∑FX: ∑FY:
Rc 200√2 – 400P = 0 RA – RCcos45 = 0 RB – RCsen45 = 0
(1) (2) (3)
Se obtiene: RA: P RB: P RC: √2P
2do Paso:
Definición de las orientaciones de las barras: Este paso significa definir en cada barra el sentido creciente del eje x solidario al eje longitudinal de la barra y por lo tanto, define cara derecha e izquierda en cada barra y las pendientes positivas y negativas:
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS C x y
√2P
100
B
x
D
M:400P
y
P
100
x y A
P
100
3er Paso:
100
Trazado de los diagramas:
El momento flector debe interpretarse que está actuando estrictamente en el nudo D. Para el análisis se debe tener en consideración lo siguiente: -
Convención de signos: Q
Mz
Mz N
CI
N
CD
Q
-
Como no hay cargas repartidas, y tampoco hay cargas concentradas en los tramos, el esfuerzo de corte es constante en cada barra y el valor se determina al inicio de cada barra: secciones A, B y C. QA: -P
-
QB:-P QC:-√2P
El esfuerzo axil es nulo en cada barra.
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Se traza de esta manera el diagrama de esfuerzos cortantes Qy: √2P
P
Q
P
-
Para trazar el momento flector se toma información del diagrama de corte: En cada barra el corte es constante, por lo tanto la variación del momento es lineal, sabiendo que en A, B y C el momento es nulo, se debe calcular un valor adicional en cada barra, tomando el extremo D para cada barra. Para la barra CD: C
√2P 100√2
200P M:400P
√2P D P
P
MzDCD: -100√2x√2P: -200P
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS Para la barra AD:
√2P 100√2
M:400P D P
100P
P
A P AD
MzD : -100xP: -100P
Para la barra BD:
√2P 100√2
100P P B
M:400P D P
P
MzDBD: +100xP: +100P Obsérvese que siempre se corta en una sección infinitamente próxima al nudo, pero que está antes del momento aplicado M:400P que está en el propio nudo.
ESTRUCTURAS C151 Aeronáutica - Materiales - Mecánica – Electromecánica EJEMPLOS El diagrama de momento resulta:
200P
100P
MZ
4to Paso:
P 0 0 1
Verificación equilibrio del nudo D:
Teniendo en cuenta que si el total del sistema se encuentra en equilibrio, una parte del mismo también lo está, se analizará el equilibrio del nudo D. Para esto se desmembra la estructura en el nudo D, cortando en cada barra en secciones que están a una distancia infinitesimal del nudo, y colocando en estas secciones los esfuerzos característicos hallados, que no son otra cosa que las acciones que el resto de la estructura ejerce sobre el nudo D:
200P M:400P
CD
100P
CI
D Y D C
X
100P
Se verifica ∑M=0, ∑Fx=0 y ∑Fy=0 Se verifica por lo tanto el equilibrio del nudo D
