Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interface Coeficientes de reflexión y transmisión Ecuaciones de Fresnel Angulo de Brewster Reflexión total interna
Plano de incidencia y la interface con el medio Definición
Perpendicular (“S”) la polarización apunta hacia afuera del plano de incidencia.
Medio de incidencia
r ki
Paralelo (“P”) La polarización sigue paralelo al plano de incidencia.
Er
Ei
Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incedente y reflejado.
r kr ni
θi θr
Interface Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page)
y
z
θt x
Et
r kt
Medio de transmisión
nt
Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular (“S”) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia.
Paralelo (“P”) Esta polarización está paralela al plano de incidencia
Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico y magnético de la ondas i,r,t para el caso “S” primero.
r ki Bi
r kr Er
Ei
Interface El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia
ni
Br
θi θr
y z
θt
Et Bt
r kt
x nt
Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface
y x
z La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Surge que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así:
r ki Bi
Er
Ei
r kr Br
θi θr
ni
Interface
θt
Et Bt
r kt
Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)
nt
Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface
y x
z
La componente tangencial del campo magnético es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B están en el plano x-y, de las que tomamos la componente x:
r ki
θi
Er
Ei
r kr Br
Bi θi θi θr
ni
Interface
θt
Et Bt
r kt
nt
–Bi(x, y = 0, z, t) cos(θi) + Br(x, y = 0, z, t) cos(θr) = –Bt(x, y = 0, z, t) cos(θt)
Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: E 0 i + E 0 r = E 0t
− B0 i cos(θ i ) + B0 r cos(θ r ) = − B0t cos(θ t ) But y θi = θr : Si B = E / (c0 / n) = nE / c0 and ni ( E 0 r − E 0 i ) cos(θ i ) = − nt E0t cos(θ t )
por E 0 i + E 0 r = E 0t : Sustituyendo Substituting for E 0t using ni ( E 0 r − E 0 i ) cos(θ i ) = − nt ( E 0 r + E 0 i ) cos(θ t )
Coficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente Rearranging ni ( E 0 r − E 0 i ) cos(θ i ) = − nt ( E 0 r + E 0 i ) cos(θ t ) obtenemos yields: reacomodando : E 0 r ni cos(θ i ) + nt cos(θ t ) = E 0 i ni cos(θ i ) − nt cos(θ t ) Resolviendo coeficiente de reflexión: Solving for E 0 r / E 0 iobtenemos yields the el reflection coefficient :
r⊥ = E 0 r / E 0 i = ni cos(θ i ) − nt cos(θ t ) / ni cos(θ i ) + nt cos(θ t ) transm ission coefficient, E 0 t / E 0 i , es: is EnAnalogously, forma análogathe el coeficiente de transmisión
t ⊥ = E 0t / E 0 i = 2ni cos(θ i ) / ni cos(θ i ) + nt cos(θ t )
Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente
Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo
r ki Bi Interface Geometría de los Rayor para luz polarizada con el campo eléctrico fi paralelo al plano de incidencia
r kr Ei
Br Er
θi θr θt Bt
Et
r kt
Campo Bentrante en la página.
y z
ni
nt
Notar que magnético debe hacia la pantalla para lograr r r r el campo que E × B ∝ k.
x
Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia For parallel polarized light,al PI para luz polarizada paralela and y
B0i - B0r = B0t
E0icos(θi) + E0rcos(θr) = E0tcos(θt)
Solving for E0r / E0i yyields the reflection coefficient calculamos obtenemos el coef de reflexión r|| = E 0 r / E 0 i = ni cos(θ t ) − nt cos(θ i ) / ni cos(θ t ) + nt cos(θ i )
En forma análoga el coeficiente de transmisión t|| = E0t / E0i, es: t|| = E0t / E0 i = 2ni cos(θ i ) / ni cos(θ t ) + nt cos(θ i )
Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente.
Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio naire ≈ 1 < nvidrio ≈ 1.5
Hay reflexión total para θ = 90° para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el “ángulo de Brewster” (56.3° para los valores de ni y nt). (Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente.)
Coeficiente de Reflexion, r
Note que:
1.0
ángulo de Brewster
.5
r||=0!
r||
0
r┴
-.5
-1.0
0°
30°
60°
ángulo de Incidencia, θi
90°
nvidrio ≈ 1.5 > naire ≈ 1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del “ángulo crítico "
θcrítico ≡ arcsin(nt /ni) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!)
Coeficiente de Reflecxión, r
Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire 1.0
Ángulo Crítico .5
r┴
Reflexión Total interna
0 Ángulo de Brewster -.5
Ángulo crítico -1.0
0°
30°
r|| 60°
90°
Angulo de incidencia, θi
Transmitancia (T) ε 0 c0 I = n E0 2 T ≡ Potencia transmitida / Potencia Incidente Si el rayo tiene un ancho wi:
wi
θi ni nt
θt
I t At = I i Ai
⇒
( (
( )) t ( ))
2
A = Area
At wt cos(θ t ) = = Ai wi cos(θ i )
wt
ε 0 c0 2 2 nt E0t 2 wt nt E0t wt nt wt 2 I t At T= = = t = 2 I i Ai ε 0 c0 ni wi 2 wi w n E i i 0i ni 2 E0i n cos θ t t T= ni cos θ i
2
Ya que
E0t E0i
2 2
La Transmitancia se llama también Transmisividad.
= t2
Reflectancia (R) ε 0 c0 I = n E0 2 R ≡ Potencia reflectada/ Potencia incidente
wi
ni nt
θi θr
I r Ar = I i Ai
2
A = Area
wi
Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así:
R = r2
La Reflectancia se llama también Reflectividad.
Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio Polarización Perpendicular 1.0
Polarización Paralela 1.0
T
T .5
0
.5
R 0°
30°
60°
90°
0
R 0°
Ángulo de Incidencia, θi
Note que
30°
60°
90°
Ángulo de Incidencia, θi
R+T =1
Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Polarización Perpendicular 1.0
Polarización Paralela 1.0
R
R
.5
.5
T 0
0°
30°
60°
90°
0
T 0°
Ángulo de Incidencia, θi
Note que
30°
60°
90°
Ángulo de Incidencia, θi
R+T =1
Reflexión con incidencia normal Cuando θi = 0,
y
nt − ni R = n + n t i T
=
2
4 nt ni 2
(n + n ) t
i
Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt = 1.5),
R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.
Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r⊥ = E0r / E0i = ni cos(θ i ) − nt cos(θt ) ni cos(θ i ) + nt cos(θt ) ni − nt Cuando When θ i = 0, r = ni + nt Si If n < n air Aire-vidrio to glass , r < 0 i t
(
)
r ki
r kr
Ei Bi
Er
θi θr
Br
ni
Interface
θt
Et Bt
r kt
Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r⊥ > 0, la interferencia será constructiva.
nt
Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r = E0r / E0i =
r ki
ni cos(θt ) − nt cos(θ i ) ni cos(θt ) + nt cos(θ i ) ni − nt When θ i = 0, r = Cuando ni + nt If ni < nt (air to glass), r < 0
Si
Aire-vidrio
Bi
Br
Ei
θi θr
r kr
Er
ni
Interface
θt
Et Bt r kt
Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayo incidente. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r|| > 0, habrá interferencia constructiva.
nt
Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire - vidrio) ni < nt
π
180° para todos los ángulos
┴ 0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
π
|| 0 0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
180° para ángulos menores al ángulo de Brewster'; 0° para ángulos mayores
Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (vidrio - aire) nt < ni
π
Cambia la fase por encima del ángulo crítico
┴ 0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
π
|| 0
0°
30°
60°
90°
Áng de incidencia
180° para ángulos por debajo de ang de Brewster; 0° para valores mayores
Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(θt) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre RIT) as it grazes the surface.
Ángulo de Brewster Reflexión Total interrna
RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.
Fibras Opticas Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas distancias.
Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas
Estructura de las fibras ópticas Core:
Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que se conduce la luz Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core Buffer coating: Film protector plástico
ncore > nclad
Propagación de la luz en una fibra óptica La luz viaja a través del core rebotando entre las paredes reflectantes. Esto le permite viajar a la luz grandes distancias sin pérdidas en la señal.
Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado en la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy poca pérdida – menos de 10%/km en 1,550 nm.
Reflexión Total Interna Frustrada (RITF) Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que ocurre RIT, la reflection total interna puede ser “frustrada.” Reflexión total interna n=1 n n
Reflexión total interna frustada n=1 n n
Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF? Este efecto provee evidencia acerca de los “campos evanescentes”
El vector de onda k de la onda evanescente El vector de onda k de la onda evanescente tiene componentes x e y : Paralelo a la superficie: ktx = k sin(θt) Perpendicular a ésta: kty = k cos(θt)
r ki
θi
y
θt x
r kr r kt
Usando la ley de Snell, sin(θt) = (ni /nt) sin(θi), así ktx tiene sentido. y nuevamente: cos(θt) = [1 – sin2(θt)]1/2 = [1 – (ni /nt)2 sin2(θi)]1/2 = ± iβ Despreciando la solución sin sentido físico -iβ, obtenemos:
Et(x,y,t) = E0 exp[–kβ y] exp i [ k (ni /nt) sin(θi) x – ω t ] La onda evanescente decae exponencialmente en la dirección transversal.
ni nt
