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5. DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS EN VIGAS (ECUACIÓN DE LA LÍNEA ELÁSTICA)
5.1. Ecuación de la Línea Elástica La curva deformada del eje centroidal de una viga originalmente recta para una determinada carga se denomina Línea Elástica.
Las causas de la deformación pueden ser momentos flectores, fuerzas de corte, diferencias de temperatura sobre la altura de la viga, asentamiento de algún apoyo, etc.
La influencia de la fuerza de corte en la mayoría de los casos es despreciable frente a la influencia del momento flector. Las diferencias de temperatura sobre la altura de la viga y los asentamientos de apoyos son casos particulares pa rticulares que se tratan con análisis especiales.
La Línea Elástica se determina para calcular los valores de la deformada (flecha) y ángulos de inclinación (giros) en cualquier punto de la viga. Sirve, además, para obtener la solución de problemas de vigas hiperestáticas.
Los elementos que usualmente se deben tener en cuenta cuando se desea determinar la Ecuación de la Línea Elástica de una viga son los siguientes:
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Figura Nº1: Ecuación de la Línea Elástica.
Donde:
ℓ : es el largo de la viga
EI : es la rigidez a flexión de la viga x: x: es la coordenada longitudinal de la viga w(x): w(x): desplazamiento vertical en el punto de coordenada “ x” x” (x): pendiente en el punto de coordenada “ x” x” φ(x):
Adicionalmente se deben conocer las condiciones de apoyo de la viga y las cargas.
La deducción de la ecuación que controla la deformación de una viga recta se muestra a continuación.
Considerando una viga cualquiera:
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Figura Nº2: Deducción de la Ecuación de la Línea Elástica.
Y dentro de esta viga, considerando un elemento diferencial de largo “dx” en estado deformado:
Figura Nº3: Elemento diferencial de viga.
De la figura:
ρ ⋅ d θ = ds
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⇒ ρ =
ds d θ
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Donde, como ya se sabe “ ρ” es el Radio de Curvatura.
κ =
Y el recíproco “κ ” es la Curvatura:
tan ϕ =
La inclinación de la curva es:
1 ρ
=
d θ ds
dw dx
Como en los análisis de este curso se considera deformaciones pequeñas, se puede aproximar:
sin β ≈ β
⇒ tan β =
sin β cos β
≈ β
cos β ≈ 1
Entonces:
⇒ dx = ds
dx = ds ⋅ cos
tan ϕ =
1 ρ
=
dw
⇒ ϕ =
dx
d θ
⇒
ds
⇒
dx
=−
d ϕ dx
=−
d 2 w dx 2
ρ
=
dx
d θ dx
d θ = −d ϕ
Teniendo en cuenta que:
d θ
1
dw
(*)
Por otro lado, de la Teoría de Flexión en Vigas Rectas (Capítulo 2), se tiene:
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1
=
M
⇒
ρ EI
−
Igualando (*) con (**):
⇒ EI
d θ dx
d 2 w dx 2
d 2 w( x) dx 2
=
=
M EI
(**)
M EI
= − M ( x)
Que es la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica.
Para determinar la Ecuación de la Línea Elástica se debe integrar dos veces la ecuación diferencial y, como es obvio, se necesita conocer la ecuación de momentos flectores. Por otra parte, en la doble integración aparecen dos c onstantes, cuyo valor se debe determinar mediante la evaluación adecuada de las condiciones de borde del problema.
Además, como ya se vió:
ϕ ( x) =
dw( x)
Y de la Mecánica:
Q( x) =
dM ( x)
dx
q ( x) = −
dx dQ( x) dx
Por lo tanto, se tiene que:
w( x)
Es la ecuación de la línea elástica del eje centroidal de la viga
w' ( x) = ( x)
Es la ecuación de la pendiente del eje centroidal
EI ⋅ w' ' ( x) = − M ( x)
Es la ecuación del momento flector
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EI ⋅ w' ' ' ( x) = −Q( x )
Es la ecuación de la fuera de corte
EI ⋅ w iv ( x) = q ( x)
Es la ecuación de la carga
O sea, la ecuación de la elástica de una viga también se puede determinar a partir de la cuádruple integración de la ecuación de la carga. Esto es más simple, pero se debe tener en cuenta que aparecen cuatro constantes de integración.
Ejemplo Nº1 Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: P , ℓ , EI .
Figura Nº4: Ejemplo Nº1.
A partir de la ecuación de momento flector:
M ( x) = − P ⋅ x
EI ⋅ w' ' ( x) = P ⋅ x 1 EI ⋅ w' ( x) = P ⋅ x 2 + C 1 2 1 EI ⋅ w( x) = P ⋅ x 3 + C 1 ⋅ x + C 2 6
Las condiciones de borde son:
1)
w( x = l) = 0
2)
w' ( x = l) = 0
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1
1
P ⋅ l 2 + C 1 = 0 2
⇒ C 1 = − P ⋅ l 2
De 1):
1 1 P ⋅ l 3 − P ⋅ l 2 ⋅ l + C 2 = 0 6 2
⇒ C 2 =
Entonces:
w( x) =
De 2):
2
1 3
P ⋅ l 3
1 ⎡1 1 1 3 2 3⎤ P x P l ⋅ x + P ⋅ l ⋅ − ⋅ ⎥⎦ EI ⎢⎣ 6 2 3
w' ( x) =
1 ⎡1 1 ⎤ P ⋅ x 2 − P ⋅ l 2 ⎥ ⎢ EI ⎣ 2 2 ⎦
w' ' ( x) =
1 EI
w' ' ' ( x) =
[ P ⋅ x]
1 EI
[ P ]
w iv ( x) = 0
Las gráficas de todas estas ecuaciones son:
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Figura Nº5: Gráficas del Ejemplo Nº1.
Ejemplo Nº2 Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: q, ℓ , EI .
Figura Nº6: Ejemplo Nº2.
A partir de la ecuación de la carga:
q ( x) = q
EI ⋅ w iv ( x) = q EI ⋅ w' ' ' ( x) = q ⋅ x + C 1 EI ⋅ w' ' ( x) =
1
EI ⋅ w' ( x) =
1
2 6
q ⋅ x 2 + C 1 ⋅ x + C 2
q ⋅ x 3 +
1 2
C 1 ⋅ x 2 + C 2 ⋅ x + C 3
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EI ⋅ w( x) =
1 24
1
q ⋅ x 4 +
6
C 1 ⋅ x 3 +
1 2
C 2 ⋅ x 2 + C 3 ⋅ x + C 4
Las condiciones de borde son:
1)
w' ' ( x = 0) = 0
2)
w' ' ( x = l) = 0
3)
w( x = 0) = 0
4)
w( x = l) = 0
⇒ C 2 = 0
De 1):
De 2):
1 2
q ⋅ l 2 + C 1 ⋅ l = 0
Entonces:
2
⇒ C 4 = 0
De 3):
De 4):
1
⇒ C 1 = − q ⋅ l
1 24
q ⋅ l4 −
w( x) =
1 1
⋅ q ⋅ l ⋅ l 3 + C 3 ⋅ l = 0
6 2
⇒ C 3 =
1 24
q ⋅ l3
1 ⎡1 1 1 ⎤ 4 3 q x q q ⋅ l 3 ⋅ x⎥ ⋅ − ⋅ l ⋅ x + ⎢ EI ⎣ 24 12 24 ⎦
w' ( x) =
1 ⎡1 1 1 3 2 3⎤ q x q q ⋅ − ⋅ l ⋅ x + ⋅ l ⎥⎦ EI ⎢⎣ 6 4 24
w' ' ( x) =
1 ⎡1 1 ⎤ 2 q x q ⋅ l ⋅ x⎥ ⋅ − ⎢ EI ⎣ 2 2 ⎦
w' ' ' ( x) = w iv ( x) =
1 EI 1
EI
[q ⋅ x − q ⋅ l]
[q ]
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Las gráficas de todas estas ecuaciones son:
Figura Nº7: Gráficas del Ejemplo Nº2.
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5.2. Aplicaciones a problemas de vigas hiperestáticas La Ecuación de la Línea Elástica puede ser usada para determinar la solución de problemas de vigas hiperestáticas. Lo anterior se logra ya que la ecuación de la viga elástica permite obtener los desplazamientos en cualquier punto de una viga isostática, por lo que si el problema original se reduce a uno isostático equivalente (suponiendo alguna incógnita como conocida) asociado a una compatibilidad geométrica apropiada (en el punto y dirección de la supuesta incógnita conocida) se puede despejar el valor de la incógnita elegida y posteriormente a través de las ecuaciones básicas de equilibrio se determinan las restantes incógnitas.
Para explicar más claramente la idea se presentan algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo Nº3 Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ , EI .
Figura Nº8: Ejemplo Nº3.
Planteando el sistema isostático equivalente:
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Figura Nº9: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº3.
Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente c ompatibilidad geométrica:
Δ Bq + Δ BRb = 0
Separando el sistema isostático:
Figura Nº10: Sistema isostático equivalente separado.
Para la Parte I se puede usar el resultado del Ejemplo Nº2:
Δ = q B
5 q ⋅ l4 384 EI
Para la Parte II se hace el siguiente desarrollo:
1 M ( x) = − R B ⋅ x 2 1 EI ⋅ w' ' ( x) = R B ⋅ x 2
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1 EI ⋅ w' ( x) = R B ⋅ x 2 + C 1 4 EI ⋅ w( x) =
1
R B ⋅ x 3 + C 1 ⋅ x + C 2 12
Las condiciones de borde son:
1)
w( x = 0) = 0
2)
w' ( x = l / 2) = 0
⇒ C 2 = 0
De 1):
1
l
2
R B ⋅ + C 1 = 0 4 4
De 2):
w( x) =
Entonces:
⇒ C 1 = −
1
RB ⋅ l 2 16
1 ⎡1 1 ⎤ 3 2 R x R ⋅ − ⋅ l ⋅x B B ⎥⎦ EI ⎢⎣12 16
Δ Rb B = w( x = l / 2) w( x = l / 2) =
1 ⎡1
l
3
1
l⎤
⎢ R B ⋅ 8 − 16 R B ⋅ l ⋅ 2 ⎥ EI ⎣12 ⎦ 2
⇒Δ
Rb B
=−
3 1 R B ⋅ l
48 EI
De la compatibilidad geométrica:
5 q ⋅ l4 384 EI
−
3 1 RB ⋅ l
48 EI
=0
5
⇒ R B = q ⋅ l 8
Para determinar las restantes reacciones:
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Figura Nº11: Esquema para el cálculo de reacciones.
Por simetría:
R A = RC
Momentando en el extremo izquierdo:
5 8
q⋅l⋅
l
2
+ RC ⋅ l = q ⋅ l ⋅
⇒ RC = ⇒ R A =
3 16 3 16
l
2
q ⋅l q ⋅l
Ejemplo Nº4 Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ , EI .
Figura Nº12: Ejemplo Nº4.
Planteando el sistema isostático equivalente:
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Figura Nº13: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº4.
Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente c ompatibilidad geométrica:
Δ Bq + Δ BRb = 0
Separando el sistema isostático:
Figura Nº14: Sistema isostático equivalente separado.
Para la Parte II se puede usar el resultado del Ejemplo Nº1:
Δ
Rb B
=−
1 R B ⋅ l
3
3 EI
Para la Parte I se hace el siguiente desarrollo:
M ( x) = −
1q 6
EI ⋅ w' ' ( x) =
l
⋅ x3
1q 6
l
⋅ x3
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1 q
EI ⋅ w' ( x) =
24
l
⋅ x 4 + C 1
1 q
EI ⋅ w( x) =
120
l
⋅ x 5 + C 1 ⋅ x + C 2
Las condiciones de borde son:
1)
w( x = l) = 0
2)
w' ( x = l) = 0
1 q
De 2):
24
l
⋅ l 4 + C 1 = 0
1 q
De 1):
120
l
⋅ l5 −
w( x) =
Entonces:
1 24
q ⋅ l 3 ⋅ l + C 2 = 0
⇒ C 1 = −
⇒ C 2 =
1 24
1 30
q ⋅ l3
q ⋅ l4
1 ⎡ 1 q 5 1 1 ⎤ 3 x q q ⋅ l4 ⎥ ⋅ − ⋅ l ⋅ x + ⎢ EI ⎣120 l 24 30 ⎦
Δq B = w( x = 0) 1 ⎡1 ⎤ w( x = 0) = q ⋅ l4 ⎥ ⎢ EI ⎣ 30 ⎦
⇒Δ = q B
1 q ⋅ l4 30 EI
De la compatibilidad geométrica:
1 q ⋅ l4 30 EI
−
3 1 RB ⋅ l
3 EI
=0
⇒ R B =
1 10
q ⋅l
Para determinar las restantes reacciones:
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Figura Nº15: Esquema para el cálculo de reacciones.
Suma de fuerzas verticales:
R A +
1 10
q⋅l =
⇒ R A =
Momentando en el extremo izquierdo:
M A +
2 5
1 10
⇒ M A =
1 2
q⋅l
q⋅l
q⋅l⋅l = 1 15
1 2
q⋅l⋅
l
3
q ⋅ l2
Ejemplo 5 Para la viga dada se pide determinar la Ecuación de la Línea Elástica. Datos: P , ℓ , EI=ctte..-
Figura Nº16: Ejemplo Nº5.
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Solución:
Importante: En la rótula se produce una situación especial. A pesar de que en este caso la ecuación del momento flector es la misma a ambos lados de la rótula, la ecuación de la línea elástica no es la misma debido a que en la rótula se produce una discontinuidad de giros (pendiente), lo que obliga a determinar una ecuación de la línea elástica para el tramo a la izquierda de ella y otra ecuación para el tramo de la derecha.
Suponiendo los cortes 1 (desde el empotramiento hasta la rótula), 2 (desde la rótula hasta el apoyo deslizable) y 3 (desde el voladizo hasta el apoyo deslizable) y teniendo en cuenta las reacciones en el empotramiento ( M A=P·ℓ en sentido horario y AV =P hacia abajo) y en el apoyo deslizable (C V=2·P hacia arriba), se tiene:
Tramo 1 (0< x< ℓ ) M 1 ( x) = − P · x + P ·l
EI ·w1 ' ' ( x) = P · x − P ·l 1 EI ·w1 ' ( x) = P · x 2 − P ·l· x + C 1 2 1 1 EI ·w1 ( x) = P · x 3 − P ·l· x 2 + C 1 · x + C 2 6 2
Condiciones de Borde del tramo 1:
1)
w1 ( x = 0) = 0
→
C 2 = 0
2)
w1 ' ( x = 0) = 0
→
C 1 = 0
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Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 1 es:
1 1 EI ·w1 ( x) = P · x 3 − P ·l·x 2 6 2 1 EI ·w1 ' ( x) = P · x 2 − P ·l· x 2
Los desplazamientos verticales y giros en los p untos extremos del tramo 1 son:
w1 ( x = 0) = 0 1 ⎡1 1 1 P ·l 3 3 2⎤ w1 ( x = l) = P ·l − P ·l·l ⎥ = − EI ⎢⎣ 6 2 3 EI ⎦ w1 ' ( x = 0) = 0 1 ⎡1 1 P ·l 2 ⎤ 2 w1 ' ( x = l) = P ·l − P ·l·l ⎥ = − EI ⎢⎣ 2 2 EI ⎦
Tramo 2 (0< x< ℓ ) M 2 ( x) = − P · x
EI ·w2 ' ' ( x) = P · x 1 2 EI ·w2 ' ( x) = P · x + D1 2 1 EI ·w2 ( x) = P · x 3 + D1 · x + D2 6
Condiciones de Borde del tramo 2:
1)
w2 ( x = 0) = −
1 P ·l 3 3 EI
→
1 D2 = − P ·l 3 3
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2)
w2 ( x = l) = 0
→
1 D1 = P ·l 2 6
Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 2 es:
1 1 1 EI ·w2 ( x) = P · x 3 + P ·l 2 · x − P ·l 3 6 6 3 1 1 EI ·w2 ' ( x) = P · x 2 + P ·l 2 2 6
Los desplazamientos verticales y giros en los p untos extremos del tramo 2 son:
1 ⎡1 1 1 1 P ·l 3 3 2 3⎤ w2 ( x = 0) = P ·0 + P ·l ·0 − P ·l ⎥ = − EI ⎢⎣ 6 6 3 3 EI ⎦ w2 ( x = l) =
1 ⎡1 1 1 ⎤ P ·l 3 + P ·l 2 ·l − P ·l 3 ⎥ = 0 ⎢ EI ⎣ 6 6 3 ⎦
1 ⎡1 1 1 P ·l 2 2 2⎤ w2 ' ( x = 0) = P ·0 + P ·l ⎥ = EI ⎢⎣ 2 6 ⎦ 6 EI 1 ⎡1 1 2 P ·l 2 2 2⎤ w2 ' ( x = l) = P ·l + P ·l ⎥ = EI ⎢⎣ 2 6 ⎦ 3 EI
Tramo 3 (0< x< ℓ ) M 3 ( x) = − P · x
EI ·w3 ' ' ( x) = P · x 1 EI ·w3 ' ( x) = P · x 2 + E 1 2 1 EI ·w3 ( x) = P · x 3 + E 1 · x + E 2 6
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Condiciones de Borde del tramo 3:
1)
w3 ' ( x = l) = −
2)
w3 ( x = l) = 0
2 P ·l 2
→
3 EI →
7 E 1 = − P ·l 2 6
E 2 = P ·l 3
Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 3 es:
1 7 3 2 3 EI ·w3 ( x) = P · x − P ·l · x + P ·l 6 6 1 7 EI ·w3 ' ( x) = P · x 2 − P ·l 2 2 6
Los desplazamientos verticales y giros en los p untos extremos del tramo 3 son:
1 ⎡1 7 P ·l 3 3 2 3⎤ w3 ( x = 0) = P ·0 − P ·l ·0 + P ·l ⎥ = EI ⎢⎣ 6 6 ⎦ EI w3 ( x = l) =
1 ⎡1 7 3 2 3⎤ P · l − P ·l ·l + P ·l ⎥⎦ = 0 EI ⎢⎣ 6 6
1 ⎡1 7 7 P ·l 2 2 2⎤ w3 ' ( x = 0) = P ·0 − P ·l ⎥ = − EI ⎢⎣ 2 6 6 EI ⎦ 1 ⎡1 7 2 P ·l 2 2 2⎤ w3 ' ( x = l) = P ·l − P ·l ⎥ = − EI ⎢⎣ 2 6 3 EI ⎦
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