___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
1.4 SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER
Sea el conjunto de funciones:
φ n (t ) = e
jnω 0t
Donde n es un entero y los distintos valores de n se denominan número armónico (n= 0, ± 1, ± 2, ± 3,…). ω 0 es una constante a determinar. El conjunto se dice ortogonal en el intervalo (t1, t2) cuando:
ω 0 =
2π t 2 − t 1
Luego se busca expresar una
f (t ) en términos de un conjunto finito de
exponenciales complejos de la forma:
∞
f (t ) =
∑
F n e
jnω 0 t
n = −∞
(t 1 < t < t 2 )
Donde los F n deben determinarse, y se definen como:
F n =
t 2
1 (t 2
− t ) ∫ 1
f (t )e
− jnω 0t
dt
t 1
Esta ecuación se conoce como representación en serie de Fourier exponencial de f (t ) y representa a f (t ) con energía finita por medio de una combinación lineal
de funciones exponenciales complejas en un intervalo (t1, t2).
12
___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
Ejemplo:
(Stremler pág. 25)
Para la f (t ) de ejemplo anterior, escriba la serie de Fourier exponencial. Solución: ω 0 =
F n =
2π t 2 − t 1
1 2
=
2
f (t )e
− jnπ t
dt
1
∫
e
− jnπ t
1 2 jnπ
dt −
[− e −
⎩
jnπ
1
2
∫
21
e − jnπ t dt
+ 1 + e − j 2 nπ − e − jnπ ] =
1 jnπ
[1 − e − ] jnπ
n = impar
⎧2 / jnπ
F n = ⎨
= π
0
20
=
2π
2
∫
1
=
n = par
0
∞
f (t ) =
∑ F e
jnω 0 t
n
n = −∞
f (t ) =
2 ⎛ jπ t 1 j 3π t 1 j 5π t 1 − j 3π t 1 − j 5π t ⎞ − jπ t − e − ...⎟ ⎜ e + e + e + .... − e − e jπ ⎝ 3 5 3 5 ⎠
SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Esta serie es la más comúnmente usada en señales y consiste en que cualquier función periódica se puede escribir mediante un término constante más una serie finita de términos senoidales y cosenoidales de frecuencia n , donde n es un entero. Así las funciones periódicas pueden ser descompuestas en la suma de:
13
___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
• Un término constante que será la componente continua. • Un término sinusoidal llamado componente fundamental, que será de la misma frecuencia que la función que se analiza.
• Una serie de términos sinusoidales llamados componentes armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental.
Continuando del tema anterior, de la identidad trigonométrica:
e
jω 0t
= cos(ω 0t ) + j ⋅ sen(ω 0t )
Se sustituye en la expresión de la serie exponencial, obteniendo la serie trigonométrica de Fourier, utilizada para funciones reales, definida como:
f (t ) = a 0 +
∞
∑ (a
n
cos(nω 0 t ) + bn sen(nω 0 t )
n =1
Donde las constantes a 0 , a n , bn se determinan mediante las ecuaciones:
a0 =
an =
bn =
t 2
1 t 2 − t 1
t 2 − t 1
t 2
t 1
t 2
2
2
∫ f (t )dt
∫ f (t ) cos(nω t )dt 0
t 1
t 2
f (t ) sen(nω t )dt ∫ − t 0
1 t 1
14
___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
Relacionándola con la serie exponencial se pueden definir los siguientes términos:
∞
f (t ) =
∑c
n
cos( nω 0 t + φ n )
n =0
cn =
a n2 + bn2 = 2 Gn Gn*
si n=0
c0 = a0 = G0
n≠0
⎛ − bn ⎞ ⎟⎟ ⎝ a n ⎠
φ n = tan −1 ⎜⎜
En relación a la potencia, asumiendo una resistencia de 1 ohm, los dominios del tiempo y de la frecuencia se relacionan a través del Teorema de Parseval para señales periódicas, definido por:
P=
1
T / 2
∫ f (t )
T −T / 2
2
∞
dt =
∑G
2 n
n = −∞
El cual expresa que la potencia media de una función del tiempo es igual a la suma de los coeficientes de Fourier.
Los coeficientes de Fourier permite estudiar el espectro en frecuencia de la función f (t ) a través del grafico Cn versus n, el que consiste en un grafico de líneas discretas espaciadas por 1 / T [Hz]
15
___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
Ejemplo Determinar el desarrollo trigonométrico en serie de Fourier para la onda cuadrada de la figura, y dibujar su espectro.
Solución:
El valor medio de la onda es cero, por lo tanto a 0 = 0. Los coeficientes de los términos en coseno se obtienen integrando como sigue:
an =
1 ⎡ π VCosnω t d ω t + π ⎢⎣ 0
∫
∫
2π
π
(− V )Cosnω t d ω t ⎤⎥ = ⎦
V ⎡ ⎡ 1
π 2π ⎤ ⎡1 ⎤ ⎤ = ⎢ ⎢ Sennω t ⎥ − ⎢ Sennω t ⎥ ⎥ = 0 para todo n π ⎣⎢ ⎣ n ⎦0 ⎣n ⎦ π ⎦⎥
Por tanto, la serie no contiene términos en coseno. Realizando la integral para los términos en seno:
bn =
1 ⎡ π VSennω t d ω t + π ⎢⎣ 0
∫
∫
2π
π
(− V )Sennω t d ω t ⎤⎥ = ⎦
V ⎡ ⎡ 1
π 2π ⎤ ⎡1 ⎤ ⎤ = ⎢ ⎢− Cosnω t ⎥ + ⎢ Cosnω t ⎥ ⎥ = π ⎣⎢ ⎣ n ⎦0 ⎣n ⎦ π ⎦⎥
=
V
π n
(− Cosnπ + Cos0 + Cosn 2π − Cosnπ ) =
2V π n
(1 − Cosnπ )
16
___
_ Apuntes de Teoría de las Comunicaciones, Cristián Pesce G.
Entonces, b n = 4V/( π n) para n = 1,3,5,..., y b n = 0 para n = 2,4,6,...Por lo tanto la serie para la onda cuadrada es:
f (t ) =
4V π
Senω t +
4V 3π
Sen3ω t +
4V 5π
Sen5ω t + ....
y el espectro para esta serie será el que se muestra a continuación:
Contiene los armónicos impares de los términos en seno, como pudo anticiparse del análisis de la simetría de la onda. Ya que la onda cuadrada dada, es impar, su desarrollo en serie contiene solo términos en seno, y como además tiene simetría de media onda, sólo contiene armónicos impares.
17
