Serie de Fourier Señales y Sistemas Facundo Ramón
RESUMEN Representación, con un algoritmo creado creado en MatLab R2010a de una señal periódica con la Serie de Fourier y análisis ,
.
Universidad Nacional de Tres de Febrero Ingeniería de de Sonido 1er Cuatrimestre 2011
Seminario Señales y
Ramón
Objetivo objetivo siguiente función. El
del
trabajo
es calcular los coeficientes de Fourier para la
(1) Y obtener un algoritmo que pueda graficar la serie y permita variar su número de armónicos para poder apreciar las diferentes aproximaciones.
Cálculo de los Coeficientes Primero es pertinente definir la serie de Fourier.
(2)
(3)
(4) Ahora se puede proceder al cálculo de los relacionados a !(!). Se considera a !(!) una función toma el intervalo [−2,2] para la integración.
Ahora se calcula
periódica
coeficientes
de periodo
!! .
Universidad Nacional de Tres de Febrero
!!
– Ing.
y
!
!!
= 4 , y se
Para va ria resolver ble (6) es necesario s. realizar un cambio de 1
Seminario Señales y
Ramón (5)
(6)
Universidad Nacional de Tres de Febrero
– Ing.
2
(7) Aplicando (7) en (6) se obtiene:
(8) Resolviendo (8) se llega al valor
de
!! .
(9) Dado que
! (! )
es una función impar, los componentes pares de su
serie de Fourier son nulos. Es por esto que Ahora se calcula !! .
!!
es siempre nula.
(10) Al igual que en el caso anterior, es necesario realizar un cambio de variables. Se usa el cambio realizado en (7). Y aplicando en (10) se obtiene.
(11) Resolviendo
(11)
se
obtiene
el
valor de
!! .
(12) Analizando (12) se puede observar que valdrá cero cuando ! sea par, dado
que
para ! par cos lo tanto:
!"
= 1.
Mientras que para
! !
impar !"
!
=
!
. Por
(13)
Desarrollo del Algoritmo Con los coeficientes calculados manualmente, es posible realizar un algoritmo que realice las sumatorias de la ecuación (2).
Se crea una variable N la cuál define el número de armónicos que tendrá la serie. Luego se crea un vector x que cubre el intervalo de [−2,2] de integración
con saltos de 0.01. Como los coeficient es
!!
y
!!
son nulos no es necesario
agregarlos al algoritmo. Sí es necesario realizar la sumatoria de !! . Para ello se realiza un loop for que realiza la sumatoria. Finalmente se grafica la función original y sobre ella la serie de Fourier correspondiente.
Código disp('Serie de Fourier') N= NUMERO DE ARMÓNICOS DESEADOS; x=-2:0.01:2; sum=0; for k=1:2:N b(k)=4/(k*pi); sum=sum+b(k)*sin(k*pi*x/4); end f=(x<0).*(-1)+(x>=0).*1; plot(x,f,'g',x,sum,'b') grid title('Aproximación por Serie de Fourier')
Resultados Con N=1 se obtiene el siguiente gráfico.
Ilustración 1 con N=1
-‐
Serie de Fourier
La aproximación de la serie es tosca pero se puede notar como la forma senoidal, al menos, comparte las regiones de positividad y negatividad con la función original. Este es el resulta do de utilizar un único armónico, es decir, sólo una función senoidal con la frecuencia fundamental de la serie. Cuando el número de armónicos es 2, es decir N=2, se obtiene el que en la ecuación (13) mismo resultado que con N=1, dado se observa que los coeficientes son nulos cuando N es par. Además, !(!) define una onda cuadrada en un solo intervalo, y es conocido que una onda cuadrada (físicamente se
imposible
dada
su
abrupta
discontinuidad)
compone de la sumatoria de armónicos impares de una función senoidal. Con N=5 el gráfico es el siguiente.
Ilustración 2 con N=5
-‐
Serie de Fourier
Como era de esperarse, la serie se aproxima mejor a
!(! )
con mayor
cantidad de armónicos. Siendo N=5 tenemos 3 funciones senoidales con distintas componentes frecuenciales interactuando juntas. La ecuación (2) con los coeficientes ya calculados evaluada en N=5 resulta la siguiente ecuación.
Más terminos serán sumados si aumenta N, y mejor será la
a p
roxi mac ión.
Con N=55 la aproximación es considerablemente buena. (14)
Ilustración 3 Serie de Fouri er con N=55 -‐
Y si N=99.
Ilustración 4 Serie de Fourier con N=99 -‐
No hay ninguna restricción para N, es decir, puede ser tan grande como quiera. Sin embargo, con grandes valores de N el gráfico de este algoritmo pierde presición, dado que el dominio sigue siendo el vector x que avanza de a pasos de 0.01, entonces cuando la frecuencia de las componentes aumenta considerablemente y su período es menor a 0.01 resulta dificil ver la oscilación y se pierde presición.
Efecto Gibbs
de
Se puede observar que sea cual sea el valor de N hay una impresición constante en las cercanías de la discontinuidad de !(!). Este fenómeno se
conoce como Efecto de Gibbs. La aproximación por Fourier se diferencia en un %18 por ciento del valor real de !(!) en los entornos de las discontinuidades.
Ilustración 5 con N=21
-‐
hasta
Efecto de Gibbs
Con valores de N altos, por ejemplo N=21, ya se mostró que la aproximación es relativamente buena, sin embargo, en las cercanías de x=0, o sea en el punto de discontinuidad de !(!), la aproximación de la seria llega a su diferencia máxima
con el valor real de la función. Mientras la función vale 1 la serie vale 1.18, lo cual es el 18% mas que el valor real de la función. A medida que N aumente, el punto de diferencia máxima se acercará al punto de discontinuidad. Sin embargo, para cualquier valor de N, la máxima diferencia se conservará constante. A continuación se observa el efecto de Gibbs con N=55 y N=99.
Ilustración 6 con N=55
Ilustración 7 con N=99
-‐
-‐
Efecto de Gibbs
Efecto de Gibbs
Mientras la posición del pico de la serie valor sobre el eje y permanece prácticamente constante en y=1.18.
se
acerca
a
x=0, su
Bibliogra fía MatLab R2010a, Matlab Getting Started Guide, The Mathworks Inc. 2010 Señales y Sistemas 2011, Material y apuntes del curso, UNTREF, Ing. De Sonido 2011 Seminario de Análisis Funcional, Material y apuntes del seminario, UNTREF, Ing. Sonido De 2011 A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, Señales y Sistemas segunda edición, Ed. Pearson, 1997.
Tabla contenido
de
Objetivo ............................................................................................. ....................... 1
Cálculo
de
los
Coeficientes
......................................................................................... 1
Desarrollo
del
Algoritmo
............................................................................................ 2 Código ........................................................................................................................... ............................................... 3
Resultados .............................................................................................. ................... 3
Efecto
de
Gibbs
..............................................................................................
............ 6
Bibliografía
.............................................................................................. .................. 8
