Clase 5 Título: Ecuaciones reducibles a cuadráticas Libro: Sección 1-7, pp. 73 a 79 Objetivos a lograr: Al concluir el estudio de esta sección y la ejercitación correspondiente, el alumno debe ser capaz de: • Definir el concepto de forma cuadrática. • Describir el concepto de raíz extraña. • Resolver ecuaciones que contienen radicales mediante su reducción a ecuaciones cuadráticas. • Resolver formas cuadráticas mediante la sustitución correspondiente. Introducción Fuera de lo usual, hoy serán abordados dos temas del texto, uno vinculado con ecuaciones y otro con inecuaciones. Se trata de temas cortos, sin mucha teoría y que persiguen ampliar el diapasón de problemas que pueden resolver los estudiantes. Solución de ecuaciones que contienen radicales Cuando una ecuación contiene un radical (aquí solamente nos referimos a raíces cuadradas), este puede ser eliminado si se deja solo en un miembro de la ecuación y después ambos miembros se elevan al cuadrado. Sin embargo, la ecuación que se obtiene no es equivalente a la original. En general, las ecuaciones: P ( x ) = Q( x ) y [P ( x )] 2 = [Q( x )] 2 no son equivalentes. La segunda ecuación contiene a la ecuación original y a la ecuación “extraña”: P ( x ) = −Q( x ) Por lo tanto, cuando se elevan al cuadrado ambos miembros, la ecuación obtenida tendrá todas las raíces de la ecuación original y, además, todas las raíces de esta ecuación extraña. La solución a este problema consiste en verificar las raíces obtenidas sustituyendo en la ecuación original para descartar las raíces extrañas que se hayan podido introducir al elevar ambos miembros al cuadrado. Cuando la ecuación contiene dos radicales, se elimina uno primero, de la forma anterior, después se despeja otro y se repite el proceso. Si hay mas de dos radicales (cosa muy extraña) el proceso se continúa hasta eliminarlos todos. Ejercicios Resolver: 1. x − 13 = x + 7 2. •
3x + 6 −
(Ejercicios 1-7, # 4)
x +4 =
2
(Ejercicios 1-7, # 22)
Recordar el convenio de que el símbolo (sin ningún signo delante) indica la raíz positiva, con un menos delante la raíz negativa, con un ± delante, las dos raíces.
Solución: 1. Elevando ambos miembros al cuadrado: Ordenando: Factorizando:
x − 13 =
x +7
x − 26 x + 169 = x + 7 x 2 − 27 x + 162 = 0 ( x − 9 )( x − 18 ) = 0 2
Por la propiedad cero:
x =9
Comprobación en la ecuación original:
x = 9:
y
x = 18 9 − 13 =
9 +7
–4=4 x = 18:
Raíz extraña
18 − 13 = 18 + 7
5=5
Bien
Conjunto solución: {18} 2.
3x + 6 −
x +4 =
Despejando el primer radical: Elevando al cuadrado: Simplificando:
3x + 6 =
x +4 + 2
3x + 6 = x + 4 + 2 2 x + 4 + 2
Elevando al cuadrado:
x 2 = 2( x + 4)
Llevando a la forma estándar: Factorizando: Por la propiedad cero:
x 2 − 2x − 8 = 0 ( x − 4)( x + 2) = 0 x=4 y x=–2
Comprobando en la ecuación original:
x=4
x =
2
2 x +4
18 − 8 =
2
3 2 −2 2 = 2 =
x=–2
Bien
2
0 − 2 =
− 2 =
2
2
2
Raíz extraña
Conjunto solución: {4} Formas cuadráticas Definición: Si una ecuación que no es cuadrática, se puede transformar en una ecuación cuadrática: au 2 + bu + c = 0 donde u es una expresión en alguna otra variable, entonces la ecuación se llama forma cuadrática. Después de expresada como una ecuación cuadrática, la ecuación se resuelve (se hallan los valores de u) y, a partir de ellos, los de la variable original. Ejercicios En las siguientes ecuaciones, señale las que son formas cuadráticas y redúzcalas a ecuaciones cuadráticas mediante sustituciones adecuadas. Halle sus raíces. 1.
x 4 − 7 x 2 − 18 = 0
2.
4 x −1 − 9 x −1 / 2 + 2 = 0
3.
4 1 = 2+ 4 2 m m
(Ejercicios 1-7, # 10) (Ejercicios 1-7, # 28)
(Ejercicios 1-7, # 34)
Solución: 1. Tomando u = x2 se transforma en u 2 − 7u − 18 = 0 que es una ecuación cuadrática.
(u − 9)(u + 2) = 0 u=9 y u=–2
Factorizando: Esto es:
Para u = 9: 9 = x2 y se obtiene: x = ±3 Para u = – 2: – 2 = x2 y se obtiene:
x = ±i
Conjunto solución: {–3, 3, −i 2 , i
2}
2.
2
4 x −1 − 9 x −1 / 2 + 2 = 0
Tomando u = x–1/2
se transforma en:
4u 2 − 9u + 2 = 0
[
]
1 ( 4u ) 2 − 9( 4u ) + 8 = 0 4 1 ( 4u − 8)( 4u − 1) = 0 4
Factorizando:
(u − 2)( 4u − 1) = 0
Por tanto:
u=2 y
u=
1 4
2 = x–1/2
Para u = 2:
4 = x–1 =
1 x
Es decir,
x =
1 4
1 = x −1 / 2 4 1 1 = x −1 = O sea, x = 16 16 x 1 Conjunto solución: , 16 4 • Dejar como tarea la comprobación de estas respuestas Para u =
3.
1 4
4 1 = 2+ 4 2 m m
Haciendo u =
1 se obtiene: 4u = 2 + u2 m2
Ordenando:
u 2 − 4u + 2 = 0
Utilizando la fórmula cuadrática:
u=
Para calcular los valores de m:
1 = 2± 2 m2
4 ± 16 − 8 4 ± 8 4 ± 2 2 = = =2± 2 2 2 2
1 2± 2 m =±
= m2 1 2± 2
1 , Conjunto solución: 2+ 2
−
1 2+ 2
2− 2 , 2
=
−
,
1 2− 2
2− 2 , 2
,
−
2− 2
2+ 2 , 2
1
−
2+ 2 racionalizando. 2
Preguntas de comprobación 1. 2. 3. 4. 5.
¿Qué es una forma cuadrática? ¿Qué es una raíz extraña? ¿Por qué aparecen raíces extrañas? ¿Como se resuelven las ecuaciones con radicales? ¿Cómo se resuelven las formas cuadráticas?
Orientación para el estudio Estudie la sección 1-7 del texto (páginas 73 a 79). Resuelva del ejercicio 1-7 (página) 79 las ecuaciones: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 y 31. Lea los cinco problemas de modelación (# 39 al # 43) de ese mismo ejercicio. Resuelva, en dependencia de su tiempo disponible, los que encuentre interesantes.
