UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 1: FUNCIONES Y SUCESIONES. SUCESIONES.
A continuación, se presentan los ejercicios y g raficas asignados para el desarrollo de Tarea 1, en este grupo de trabajo, deben escoger esc oger un numero de estudiante y desarrollar los ejercicios propuestos para este estudiante, Los ejercicios 2 y 5 aplican para todos los miembros del grupo y debe ser desarrollado cumpliendo los parámetros solicitados solicitados en el enunciado. EJERCICIOS
1. Grafique en GeoGebra y deduzca el rango y el dominio de las siguientes sig uientes funciones planteándolos a través de la teoría de conjuntos: Estudiante X
a.
( () =
+
( () = x
b.
2 4 y
−2
−0.5
−1
−0.4
0
0
1
0.4
2
0.5
3
0.462
( 4) 4)
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Encontremos el dominio El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida,
Resuelva para encontrar los valores de x que hacen que + no esté definida. Dispón la ecuación para resolver para x. X2+4=0 Restar 4 a ambos lados de la ecuación. X2=−4 Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el exponente del lado izquierdo.
= ±√ ± √ 4 4
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La solución completa es el resultado de las porciones positivas o negativas de la solución. x=2i;−2i
El dominio es todos los números reales. (−∞;∞)( -∞;∞) {x|x ∈R} El rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma Utiliza el gráfico para encontrar el rango.
1 1 [ ; 0)∪ (0; (0; ] 2 2
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2. Proponga de su autoría una serie de datos y su respectiva gráfica, que describa la relación entre dos variables con una de ellas describiendo el tiempo en un término no menor a 3 años con valores mensuales, de alguna situación aplicable a su contexto profesional (administración, (administración, Ingeniería, Agronomía, Etc.). De acuerdo con lo propuesto deberá identificar: a. Las variables dependiente e independiente. b. Valor máximo y mínimo del primer año. c. Valor máximo y mínimo d. Rango y Domino de la función me s Cau dal del rio en l/s
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 4 3 2 2 1 0 9 9 8 7 7 6 5 4 4 3 2 1 1 0 9 8 8 7 6 5 5 4 3 2 2 1 0 0 9 0 7 6 9 2 4 7 9 2 5 7 0 2 5 8 0 3 5 8 1 3 6 8 1 4 6 9 1 4 7 9 2 4 7 0 2
Primero lo escribimos como una sucesión de puntos A(1,950);B(2,947);C(3,936);D(4,929);E(5,92 A(1,950);B(2,947);C(3,936);D(4,929);E(5,922);F(6,914);G(7,907);H(8,8 2);F(6,914);G(7,907);H(8,899);I(9,892);J(10,885 99);I(9,892);J(10,885);K(11,877);L(12,870);M(13 );K(11,877);L(12,870);M(13,862);N(14,855);O(15 ,862);N(14,855);O(15 ,848);P(16,840);R(17,833);S(18,825);T(19,8 ,848);P(16,840);R(17,833);S(18,825);T(19,818);U(20,811);V(21,803);W(22 18);U(20,811);V(21,803);W(22,796);X(23,788);Y(24,7 ,796);X(23,788);Y(24,781);Z(25,774);AA(26,766 81);Z(25,774);AA(26,766);AB(27,759);AC(2 );AB(27,759);AC(2 8,751);AD(29,744);AE(30,737);AF(31,7 8,751);AD(29,744);AE(30,737);AF(31,729);AG(32,722);AH(33,714 29);AG(32,722);AH(33,714);AI(34,707);AJ(35,700);AK(3 );AI(34,707);AJ(35,700);AK(36,692) 6,692) −
Encuentre la pendiente de la línea entre (1;950) y (36;692) usando = − que es el cambio de y sobre el cambio de x.
= − −
= − −
= −
Usa la pendiente m y uno de los puntos dados, como (1;950) para sustituir por x1 y y1 en la forma punto pendiente
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y−y1=m⋅(x−x1) , que se deriva de la ecuación de la pendiente
= − −
(950 y ( 950)) = y 950 950 =
258 ∗ (x (1)) 35 25 ⋅ (x 1) 1) 835
y 950 = y= y=
258x 258 35 35
258x 258 950 35 35
258x 258 950⋅35 ( ) 35 35 1 ⋅ 35
y=
258x 33508 35 35
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El rango es el conjunto de todos los valores de y válidos. Utiliza el gráfico para encontrar el rango. (−∞;∞)
{y|y∈R} Determine el dominio y el rango. Dominio: (−∞;∞);{x|x∈R}
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Rango: (−∞;∞);{y|y∈R}
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de inters ección y verificando el ángulo entre ellas.
(2, 9); (7, 2); (6 (6,, 4)
Estudiante 1
HALLAR LA FORMULA DE LA RECTA DE LOS PUNTOS A Y B (2;−9) ; (7;2)
Usa y=mx+b para calcular la ecuación de la recta, donde y=mx+b representa la pendiente y b re presenta la intersección en Y. Para calcular la ecuación de la recta, use el formato y=mx+b. La pendiente es igual al cambio en y respecto al cambio en x, o lo que se levanta al avanzar.
= ( )/( )/( ) El cambio en x es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y e l cambio en y es igual a la resta en la co ordenada Y (también llamada elevación).
=
2 1 1 2 1 1
Introduce los valores de x y y en la ecuación para encontrar la pendiente.
=
2 (9) (9) 7 (2) (2)
Hallando la pendiente m.
= 11/5 Halla el valor de b usando la fórmula f órmula para la ecuación de la recta. Usando la fórmula de punto-pendiente y-y1=m(x-x1), sustituya
= , x1=2 y y1=−9
11 y ( (9) 9) = ( )(x(2)) 5
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11 y 9 = ( )(x(2)) 5 y 9 = y= y=
11x 22 5 5
11x 22 9 5 5
11x 22 5 ( 9 ⋅ ( )) 5 5 5 y=
11x 2245 5 5 y=
11x 67 5 5
=
67 5
Ahora que los valores de m (pendiente) y b (intersección en y) son conocidos, sustitúyalos en y=mx+b para encontrar la ecuación de la recta. Y= (
) ( )
AHORA BUSCAMOS LA RECTA PERPENDICULAR USANDO EL PUNTO C
y = ( )x ( ) ; (6;4) La ecuación de una recta perpendicular a =
MPerpendicular=
debe tener una pendiente que sea e l recíproco negativo de la pendiente original.
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MPerpendicular =
−
Encuentre la ecuación de la línea perpendicular usando la fórmula punto-pendiente.
( (6 6)) = 6 = = =
5 20 11 11
5 20 6 11 11
5 20 66 11 11 11
= DIBUJAMOS LAS 2 RECTAS
5 ( 4) 11
5 46 11 11
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() = 4. Si (
3 − evaluar y reducir a la mínima expresión algebraica: √ 3
Estudiante X
a.
( 2)
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f(x) = √
5x ; f(x 2) 2) 3x 2
Sustituye la la variable x con x +2 en la expresión.
f(x 2) = ( ( 2)
5(x 2) 5(x 3(xx 2) 3( 2) 2
Quita el paréntesis del denominador.
f(x 2) 2) = √ 2 Para escribir
5(x 2) 5(x 3x 4
+ √ 2 como una fracción con un denominador común, multiplica por. +
f (x 2) 2) =
( 2) 3 x 4 5( 5(xx 2) ∗ 1 3 x 4 3x 4
f (x 2) =
( 2) 2 )(3 (3 4) 5( 5(xx 2) 3x4 3x4
f (x 2) =
( 2) 2 )(3 4) 4) 5( 5( 2) 3x 4
( 2) ∗ 3 ( 2) 2 ) ∗ 4 5 10 10) f (x 2) 2) = 3x 4
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f (x 2) 2) =
( 2) 3 ( 2) 4 2 ) 5 10) 3x 4
1. A través de la aplicación de las sucesiones y progresiones: a. Proponga los 5 primeros términos de una sucesión geométrica calculando su término g eneral y la suma de los 10 primeros términos. 2,8,32,128,512 (me base en las gigabytes de las las memorias USB) Esta es una secuencia geométrica dado que hay un r atio común entre cada término. En este caso, multiplicar el término previo en la 1 ∗ − por tanto la ecuación queda así: secuencia por 4 da el siguiente término. Dicho de otro modo, = 1
= 2 ∗ 4−
Ahora la suma de los 10 primeros términos
=
1( 1 (1 ) 1
10 =
2( 2 (1 4 ) 14
10 =
2( 2 (1 4 ) 14
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10 =
2((1 10 2 1048 4857 5766) 14
S10 =
2 ∗ 10 1048 4857 5755 14
10 =
2097150 3
10 = 699050
b. Proponga los 10 primeros términos de una sucesión aritmética calculando su término general y la suma de los 5 primeros términos.
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28 Esta es una secuencia aritmética dado que hay una diferencia común entre cada término. En este caso, sumar 3 al término previo en la secuencia da el siguiente término. Dicho de otro modo, an=a1+d(n-1). Secuencia aritmética: d=3 Esta es la fórmula de una secuencia aritmética.
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= ( ) Introduce los valores de a1=1 y d=3.
= () ()( ( ) = () ()( ( ) = ( ( ) = Encontremos la suma de los 5 primeros términos
=
(1 (1 ) ∗ 2
5 =
(1 (1 5 5) ∗ 5 2
5 =
(1 (1 13 13) ∗ 5 2
5 =
14 ⋅ 5 2
5 = 35
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Graficar las siguientes funciones en GeoGebra calculando rango, dominio, intersecciones y asíntotas. Estudiante x + −
Use los puntos y asíntotas encontrados para dibujar y =
x −4
y 0
−1
−1
0
−2
1
−5
3
7
4
4
a.
( () = + −
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Resuelva para encontrar los valores de x que hacen que ( () =
+ no esté definida −
x = 2, la división por 0 indefine la función
El dominio son todos los valores de x que hacen definida la expresión. (−∞;2) ∪ (2;∞) {x|x ≠ 2}
El rango es el conjunto de todos t odos los valores de y válidos. Utiliza el gráfico para encontrar el rango. (−∞;1) ∪ (1;∞) {y|y ≠ 1}
Determine el dominio y el rango. Dominio: (−∞;2) ∪ (2;∞);{x|x ≠ 2} para cualquier número entero n Rango: (−∞;1) ∪ (1;∞);{y|y ≠ 1}
