PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA CON VARIANZA V ARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA EJEMPLO 1 Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en México el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: μ =70 años σ = 8.9 años
Media = 71.8 años n = 100 α = 0.05
Solución: 1. Ensayo de hipótesis Ho; μ = 70 años. H1; μ > 70 años.
2. Regla de decisión: Si P <= 0.05 se rechaza Ho. Si P > 0.05 No se rechaza Ho. 3. Cálculos:
Esta es el valor de Z que se utilizará para calcular el valor de P, como es un ensayo unilateral derecho se calculará el área a la derecha de este valor. 4. Justificación y decisión:
Como el valor de P es 0.0217 y es menor al valor del nivel de significancia de 0.05 por lo tanto se rechaza H0, y se concluye que la edad media de los habitantes es mayor a 70 años.
EJEMPLO 2 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: μ =800 horas σ= 40 horas
Media = 788 horas n = 30 α = 0.04
3. Ensayo de hipótesis Ho; μ = 800 horas H1; μ ≠ 800 horas
4. Regla de Decisión: Si –2.052 <= Z 0<= 2.052 No se rechaza H o Si Z0< -2.052 ó si Z0> 2.052 Se rechaza H o
Ver tabla para distribución Normal estándar 5. Cálculos:
6. Justificación y decisión: Como –2.052<= -1.643 <= 2.052 por lo tanto, no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado.
PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
EJEMPLO PARA LA MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA Ejemplo 1 El tiempo real de atención a clientes en una abarrotera es de 3.5 min. Cierto grupo de Lic. En Informática afirman que al instalar un sistema en tal empresa se reducirá el tiempo de espera, para la cual realizan pruebas con n = 13 clientes encontrando los siguientes resultados: 2.95, 3.51, 3.3, 3.8, 2.8, 3, 3.05, 3.45, 2.75, 3.8, 3.35, 3.20 y 3.55. Proponga y pruebe la hipótesis que crea necesaria con: a) 99% de confiabilidad b) 95% de confiabilidad
a) 1.- μ 2.- Ho: μ >=3.5 en oposición a H1: μ <3.5 3.-
4.- α = 0.01 5.- Rechazamos Ho si to <= -tα/2(n-1) 6.- conclusiones μ =3.5
s=0.3484 Media = 3.27 n = 13
tα/2(n-1) = t0.01/2(12) = -3.0545
Tabla de distribución t - Student Sustitución
Rechazamos Ho si to <= -tα/2(n-1) -2.38 > -3.0542
Por lo tanto. No rechazamos H o. con un nivel de seguridad del 99% podemos decir que con la
instalación del sistema de computación en la abarrotera el tiempo de atención no se reducirá.
b) 1.- μ 2.- Ho: μ >=3.5 en oposición a H1: μ <3.5 3.-
4.- α = 0.05 5.- Rechazamos Ho si to <= -tα/2(n-1) 6.- conclusiones μ =3.5
s=0.3484 Media = 3.27 n = 13
tα/2(n-1) = t0.05/2(12) = -2.1788
Tabla de distribución t - Student sustitución
Rechazamos Ho si to <= -tα/2(n-1) -2.38 < -2.1788
Por lo tanto. Se concluye con un nivel de seguridad del 95 % podemos decir que con la
instalación del sistema de computación en la abarrotera el tiempo de atención se reducirá.
Ejemplo 2 La resistencia al rompimiento de una fibra textil es una variable aleatoria distribuida normalmente. Las especificaciones requieren que la resistencia media al rompimiento deba igualar el valor de 150 psi. Al fabricante le gustarla detectar cualquier desviación significativa respecto a este valor. En consecuencia, él desea probar Ho; μ = 150 psi H1; μ ≠ 150 psi
Una muestra aleatoria de 15 especímenes de prueba se selecciona y se determinan sus resistencias al rompimiento. La media y la varianza de la muestra se calculan a partir de los datos de la misma como = 152.18 Y S2 = 16.63. Por tanto, la estadística de prueba es
El error de tipo 1 se especifica como α = .05. De manera que t .025, 14 = 2.145 Y –t.025, 14 = -
2.145, Y concluiríamos que no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que = 150 psi.
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE PROPORCIONES
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE PROPORCIONES PARA UNA SOLA MUESTRA. Una encuesta realizada por Bancomer a 35 clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto, el banco desarrollará un paquete especial de servicios para este grupo. La administración quiere determinar si el porcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los resultados mostraron que 74.29 por ciento de los clientes encuestados reportaron ingresos de $200,000 o más al año.
El procedimiento para la prueba de hipótesis de proporciones es el siguiente: 1. Especifica la hipótesis nula y alternativa. Hipótesis Nula: H 0 P .60 Hipótesis Alternativa: H a P .60 , donde P = la proporción de clientes con ingresos familiares anuales de $200,000 o más. 2. Específica el nivel de significación,
, permitido. Para una
.05 , el valor de tabla de Z para una prueba de una sola
cola es igual a 1.64. 3. Calcula el error estándar de la proporción especificada en la hipótesis nula. s p
p (1 p ) n
dónde: p = proporción especificada en la hipótesis nula. n = tamaño de la muestra.
Por consiguiente:
s p
0.60 (1 0.60 ) 35
.0828
4. Calcula la estadística de prueba:
z
( proporción _ observada ) ( proporción _ H 0 ) s p
z
0.7429 0.60 0.0828
1.73
5. La hipótesis nula se rechaza porque el valor de la Z calculada es mayor que el valor crítico Z . El banco puede concluir con un 95 por ciento de confianza (1 .95) que más de un 60 por ciento de sus clientes tienen ingresos familiares de $200,000 o más. La administración puede introducir el nuevo paquete de servicios orientado a este grupo.
EJEMPLO 2: El presidente del PRI en 1988, basado en su experiencia, sostiene que un 95% de los votos para las elecciones presidenciales han sido a favor de su partido. Los partidos de oposición levantaron una muestra de1,100 electores y encontraron que un 87% de ellos votaría por el PRI. El presidente del PRI quiere probar la hipótesis, con un nivel de significación de 0.05, que el 95% de los votos son para su partido. Hipótesis Nula: H o : p 0.95 Hipótesis Alternativa: H a : p 0.95 Tamaño de muestra: n=1,100 Nivel de Significación = 0.05. El primer paso es calcular el error estándar de la proporción utilizando el valor hipotético del porcentaje que históricamente vota por el PRI:
SE p
p (1 p ) n
0.95 * 0.05 1100
0.0066
Ahora sólo es necesario construir el intervalo de confianza:
po
1.96
* SE p
0.95 1.96 * 0.0066 0.937
0.963
La proporción de .87 de votos por el PRI en la encuesta no cae en la región de aceptación, por lo tanto el presidente del PRI debe de “preocuparse” por que la tendencia entre los votantes es a favorecer
menos al PRI. SEXO DEL PATRON
Valid
Hombre Mujer Total
Frequency 1634 314 1948
Percent 83.9 16.1 100.0
Valid Percent 83.9 16.1 100.0
Cumulative Percent 83.9 100.0
Probemos la hipótesis de que el porcentaje de microempresas cuyos dueños son hombres captado por la ENAMIN es distinto de 88 por ciento. Hipótesis Nula: H 0 P 0.88 Hipótesis Alternativa: H 0 P 0.88
s p
z
0.88 (1 0.88 ) 1948
0.839 0.88 0.0074
.0074
5.54
La hipótesis nula se rechaza porque el valor de la Z calculada es menor que el valor crítico Z de 1.96. Podemos concluir con un 95 por ciento de confianza (1 .95) que la proporción captada por la ENAMIN es estadísticamente distinta de 0.88.
PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA EJEMPLO 1 Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuídos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas 2 , pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7 Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto.
Solución Se cree que la varianza poblacional ha aumentado, es decir es superior a 0,2; por lo tanto: H0 :
= 0,2
H1 :
> 0,2
Para realizar esta prueba de hipótesis se utiliza la expresión 3.6
Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, en la tabla de la distribución chi-cuadrado con 9 grados de libertad, se obtiene un valor para Z de 16,919. Como puede observarse en la figura 3.11, el valor de la estadística de trabajo se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente con una confiabilidad del 95 por ciento se puede afirmar que la varianza poblacional no ha aumentado.
EJEMPLO 2: Considerando que el arribo de un metrobus a la estación Iztacalco es en promedio de 45 segundos y su variabilidad (varianza) debiera ser de 5
segundos. ¿Muestran los siguientes datos suficiente evidencia de que esta varianza ha cambiado? Use un α = 0.05 Tomamos el tiempo de una muestra periódica de 16 autobuses para controlar la periodicidad de arribo y se obtienen los siguientes datos en segundos:
46.2
45.2
44.3
51.7
47.5
41.6
46.4
49.0
43.6
42.2
44.0
47.8
43.7 47.8 41.8 44.2 2.-Nivel de Datos dados en segundos α= 0.05 3.-Regla de decisión Se rechaza H0 si y solo si X 2 > 24.996
significancia
Datos: X = 45.4375 S = 2.81 S2 = 7.91 1.-Prueba de Hipótesis H0:σ2 = 5 H1:σ2 > 5
4.-Tomamos la muestra y la aplicamos a nuestro estadístico de prueba: X2 = ( n – 1 ) S2
σ2 = ( 16 – 1 ) 7.91
5 = 23.73
5.- La Hipótesis se acepta ya que se encuentra en la región de aceptación y podemos afirmar que nuestra variabilidad no ha cambiado de 5 segundos, pero se acerca mucho al valor crítico y es complicado tomar una decisión
