Ejemplo 2-3.1 Ancho de Haz de Media Potencia (HPBW) Una antena tiene un patrón de campo dado por: E (θ ) = ) = cos2θ , para 0≤ θ ≤ 90°, Encuentre el HPBW θ
HPBW
E θ = cos2 θ
Solución E( θ 0..707. θ ) a media potencia = 0 2 Luego 0.707 = cos θ , • También cos θ = √0.707 • • Resultando θ = 33◦ • Como HPBW = 2θ = 66º Respuesta •
Ejemplo 2-3.2 2-3.2 Ancho de Haz de Media Media Potenci a y de Pri mer Nulo (HPBW (HPBW y FNBW) Una antena tiene un patrón de campo dado por: E (θ ) = ) = cosθ cos2 cos2θ , para 0≤ θ ≤ 90°, Encuentre (a) el HPBW y (b) el FNBW θ
Solución: (a) E (θ ) a mitad de potencia = 0.707.
HPBW
E( θ cos2 θ θ ) = cosθ cos2 θ
FNBW
Luego cos θ cos cos 2θ = = 1/√2 = 0.707. cos2θ = 1/√2 cos θ 2θ = = cos−1 (1/√2 cos θ) y = (1/2) cos−1 (1/√2 cos θ ’) ’) θ = Iterando con θ = = 0º como primer valor, θ ’ = 22. 22.5º. Poniendo θ = = 22. 22.5º, θ ’ = 20. 20.03º, etc., Hasta después de la siguiente iteración ’ = = 20. 20.47º = 20. 20.5º y θ = θ ’ HPBW = 2θ = 41º Rpta. (a) (b) cos θ cos 2θ = 0, para
θ =
45º y
FNBW = 2θ = 90º Rpta. (b)
Ejemplo 2-7.2 2-7.2 Direct Direct ivi dad El patrón de campo normalizado de una antena esta dado por E n = senθ sen senφ , donde θ = ángulo de cenit (medido desde ele eje z ) y φ = ángulo de azimut (medido desde el eje x ) (ver la figura) En tiene valores sólo para 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ ≤ π y y es cero para otro valor (el patrón es unidireccional con máximo en la dirección + y ). ). Encuentre: a) El valor exacto de la directividad directividad
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b) El valor aproximado de la directividad de la ec. (8), y c) La diferencia en decibelios.
Solución D=
4π
π
π
0
0
∫ ∫
4π =6 sin3 θ sin2 φ dθ d φ 2π / 3
41,253 D≅ = 5.1 90° × 90°
=
Rpta. (a)
10log
Rpta. (b)
6.0 = 0.7 dB Rpta. (c) 5.1
Ejemplo 2-10.1 Apertur a efectiva y directivi dad de una antena dipolo c orto Una onda plana es incidente sobre un dipolo corto como se ve en la figura 2-11. La onda se asume que está linealmente polarizada con E en la dirección y. La corriente sobre el dipolo es asumida constante y con la misma fase sobre su entera longitud, y la resistencia de terminación R T es asumida igual a la resistencia de radiación R r del dipolo. La resistencia de pérdidas de la antena se asume igual a cero. ¿Cuál es?: Figura 2-11 a) La máxima apertura efectiva del dipolo y Dipolo corto con corriente uniforme b) Su directividad inducida por la onda incidente Solución: a) La máxima apertura efectiva de una antena es: V 2 Aem = (7) 4SR r Donde el valor efectivo del voltaje inducido V esta aquí dado por el producto de la intensidad de campo eléctrica efectiva en el dipolo y su longitud, esto es, V = El (8) 2
La resistencia de radiación R r de un dipolo corto de longitud l con una corriente uniforme se demuestra que es (esto se demostrará más adelante): 2
2
⎛ I av ⎞ ⎛ I ⎞ 80π 2 l 2 ⎛ Iav ⎞ R r = 790 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ 2 ⎝ I0 ⎠ ⎝ I 0 ⎠ ⎝ λ ⎠
2
( Ω)
(9)
Donde: λ = Longitud de onda I av = Corriente promedio I 0 = Corriente terminal La densidad de potencia o vector de Poynting, de la onda incidente en el dipolo está relacionada con la intensidad de campo por: E 2 (10) S= Z Donde Z = impedancia intrínseca del medio En el presente caso, el medio es el espacio libre así que Z = 120π . Ahora substituyendo (8), (9), y (10) en (7), obtenemos la apertura efectiva máxima de un dipolo corto (para I av = I 0) 120π E 2l 2 λ 2 3 2 Aem = λ = 0.119λ 2 Rpta (a) = 2 2 2 320π E l 8π (b) 4π Ae 4π × 0.119λ 2 D= = = 1.5 Rpta (b) λ2 λ 2
Un típico dipolo corto puede ser de λ/10 de longitud y λ/100 en diámetro para un corte de apertura seccional físico de 0.001λ2 comparado con el valor de 0.119 λ2 de apertura efectiva para el ejemplo 2-10.1. Esto es, un dipolo simple o antena lineal puede tener una apertura física que es pequeña que su apertura efectiva. Por consiguiente, un arreglo transversal (broadside) de muchos dipolos o antenas lineales tiene una apertura física total que, como en las cornetas o platos, es mayor que su apertura efectiva. De otro lado, en un arreglo longitudinal (endfire) de dipolo, como en una antena Yagi-Uda, tiene una sección física de terminación que es menor que la apertura efectiva de la antena. Esto dependiendo de la antena, las aperturas físicas pueden ser mayores que sus aperturas efectivas o viceversa.
Ejemplo 2-10.2 Apert ura efecti va y directi vid ad de una antena dip olo de /2 Una onda plana incidente sobre la antena está viajando en la dirección negativa del eje x como en la figura 2-12a. La onda está linealmente polarizada con E en la dirección y . El circuito equivalente se muestra en la figura 2-12b. La antena tiene que ser reemplazada por un equivalente o generador Thévenin. El voltaje infinitesimal dV de este generador debido al voltaje inducido por la onda incidente en un elemento de longitud infinitesimal dy de la antena es 2π y dV = Edy cos (11) λ
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Figura 2-12 Antena lineal de λ/2 en el campo de la onda electromagnética (a) y su circuito equivalente (b)
Se asume que el voltaje infinitesimal inducido es proporcional a la corriente en el elemento infinitesimal como está dado por la distribución de corriente (11). Encuentre: a) La apertura efectiva y b) La directividad del dipolo de λ/2 Solución: (a) El voltaje total inducido V esta dado por la integración de (11) sobre la longitud de la antena. Esto puede ser escrito como: λ / 4 2π y V =2 E cos dy (12) 0 λ Realizando la integración de (12) tenemos E λ V = (13) π El valor de la resistencia de radiación R r de la antena lineal de λ/2 será tomado como 73Ω. La resistencia de terminación R T se asume igual a R r. Esto es, obtenemos para la apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2, 120π E 2λ 2 30 2 = λ = 0.13λ 2 Rpta (a) Aem = 2 2 4π E × 73 73π 4π Ae 4π × 0.13λ 2 (b) D = = = 1.63 Rpta (b) λ2 λ 2
∫
La máxima apertura efectiva de una antena lineal de λ/2 es cerca del 10% mayor que para el dipolo corto. La máxima apertura efectiva para de la antena de λ/2 es aproximadamente la misma para un área ½ por1/4 λ sobre un lado, como se muestra en la Figura 2-13 a. Esta área es 0.125λ2 Una apertura de forma elíptica de 0.13 λ2 se muestra en la figura 2-13b El significado físico de estas aperturas es que la potencia de la onda plana incidente es absorbida sobre un área de este tamaño y es entregada a los terminales de la resistencia o carga.
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Figura 2-13 (a) Apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2 representada aproximadamente por un rectángulo de ½ por 1/4 λ en un lado. (b) Apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2 representada por un área elíptica de 0.13 λ2. Aunque la resistencia de radiación, apertura efectiva, y directividad son los mismo para ambas antenas transmisora y receptora, la distribución de corriente, en general no son lo mismo. Esto es, un onda plana incidente sobre una antena receptora excita una distribución de corriente diferente que un voltaje aplicado a un par de terminales localizado en la antena transmisora.
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