Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniería Prof. José Saquimux
Departamento de Matemática Matemática Aplicada 2N Aux. José Márquez
06/02/2012
Ejercicio Resuelto Serie Trigonométrica de Fourier en MATHEMATICA 7 CUANDO EL PERÍODO ES Se tiene la siguiente forma de onda, (señal triangular):
Amplitud 3
2
1
wt 6
4
2
2
4
6
1
2
3
Determine lo siguiente: a) Período (T) b) Función por partes (desde -T/2 hasta T/2) c) Tipo de Simetría y coeficientes existentes d) Coeficientes por integrales e) Serie Trigonométrica de Fourier En MATHEMATICA, determine: f) Construya la función utilizando la función UnitStep (desde -T/2 hasta T/2) g) La serie de Fourier (utilizando el comando FourierTrigSeries) hasta 5 armónicos, y grafique la función y la aproximación en el mismo plano h) Compare gráficamente la Serie de Fourier encontrada por algebra y la encontrada por Mathematica, utilice 5 armónicos.
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
SOLUCIÓN a) Período de la función:
radianes
b) Función por partes:
(
(
)
(
)
) {
c) Tipo de Simetría y coeficientes existentes La forma de onda triangular, posee Simetría Impar de Media Onda, Y contendrá únicamente coeficientes
(
)
∑
(
(
de
(
)
(
)
) , para valores de n impar.
) [
]
d) Coeficientes
∫
( (
∫ ∫
(
(
)
) )
)
(
)
(
)
∫
(
(
)
)
Integrales por calculadora: (
[
)
( (
[
[
(
)
(
(
[ (
)
)
)
]
)
(
)
(
)
]
] (
)
(
)
(
)
(
)
)
]
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
(
[
Dado que:
Departamento de Matemática
(
)
(
)
]
(
[
(
)
)
(
)
]
) (
[
)
(
)
(
(
[
)
(
)
]
) ]
(
)
e) Serie Trigonométrica de Fourier:
(
)
Cambiando de variable:
(
(
∑
)
(
)
, para
)
( (
∑
)
(
)
)
)
((
)
Grafica hasta n = 5 armónicos Amplitud 3
2
1
wt 6
4
2
2
4
6
1
2
3
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
SOLUCION EN MATHEMATICA f) Construya la función utilizando la función UnitStep (desde -T/2 hasta T/2) f[t_]:=(UnitStep[t+Pi]-UnitStep[t+Pi/2])*(2(t+Pi)) +(UnitStep[t+Pi/2]-UnitStep[t-Pi/2])*(-2t) +(UnitStep[t-Pi/2]-UnitStep[t-Pi])*(2(t-Pi)) Plot[f[t],{t,-Pi,Pi},PlotStyle -> Thick] 3
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
g) La serie de Fourier (utilizando el comando FourierTrigSeries) hasta 5 armónicos, y grafique la función y la aproximación en el mismo plano FourierTrigSeries[f[t],t,5] -((8 Sin[t])/)+(8 Sin[3 t])/(9 )-(8 Sin[5 t])/(25 )
stf[t_]:=-((8 Sin[t])/)+(8 Sin[3 t])/(9 )-(8 Sin[5 t])/(25 )
Plot[{f[t],stf[t]},{t,-Pi,Pi},PlotStyleThick] 3
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
h) Compare gráficamente la Serie de Fourier encontrada por algebra y la encontrada por Mathematica, utilice 5 armónicos. Por algebra: Plot[Sum[(-8Sin[((2n-1))/2])/((2n-1)2)*Sin[(2n-1)*wt], {n,1,5}],{wt,-2Pi,2Pi},PlotStyleThick,AxesLabel{wt,Amplitud}] 3
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
Por Mathematica Plot[stf[t],{t,-Pi,Pi},PlotStyleThick]
3
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
CUANDO EL PERÍODO ES DISTINTO DE Supongamos que tenemos la forma de onda periódica: 2
1
2
1
1
2
1
2
Tiene período
seg
Entonces en Mathematica, definimos la función con UnitStep[] : f[t_]:=(UnitStep[t+2]-UnitStep[t+1])*(2(t+2))+(UnitStep[t+1]UnitStep[t-1])*(-2t)+(UnitStep[t-1]-UnitStep[t-2])*(2(t-2)) Plot[f[t],{t,-2,2},PlotStyleThick] 2
1
2
1
1
2
1
2
Aplicamos FourierTrigSeries[], pero ahora agregamos los parámetros: FourierParameters{1,w} Donde es la frecuencia angular de la forma de onda. En el ejemplo:
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
En Mathematica: FourierTrigSeries[f[t],t,5,FourierParameters{1,Pi/2}] -((16 Sin[( t)/2])/2)+(16 Sin[(3 t)/2])/(9 2)-(16 Sin[(5 t)/2])/(25 2)
stf[t_]:=-((16 Sin[( t)/2])/2)+(16 Sin[(3 t)/2])/(9 2)-(16 Sin[(5 t)/2])/(25 2)
Plot[{f[t],stf[t]},{t,-2,2},PlotStyleThick]
2
1
2
1
1
2
1
2
Matemática Aplicada 2 sección N
Aux. José Manuel Márquez Alemán
Facultad de Ingeniería
Matemática Aplicada 2 sección N
Departamento de Matemática
Aux. José Manuel Márquez Alemán
