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1. Introducción
La difracción es un importante fenómeno de la luz que hoy se puede describir por medio de la naturaleza ondulatoria de la luz, sin embargo desde 1618 no podía ser explicada ni por la teoría ondulatoria de Huygens ni la teoría corpuscular de Newton, tuvieron que pasar de dos siglo para que se pudiera vencer la autoridad de Newton con la genial interpretación de Fresnel, en su teoría presentada en 1818 introduce el fenómeno de interferencia en el principio de Huygens y con ello logra explicar satisfactoriamente la difracción de la luz. Por otro lado Kirchhoff formula una teoría más general, de la cual se deducen las difracciones de Fresnel y Fraunhofer, creando una base para las suposiciones de la teoría de Fresnel.
Por este motivo se introduce una función ! ! llamada factor de inclinación, el cual describe la “dirección” de las emisiones secundarias, donde ! es el ángulo formado por el vector de propagación de un frente de onda esférico primario ! de radio ! en un punto ! al tiempo !! ! ! y el segmento !" (fig. 1), a veces llamado ángulo de difracción, ! es un punto en el cual se desea determinar la perturbación debido a la fuente ! . Por lo tanto la perturbación en el punto ! debida a una fuente monocromática con longitud de onda ! está dada por !
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2. Propagación de ondas en el vacío.
De acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel cada punto en un frente de onda puede considerarse como el centro de una onda secundaria esférica, y que el nuevo frente de onda un tiempo después es la envolvente de dichas ondas secundarias las cuales interfieren mutuamente. Sin embargo, si cada onda secundaria irradia uniformemente en todas direcciones se tendrá, además del frente de onda posterior, un frente de onda anterior viajando en dirección opuesta, lo cual no se observa experimentalmente, por lo que se debe de modificar el patrón de radiación de estas ondas.
Difracción de Fresnel
formulación de Kirchhoff
Fig. 1. Propagación de un frente de onda esférico.
Según el principio de Huygens-Fresnel se tiene que la contribución a la perturbación en ! debida a ! en un elemento de superficie !" (fig. 2) es !! !
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Por lo tanto, la perturbación total debida a ! en ! es igual a la mitad de la perturbación debida por la primera zona. La ecuación 10 es la expresión de perturbación de una onda esférica siempre que !"!! !, es decir !
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(11)
El factor ! !"!! se puede considerar si se asume que las ondas secundarias oscilan un cuarto de periodo fuera de fase respecto a la onda primaria y que sus amplitudes son inversamente proporcionales a !. Con estas suposiciones se llega a que el principio de HuygensFresnel describe correctamente la propagación de ondas esféricas en el vacío.
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Si ! es par 1
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Por lo que la intensidad es cero o cuatro veces mayor que si no estuviera la pantalla para un número entero de zonas, siendo el valor máximo de la intensidad cuando ! es impar. Si ! no es entero (por lo que una fracción de zonas pasarán por la abertura) la intensidad en ! estará entre cero y su valor máximo. Para conocer el resto del patrón consideremos un detector en el punto !, el cual se moverá en dirección perpendicular al segmento !", pasando por los puntos !! , !! y !! (fig. 5). Supongamos que en ! la abertura se llena por completo por dos zonas (primer recuadro de izquierda a derecha de la fig. 5), por lo que ! ! !, en el punto !! parte de la zona 2 se ha cu bierto pero se comienza a mostrar la zona 3, por lo que la perturbación en ! ya no es cero. !
3. Obstrucción debido a una apertura circular
Consideremos los efectos en el punto ! cuando algunas zonas de Fresnel se encuentran obstruidas por una pantalla plana que posee una abertura circular perpendicular al segmento !" y centrada en dicho segmento (ver fig. 4)
Fig. 4. Obstrucción de las zonas de Fresnel por abertura circular.
La contribución total en zonas no obstruidas.
! se
deberá sólo a aquellas
Supongamos que la abertura deja pasar un número entero ! de zonas, si dicho número es par, entonces la suma en la ecuación 7 se puede agrupar por pares, cada uno de ellos siendo aproximadamente cero. Si ! es impar, !! es el elemento del factor de inclinación más
Difracción de Fresnel
formulación de Kirchhoff
Fig. 5. Zonas en abertura circular, mapeo del patrón.
En !! buena parte de la zona 2 se ha ocultado, mientras que la zona 3 es más visible, ya que las contribuciones de la primera y tercera zona están en fase, entonces el detector colocará un punto luminoso en !! , y dado que se escogió cualquier dirección perpendicular al segmento !", entonces habrá puntos brillantes en cualquier parte del circulo punteado (fig. 5) que pasa por !! . Esto se puede repetir al continuar moviendo el detector.
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Fig. 6. Patrones de difracción de Fresnel.
4. Obstáculo circular
Si en lugar de una pantalla plana con una abertura circular, se coloca un obstáculo circular que cubra la primera zona, entonces de la ecuación 7 se tiene que la suma comienza en ! ! !
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(12)
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De igual modo que antes se concluye que la suma es aproximadamente !!! !!, y como suponemos que !! difiere tan solo un poco de !! , entonces ! !
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5. El teorema integral de Kirchhoff
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Fig. 7. Punto de Poisson.
Kirchhoff mostro que el principio de HuygensFresnel debe ser considerado como una forma aproximada de cierto teorema integral. Se considera una onda escalar estrictamente monocromática !!! ! !!! !!"# donde ! es tal que sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas y cumple con la ecuación de Helmholtz !
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(13)
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La ecuación 13 nos indica entonces que en ! existe un punto luminoso en el centro de la sombra que produce el obstáculo circular y, más aún, la intensidad es la misma como si no hubiera obstáculo.
Se considera otra función ! con las mismas características que !. Utilizando la identidad de Green !
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Este hallazgo fue encontrado por Poisson en 1818, en una competencia patrocinada por la Academia Francesa. Fresnel presentó su paper en teoría de difracción, el comité de evaluación estaba conformado por célebres personajes, los cuales formaban parte de la naturaleza corpuscular de la luz, entre los cuales estaban Poisson y Arago. Cuando Poisson determino que debía de ha ber intensidad detrás de un obstáculo circular lo consideró absurdo y un golpe mortal a la teoría ondulatoria, Arago llevo a cabo el experimento y lo que encontró fue un hermoso punto luminoso en el centro de la sombra del obstáculo (fig. 7). Es por ello que a dicho punto se le conoce como punto de Poisson o punto de Arago. Fresnel ganó el primer lugar de la competencia.
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formulación de Kirchhoff
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!"# !!, donde ! es la dis! Y suponiendo ! ! ! ! tancia de ! a algún punto del espacio, se concluye que !
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(16)
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integral de Helmholtz-Kirchhoff ! !
Difracción de Fresnel
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La ecuación 19 es conocida como la fórmula de di fracción de Fresnel-Kirchhoff . Si consideramos la aproximación de la región ! por un frente de onda esférico centrado en la fuente y con radio !! , entonces !"# ! ! !"# ! con ! el ángulo de ! y !"# ! difracción. Así que de la ecuación 19 !!!
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Fig. 8. Región de integración.
6. Difracción de Kirchhoff
Aunque el teorema integral de Kirchhoff engloba el principio de Huygens-Fresnel, las leyes que gobiernan las contribuciones desde diferentes elementos de su perficie son más complicadas que las derivadas en la difracción de Fresnel, sin embargo en muchos casos el teorema puede ser reducido a una aproximada pero simple forma, que es equivalente a la formulación de Fresnel, y que además nos da una forma explicita del factor de inclinación !. Si consideramos una onda monocromática que se propaga a través de una abertura en una pantalla opaca y ! es el punto donde se desea conocer la perturbación, entonces utilizando la ecuación 17 y las condiciones de
frontera de Kirchhoff !" !
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En la abertura
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Fig. 9. Derivación de la fórmula de Fresnel-Kirchhoff.
Comparando la ecuación 20 con la 3 se deduce que ! ! !
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7. Conclusiones
Las suposiciones de realizo Fresnel describen correctamente las perturbaciones debidas a ondas esféricas emitidas por una fuente en el vacío, ya que, además de aportar el hecho de que cada onda secundaria interfiere con todas las demás lo que explica el fenómeno de difracción, contribuye con la idea de que las ondas secundarias no se emiten en todas direcciones introduciendo el factor de inclinación, el cual es máximo para un ángulo de difracción igual a cero, más aún !! ! ! !! !!, que es justo lo que se encontró con la formulación de Fresnel (ecuación 11), y va disminuyendo hasta ! ! !, es decir, que no se propaga en dirección opuesta, eliminando así el frente de onda anterior que provocaba el principio de Huygens. !
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Con ! el ángulo que forma el normal a la abertura ! con la prolongación del segmento !", análogamente para ! (ver fig. 9) !"
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Hecht, E. (2002): Optics. Addison Wesley, San Francisco, cap. 10, pp. 485-495. Hecht, E., op. cit., cap. 10, pp. 510-512.
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