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Año del dialogo y reconciliación nacional
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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL - TACNA FACULTAD PROFESIONAL DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
DOCENTE: ING. YURI MALAGA TEJADA
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES
INTEGRANTES:
-
Chambe Rejas Daniel Daniel Jose
TACNA – PERÚ 2018
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
y = F (x, y), se dice de Variables Separables si es posible factorizar F (x, y) en la forma: F (x, y) = f (x) · g (y) Una ED de variables ´
separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:
PROCEDIMIENTO: Variables Separables ENTRADA: Una ED en la forma y´= F (x, y) SALIDA: La solución de la ED.
PRIMER PASO.- Factorizar el segundo miembro,
Factorizar F (x, y) = f ( x ) · g ( y ), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento continua.
SEGUNDO PASO.- Separar las variables, hacer álgebra
para poner variables diferentes en lados diferentes:
´==, . = 1 = 1 = 1 =
TERCER PASO.- Integrar , integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos:
O simplemente :
CUARTO PASO : Despejar y Opcional , Debido a que y
representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma: y = Expresión en x En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en forma implícita.
Resolución de Ejercicios.Ejercicio 1.-
Ejercicio 2.-
24 2 11 2 =0 2 4− =0
∫ + ∫ −⁄8 = = ln [+⁄−+⁄8⁄ ]=ln = +⁄−+⁄8 8 = 2 =2 ´=22
= 22 = 1 21 =12
= 1 2 . 1 = 1. 1 = 2. ⟹ = 1 . =| |
ln 1 =2 2 + =− −+ ⟹ . = ⟹. =+ 1=−. 1= ⟶. Ejercicio 3.-
´=34
=34 . =34 4 =3. 4 =3. + 4 =3 2 ⟹ = 1 ⟶≠1 41 − =3 2 14 = 32 14 = 3 22 2=43
2 32 =4 3 24= = 3 4 ⟶. Ejercicio 4.-
= .12
1 2 .2.=. . ⟹ 12.=.. .1 =. ⟹( 2)=. .2.=. 2= 2 = ln2= ⟶. 5=0 =5 ⟹ =5. ⟹ =5. ∫ = ∫ 5. ⟹ ∫ =5 ∫ . − =5 ⟹ = + − + − = ⟹ = = . = +− . ⟹ =. ⟶. Ejercicio 5.-
ECUACIONES DIFERENCIALES DE HOMOGENEAS E REDUCIBLES A HOMOGENEAS.Homogeneas.- A partir de la siguiente ecuación diferencial:
, , =0
Se dice que la ecuación es homogénea si M y N tienen el mismo grado f (x,y)= xy+ y² es homogénea. Hay dos maneras de obtener el grado en una ecuación:
, = , , ==∗4 4 3 3 3 ==4 4 3
•
Inspección
•
Suma de los exponentes por cada terminó
EL TERMINO “t”
TIENE EL MISMO
Ejemplo de suma de exponentes:
Este es un método muy sencillo pero hay que tener en cuenta las propiedades de los exponentes. Sea.-
=0 =2 =2
Sacamos el valor de M y N:
Por lo tanto es Homogenea
Lo anterior solo ha sido para determinar el grado de una ecuación así que ahora tocara ver el cambio de variable en una ecuación diferencial,el método homogéneo requiere para el cambio o sustitución de variables:
= = = = = = =
Reducibles a Homogeneas.- Las ecuaciones diferenciales de la
forma.-
´ = ++++ = =0 ≠ ≠0 =0 =0 = ´ = ++++ ´ =→´=´;´= ´ =(. );´= . (. ) = . . =
Son homogéneas si se tiene
Cuando se tiene , la anterior ecuación puede transformarse en homogénea mediante una traslación de ejes, es decir, poniendo x = X + h ; y = Y + k, donde h y k vienen dados por el sistema:
Si este sistema no es compatible, siempre podemos poner:
Con lo que obtenemos:
)
Y haciendo el cambio:
Con lo que sustituyendo:
Que es una ecuación en variables separadas cuya solución viene dada por:
Resolución de Ejercicios.-
Ejercicio 1.-
3 =0 1 3.. =0 ; 1 4. 3. . =0 3 14. . 1 . =; l n 14 . 1 4. =l n ⁄ ⁄ 1 4. =; [14 ] = 1 =0; = 1 41 → =0; 14 =0 14 =0 →14 0 → = 14
Ejercicio 2.-
3.. =0 . . =0; 1 4. 3. . =0 1 33 14. . 1 . =; ln 14 . 1 4. =l n ⁄ ⁄ 1 4. =; [14 ] = 1 =0 ; = 1 41 →=0; 14 =0
Ejercicio 3.-
=0 =0↔ = ↔= 1 1 = ↔= } 2 = = 1↔ =1↔ =2 1 2 1 21 = ↔ 12 21 2 = 12 |2 1|=|| | |↔| ln↔| 2 1|=2 2 1|= ↔|2 1|= 3 21= 23 2 1= 2 = 1↔= 2 12 ; = 12 −
Ejercicio 4.-
Ejercicio 5.-
=0 2 2 2 2 2 / ′= 2 = 2/ = 21 = 2 1 1 =′1 1 = 2 ⟹= 2 ⇒= 2 = 21 ⇒ =2⇒= = l n = = ⟶ =// 1 1 ⟶= = 1 1 − ⟶ l o g 1t a n = 1 2 1 = 221 3 ⟶2 1 /2/
Ejercicio 6.-
=0 =0⇒ = ⇒ = = ⇒= = = = ⇒−=−⇒−⇔− = // − =// =ln// ⇔=// = // -
Ejercicio 6.-
=0 =0 ⟹ =. =0 11=11 =0 = 1 1 = 1 1 12) ||=(1 ln=2| 1| ||= 2 1 ||= l n 1 ||ln 1 = .+ =⁄+ 1 = ⁄ √ = 1 2 ´= 2 ⟹ ´= ⟹´=2 =. = ⁄ . = ´. =´ = ==ln = 1 11 =ln1 =l n 1 = 1
Ejercicio 7.-
ln 1 =ln ⟶ 1 = ⁄⁄ = ⟹ = ⟹ = ⟹= 1 ⟹1 = = ⟹= = 1 . Ejercicio 8.-
= 3 3 3 =3 3 =3 3=0 33 33 = 1 1 = 11 12 =l n l+n 1ln11=ln [−] =− ⟹ 1 =. 1 1 = .
Ejercicio 9.-
6=0 =∝ →=∝− ∝ 6∝−=0 → ∝6∝−=0 → 2 2=0 =→= =0→2 1 22=0 3 12=0 → 3 3 1= → 32 3 1= 3 1 = 3 1=0 = →=⁄ sabemos :
Sustituyendo:
(3 1)= → −3 =0 −ℎ =⁄ 3 = → ⁄3 Ejercicio 10.-
− − w w− dw w dw dx ∫ w dw = ∫ dx w w x w x w x y x x
=
…w=
=
* x + w =w + * x =
* x* w = dx =
= ln x + C1
= 2 (ln x + C1)
= (ln
= ln
W=
+C =
= ln
=
+ C)
+C
ln
+ C)
